Классификация теорий гиперболического роста населения Земли.

Главная задача всякой теории, претендующей на объяснение какого-либо нового явления, заключается в нахождении причин, по которым это явление происходит. Что значит найти причину (причины) гиперболического роста численности населения мира? – Это значит найти объективно существующую причинную связь, определяющую некий теоретический закон, в результате непрерывного действия которого и возникает зависимость, открытая Форстером и его коллегами.

Как известно, законы делятся на эмпирические и теоретические. Эмпирическими принято называть законы, основанные на наблюдениях или экспериментах. Обычно открытию эмпирического закона предшествуют многочисленные наблюдения или эксперименты. В данном случае – это не так, т. к. рост населения Земли явление уникальное и неповторимое.

Эмпирические законы устанавливают лишь функциональную связь между свойствами, но не объясняют почему она существует. Так, закон Бойля – Мариотта определяет, что давление газа обратно пропорционально его объему, но не объясняет причину этой зависимости. Чтобы понять природу эмпирической зависимости и, следовательно, объяснить эмпирический закон приходится обращаться к теоретическому закону, который часто называют законом о ненаблюдаемых объектах.

Для объяснения закона Бойля – Мариотта нужно было обратиться к законам молекулярно-кинетической теории, которые опираются на представление о существовании и движении таких мельчайших частиц вещества как молекулы.

Для объяснения противоречащего закону всемирного тяготения аномально быстрого вращения внешних областей галактик пришлось вводить ненаблюдаемый объект непонятной природы: темную материю, обладающую скрытой массой, величина которой в пять раз превышает массу наблюдаемой барионной материи.

Для объяснения парадоксального гиперболического роста численности населения Земли может оказаться не достаточно известных биологических, экономических и социальных законов и придется вводить ненаблюдаемый объект: растущую иерархическую сеть непонятной природы, связанную с каждым членом социума.

* * *

Искомый теоретический причинный закон должен описывать процесс, протекающий во времени. Это закон роста численности «популяции» Homo sapiens, который выражается в виде зависимости ее численности от времени: N(t). Закон, который может быть сформулирован с помощью некоторых условий, например, в форме какого-то уравнения, что, впрочем, необязательно. Если исходить из самых общих представлений, то в поиске такого закона может быть намечено два подхода:

1. Первый подход – редукционистский на основе наук о человеке и обществе׃ социологических, демографических, экономических, исторических. В этом случае закон ищется в форме связи, основанной на причинной преддетерминации, когда каждое текущее состояние системы полностью определяется ее предшествующими состояниями. Причем обычно наибольшую роль играют близко отстоящие по времени, т. е. непосредственно предшествующие события.

2. Второй подход – целевой, телеологический, когда на место причинной преддетерминации встает причинная постдетерминация, при которой развитие системы подчинено определённой цели.

Кроме того, по форме этот закон может быть динамическим или статистическим (вероятностным), дифференциальным (если представлен в виде дифференциального уравнения или системы) или не дифференциальным, когда для задания причинной связи между переменными, описывающими процесс, не нужно обращаться к бесконечно малым их приращениям.

Все мыслимые модели гиперболического роста населения Земли и демографического перехода, как завершающего этапа этого роста, можно разделить на три типа:

1. ПРОСТЫЕ РЕДУКЦИОНИСТСКИЕ МОДЕЛИ.

2. СЛОЖНЫЕ СИНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.

3. ТЕЛЕОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.

Первый тип соответствует моделям, где применяется глобальный подход и рассматривается единая система «все человечество в целом», в которой нет разделения людей, составляющих в сумме главный показатель роста – численность населения Земли – по половому, возрастному, расовому, этническому и другим признакам.

Модели такого типа предельно просты и кроме главной переменной, численности, могут иметь вспомогательные в виде каких-то других показателей развития. При этом – и это следует подчеркнуть – каждая из этих переменных зависит только от численности или от скорости ее роста и не зависит ни от чего другого.

Кроме того, все эти модели основаны на простой причинной связи с преддетерминацией, когда причиной прироста численности в любой момент времени выступают события, непосредственно ему предшествующие.

За счет чего происходит рост численности населения мира? За счет естественного прироста, который равен, как известно, разности между числом родившихся и числом умерших за один год или за какой-то другой небольшой промежуток времени. Множество причин, определяющих естественный прирост, зависит от страны, времени, социального развития, культурных традиций и других факторов, влияющих на этот прирост.

В наше время большое значение имеет прогресс в области общественного здравоохранения, санитарии и гигиены, повышение доступности продовольствия, расширение и развития торговли и транспорта, введение в эксплуатацию новых источников энергии, комплекс мер, направленных на борьбу с пьянством, алкоголизмом и наркоманией, успехи геронтологии, снижение детской смертности и т. д. Ясно, что список этот не имеет конца.

Рост популяции микроорганизмов, размножающихся делением, в каждый момент времени определяется ее полной численностью. То же можно сказать и о человеческой «популяции»: численность – это главный показатель роста, и растет она по причине полового размножения. Для популяции животных главную роль здесь играет количество половозрелых самок. Для человеческого общества все неизмеримо сложнее.

Составляющая естественного прироста за счет рождаемости значительно меньше полной численности. Она не возникает из ниоткуда, а появляется в результате, если можно так выразиться, «репликации» некоторых из живущих особей. Этим процесс роста численности людей отличается, например, от процесса размножения нейтронов в цепной реакции. И именно поэтому естественный прирост есть небольшое приращение, зависящее, прежде всего, от общего числа живущих.

Модели первого типа можно считать однофакторными или однопричинными. Из множества всех существующих причин роста в каждой такой модели выделяется по тому или иному признаку подмножество, которое объявляется главной, доминирующей причиной прироста, а остальными причинами – пренебрегается.

Так, в мальтузианских моделях, где главная причина роста – это ресурсы, они и объявляются его единственной причиной. При этом считается, что выделенная моделью причина воздействуют не на отдельные страны и народы, а на все человечество в целом. Т. е. закон роста представляет собой зависимость между численностью всего человечества и какими-то другими переменными.

В моделях первого типа эта зависимость выражается в виде дифференциального уравнения или системы уравнений, связывающих (причем связь эта причинно-следственная) скорость роста с численностью. (Годовой мировой естественный прирост равен скорости роста численности.).

Если скорость роста пропорциональна численности – рост будет экспоненциальным. Если же скорость роста численности пропорциональна квадрату численности (такая зависимость называется законом квадратичного роста) – рост будет гиперболическим.

Рис. 1. Закон квадратичного роста. Скорость роста численности населения мира пропорциональна квадрату численности.

Решения уравнения или системы в однопричинной модели определяются начальными условиями, а одно из таких решений – это теоретическая гипербола. И здесь должно быть полное согласие теории и «эксперимента»: теоретической гиперболы и гиперболы Форстера.

Почти все существующие теории роста – теории первого типа. Рост численности здесь полностью определяется законом квадратичного роста. Т. е. считается, что опосредованная причинная связь между естественным приростом и численностью, механизм которой в каждой модели свой, является главной, доминирующей и достаточной для объяснения роста.

* * *

Второй тип – это модели, математический аппарат которых нелинейные дифференциальные или функционально-дифференциальные уравнения в частных производных, причем во втором случае составленные с учетом не только настоящего состояния объекта, но и всей его предыстории. В таких моделях должна исследоваться динамика роста популяции не только во времени, но и в пространстве, учитываться продолжительность жизни, показатель фертильности, какие-то другие переменные.

Главное отличие моделей второго типа от первого, где человечество единая, однородная, неделимая система в том, что здесь эта система сначала разбивается на некоторое число частей или подсистем, различающихся по тем или иным признакам, и исследуется рост и развитие каждой такой части в отдельности. И лишь затем численность народонаселения каждой такой части суммируется с другими частями в результате чего и получается теоретическая зависимость численности населения мира от времени.

Что гораздо лучше соответствует действительности, т. к. парадоксальная системность человечества, необходимая для построения любой модели первого типа, представляется совершенно невероятной. Гиперболический рост населения Земли в таких синергетических моделях, если они когда-нибудь будут построены, будет описываться как режим с обострением.

Режим с обострением – это такой закон роста, при котором одна или несколько моделируемых величин обращаются в бесконечность за конечный промежуток времени. Формируется в результате действия механизма нелинейной положительной обратной связи.

Численность населения мира будет здесь ведущей переменной и после упрощающих предположений, в асимптотике, по мнению тех, кто считает, что гиперболический рост может быть объяснен на основе синергетики, должен проявиться удивительный по своей простоте закон, открытый Форстером. (Модели второго типа должны также объяснить явление сжатия исторического времени: исторические циклы, длительность которых сокращается по закону прогрессии, о существовании которых писал историк И.М. Дьяконов.).

При этом предполагается, что хотя рост и идет по случайной гиперболе, должен существовать механизм устойчивости, который каким-то образом возвращает ведущую переменную на изначальную кривую или, по крайней мере, не слишком далеко от нее уводит. Ни одна из попыток построить модель второго типа так и не увенчалась успехом. См., например, [23]. Есть и откровенная подгонка под результаты феноменологической теории Капицы; авторы: В.А. Князева, Е.Н. Белавин, Е.С. Куркина, которая никак не может считаться адекватной моделью второго типа[72].

Вероятно, подход к этой проблеме на основе теории самоорганизации с использованием методов синергетики является предвзятым и в принципе неверным. В любом случае множество моделей второго типа остается пока пустым.

* * *

Модели третьего типа основаны на телеологической детерминации или постдетерминации. Такой тип детерминации предполагает наличие у процесса, в данном случае процесса роста численности населения мира, какой-то цели. Этот рост численности считается важнейшим, если не главным фактором, определяющим рост и развитие ноосферы, высшей стадии эволюции биосферы.

Существует ли ноосфера как система в том смысле, в каком существует Гея Лавлока? Применимы ли к ней законы нижних уровней? А может быть так же, как в концепции Геи, в ее «сильном», телеологическом варианте ноосфера как самодетерминирующаяся, причинно-активная система определяет не только свою структуру, но и направление собственной эволюции?

Любая модель третьего типа формально может быть сведена к модели первого типа, если считать рост многофакторным или многопричинным.

Рис. 2. Причинно-следственная диаграмма однопричинной и многопричинной модели роста.

В случае многопричинной модели естественный прирост также определяется, прежде всего, общей численностью, но в отличие от однопричинного варианта на него могут влиять абсолютно все возможные и, вообще говоря, случайные причины; случайные лишь в системе координат, связанной с процессами, протекающими внутри демографической системы.

При наличии же внешней управляющей системы множество причин, влияющих на рост, можно разбить на два подмножества: действительно случайные причины и причины, лишь кажущиеся случайными, а на самом деле направляющие рост на гиперболу Форстера. Т. е. здесь мы имеем дело с управляемым случайным процессом. (Возможна такая аналогия: переход парусного судна из одного порта в другой, происходящий в условиях случайно меняющихся по направлению и скорости атмосферных течений. Управляющей системой здесь будут штурман и капитан.).

Иначе говоря, множество этих причин будет максимально по́лно и никак не структурировано. Причем все они необязательно должны быть связаны с общим числом живущих. Такой подход хорошо согласуется с представлением о том, что человечество никогда не было единым информационным полем и не представляло собой системы, способной обеспечить гиперболический рост своей численности.

Оно всегда, особенно в прошедшие исторические эпохи, было разобщено, прежде всего, территориально, и рост каждого этноса, народа происходил в основном независимо от других. А естественный прирост каждой составляющей человечества как системы, т. е. каждого этноса, народа, страны (другого подмножества, выделенного по принципу общности какого-либо из его свойств) не зависел совсем или зависел слабо от общей численности населения Земли и определялся, прежде всего, своими собственными причинами.

При этом в сумме общее число живущих на интервалах, длительность которых превышает продолжительность человеческой жизни, росло по гиперболическому закону.

Существует единственная модель третьего типа, в которой гиперболический рост и демографический переход объясняются эквифинальностью главного цикла эволюции, порождающего Кондратьевский цикл. Ниже мы рассмотрим ее в качестве примера модели роста, основанной на целевой постдетерминации.

* * *

Закон гиперболического роста удивительно прост, поэтому даже сложная модель второго типа обязана иметь асимптотическое решение в виде модели первого или третьего типа. И модель эта должна быть либо однопричинной, либо многопричинной – третьего не дано.

Парадокс заключается в том, что выбор здесь происходит между невероятным и невозможным. Дилеммы можно избежать, если вообще отрицать факт гиперболического роста численности населения мира. И считать, что рост был экспоненциальным или несколько более крутым – «надэкспоненциальным». Как ни странно, такой позиции до сих придерживаются многие демографы и не только демографы, но и другие ученые, представители смежных наук.

Одни вообще ничего не слышали про гиперболический рост, другие считают исследование Форстера и его коллег ошибочным, третьи пытаются объяснить рост населения Земли на основе теории Мальтуса. Рост численности по экспоненте полностью отвечает существующей на данный момент научной парадигме, в то время как признание его гиперболическим требует, по-видимому, коренной ее ломки.

Есть еще одна возможность избавиться от неудобного, никак не вписывающегося в существующую парадигму закона Форстера: исказить его. Эту возможность использует историк-востоковед А.В. Коротаев, подменяя в своих работах понятие «закон гиперболического роста», подразумевающее точность, значимость и незыблемость на понятие «гиперболический тренд» (текущая тенденция), которое ассоциируется с непостоянством и неустойчивостью.

Соавтор Коротаева по ряду работ, С.В. Цирель, идет другим путем: им совершенно бездоказательно утверждается, что надежно установленным следует считать гиперболический рост населения мира лишь в XVIII–XX веках, т. е. за последние три столетия. Согласно многократно подтвержденным исследованиям Форстера, рост шел по гиперболе по крайней мере последние 20 столетий, причем с очень высокой точностью.

Сколь бы странным это ни показалось, но, возможно, незнание, отрицание или даже искажение открытия Форстера и есть наилучший на данный момент выбор. Во всяком случае – это лучше, чем выбирать между невероятным и невозможным.

* * *

Все существующие однопричинные модели гиперболического роста имеют целый букет врожденных пороков. Это и неизменный в течение тысячелетий закон роста, и непонятная системность человечества, связанная с простотой и нелинейностью (1), и парадоксальная, необъяснимая законом (1) устойчивость роста. Кроме того, все они построены практически по одной и той же схеме.

Все авторы, кроме С.П. Капицы, на основании соединительных (конъюнктивных) суждений типа: А~В∩А~С → А~В*С или с использованием силлогизма получают дифференциальную форму (1) или несколько более сложную, которую и объявляют причинным законом роста численности человечества. Поверить в то, что одна из множества таких противоречивых, умозрительных, ничем не подтвержденных моделей может объяснить гиперболический рост – значит поверить в невозможное.

Все модели первого типа можно разбить на три класса:

1. К первому следует отнести те из них, в которых предлагается не только конкретный механизм реализации закона квадратичного роста (1) или какого-либо другого более сложного причинного дифференциального закона, описывающего рост, но и способ его реализации. А также поднимается проблема устойчивости роста, без решения которой подобные построения лишены всякого смысла.

2. Ко второму классу относятся модели, в которых рассматривается конкретный механизм реализации закона (1), но не делается никаких серьезных попыток понять как такой механизм мог привести к гиперболическому росту населения мира. Проблема устойчивости роста в них игнорируется.

3. В моделях третьего класса нет, по сути, ничего кроме математических уравнений, т. е. это голая математика (где нет решения проблемы устойчивости роста), единственное назначение которой дать полное согласие с «экспериментальными данными», т. е. с гиперболой Форстера.

К первому классу относится теория Капицы. Автор предлагает модель коллективного взаимодействия; разрабатывается, а затем отвергается целый ряд чисто умозрительных способов ее реализации.

Сначала рассматривается «модель взаимодействия городов»: населенных пунктов с численностью K = 67 тыс. человек, затем модель распространения информации по схеме цепной реакции, и, наконец, в качестве причины, способной объяснить парадоксальную системность человечества, предлагается нелокальное (!) взаимодействие.

Автор честно отмечает нерешенность проблемы устойчивости роста в рамках своей модели. (В последней своей работе [21] С.П. Капица приходит к выводу, что причину аномального гиперболического роста искать вообще не нужно: вполне достаточно его «феноменологии»…).

Модель Коротаева служит хорошим примером гипотезы, в которой предлагается конкретный механизм роста, но не делается никаких серьезных попыток понять, как такой механизм мог работать в пространстве и во времени на территории Мир-системы.

И, наконец, последний член этого ряда – модели полностью оторванные от реальности и представляющие собой, по сути, какие-то бессмысленные математические игры. Примером такого «творчества» может служить работа С.В. Цирель[73], в которой гиперболический рост населения Земли представляется переходным между нулевым и экспоненциальным.

* * *

В многопричинной модели причины роста меняются со временем, они различны для разных стран, народов и этносов, численность населения которых в сумме составляет численность человечества. При этом считается, что рост населения мира процесс хотя и случайный, но направленный к определенной цели и на временах бо́льших, чем некоторое характерное время является гиперболическим.

Такое свойство растущей системы «все человечество в целом» достигать в реперных точках своего роста предустановленных значений численности и следовать во все времена одной и той же гиперболе демографического роста называется эквифинальностью. Именно оно обеспечивает выполнение в среднем закона квадратичного роста, который причинным законом в многопричинной модели уже не является, а представляет собой функциональную, непричинную (не ПОС) связь между численностью и скоростью ее роста.

Многопричинная модель равносильна модели третьего типа с постдетерминацией и поверить в такой механизм гиперболического роста, противоречащий всем существующим представлениям о росте численности популяции, – значит поверить в невероятное.

Причинные и непричинные законы.

Для дальнейшего нам понадобится классификация законов по способу их детерминации. Законы по типу детерминации подразделяются на причинные и непричинные. Существуют два типа причинных (каузальных) законов: с преддетерминацией, когда время детерминации некоторого события предшествует времени его наступления, и с постдетерминацией, если момент детерминации расположен позднее того момента, когда происходит событие.

Во многих контекстах причинный закон отождествляется с законом, основанном на преддетерминации. Вместе с тем понятие закона с постдетерминацией, которая может быть также названа телеологической или целевой детерминацией, необходимо при описании целого ряда биологических, экономических, социальных, кибернетических объектов и систем.

Как причинные, так и непричинные законы можно разделить на функциональные законы и законы корреляции. Функциональный закон вне зависимости от его каузальной интерпретации определим здесь как такой закон, который описывает связь, при которой каждому значению одной переменной, входящей в уравнение закона, соответствует одно или несколько строго определенных значений другой.

Это определение отличается от часто встречающегося определения, отождествляющего по способу детерминации функциональную связь с сопутствующей. Дело в том, что важную для данного изложения связь между естественным приростом и численностью всегда можно назвать по форме функциональной, а по способу детерминации – причинной или непричинной.

Корреляционный закон – это такой закон, при котором с изменением переменной X меняется и переменная Y, но каждому значению X могут соответствовать разные, заранее непредсказуемые значения Y, и наоборот. Корреляционный закон описывает на языке теории вероятностей коррелятивную связь между явлениями или процессами, причем в отличие от функционального закона, связь эта остается целиком или частично невыясненной.

Причинный закон описывает причинно-следственную (каузальную) связь. Непричинный закон – это закон, выражающий коррелятивную или функциональную непричинную связь. Если наступление события А увеличивает вероятность наступления события В, то между ними существует причинно-следственная (причинная, каузальная) связь.

Определение причинного закона дает Бертран Рассел в своей книге «Человеческое познание, его сферы и границы»:

«Причинный закон, как я буду употреблять этот термин, может быть определен как главный принцип, в силу которого – если имеются достаточные данные об определенной области пространства-времени – можно сделать какой-то вывод об определенной другой области пространства-времени» [44].

Сопутствующая связь – это вид коррелятивной или функциональной непричинной связи, при которой изменение одного из связанных объектов сопутствует во времени изменению другого. Именно сопутствует, сопровождается, а не «причиняется». Сопутствующая связь – это связь сосуществования и одновременности. Это связь синхронных, в первом приближении не взаимодействующих процессов.

Объекты, находящиеся между собой в непричинном взаимодействии, связаны причинно (каузально) лишь в том смысле, что являются производными одного и того же основания. Т. е. существует общее для них явление-причина.

* * *

Один из способов находить причинные связи – изучение функциональных зависимостей. Так, для понимания причин, вследствие которых изменяется сопротивление проводника, оказалось достаточным найти функциональную зависимость между проводимостью и температурой. В непричинной связи объектов как таковой отсутствуют главные признаки причинно-следственной связи: производительность (объекты не производят друг друга), асимметричность во времени (они сосуществуют равноправно, симметрично во времени), необратимость.

В случае сопутствующей связи часто имеет место обратимость, т. е. возможность перестановки местами независимых переменных. Функциональный (не каузальный) подход особенно важен, когда предметом изучения являются процессы, внутренний причинный механизм которых пока неизвестен и выступает как своего рода черный ящик.

Примеры:

• Свободно падающее тело: связь между мгновенным значением скорости и пройденным путем. Связь причинная, асимметричная S → V.

• Связь между шириной зоны разброса дроби и расстоянием до цели: связь функциональная, сопутствующая позволяет определять это расстояние по результатам исследования мишени.

• Связь между энергопотреблением и численностью. Мировое энергопотребление пропорционально квадрату численности населения мира, но рост численности как явление не есть причина роста энергопотребления. А рост энергопотребления не есть причина роста численности. Процессы эти сопутствующие и связь между ними сопутствующая, коррелятивная (в первом приближении, т. к. явления эти высшей степени сложности), а не причинно-следственная. Такая же связь, как мы покажем в дальнейшем, существует между численностью населения мира и скоростью ее роста (годовым естественным приростом).

* * *

Когда мы хотим объяснить какое-то явление, нам приходится ставить вопрос о его причине и искать причинно-следственную, каузальную связь. Проблема анализа причинности – одна из вечных проблем философии, которой философы занимаются на протяжении тысячелетий. Ею интересовался еще Аристотель, а статьи, посвященные причинности, до сих пор можно встретить на страницах современных философских журналов.

Хотя понятия причина и следствие обычно относятся к событиям, понятие событие в каузальном анализе можно заменить на понятие процесс, свойство, переменную. В точных науках исследуется связь между переменными, входящими в математическую зависимость, выражающую некоторый закон. Рассмотрим две переменные, описывающие некоторые свойства системы как функции времени: x(t) и y(t). Про связь между этими переменными y(x) можно сказать следующее:

• во-первых, она может вообще отсутствовать – тогда справедлива нулевая гипотеза;

• во-вторых, она может быть коррелятивной, когда наличие причинной взаимозависимости между переменными не вызывает сомнений, но природа ее остается неизвестной;

• в-третьих, связь эта может быть причинно-следственной, когда изменение переменной x(t) есть причина, по которой изменяется переменная y(t) (или наоборот);

• в-четвертых, связь эта может быть по форме функциональной или коррелятивной, а по способу детерминации – сопутствующей, если существует количественный динамический (статистический) причинный закон с пред или постдетерминацией для каждой из переменных x(t) и y(t), в результате непрерывного действия которого и возникает зависимость между переменными y и x: y(x), которая не является в этом случае причинным законом.

В физике чаще всего исследуется причинно-следственная связь с преддетерминацией между мгновенными значениями переменных. Примером такой связи может служить второй закон Ньютона: a = F/m. Значение ускорения в каждый момент времени равно силе, действующей на тело в этот же момент времени, деленной на его массу. Сила здесь – причина, ускорение – следствие, запаздывания – нет. (Т. к. в процессах с преддетерминацией причина всегда предшествует следствию, запаздывание между моментом начала действия силы и моментом приобретения телом соответствующего этой силе ускорения существует, но полагается пренебрежимо малым.).

Можно расширить понятие причинного закона, считая, что «причинная переменная» может быть не только дифференциальным, но и интегральным, «накопленным» во времени показателем, характеризующим динамическую или эволюционирующую систему.

Так, закон, связывающий мгновенную скорость тела с работой сил на него воздействующих, можно считать причинным законом. В простейшем случае, когда рассматривается движение в однородном силовом поле, можно говорить о причинной связи между пройденным путем и приобретенной телом скоростью. Здесь причинная переменная «накапливается» во времени.

Отметим важный частный случай каузального анализа связи двух динамических переменных x(t) и y(t), когда y(t) = Δx(t) = x(t) – x(t – Δt). Здесь в качестве второй переменной выступает приращение первой за небольшой промежуток времени Δt.

Если переменная x(t) на интервале Δt вызывает свое собственное приращение Δx(t) = f(x)Δt, т. е. является причиной собственного роста (уменьшения), то причинно-следственная связь x(t) <—> Δx(t) называется обратной связью.

Обратная связь может быть определена не только для функционального причинного закона, но и для причинного закона корреляции; она может быть как положительной (ПОС), так и отрицательной (ООС). Важно понимать, что уравнение Δx(t) = f(x)Δt может и не выражать причинный закон, а связь между x(t) и Δx(t) не являться ПОС или ООС.

* * *

Приведем примеры. Примером положительной обратной связи может служить связь между численностью популяции и ее естественным приростом. Рассмотрим закон экспоненциального роста популяции: dN/dt = αN. В этом причинном законе причинной, накопленной переменной является численность популяции N, а переменной-следствием – ее прирост dN за некоторый небольшой, фиксированный промежуток времени dt.

Т. е. здесь мы имеем дело с интегральной, «накопленной в пространстве и во времени» причинной переменной N и дифференциальной, мгновенной характеристикой роста: ежегодным естественным приростом dN. Истинная причина экспоненциального роста популяции заключена внутри черного ящика процесса размножения ее единичной репродуктивной ячейки. Поскольку уравнение, описывающее рост является в этом случае линейным, приросты dN_i от разных частей складываются.

Так, например, одна половина популяции может находиться на Земле, а вторая – в другой галактике, и тем не менее закон dN/dt = αN, описывающий суммарный рост, будет по нашему определению причинным, хотя причинной связи между этими половинками не может быть в принципе.

Но если причинный закон роста будет нелинейным, например, квадратичным dN/dt = αN², то рост любых двух частей такой популяции должен быть связан причинно, т. к. ежегодный прирост численности на единичную репродуктивную ячейку популяции dN/N = αNdt будет в таком случае зависеть от общей численности N. В этом заключается качественное отличие причинного нелинейного от причинного линейного закона роста популяции.

* * *

Как линейный, так и нелинейный закон роста популяции могут и не быть причинными законами, т. е. могут описывать непричинную связь между численностью и скоростью ее роста. Пример такого закона мы рассмотрим ниже. И, наконец, может случиться так, что рост численности популяции будет, например, гиперболическим, но никакого закона, описывающего такой рост в форме автономного уравнения, т. е. уравнения, правая часть которого зависит только от N, – не существует.

Рост численности будет зависеть в этом случае не только от внутренних причин, но и от внешних условий, и в правой части уравнения, описывающего такой рост, будет присутствовать в явном виде время: dN/dt = F(N,t). Примером такого роста может служить, например, рост суммарной растительной клеточной массы в весенний период в Северном полушарии. Даже если бы этот рост оказался гиперболическим, считать, что он обусловлен положительной нелинейной обратной связью между растительной массой и скоростью ее роста, очевидно, нельзя.

Переменная-причина и переменная-следствие могут меняться местами даже при рассмотрении одного и того же функционального закона. Так, при сжатии внешней силой идеального газа в замкнутом сосуде, связь между приростом давления и уменьшением объема газа за малый промежуток времени будет причинной.

Причем скорость прироста давления – причина, а скорость уменьшения объема – следствие. При свободном расширении сжатого газа причинные переменные меняются местами: прирост объема за малый промежуток времени приводит к убыли давления.

В приведенных здесь примерах причинных законов с преддетерминацией, связывающих две переменные, причинная переменная может быть как дифференциальной, так и интегральной. Тогда как переменная-следствие всегда является дифференциальной. Такая асимметрия связана с тем, что событие-следствие, как это обычно принято считать, должно быть локализовано в пространстве и во времени и целиком обусловлено событием-причиной.

Это событие-следствие может быть малым приращением пути, пройденного телом, или приростом численности популяции за небольшой промежуток времени. Т. е. пройденный телом путь может быть причиной значения его скорости в данный момент времени (движение частицы в однородном силовом поле) и текущая численность популяции может быть причиной ее текущего естественного прироста, а не наоборот.

* * *

Примером функциональной, непричинной (не ПОС и не ООС) связи между переменной и скоростью ее роста может служить связь между средним ежедневным выпуском продукции на некотором предприятии и общим ее количеством, выпущенном с начала года.

Пусть в январе запланировано выпустить некоторое количество продукции, а за каждый последующий месяц в течение года ее выход по сравнению с предыдущим должен быть увеличен на десять процентов. При этом количество ежедневно выпускаемых товаров может быть любым, т. е. никак планом не регламентируется.

Но в конце последнего дня каждого месяца план должен быть выполнен, т. е. должно быть произведено запланированное количество продукции (не больше и не меньше). Связь между усредненным за некоторый небольшой промежуток времени ежедневным и общим количеством продукции, выпущенным с начала года, будет в этом случае функциональной, непричинной. Функциональной в том смысле, что эти средние связаны вполне определенной аналитической зависимостью, а непричинной – в том смысле, что не текущее количество выпущенных товаров причинно определяет прирост и не текущий прирост причинно задает это количество, а делает это управляющая система, реализующая закон, по которому растет как ежедневный прирост продукции (как управляемый случайный процесс), так и общий ее выпуск (как управляемый, эквифинальный, нестационарный случайный процесс), полностью определяемый его суммарной величиной.

Т. е. вероятностный закон, связывающий мгновенное общее количество выпущенной с начала года продукции со скоростью ее производства в каждый момент времени, описывает непричинную, функциональную, а не причинно-следственную связь. Нестационарный управляемый случайный процесс N(t): количество товаров, выпущенных к моменту времени t может считаться эквифинальным в том смысле, что в конце каждого месяца N(t) будет отличаться от планового значения на некоторую относительно небольшую предзаданную величину.

Т. к. количество выпущенных товаров возрастает ежемесячно в одно и то же число раз (в 1,1 раза), то вероятностная, непричинная зависимость между скоростью производства и полным количеством выпущенной с начала года продукции в любой момент времени в течение этого месяца будет примерно линейной. А зависимость количества произведенных товаров от времени в течение года в первом приближении – экспоненциальной.

Если бы такой прирост планировался не на постоянных, а на сокращающихся по закону прогрессии к точке сингулярности отрезках времени, то рост выпущенной продукции был бы гиперболическим. Причем в простейшем случае такого роста функциональная зависимость между скоростью производства и общим выпуском товаров была бы уже не линейной, а параболической. Т. е. описывалась бы законом квадратичного роста (1). (По такому же закону растет и численность населения Земли. И закон квадратичного роста, связывающий эту численность и скорость ее роста, может и не быть причинным законом.).

Здесь мы имеем дело с причинным, вероятностным, целевым (телеологическим) законом или законом с постдетерминацией, связывающим количество выпускаемой ежедневно в течение года продукции (случайную переменную-следствие) с плановым общим ее выходом в конце каждого месяца – причинной целевой переменной, значение которой предопределено в будущем.

* * *

При анализе причинного закона с преддетерминацией недостаточно указать формулу, аналитическую зависимость, связывающую каузальные переменные. Необходимо еще описать КАК в пространстве и во времени рост переменной-причины приводит к росту (уменьшению) переменной-следствие.

Данное нами определение причинного закона для двух переменных сформулировано для конкретной задачи исследования законов роста численности популяций и, в частности, закона роста численности населения Земли. Мы не ставили перед собой задачи всесторонне исследовать этот сложный вопрос и давать наиболее общее определение.

* * *

Дадим определение закона квадратичного роста как причинного закона, рассматривая (1) как уравнение в конечных разностях (1А), рис. 3.

Рис. 3. Решение задачи Коши методом Эйлера.

Пусть в начальный момент времени t₀ численность популяции равна N₀. Разобьем промежуток t – t₀ на интервалы равной длительности, причем шаг Δt можно сделать «сколь угодно» малым (в разумных пределах).

Введем сеточную функцию дискретного аргумента, вычисляемую в узлах сетки. В момент t₀ + Δt прирост численности найдем по (1А) и определим ее новое значение.

Продолжим итерации, опираясь на (1А) как на рекуррентное соотношение, и вычислим значение численности во всех узловых точках, решив, таким образом, простейшую задачу Коши одношаговым методом Эйлера.

Закон квадратичного роста (1) можно считать причинным законом в том, и только в том случае, если действительный рост численности популяции в точности соответствует этому математическому итеративному алгоритму и удовлетворяет двум следующим условиям:

1. Для описания роста численности может быть введен отрезок времени Δt, с одной стороны, достаточно малый для того, чтобы закон роста мог быть сформулирован в форме дифференциального уравнения, а, с другой стороны, достаточно большой для того, чтобы смогли заработать механизмы этого роста, которые для каждой модели свои. Для изобретательской теории Коротаева Δt – это то время, за которое изобретения «растворятся» в Мир-системе и дадут прирост ΔN. Для феноменологической теории Капицы – это время достаточно большое для того, чтобы накопленная в Ойкумене информация дала неслучайный прирост, пропорциональный квадрату числа связей.

2. Рост численности популяции на любом конечном отрезке времени может быть представлен как причинно-следственная цепь событий (с описанием этих событий в пространстве и во времени от t до t + Δt): …→N→причина роста→прирост ΔN за Δt→N + ΔN→…, привязанных к узлам сеточной функции на оси времени.

В этом, и только в этом случае, закон квадратичного роста (1) может рассматриваться как причинный закон, описывающий автокаталитический, самоускоряющийся процесс, как положительная обратная связь второго порядка. Рост численности любых размножающихся «частиц», происходящий в соответствии с таким причинным законом квадратичного роста, может служить примером режима с обострением.

Режим с обострением – это такая стадия развития динамического процесса, которая описывается причинным законом, задающим нелинейную положительную обратную связь (ПОС), в результате непрерывного действия которой одна или несколько моделируемых величин обращается в бесконечность за конечный промежуток времени.

* * *

Закон роста населения Земли в Википедии до 2014 года описывался как режим с обострением со ссылкой на «труды» А.В. Коротаева, пока я не удалил это физикалистское его описание и не дал правильное определение этому закону.

На той же странице Википедии (2016 г.), где дано определение режима с обострением, в списке литературы до сих пор указаны работы, в которых описывается гиперболический рост, не являющийся режимом с обострением. Это книга А.В. Коротаева и соавторов по гиперболическому росту населения Земли: «Законы истории…» 2-е изд. М.: УРСС, 2007. И статья А.В. Маркова и А.В. Коротаева: «Динамика разнообразия фанерозойских морских животных соответствует модели гиперболического роста» Журнал общей биологии. 2007, № 1.

Кто бы вычистил Википедию от сочинений и ссылок на «труды» этой бездарной сладкой парочки, представляющей результаты своих более чем сомнительных исследований по гиперболическому росту как окончательные и бесспорные. А ведь именно таковыми должны быть статьи в Википедии: окончательными, бесповоротными, бесспорными, как формула Эйнштейна E = mc². Эти же двое не потрудились даже провести каузальный анализ исследуемых закономерностей. Автокаталитичность роста подразумевается ими по умолчанию!

На самом деле никакой ПОС между численностью населения мира и скоростью ее роста не существует и не существовало ни в какие времена. Гиперболический рост числа родов фанерозойских морских животных также не мог происходить по причине ПОС второго порядка, неизменной в течение сотен миллионов (!) лет.

Во всяком случае, это нужно как-то доказывать. Так что Марков и Коротаев, очевидно, поспешили «увековечить» свои имена как имена исследователей гиперболического роста, поскольку так и не поняли причин, вызывающих такой рост.

По тем же соображениям (отсутствие ПОС) неправильно говорить про обострение по скорости в релятивистском законе, описывающем неограниченное возрастание массы тела при росте его скорости. Нет также никакого обострения по времени в законе гиперболического роста населения Земли N = C/(t₀– t).

Во всех этих случаях мы имеем дело с функциональной, непричинной связью между переменной и ее приращением, а не с причинным законом, описывающим самоускоряющийся (автокаталитический) процесс.