20. ПУТЕШЕСТВИЕ В МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА.

«Трудно поверить, — размышлял Брэдли, — что люди действительно жили так всего несколько поколений назад». Поместье Конрой являло весьма скромный образчик замковой архитектуры, но его масштабы поражали любого, кто провел большую часть жизни в маленьких кабинетах, комнатушках мотелей и корабельных каютах. Что уж говорить о глубоководных субмаринах, где из-за невероятной тесноты личная гигиена соседей приобретала критическое значение.

В столовой, потолок которой украшала замысловатая резьба, а стены — огромные зеркала, разместились бы с комфортом человек пятьдесят. Дональд счел нужным объяснить, почему здесь стоит стол всего на четыре персоны, кажущийся таким маленьким и потерянным.

— У нас не было времени приобрести соответствующую мебель. Оставшийся в замке антиквариат оказался в ужасном состоянии. Почти все пришлось сжечь. И дел навалилось по горло; гостей мы особо не принимали. Когда-нибудь окончательно превратимся в местных аристократов и…

Эдит, похоже, не одобряла болтовню супруга. У Брэдли снова возникло впечатление, что инициатором покупки замка и последующих мероприятий является она, а Дональд неохотно — или, в лучшем случае, пассивно — играет роль подмастерья. Джейсон догадывался, как такое произошло: люди, имеющие деньги на дорогие игрушки, зачастую обнаруживали, что без них жили бы счастливее. А замок Конрой с прилегающими акрами угодий и обслуживающим персоналом — не грошовая безделушка.

Когда слуги (они для Брэдли тоже были в новинку) убрали со стола после восхитительного китайского обеда, специально доставленного из Дублина, гость и хозяева замка перешли в соседнюю комнату. Крейги и Брэдли удобно устроились в креслах.

— Мы вас не отпустим, — объявил Дональд, — без детского руководства по множеству Мандельброта. Эдит за сто метров видит человека, в этом плане девственного.

Брэдли не сомневался в точности прогнозов миссис Крейг. Однако он распознал странные очертания пруда, хотя термин вспомнил, лишь услышав его. В последние десятилетия двадцатого века невозможно было уйти от воплощений множества Мандельброта. Те то и дело возникали на видеоэкранах, обоях, ткани, проявлялись практически во всех видах дизайна. Кто-то определил самые острые симптомы новой болезни словечком «Мандельмания»; Брэдли начал подозревать, что замок Конрой в нынешнем состоянии подходит под это обозначение. Между тем гость приготовился с учтивым интересом выслушать любую лекцию, припасенную хозяевами.

Он чувствовал, что Крейги тоже по-своему проявляют вежливость. Им не терпелось узнать его решение, а ему не терпелось им поделиться.

Брэдли очень надеялся, что ожидаемый звонок прозвучит до того, как он покинет замок…

Он никогда не встречался с типичной фанатичной мамочкой, но видел подобных персонажей в кино. Как же назывался тот старый фильм? Ах, конечно, «Слава»[32]. В нем мать тоже страстно желала, чтобы ее дитя стало звездой, пусть то и не обладало особым талантом. Однако Брэдли не сомневался, что в случае Крейгов материнская вера оправданна.

— Прежде чем Ада возьмет слою, — сказала Эдит, — хочу сделать несколько замечаний. Множество Мандельброта — сложнейший комплексный математический объект. Однако для его создания требуются лишь простейшие действия — сложение и умножение. Можно обойтись даже без вычитания, не говоря о делении! Вот почему людям, хорошо знающим математику, тяжело его осознать. Они не верят, что модель, состоящая из бесконечного количества деталей, образуется без логарифмических, тригонометрических функций и прочих заумных штук. Невероятно, но в преобразованиях действительно участвует лишь обыкновенное сложение.

— Не понимаю. Если все настолько просто, почему до этого не додумались давным-давно?

— Отличный вопрос! Все логично. Слишком много сложения и умножения, слишком много невероятно больших чисел. Не обойтись без высокоскоростных компьютеров. Если бы Адаму с Евой и всем их потомкам до сегодняшнего дня выдали абаки, большую часть изображений множества все равно не удалось бы получить. Ада же покажет их вам, нажав всего несколько клавиш. Приступай, дорогая…

Хозяева спрятали голографический проектор настолько хитро, что Брэдли не смог определить, откуда проецируется картинка. «Замок стоит населить привидениями, — подумал он. — Будут отпугивать грабителей получше любой сигнализации».

В воздухе возникли две пересекающиеся под прямым углом линии — обычная система координат х-у. В четырех направлениях расходились последовательности чисел — 0, 1, 2, 3, 4…

Ада снова посмотрела на Брэдли в упор. Девочка будто в очередной раз попыталась определить его коэффициент интеллекта, чтобы понять, на каком уровне объяснять очевидные для нее вещи.

— Любую точку на этой плоскости, — начала она, — можно описать двумя числами — координатами х и у. Понятно?

— Понятно, — торжественно ответил Брэдли.

— Так вот: множество Мандельброта находится в очень маленькой области вокруг нашей точки, не дальше плюс- минус двух единиц по оси абсцисс и ординат. Значения вне этого квадрата не рассматриваем.

Теперь на координатной сетке остались только значения, не превышающие двух по модулю.

— Возьмем любую точку внутри сетки и соединим ее с центром. Измерим длину радиуса и назовем ее r.

«Пока мозг не особо напрягается, — подумал Брэдли. — Когда же начнутся сложности?».

— Очевидно, в данном случае r принимает значение от нуля до чуть менее трех. Если точнее, не более двух целых восьми десятых. Ясно?

— Ясно.

— Хорошо. Теперь первое упражнение. Берем величину r любой точки и возводим в квадрат. И снова возводим в квадрат, и еще раз. Что получается?

— Ада, давай лучше сама. А то испорчу все веселье.

— Если r равна единице, результирующая величина не изменится, сколько ни возводи ее в квадрат. Один умножить на один умножить на один — всегда единица.

— Так, — согласился Брэдли. Пока он понимал разъяснения Ады.

— Если число хоть на капельку больше единицы и вы начнете множить его само на себя, то раньше или позже оно улетит в бесконечность, даже если это единица и одна миллионная. Разве что придется долго считать.

Но если наше число хотя бы чуточку меньше одного — скажем, ноль целых, девять девять девять и так далее миллионных, — получится совсем наоборот. Оно будет держаться около единицы, но стоит пару раз возвести его в квадрат, как число вдруг съежится и полетит к нулю. Понятно?

На этот раз Брэдли переваривал медленнее, чем Ада говорила. Он просто кивнул. Гость пока не догадывался, куда ведет эта элементарная арифметика, но цель у нее определенно была.

— Леди, перестань приставать к мистеру Брэдли! В общем, вы видите, что непрерывное возведение чисел в квадрат делит их на два четких множества…

На пересекающихся осях появился кружок. В центре его находилась изначальная точка.

— Внутри круга — числа, исчезающие при умножении самих на себя. За пределами — числа, стремящиеся в бесконечность. Можно сказать, окружность с радиусом, равным единице, — что-то вроде забора, рубежа, разделяющего две области. Множество же точек этой окружности назовем «К».

— «К» — значит «квадрат»?

— Конеч… Да. Теперь нужно сказать кое-что важное. Числа по обе стороны полностью отделены друг от друга. Через границу не способно проникнуть ничто. Но сама она бесплотна. У нее нет толщины. Это линия. Можно увеличивать ее вечно, и ничего не изменится. Правда, вскоре она станет прямой. Вы перестанете замечать изгиб.

— Все это прекрасно, — вмешался Дональд, — но пока Ада излагает азы. Вскоре вы поймете почему. Прости, Ада.

— Продолжим. Чтобы получить множество Мандельброта, нужно сделать малюсенькое изменение. Давайте не просто возводить числа в квадрат. Будем возводить их в квадрат и складывать… возводить в квадрат и складывать. Кажется, особой разницы нет. Но такие действия открывают целую неизведанную вселенную…

Вернемся к единице. Возводим ее в квадрат. Получаем единицу. Складываем один и один. Получаем два.

Два в квадрате — четыре. Прибавляем изначальную единицу. Получаем пять.

Пять в квадрате — двадцать пять, плюс один — двадцать шесть.

Двадцать шесть в квадрате — шестьсот семьдесят шесть. Видите, что происходит? Числа растут с фантастической скоростью. Еще несколько итераций — и они невероятно распухнут. Даже компьютер с трудом справится с ними. А ведь мы начали с единицы! Таково первое важное отличие между множеством Мандельброта и множеством «К», ограниченным единицей.

Но если спуститься до числа намного меньше единицы — скажем, до ноль целых одной десятой… догадываетесь, что произойдет?

— Оно будет стремиться к нулю после первых циклов умножения и сложения.

Ада ответила ослепительной улыбкой, столь редко возникающей на ее губах.

— Обычно так и происходит. Иногда число держится около небольшой фиксированной величины. В любом случае оно находится внутри множества, как в ловушке. И снова все числа плоскости делятся на два класса. Но на этот раз граница посложнее окружности.

— Позвольте вмешаться, — едва слышно сказал Дональд, чем заслужил сердитый взгляд Эдит. Но нахмуренные брови жены его не остановили. — Я спрашивал у людей: каковы, по их мнению, будут очертания линии. Большинство поставило на нечто вроде овала. Но ни один не додумался до верного ответа. Ладно, ладно, леди! Больше не буду прерывать нашего оратора!

— Вот первое приближение, — продолжила Ада, одной рукой перебирая клавиши, а другой подхватив непослушного щенка. — Вы его сегодня уже видели.

На плоскости возникли знакомые Брэдли очертания пруда Мандельброта. Однако теперь картина оказалась намного более детальной. Справа располагалась самая крупная фигура, похожая на сердечко. Ее едва касался маленький кружок, а к последнему прижимался кружочек поменьше. Влево уходила узкая спица, заканчивающаяся на цифре два по оси х.

Теперь Брэдли видел, что главные фигуры словно обросли («Будто камни ракушками», — подумал он) мириадами крошечных кружочков. От многих ракушек расходились в стороны короткие извилистые линии. Рисунок был намного сложнее орнамента прудов в саду. Он выглядел странно, интригующе, но не красиво. Однако Ада и Эдит смотрели на картину зачарованно, с восторгом. Брэдли их восторга не разделял.

— Это полное множество без увеличения, — сказала Ада почти шепотом. Голос ее звучал не так уверенно, как раньше. — Даже при таком масштабе вы видите, насколько оно отличается от простой, имеющей нулевую толщину, окружности, ограничивающей множество «К». Увеличенная до бесконечности, она все равно останется линией — и только. А граница множества Мандельброта пушистая. В ней нескончаемое число деталей. Можно войти в любую, приближать сколько угодно — и всегда найдете что-то новое и неожиданное. Вот, смотрите!

Изображение увеличилось; зрители нырнули в просвет между главной кардиоидой и примыкающим к ней кругом. «Очень похоже на раскрывающуюся застежку-молнию, — отметил Брэдли. — Только очертания у ее зубчиков очень уж необычные».

Сначала зубчики походили на крошечных слонят, размахивающих хоботочками. Потом хоботы мутировали в щупальца. Затем на щупальцах выросли глаза. Дальше, по мере приближения картинки, глаза превратились в черные водовороты бесконечной глубины…

— Сейчас изображение увеличено в несколько миллионов раз, — прошептала Эдит. — Начальный график по масштабам уже больше Европы.

Они проносились вдоль водоворотов, огибали таинственные острова, окруженные коралловыми рифами. Мимо горделиво плыли флотилии морских коньков. В центре экрана появилась крошечная черная точка. Скоро она выросла, и в ней проступили знакомые черты. Еще несколько секунд — и возникла точная копия первоначального множества.

«Здесь мы вошли, — решил Брэдли. — Или нет?» Он сомневался. Глаз улавливал едва заметные различия, но родственное сходство прослеживалось явно.

— Теперь, — продолжила Ада, — изначальная картинка размером с орбиту Марса, а это мини-множество гораздо мельче атома. Но в нем столь же много деталей. И так — до бесконечности.

Увеличение прекратилось. На миг возникло ощущение, будто в пространстве замерло кружево, сотканное из замысловатых петель и завитков. Затем — словно на кружево опрокинули коробку с красками — одноцветное изображение вспыхнуло яркими красками и стало столь ослепительно красивым, что Брэдли ахнул от изумления. Картинка начала уменьшаться. Цвета в микроскопической вселенной постоянно менялись. Никто не произнес ни слова, пока на экран не вернулось изначальное множество Мандельброта — зловеще-черное, очерченное узкой границей золотого пламени и зазубренными голубыми и лиловыми протуберанцами.

— Откуда взялись цвета? — спросил Брэдли, отдышавшись. — Сначала их не было.

Ада рассмеялась.

— Вы правы. На самом деле это не части множества. Но разве они не великолепны? Компьютер по моей команде может окрасить график как угодно.

— Тем не менее цвета не бессмысленны, — пояснила Эдит — Попробую пояснить их значение. Представляете, как картографы размещают оттенки коричневого и зеленого между контурными линиями, подчеркивая разницу в высотах?

— Конечно. Мы в океанографии поступаем так же. Чем насыщеннее синий цвет, тем больше глубина.

— Верно. В данном случае цвета подсказывают, сколько раз компьютеру пришлось обойти вокруг петли, прежде чем отнести то или иное число к множеству Мандельброта. В пограничных случаях приходится возводить в квадрат и складывать тысячи раз.

— Зачастую операции производятся с числами, состоящими из сотен знаков, — добавил Дональд — Теперь вы понимаете, почему множество не открыли раньше.

— Действительно, веская причина.

— Теперь смотрите, — сказала Ада.

Изображение ожило. На него словно нахлынули разноцветные волны. Казалось, границы множества непрерывно расширяются, но при этом остаются на месте. Брэдли понял, что в действительности ничего не движется; окраска картины менялась по спектру, создавая убедительнейшую иллюзию движения.

«Кажется, начинаю понимать, как можно подсесть на эту штуку и даже превратить ее в смысл жизни», — подумал Брэдли.

— Почти уверен, — признался он, — что видел такую программу в своей компьютерной библиотеке, вместе с парой тысяч других. Хорошо, что не удосужился запустить. Боюсь, она бы меня затянула.

Дональд Крейг резко взглянул на жену. Гость запоздало осознал, что замечание прозвучало слегка бестактно. Но Эдит, похоже, по-прежнему пребывала под чарующим действием колышущихся красок, хотя наверняка видела это представление бессчетное число раз.

— Ада, — мечтательно проговорила она, — скажи мистеру Брэдли нашу любимую цитату из Эйнштейна.

«Она многого хочет от десятилетней девочки, — подумал Джейсон. — Даже от такой десятилетней девочки».

Но Ада не растерялась — она, похоже, не терялась никогда. В голосе ее не появилось ни следа монотонности и механистичности. Она говорила от сердца, понимая каждое слово:

— «Самое прекрасное, что мы способны пережить, — Тайна. Она источник истинного искусства и науки. Кому недоступно чувство загадочного, кто не способен остановиться, удивиться чуду и благоговейно замереть, тот уже мертв».

«Точно сказано», — согласился про себя Брэдли. Из памяти всплыли картины спокойных ночей на Тихом океане, небо, усыпанное звездами, и мерцающий биолюминесцентный след позади корабля. Он вспоминал, как впервые увидел скопление удивительных существ — таких чужеродных, словно они явились с другой планеты, — собравшихся около раскаленной глубоководной воронки вблизи Галапагосских островов, где медленно расходились друг от друга материковые плиты. Брэдли надеялся, что вскоре ему вновь предстоит испытать благоговение и изумление, когда из бездны, разрезая воду, появится нос «Титаника».

Пляска цветов прекратилась. Множество Мандельброта угасло. И хотя в действительности ничего не произошло, Джейсон почувствовал, что виртуальный экран голографического проектора выключился.

— Теперь вы знаете о множестве Мандельброта больше, чем стоило бы, — проговорил Дональд, взглянув на Эдит.

Брэдли снова ему посочувствовал.

Отправляясь в замок Конрой, он не думал, что испытает здесь это чувство. Более логичной и ожидаемой была бы зависть. Огромное состояние, великолепный дом, талантливая и красивая жена, дочка-вундеркинд — казалось бы, гарантия счастья. Но что-то пошло не так. «Интересно, — размышлял Брэдли, — давно ли они вместе ложились в постель?» Простейшая причина раздора между супругами напрашивалась сама собой. Хотя в таких делах простых причин не бывало…

Он снова взглянул на часы. Наверняка Крейги думали, что гость нарочно уходит от ответа. Так и было. «Мистер генеральный директор, ну скорее же!» — мысленно взмолился Брэдли.

Словно в ответ на свою просьбу, он услышал знакомое жужжание наручного коммуникатора.

— Простите, пожалуйста, — извинился он перед хозяевами. — Нужно ответить на очень важный звонок. Я на минутку.

— Конечно. Мы оставим вас.

Сколько миллионов раз за день происходил этот ритуал! Строгие правила этикета гласят: в случае звонка, предполагающего приватный разговор, посторонние обязаны выразить готовность покинуть комнату. Элементарная же вежливость требует, чтобы помещение, извинившись перед всеми, покинул тот, кому звонят. В результате появились бессчетные варианты поведения в зависимости от обстоятельств и национальностей присутствующих. В Японии, как частенько жаловался Като, формальности зачастую тянулись так долго, что звонивший в итоге возмущенно вешал трубку.

— Извините, — произнес Брэдли, вернувшись с небольшого балкона. — Разговор был насчет нашего дела. Я не мог огласить решение, не переговорив с этим человеком.

— Надеюсь, ответ положительный, — сказал Дональд. — Нам без вас никак.

— Мне тоже хотелось бы поработать с вами, но…

— Парки сделал более выгодное предложение, — с неприкрытым презрением заключила Эдит.

Брэдли спокойно посмотрел на нее и без обиды в голосе возразил:

— Нет, миссис Крейг. Прошу вас, сохраните суммы в секрете. Предложение компании «Паркинсон» весьма щедрое. Но они дают всего половину от того, что посулили вы. А то вознаграждение, которое мне обещали сейчас, раз в десять меньше зарплаты у Парки. Однако я рассматриваю эту сделку очень серьезно.

Наступила тягостная пауза. Тишину в конце концов нарушил смех Ады, прозвучавший очень странно.

— Вы, наверное, рехнулись, — решила Эдит.

Дональд усмехнулся.

— Возможно, так и есть, — кивнул Брэдли. — Сейчас мне не особо нужны деньги. Безусловно, приятно, когда они есть. — Он негромко рассмеялся. — Но хорошего понемножку. Не знаю, слышали ли вы мудрое высказывание едва ли не самого знаменитого человека, погибшего на «Титанике», Джона Джейкоба Астора. Он говорил: «Человек, имеющий миллион долларов, не просто обеспечен. Он богат». За свою карьеру я скопил миллион, и часть его до сих пор лежит в банке. Большего мне не требуется. Если же возникнет нужда, всегда можно спуститься на дно и напугать еще одного осьминога.

Я совсем не рассчитывал на предложение, о кагором идет речь. Для меня оно было как гром среди ясного неба. Два дня назад сотрудничество с вами казалось идеальным вариантом.

Враждебность Эдит сменилась подлинным изумлением.

— Вы скажете нам, кто… переплюнул «Ниппон-Тернер»?

Брэдли покачал головой.

— Дайте пару дней; пока есть кое-какие проблемы. Не хотелось бы свалится с трех стульев.

— Кажется, понимаю, — кивнул Дональд. — Есть лишь одна причина поработать за маленькие деньги. Каждый человек в долгу перед профессией.

— Это цитата?

— Да. Слова доктора Джонсона.

— Мне нравится. Пожалуй, в ближайшие недели придется часто произносить ее. А пока окончательное решение не принято, хочется все обдумать. Позвольте еще раз поблагодарить за гостеприимство — не говоря о вашем предложении. Быть может, я все же приму его. Надеюсь, мы останемся друзьями, даже если не удастся поработать вместе.

Вертолет взлетел над замком. От ветра, поднятого винтами, на поверхности озера Мандельброт появилась рябь. Отражения кипарисов исказились. Брэдли бросили самый серьезный вызов за всю его карьеру. Прежде чем принять решение, следовало полностью расслабиться.

Он точно знал, как это сделать.