ТРЕМЫ В ИНТЕРВАЛЕ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПУСТОТЫ [371].

В работе [371] я рандомизировал канторово построение путем сглаживания ступеней распределения и выбором расположения трем и их длин случайным образом, независимо друг от друга. Наконец, для реализации пропорциональности u⁻¹ предполагается, что количество трем, длина которых превышает u, а центр приходится на некий интервал длины Δt, имеет математическое ожидание, равное (1−D_*)Δt/u, и пуассоновское распределение. Причина введения обозначения 1−D_* вскоре прояснится.

Будучи независимыми, тремы могут пересекаться, чем они и занимаются с большим удовольствием: вероятность того, что какую-либо трему ни разу не пересечет другая трема, равна нулю. Иными словами, понятия тремы и пустоты (или паузы) больше не совпадают: термином пустота мы теперь обозначаем интервалы, образованные перекрывающимися тремами. Возникает вопрос: сливаются ли все тремы, в конце концов, в одну гигантскую пустоту, или в интервале остаются непокрытые ими точки? Мы сначала объявим ответ, а затем, в следующем разделе, обоснуем его с помощью наглядного рассуждения на примере процесса рождения и покажем, что непокрытые точки образуют невынужденные кластеры.

Рассмотрим интервал, не покрытый полностью тремами с длиной больше ε₀, и введем меньшие тремы, длина которых превышает движущийся порог ε, убывающий с ε₀ до 0. Устремив при D_*≤0 порог ε к 0, мы почти наверняка (вероятность стремится к 1) получим интервал, в котором не остается непокрытой ни одна точка. При 0<D_*<1 может получиться то же самое, однако почти полной уверенности тут уже нет.

Даже в пределе существует некоторая положительная вероятность, что какой-то участок («трема – фрактал») останется непокрытым. В [371] доказывается, что этот трема – фрактал представляет собой не что иное, как пыль Леви с размерностью D=D_*.

Короче говоря, D=max(D_*,0).