13. ОСТРОВА, КЛАСТЕРЫ И ПЕРКОЛЯЦИЯ; СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДИАМЕТРОМ И КОЛИЧЕСТВОМ.

Эта глава посвящена фрактальным σ-кривым, т. е. фракталам, которые состоят из бесконечного количества непересекающихся фрагментов, каждый из которых представляет собой связную кривую. Конкретные случаи охватывают широкий диапазон от береговых линий островов в архипелаге до такого важного физического феномена, как перколяция. Начальные разделы главы содержат новый материал, которого не было во «Фракталах» 1977 г.; остальная часть также в значительной степени обновлена.

Начнем с того, что перефразируем вопрос главы 5 и спросим, сколько же островов окружает берега Британии? Несомненно, их количество столь же велико, сколь и неопределенно. А если добавить к списку островов все скалы, малые скалы и просто торчащие над водой камни, то длина этого списка устремится чуть ли не к бесконечности.

Поскольку поверхность Земли весьма тщательно «сморщена», полная площадь любого острова — так же, как и длина его береговой линии — географически бесконечна. Однако области, окруженные береговыми линиями, имеют вполне определенную «картографическую площадь». А то, каким образом эта картографическая площадь разделена между различными островами, является важной географической характеристикой. Можно даже утверждать, что такое «соотношение между площадью и количеством» вносит больший вклад в понимание географических форм, чем описание очертаний отдельных береговых линий. Например, если мы будем рассматривать берега Эгейского моря, нам наверняка захочется включить сюда и берега его многочисленных островов. Этот вопрос, вне всякого сомнения, заслуживает самого тщательного количественного исследования, и в этой главе мы предпримем попытку такого исследования, воспользовавшись обобщением кривой Коха.

Далее мы рассмотрим разные другие фрагментированные фигуры, получаемые обобщением уже знакомых нам фракталообразующих процессов: либо процедуры Коха, либо створаживания. Эти фигуры мы будем называть контактными кластерами, причем распределение диаметров в зависимости от количества окажется для них таким же, что и для островов.

Особый интерес представляют контактные кластеры, заполняющие плоскость, в частности, кластеры, образуемые некоторыми кривыми Пеано, терагоны которых не имеют точек самопересечения, но имеют несколько тщательно контролируемых точек самокасания. В саге о приручении чудовищ Пеано появляется, таким образом, новая глава!

И последнее (только по порядку, а отнюдь не по значимости): в эту главу включена первая часть прецедентного исследования геометрии перколяции, весьма важного физического феномена, рассмотрение которого будет продолжено в главе 14.

ОБОБЩЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОГО ЗАКОНА КОРЧАКА.

Составим список всех островов некого региона в порядке уменьшения их размера. Общее количество островов, размер которых превышает a, будем записывать как , < обозначение построено по подобию обозначения , позаимствованного из теории вероятности. ► В данном случае a — это возможное значение картографической площади острова, а букву A будем использовать для обозначения площади неопределенной величины.

Обозначив через B и F' положительные константы (показатель и префактор, соответственно), получим следующее, весьма замечательное, соотношение между площадью и количеством:

.

Если мы захотим приписать кому-либо честь открытия этого правила, то лучше всех, пожалуй, подходит кандидатура И. Корчака [279] (хотя, по его утверждению, B=1/2, что я считаю невероятным и не обоснованным представленными в статье данными). Более того, значение B различно для различных регионов и всегда больше 1/2. Позвольте мне теперь показать, что вышеприведенный обобщенный закон является аналогом распределения, полученного нами в главе 8 для длин пустот в канторовой пыли.

КОНТИНЕНТ И ОСТРОВА КОХА. ИХ РАЗЛИЧНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ.

Для построения коховского аналога канторовых пустот я разбиваю генератор на два не связанных друг с другом элемента. Чтобы получаемая фрактальная кривая оставалась интерпретируемой как береговая линия, генератор включает в себя связную ломаную, состоящую из N_c<N звеньев и соединяющую концевые точки интервала [0, 1]. Этот элемент мы назовем берег-генератором, так как он определяет, каким образом изначально прямое побережье преобразуется в побережье фрактальное. Оставшиеся N−N_c звеньев образуют замкнутую петлю, которая «порождает» острова и называется поэтому остров-генератором. Ниже приводится пример такого составного генератора:

На последующих этапах построения субострова всегда находятся у левой половины берег-генератора (при движении от 0 к 1) и остров-генератора (при движении по часовой стрелке).

Первая неожиданность: предельный фрактал в этом случае характеризуется двумя различными размерностями. Собрав вместе береговые линии всех островов, получим D=lnN/ln(1/r), однако береговая линия каждого отдельного острова имеет размерность , причем соблюдается неравенство.

1≤D_c<D.

Суммарная береговая линия, не будучи связной, является сама по себе не кривой, а бесконечной суммой (Σ) замкнутых кривых (петель). Предлагаю ввести для ее обозначения термин сигма-петля (или σ- петля).

Заметим, что моделирование полученного соотношения между D и D_c при описании реальных островов требует некоторых дополнительных допущений, кроме, разумеется, тех случаев, когда его можно вывести из соответствующей теории (см. главу 29).

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДИАМЕТРОМ И КОЛИЧЕСТВОМ.

Доказательство применимости закона Корчака к островам, рассмотренным в последнем разделе, проще всего осуществляется тогда, когда генератор включает в себя один остров, а терагоны избегают самопересечений. (Напомню, что терагонами называются аппроксимирующие ломаные линии.) В этом случае на первом этапе создается один остров — обозначим его «диаметр», определяемый √a, через λ₀. На втором этапе образуется N островов диаметра rλ₀, а результатом m-го этапа будет N^m островов диаметра λ=r^mλ₀. В целом, всякий раз, как λ умножается на r, количество островов умножается на N. Следовательно, распределение Λ (для всех значений λ вида r^mλ₀) описывается выражением.

,

Ключевым показателем в котором является фрактальная размерность береговой линии! Как следствие:

, где B=D/2;

Т. е. мы самостоятельно вывели закон Корчака. При других значениях λ или a получится ступенчатая кривая, знакомая нам по главе 8, где она описывала распределение длин канторовых пустот.

Результат не зависит ни от N_c, ни от D_c. Его можно распространить на тот случай, когда генератор включает в себя два или более островов. Заметим, что эмпирически полученное значение B для всей Земли составляет величину порядка 0,6, что весьма близко к половине размерности D, полученной измерением длин береговых линий.

ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ Е > 2.

Применив наше построение к пространству, мы убедимся в том, что E-мерный диаметр, определяемый как (объем)^1/E, подчиняется гиперболическому выражению вида , ключевым показателем в котором снова является D.

Показатель D оказывается определяющим и в особом случае канторовой пыли (E=1), однако здесь имеется одно существенное отличие. Длина за пределами канторовых пустот обращается в нуль, тогда как площадь за пределами «коховых островов» вполне может быть положительной (как, впрочем, чаще всего и бывает). К этому предмету мы вернемся в главе 15.

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО КАК МЕРА ФРАГМЕНТАЦИИ.

Вышеописанное построение допускает следующее изменение генератора:

Общая величина D остается неизменной, однако береговая размерность D_c принимает наименьшее возможное значение, D_c=1. То есть в рамках этой модели береговые линии островов могут быть спрямляемы! В этом случае общая величина D определяет не степень иррегулярности, а единственно степень фрагментации. Размерность D характеризует здесь не извилистость отдельных кривых, а целое соотношение между количеством прямоугольных островов в бесконечном семействе и их площадью.

При измерении длины кривой шагом ε результат все еще стремится к бесконечности при ε→0, однако теперь для этого имеется другая причина. Шагом длины ε можно измерять только острова, диаметр которых не меньше ε. Однако по мере того, как ε→0, число таких островов возрастает, и измеренная длина изменяется пропорционально ε^1−D — точно так же, как и в отсутствие островов.

В общем случае D_c>1, значение D_c характеризует только степень иррегулярности, в то время как D описывает степень иррегулярности и фрагментации в совокупности.

Фрагментированная фрактальная кривая может иметь касательные в любой точке. Закруглив углы островов, можно добиться того, что к береговой линии в любой ее точке можно будет провести касательную, причем площади островов — а с ними и общая размерность D — останутся неизменными. Таким образом, фрактальность σ- кривой и отсутствие у кривой касательных — вовсе не одно и то же.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ ОСТРОВОВ.

Безвредная расходимость. При a→0 количество островов стремится к бесконечности. Следовательно, закон Корчака вполне согласуется с нашим первоначальным наблюдением относительно практически бесконечного числа островов.

Относительная площадь наибольшего острова. Этот последний факт приемлем математически только потому, что суммарная площадь очень маленьких островов конечна и пренебрежимо мала, с Общая площадь всех островов, площадь каждого из которых меньше ε, изменяется пропорционально значению интеграла функции на интервале от 0 до ε. Так как B<1, интеграл сходится, и его значение стремится к нулю по мере уменьшения ε. ►

Следовательно, относительный вклад самого большого острова в суммарную площадь всех островов стремится к некоторому положительному пределу по мере того, как увеличивается количество островов. Он отнюдь не является асимптотически пренебрежимым.

Относительная длина самой длинной береговой линии. С другой стороны, если D_c=1, то длины побережий оказываются распределены по гиперболическому закону с показателем D>1. То есть суммарная длина береговой линии маленьких островов становится бесконечной. По мере того, как продвигается построение и увеличивается число островов, длина побережья наибольшего острова становится величиной относительно пренебрежимой.

Относительно пренебрежимые множества. В более общем виде неравенство D_c<D выражает то обстоятельство, что длина кривой, построенной только с помощью генератора береговой линии, пренебрежимо мала по сравнению с длиной всего побережья. Аналогичным образом, прямая (D=1) пренебрежимо мала по сравнению с плоскостью (D=2). Примерно по той же причине, по какой точка, выбранная наугад на плоскости, практически никогда не попадает на ось x, точка, выбранная наугад на «сердцевинном» острове, со всех сторон окруженном субостровами, почти никогда не приходится на его береговую линию.

В ПОИСКАХ БЕСКОНЕЧНОГО КОНТИНЕНТА.

В масштабно-инвариантной Вселенной различие между островом и континентом не может основываться на традиции или «относительном размере». Единственный разумный подход состоит в том, чтобы определить континент как особый остров бесконечного диаметра. Ниже я намерен показать, что построения, приведенные в начале главы, практически никогда не генерируют континентов. < Для тех, кто знаком с теорией вероятности: вероятность того, что такое построение даст в итоге континент, равна нулю. ►

При разумном подходе к поискам континента следует отказаться от раздельного выбора инициатора и генератора. С этого момента нам придется использовать один и тот же генератор и для интерполяции, и для экстраполяции. Процесс осуществляется в несколько последовательных этапов, каждый из которых разбивается на шаги. Он очень напоминает экстраполяцию канторова множества в главе 8, однако заслуживает более подробного описания.

Первый шаг укрупняет выбранный нами генератор в отношении 1/r. На втором этапе мы некоторым образом «помечаем» одно из звеньев увеличенного генератора. На третьем — смещаем увеличенный генератор так, чтобы помеченное звено совпало с интервалом [0, 1]. Четвертый и последний этап заключается в интерполяции оставшихся звеньев увеличенного генератора.

Процесс повторяется до бесконечности, причем его течение и результат определяются последовательностью положений «помеченных» звеньев. Эта последовательность может принимать различные формы.

Для получения первой формы берег-генератор должен включать в себя некоторое положительное число N_c−2 «некрайних» звеньев, которые, по определению, принадлежат генератору, но не содержат его концевых точек (0 или 1). Если мы последовательно помечаем некрайние звенья, каждый этап экстраполяции растягивает исходный участок береговой линии и в пределе приводит к включению этого участка во фрактальное побережье бесконечной протяженности в обоих направлениях. Следовательно, построение континентальной береговой линии, исходя из таких начальных условий, вполне возможно.

Вторая форма: всегда помечаем какое-либо из крайних звеньев берег-генератора, причем каждая из двух возможностей выбирается бесконечное количество раз. В этом случае исходный участок побережья также растягивается до бесконечности. Если каждый раз выбирать одно и то же звено, береговая линия будет удлиняться только в одном направлении.

Чтобы получить третью форму, будем всегда помечать звено, принадлежащее остров-генератору. Тогда остров, который до экстраполяции был самым большим, окажется вблизи берегов большего острова; после следующего этапа этот больший остров окажется у берегов еще большего острова, и т. д. до бесконечности. Континента при таком построении мы не получим вовсе.

В следующем замечании мы воспользуемся некоторой толикой «вероятностного здравого смысла», который, должно быть, не чужд ни одному читателю. Предположим, что помечаемое звено выбирается посредством броска N-гранной кости. Для того, чтобы получить при экстраполяции континент, необходимо, по всей видимости, чтобы всякая метка после некоторого конечного (k-ro) этапа попадала на одно из N_c−2 некрайних звеньев берег-генератора. Назовем эти звенья «выигрышными». Чтобы после k этапов иметь уверенность в том, что мы получим в итоге континент, мы должны быть уверены, что каждый последующий бросок нашей кости без единого исключения окажется выигрышным. Такая удача, безусловно, возможна, однако вероятность ее стремится к нулю.

КОМБИНАЦИИ ОСТРОВОВ, ОЗЕР И ДЕРЕВЬЕВ.

Так как острова Коха взаимоподобны, их диаметр Λ можно переопределить как расстояние между двумя любыми заданными точками, которые лучше всего выбирать на береговой линии. Кроме того, при получении соотношения между диаметром и количеством мы пользовались, в основном, наличием у генератора береговой части. Тем же обстоятельством, что оставшиеся звенья генератора образуют острова, или тем, что они избегают самопересечений, мы так по-настоящему и не воспользовались. Таким образом, соотношение.

.

Имеет очень широкую область применения. < Можно даже отказаться от непременного условия отсутствия пересечений терагонов, образованных двумя интервалами. ► Покажем теперь на примерах, как конфигурация N−N_c исходных звеньев может повлиять на топологию образующегося фрактала.

Комбинация островов и озер. Ранее мы располагали остров- генератор слева и в направлении по часовой стрелке. Попробуем теперь расположить его также в направлении по часовой стрелке, но справа. В результате вместо островов мы получим озера. Кроме того, можно включить в один генератор u острова, u озера. В обоих случаях предельный фрактал представляет собой σ-петлю, компоненты которой вложены друг в друга. Рассмотрим, например, генератор.

Если инициатором служит квадрат, мы получим на некотором отдаленном этапе построения следующий терагон:

Неуловимый континент. На вышеприведенном рисунке можно видеть, что длина стороны инициатора вносит не присущий генератору внешний порог. Более последовательным решением будет экстраполировать эту длину, как мы поступили в случае островов без озер. Однако и в этом случае мы можем быть почти уверены, что мы получим не континент, а лишь бесконечно вложенные друг в друга острова и озера.

Соотношение между площадью и количеством. При определении площади острова (или озера) можно исходить либо из общей площади фигуры, либо из площади суши (или воды) в пределах береговой линии. Эти две величины связаны между собой постоянным коэффициентом, т. е. влияют на количество через его префактор F', а не через показатель D/2.

Комбинация интервалов и деревьев. Допустим теперь, что оставшиеся N−N_c звеньев образуют либо ломаную с двумя свободными концами, либо дерево. В обоих случаях фрактал разделяется на бесконечное множество не связанных между собой элементов, каждый из которых представляет собой кривую. Такую сг-кривую уже нельзя считать σ-петлей; уместнее, пожалуй, будет назвать ее σ-деревом или σ-интервалом.

ПОНЯТИЕ КОНТАКТНОГО КЛАСТЕРА.

Генератор может также сочетать в себе петли, ветви и разные другие топологические конфигурации. Связные части предельных фракталов, получаемых при таком построении, напоминают кластеры из теории перколяции (как будет показано позже в этой главе) и из многих других областей физики. Для нас использование термина «кластер» чрезвычайно неудобно, так как совсем недавно (при рассмотрении пылевидных множеств в главе 9) мы вкладывали в него несколько иной смысл. Стало быть, необходим более точный и — как следствие — более громоздкий термин. Я решил остановиться на словосочетании «контактный кластер». Хорошо еще, что в термине «сг-кластер» нет такой двусмысленности.

(Можно заметить, что контактный кластер имеет однозначное и естественное математическое определение, тогда как понятие кластеризации в пыли размыто и интуитивно и определяется, в лучшем случае, через весьма спорные статистические законы.).

Контактные кластеры, заполняющие плоскость. В случае, когда размерность D достигает своего максимума D=2, остаются в силе рассуждения из предыдущего раздела, однако возникает необходимость в кое-каких добавочных замечаниях. Каждый отдельный кластер стремится к некоторому пределу, который может представлять собой прямую или — как бывает чаще всего — фрактальную кривую. С другой стороны, все кластеры в совокупности образуют σ-кривую, ответвления которой заполняют плоскость в высшей степени плотно. В пределе эта σ-кривая ведет себя подобно кривым из главы 7: она перестает быть кривой и становиться областью плоскости.

Неуловимый бесконечный кластер. Данный подход ни в коем случае не подразумевает возможности образования действительно бесконечного кластера. Можно легко построить топологию генератора таким образом, чтобы любая данная ограниченная область была почти наверняка окружена контактным кластером. Этот кластер, в свою очередь, почти наверняка окажется окружен большим кластером и т. д. Размер кластера сверху ничем не ограничен. В более общем виде: если кластер представляется бесконечным только потому, что он окружает очень большую область, то стоит лишь вспомнить о том, что сам он окружен кластером еще большего размера, и конечный размер любого кластера перестанет вызывать сомнения.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ МАССОЙ И КОЛИЧЕСТВОМ. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ВЗВЕШЕННЫМ ДИАМЕТРОМ И КОЛИЧЕСТВОМ. ПОКАЗАТЕЛИ D-D_C И D/D_C.

Переформулируем функцию двумя способами: первый состоит в замене диаметра кластера λ его массой μ, второй — в назначении единице размера контактного кластера некоторого веса.

Массой кластера здесь называется просто количество звеньев длины b^−k в самом кластере (только не считайте звенья внутри петельных кластеров). В сущности (см. главы 6 и 12), мы строим несколько модифицированную сосиску Минковского (рис. 57), размещая в каждой вершине квадрат со стороной b^−k и добавляя по половине квадрата к каждой концевой точке.

Масса кластера диаметра Λ равна площади его модифицированной сосиски, . Поскольку D_c<2, масса M стремится к нулю при k→∞. Масса всех контактных кластеров в совокупности пропорциональна ; при D<2 она также стремится к нулю. Что касается относительной массы каждого отдельного кластера, то она пропорциональна ; скорость ее стремления к нулю возрастает при увеличении значения разности D−D_c.

Соотношение между массой и количеством. Очевидно, что.

,

Распределение диаметра, наделенного массой. Заметим, что величина представляет собой количество строк, расположенных выше строки с номером λ в списке, в котором перечисляются контактные кластеры в порядке уменьшения их размеров. Однако сейчас нам необходимо сопоставить каждому контактному кластеру количество строк, равное его массе. Как нетрудно убедиться, окончательное выражение имеет вид.

.

МАССОВЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬ Q=2D_C-D.

Обозначим фрактал размерности D, рекурсивно построенный из инициатора [0, Λ], через F и примем его общую массу за Λ^D. Если F — канторова пыль, то, как нам известно из главы 8, масса M(R), содержащаяся в диске радиуса R<Λ с центром в нуле, пропорциональна R^D. < Величина представляет собой периодическую функцию от log_b(Λ/R), однако мы не станем задерживаться на этих сложностях, так как они исчезают, стоит лишь модифицировать фрактал таким образом, чтобы все значения r>0 оказались допустимыми коэффициентами самоподобия. ►

Мы знаем, что правило применимо также к кривой Коха (см. главу 6). Кроме того, оно распространяется и на рекурсивные острова и кластеры, рассматриваемые в этой главе, только D следует заменить на D_c. Во всех случаях масса, содержащаяся в диске радиуса R с центром в нуле, определяется выражением.

,

Гдеφ — функция, выводимая из формы фрактала F. В частности:

При R≪Λ;

При R≫Λ.

Рассмотрим теперь среднее взвешенное значение M(R) в случае, когда Λ изменяется в соответствии с весьма широким гиперболическим распределением , и обозначим это среднее через . Известно, что 1≤D_c<D≤2. Исключив сочетание D=2 и D_c=1, можно записать 0<D−D_c<D_c. Следовательно,

, где Q=2D_c−D>0.

Когда центр диска находится не в точке 0, а в какой-либо другой точке фрактала F, изменяется только коэффициент пропорциональности, тогда как показатель остается неизменным. Не изменяется он и при усреднении по всем положениям центра в F, и при замене интервала [0, 1] другим инициатором. < Обычно берут дугу кривой произвольной длины Λ и произвольной же формы. Вышеприведенные формулы для M(R,Λ) применимы и для , усредненного по всем формам. Окончательный результат всегда одинаков. ►

Замечание. Предыдущее рассуждение никак не зависит от топологии кластеров — они могут быть петлями, интервалами, деревьями или чем-нибудь еще.

Вывод. Формула показывает, что при гиперболическом распределении величины Λ и, как следствие, очень широком ее разбросе, одну из существенных ролей размерности берет на себя некий показатель, отличный от D. Обычно он равен 2D_c−D, однако различные весовые функции дают различные показатели Q.

Предостережение: не всякий массовый показатель является размерностью. Составная величина Q представляет собой весьма важную характеристику. А так как это массовый показатель, возникает искушение назвать его размерностью, однако это искушение ничем не обосновано. При слиянии различных кластеров с одинаковой размерностью D_c, но разными Λ, D_c не изменяется, поскольку размерность — это не свойство совокупности различных множеств, но свойство каждого отдельного множества. И D, и D_c являются фрактальными размерностями, a Q — нет.

Обобщая, можно сказать, что во многих областях физики известны соотношения вида однако сама по себе эта формула еще не гарантирует того, что Q непременно будет фрактальной размерностью. Называть же Q эффективной размерностью, как предлагают некоторые авторы, все равно, что попусту сотрясать воздух, так как Q не обладает ни одним из остальных свойств, характеризующих D как размерность (например, суммы или произведения размерностей D имеют смысл, которому нет аналогов в случае Q). Более того, эти пустые слова оказываются источником возможных недоразумений.

РАССРЕДОТОЧЕННЫЕ КЛАСТЕРЫ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ПРИ СТВОРАЖИВАНИИ.

Существует еще два метода построения контактных кластеров. Первый основан на створаживании и применим в случае D<2, второй использует кривые Пеано и пригоден для случая D=2. Читатели, интересующиеся перколяцией, могут пропустить этот и следующий за ним разделы.

Начнем с замены построения Коха естественным обобщением кан- торова створаживания на плоскость. В качестве иллюстрации на нижеследующем рисунке представлены пять примеров генераторов, под которыми помещены последующие этапы построения:

Во всех этих случаях предельный фрактал имеет нулевую площадь и не содержит внутренних точек. Его топология зависит от формы генератора и может быть весьма разнообразной.

В случае генератора A предтворог на каждом этапе построения представляет собой связное множество, а предельный фрактал оказывается кривой — примером может служить чрезвычайной важности конструкция (называемая ковром Серпинского), которую мы подробно рассмотрим в главе 14.

В случае генератора Д предтворог распадается на несвязные участки, максимальный линейный масштаб которых неуклонно уменьшается по мере того, как k→∞. Предельный фрактал представляет собой пыль, аналогичную той, что мы наблюдали в модели Фурнье (глава 9).

Генераторы Б, В и Г более интересны: здесь предтворог распадается на части, которые мы назовем предкластерами. Можно сказать, что на каждом этапе «старые» предкластеры преобразуются в более тонкие и извилистые конструкции и появляются «новые» предкластеры. Посредством тщательного выбора генераторов мы добиваемся того, что каждый новорожденный предкластер оказывается целиком заключен в одной-единственной ячейке наимельчайшей решетки предыдущего этапа построения. По контрасту с «перекрестно сосредоточенными кластерами» следующего раздела я предлагаю назвать эти кластеры «рассредоточенными». Таким образом, размерность предельных контактных кластеров имеет вид lnN_c/lnb, где N_c — целое число, не превышающее количества ячеек в самом большом компоненте генератора. Значение N_c достигает своего максимума, т. е. становится равным количеству ячеек, в случае генераторов Б и В, чьи контактные кластеры представляют собой, соответственно, интервалы с D_c=1 и фрактальные деревья с D_c=ln7/ln4. Во фрактале же, построенном с помощью генератора Г, величина N_c максимума не достигает: в этом случае F-обрачные предкластеры продолжают разделяться на все более мелкие части, и в пределе мы снова получаем прямые интервалы с D_c=1.

Соотношение между диаметром и количеством и другие выводы предыдущего раздела остаются в силе и в том случае, если заменить псевдо-сосиску Минковского совокупностью ячеек со стороной b^−k, частично совпадающей с каким-либо контактным кластером.

ПЕРЕКРЕСТНО СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ КЛАСТЕРЫ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ПРИ СТВОРАЖИВАНИИ.

Придадим генератору плоского створаживания одну из приведенных ниже форм (справа от каждого генератора показан результат следующего этапа построения):

Оба случая демонстрируют массивное «перекрестное сосредоточение», т. е. каждый новорожденный предкластер соединяет в себе элементы, принадлежащие на предыдущем этапе построения нескольким ячейкам наимельчайшей решетки.

В контексте кохова построения аналогичная ситуация возникает в том случае, когда допускается самокасание терагонов, в результате чего происходит слияние малых кластеров. В обоих случаях анализ довольно громоздок, и мы не можем останавливаться на нем подробно. Скажем лишь, что для малых λ соотношение остается верным.

< Если кто-нибудь все же попытается оценить величину D на основании этого соотношения, не исключив из рассмотрения больших λ, то полученная оценка будет систематически отклоняться от истинного значения, оказываясь, как правило, меньше него. ►

Величина приобретает новые, неизвестные ранее свойства. Нет, например, необходимости в том, чтобы она обязательно была целым числом, выводимым из формы генератора путем простого наблюдения; она может быть и дробью. Причина заключается в том, что каждый контактный кластер сочетает в себе: (а) целое число своих собственных версий, уменьшенных с коэффициентом 1/b, и (б) множество уменьшенных версий, возникающих при сосредоточении, причем коэффициентами подобия здесь являются меньшие соотношения вида . Переписав генерирующее размерность уравнение (см. с. 87) в переменных x=b^−D, получим уравнение . Случаи, когда 1/x — целое число, могут рассматриваться лишь как исключения.

ПРИРУЧЕНИЕ ЗАУЗЛЕННЫХ ЧУДОВИЩ ПЕАНО.

Створаживанием нельзя получить заполняющую плоскость совокупность кластеров (D=2), однако я обнаружил возможность альтернативного подхода к задаче: нужно лишь воспользоваться кривыми Пеано — правда, несколько иными, нежели те, что были приручены в главе 7. Как читатель, несомненно, помнит, кривые Пеано, терагоны которых избегают самопересечений, порождают деревья рек и водоразделов. Другие терагоны Пеано (например, терагоны на рис. 95, если оставить углы нескругленными) представляют собой просто заполненные ячейки решетки. По мере продолжения построения пустые ячейки, разделяемые такими кривыми, «сходятся» в повсюду плотную пыль (например, состоящую из точек, ни одна координата которых не кратна b^−k).

Между этими крайностями существует еще один весьма интересный класс кривых Пеано. Ниже представлен примерный генератор одной такой кривой вместе с результатом следующего этапа построения:

Теперь мы готовы приручить и этот класс кривых Пеано. На рисунке видно, что каждая точка самокасания «заузливает» открытый предкластер, который затем может обзавестись ветвями и точками самокасания, потерять при «разузливании» некоторые части самого себя и, в конце концов, превратиться в тонкую и в высшей степени разветвленную кривую, определяющую контактный кластер. Согласно нашему определению, данному в предыдущих разделах, диаметр кластера Λ остается постоянным с момента его рождения и приблизительно равен длине стороны «породившего» кластер квадрата. Его распределение подчиняется уже известному нам соотношению .

Заметим мимоходом, что в отличие от коховых контактных кластеров, которые являются пределами рекурсивно построенных кривых, данные кластеры представляют собой пределы (в своем роде) открытых компонентов дополнения кривой.

КЛАСТЕРЫ В БЕРНУЛЛИЕВОЙ ПЕРКОЛЯЦИИ.

Какой бы метод ни использовался при генерации фрактальных контактных кластеров с размерностями D=E и D_c<D, они представляют собой геометрическую модель, в которой до недавних пор весьма нуждались физики для разрешения одной очень важной проблемы — бернуллиевой перколяции сквозь решетки. Дж. М. Хаммерсли, сформулировавший и первым исследовавший эту проблему, не употреблял в данном контексте имени Бернулли, однако из-за фрактальной перколяции, с которой мы встретимся в главе 23, нам придется здесь пользоваться полным термином. (Этот термин был также принят в [530], причем независимо от меня.).

Литература. Всем желающим рекомендую следующие обзорные материалы по бернуллиевой перколяции: [520], [112] (особенно хороша глава, написанная Дж. У. Эссамом), [266], [98], [536] и [134].

Определения. Понятие перколяции включает в себя некоторые элементы из теории вероятности, поэтому, если быть до конца последовательными, нам не следовало бы обсуждать его на данном этапе. Однако некоторая толика непоследовательности приносит порой неплохие результаты. Простейшей задачей о перколяции для случая E=2 является перколяция по связям на квадратной решетке. Для упрощения картины представим себе большую квадратную решетку, составленную из двух видов стержней: одни сделаны из изолирующего винила, другие — из электропроводящей меди. Такая решетка может считаться решеткой Бернулли, если каждый стержень выбран совершенно случайно, независимо от других стержней, причем вероятность выбора проводящего стержня равна p. Наибольшие скопления связанных между собой медных или виниловых стержней называются, соответственно, медными или виниловыми кластерами. Если решетка содержит хотя бы одну непрерывную цепочку медных стержней, электрический ток сможет пройти всю решетку насквозь, от одного края до другого. В таких случаях говорят, что решетка перколирует. (От латинского per «сквозь» и colare «течь».) Все стержни, находящиеся в неразрывном электрическом контакте одновременно с верхним и нижним краями решетки, образуют «перколяционный кластер», а стержни, непосредственно участвующие в передаче, составляют так называемую «магистраль» кластера.

Обобщение на решетки другой формы и на структуры с E>2 очевидно.

Критическая вероятность. Наиболее замечательная находка Хаммерсли имеет отношение к особой роли некоторой пороговой вероятности или, как он ее назвал, критической вероятности p_крит. Эта величина появляется на сцене, когда размер решетки Бернулли (измеряемый числом стержней) стремится к бесконечности. Оказывается, когда p>p_крит, вероятность существования перколяционного кластера возрастает с размером решетки и стремится к единице. Когда же p<p_крит, вероятность перколяции устремляется к нулю.

Поскольку в случае перколяции по связям на квадратных решетках дело обстоит таким образом, что либо медь, либо винил должны перколировать, то p_крит=1/2.

Аналитическая масштабная инвариантность. Изучение перколяции уже довольно давно вылилось в поиски аналитических выражений, которые связали бы между собой стандартные физические величины. Выяснилось, что все эти величины обладают свойством масштабной инвариантности в том смысле, что отношения между ними задаются степенными законами. При p≠p_крит масштабная инвариантность сохраняется вплоть до внешнего порога, величина которого зависит от p−p_крит и обозначается через ξ. По мере того, как p→p_крит, порог ξ→∞. Физики постулируют (см. [536], с. 21), что величина следует правилу, полученному нами на с. 180.

ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КЛАСТЕРОВ.

Форма кластеров. Допустим, что p=p_крит, а длина каждого отдельного стержня уменьшается, в то время как общий размер решетки остается постоянным. Кластеры при этом становятся все более тонкими («кожа да кости»), все более извилистыми и разветвленными. В частности [293], количество стержней, расположенных вне кластера, но по соседству с каким-либо стержнем, принадлежащим кластеру, приблизительно пропорционально количеству стержней внутри кластера.

Гипотеза о фрактальных кластерах. Вполне естественно предположить, что масштабная инвариантность — свойство не только аналитическое, но распространяется и на геометрию кластеров. Однако эту идею нельзя осмыслить средствами стандартной геометрии, поскольку кластеры отнюдь не являются прямыми линиями. Фрактальная же геометрия, можно сказать, просто создана для устранения таких трудностей: как следствие, я высказал предположение, что кластеры можно представить в виде фрактальных σ-кривых, удовлетворяющих равенствам D=2 и 1<D_c<D. Это предположение было принято и оказалось весьма плодотворным. Подробнее мы рассмотрим его в главе 36.

< Строго говоря, масштабно-инвариантные фракталы были призваны представлять только те кластеры, которые не усечены границей исходной решетки. Это исключает из рассмотрения сам перколяционный кластер. (Термин кластер обладает чудесным даром создавать путаницу, вы не находите?) Для объяснения возникающего осложнения представим себе чрезвычайно большую решетку, выберем на ней какой-нибудь кластер и квадрат меньшего размера, наложенный на этот кластер. По определению, пресечение кластера и квадрата включает в себя меньший перколяционный кластер, однако оно же включает в себя и «остаток», который соединяется с меньшим перколяционным кластером посредством связей, находящихся вне квадрата. Заметим, что пренебрежение этим остатком смещает вниз оценку D_c. ►

Неслучайные фрактальные модели — очень приближенные, но конкретные. Для того, чтобы утверждение о фрактальной природе какого-либо естественного феномена было обоснованным, его следует сопроводить описанием конкретного фрактального множества, которое могло бы послужить моделью этого явления в первом приближении или хотя бы дать нам возможность представить его перед мысленным взором. Моя модель береговых линий, основанная на кривых Коха, или модель галактических скоплений Фурнье показывают, что такое приближенное неслучайное представление может оказаться весьма полезным. Я полагаю также, что рекурсивно построенные контактные кластеры (подобные тем, что рассматриваются в этой главе) могут снабдить нас полезными фрактальными моделями слабо изученного естественного феномена, который обычно моделируется кластерами Бернулли.

Однако сами кластеры Бернулли полностью изучены (по крайней мере, принципиально), и следовательно, их моделирование с помощью явных рекурсивных фракталов представляет собой несколько иную задачу. Рассмотренные мною коховы контактные кластеры для этого случая не годятся из-за асимметрии между виниловыми и медными стержнями, которая сохраняется даже при равных количествах стержней обоих видов. Далее на очереди заузленные кластеры Пеано. Возьмем терагон на некотором отдаленном этапе построения и покроем ячейки, расположенные слева от кривой, медью, а остальные — винилом. Результат представляет собой форму перколяции относительно ячеек решетки (или их центров, называемых узлами). Задача становится симметричной. Однако она отлична от задачи Бернулли, так как получаемая конфигурация медных и виниловых ячеек очень отличается от той, какой она могла бы быть при независимом их распределении: например, в бернуллиевой решетке девять ячеек, образующих суперквадрат, могут целиком состоять из меди или винила, тогда как в случае заузленной кривой Пеано это невозможно. (С другой стороны, обе модели позволяют группам из четырех ячеек, образующих суперквадрат, принимать любые возможные конфигурации.) Эта разница имеет далеко идущие последствия: например, в задаче о бернуллиевой перколяции по узлам с p=1/2 не перколируют ни медь, ни винил, тогда как в случае заузленных кластеров Пеано перколируют и медь, и винил (учитывая, что p=1/2 — критическая вероятность).

Перечень вариантов бернуллиевой перколяции по связям уже довольно обширен и может быть с легкостью продлен. Я же успел рассмотреть множество вариантов рекурсивно построенных фрактальных контактных кластеров. Детальное сравнение этих двух перечней, к сожалению, заняло бы слишком много места, и потому я не стану приводить его здесь.

Позвольте мне ограничиться весьма расплывчатым выводом о том, что фрактальная сущность задачи о бернуллиевой перколяции в значительной степени иллюстрируется неслучайными заполняющими пространство σ-кластерами, определенными ранее в этой главе. Основная слабость данной модели заключается в том, что за пределами уже сказанного она остается совершенно неопределенной. Ее можно подогнать к любой степени иррегулярности и фрагментации. На предмет топологии см. главу 14.

Модель критических кластеров. Рассмотрим, в частности, критические кластеры, определяемые как кластеры при p=p_крит. Для их представления экстраполируем рекурсивный σ-кластер, как показано ранее в этой главе. Затем, остановив интерполяцию, усечем его таким образом, чтобы положительный внутренний порог оказался равен размеру ячейки в исходной решетке.

Модели некритических кластеров. Для того, чтобы распространить эту геометрическую картину на некритические кластеры, т. е. на кластеры при p≠p_крит, нам необходимы фракталы с положительным внутренним и конечным внешним порогами. Аналитические рассуждения показывают, что протяженность наибольшего медного кластера составляет величину порядка ξ при p<p_крит и уходит в бесконечность при p>p_крит. Оба варианта легко осуществимы. Можно, например, начать с того же генератора, что и в предыдущем подразделе, однако вместо естественной его экстраполяции, подставим в качестве инициатора одну из следующих фигур:

Докритические кластеры. Инициатор на рисунке слева (построенный с таким расчетом, чтобы p<p_крит) составлен из квадратов с длиной стороны ξ/2. Применяя выбранный генератор к левым сторонам квадратов, будем помещать его внутри квадратов, во всех же остальных случаях — снаружи. Квадрат инициатора превратится при этом в нетипичный кластер протяженности ξ, окруженный множеством типичных кластеров протяженности <ξ.

Сверхкритические кластеры. Инициатор на рисунке справа (построенный так, чтобы p>p_крит) составлен из тех линий исходной квадратной решетки, координаты которых (x или y) являются четными целыми числами. Из каждого узла (координаты которого являются четными целыми числами) исходят по четыре связи; выбранный генератор всегда помещается слева. В особом случае, когда берег-генератор не содержит ни петель, ни свободных концов, получающаяся картинка представляет собой дерандомизированный и систематизированный вариант грубой модели кластеров, основанной исключительно на «узлах и связях».

Заметим, что фрактально-геометрическое представление выводит некритические кластеры из критических, в то время как физики предпочитают рассматривать критические кластеры как предельный случай некритических кластеров при ξ→∞.

РАЗМЕРНОСТЬ D_С КРИТИЧЕСКИХ БЕРНУЛЛИЕВЫХ КЛАСТЕРОВ.

Значение D_c непосредственно выводится либо из показателя D/D_c=E/D_c в формуле для , либо из показателя Q=2D_c−D=2D_c−E в формуле для . Введя греческие буквы τ, σ и η в обычном для данного контекста значении, получим и 2D_c−E=2−η. Отсюда.

И .

Благодаря установленным физиками соотношениям между величинами τ, σ и η, мы знаем, что вышеприведенные формулы для D_c эквивалентны. И наоборот, их эквивалентность имеет не только физические корни, поскольку следует из геометрических соображений.

Харрисон, Бишоп и Куинн [198], Киркпатрик [267] и Штауффер [536] независимо друг от друга получили одинаковое значение D_c. Они отталкиваются от свойств кластеров при p>p_крит и, как следствие, выражают полученный результат с помощью различных критических показателей (β, γ, v и σ). За их рассуждениями не стоит никакой конкретной фрактальной картины. Примером опасностей, таящихся в таком подходе (относительно которого я уже предостерегал ранее в этой же главе), может послужить тот факт, что он привел Стенли [533] к заключению: величины Q и D_c являются одинаково законными размерностями.

В случае E=2 численное значение D_c равно 1,89. Оно согласуется с эмпирическими свидетельствами, полученными с помощью определенной процедуры, знакомой нам по другим задачам. Возьмем некоторую величину r, которая, кстати, вовсе не обязана иметь вид 1/b, где b — целое число. Теперь возьмем большой вихрь, который в сущности представляет собой квадратную или кубическую решетку со стороной 1. Покроем его субвихрями со стороной r, сосчитаем количество N квадратов или кубов, пересекающих кластер, и вычислим приближенное значение размерности lnN/ln(1/r). Повторим процесс с каждым непустым субвихрем со стороной r, покрыв его субсубвихрями со стороной r₂. И так далее, по возможности большее число раз. Наиболее осмысленные результаты дает r, близкое к 1. В некоторых ранних экспериментах [391, 192] была получена смещенная оценка D⁺~1,77, однако последующее, более обширное, моделирование [537] подтвердило теоретическое значение D.

< Смещенное экспериментальное значение D⁺ очень близко к Q; на какой-то миг может даже показаться, что это подтверждает теоретические рассуждения [534] и [391], которые ошибочны в том, что объявляют величину Q размерностью. Мое внимание на эту ошибку обратил С. Киркпатрик. Еще одну, более раннюю, отличную от вышеприведенной, но также ошибочную оценку D можно найти в статье [293]. ►

КИПАРИСОВЫЕ РОЩИ ОКЕФЕНОКИ.

Если взглянуть с самолета на лес, за которым никто систематически не «присматривает», можно увидеть, что его граница весьма напоминает береговую линию острова. Контуры отдельных групп деревьев чрезвычайно извилисты и изрезаны, и по соседству с каждой большой группой расположены меньшие группы различного размера. Мое предположение о том, что эти формы могут подчиняться закону Ричардсона и/или/ закону Корчака, было полностью подтверждено в неопубликованном исследовании болота Окефеноки (см. [261]), предпринятом X. М. Хейстингсом, Р. Монтиччиоло и Д. вун Канноном. Наиболее изрезанными оказались контуры кипарисовых рощ (D~1,6); гораздо слабее выражена изрезанность широколиственных и смешанных лесов: размерность D их границ приближается к 1. Мои информаторы отмечают наличие впечатляющего разнообразия масштабов как при личном наблюдении, так и при изучении карт растительности. Имеется, кстати, и внутренний порог, равный приблизительно 40 акрам, — возможно, следствие особенностей аэрофотосъемки.