Константы Капицы.

Постоянная Форстера и возраст Вселенной.

Первая из фундаментальных констант, характеризующих развитие человечества как системы – это постоянная Форстера. Как она была получена? Имея большой объем данных по численности населения Земли от Р.Х. до 1960 года, немецкий инженер австрийского происхождения Хейнц фон Фёрстер (Форстер) вместе с П. Мора и Л. Амиот подыскивал простую аналитическую зависимость, которая могла бы послужить неплохим приближением для имеющихся у него демографических данных.

Прежде всего, он, вероятно, предположил, что численность популяции Homo sapiens, как и численность всякой другой популяции в условиях избытка ресурсов, росла экспоненциально. По этому простому закону, когда при удвоении численности удваивается и естественный прирост, растет все живое. Зависимость логарифма численности от времени должна быть в таком случае линейной.

Когда он нанес данные на координатную плоскость, его ожидал сюрприз: график аппроксимирующей зависимости не укладывался на прямую, рост логарифма численности от времени по непонятной причине оказался круче линейного, и гипотезу экспоненциального роста пришлось отбросить.

Это был довольно неожиданный результат, хотя, возможно, и не слишком, ведь если вдуматься рост численности человечества, как системы высшей сложности, подверженной кризисам, войнам и эпидемиям, вряд ли должен подчиняться экспоненциальному закону.

На самом деле предположение о том, что численность населения Земли могла расти экспоненциально не заслуживает никакого доверия. Действительно, рост мог бы быть экспоненциальным, если бы человечество можно было считать популяцией, т. е. если бы оно было однородной массой с единым для всех ее частей естественным приростом. Однако в действительности – это конгломерат, образованный различными как по численности, так и по естественному приросту популяциями. (Коэффициент естественного прироста в разные времена, для разных народов мог различаться в разы, поэтому никакое его усреднение по всей массе человечества не может считаться приемлемым.) Даже если допустить, что численность каждого народа, этноса может расти экспоненциально – из этого вовсе не следует, что численность человечества также будет расти экспоненциально.

Если руководствоваться здравым смыслом, то вообще трудно себе представить, что этот рост может быть описан с помощью какой-то простой формулы. Априори представляется, что здесь должна быть справедлива гипотеза близкая к нулевой.

Известно, что рост происходил без спадов (возможно, за редкими исключениями) и скорость роста тоже почти всегда росла – по крайней мере в среднем. Тогда зависимость численности от времени можно считать монотонно возрастающей функцией.

Но какой-то простой формулы, описывающей эту зависимость, – не существует. Такой рост может быть представлен как суммарный рост слабо связанных подсистем: этносов, стран или народов, и нет никакого смысла искать глобальный закон роста справедливый для всего населения планеты, действовавший на протяжении двадцати веков.

Для каждого этапа такого, вообще говоря, случайного роста, для всех его взлетов и падений – историки, социологи и демографы нашли бы, конечно, какое-нибудь естественное объяснение, и всякая математика была бы здесь бесполезна.

Возможно, так же полагал и Форстер, потерпев неудачу с гипотезой экспоненциального роста. Каким должен быть следующий его шаг, что мог бы предпринять любой другой исследователь, попавший в подобное положение? Можно было бы попытаться подобрать полином, хорошо аппроксимирующий демографические данные, но такой полином, достаточно высокой степени, всегда можно найти и в этом нет никакого достижения… Можно попробовать в качестве кандидата степенную функцию N = C/(t₀ – t)^p, ведь проще нее, кажется, вообще ничего нет.

К степенному закону приводит сделанное Форстером и его коллегами фантастическое предположение о том, что коэффициент мирового естественного прироста на всем протяжении исторического процесса не был постоянен, как при экспоненциальном росте, а слабо зависел от численности: a = a₀N^1/k. (Такая зависимость могла бы иметь место, если в соответствии с теорией игр рассматривать растущее население Земли как некую коалицию, ведущую глобальную игру против сил природы.).

Важно понимать, что это предположение, сделанное благодаря модной в то время теории игр (спасибо ей за это!), расходящееся со здравым смыслом и требующее большой вычислительной работы – что было совсем не просто в 1960 году! – представляется совершенно фантастическим, если не безумным. Результат точно должен был получиться отрицательным, т. е. точность значений С, p и t₀ должна была оказаться очень небольшой.

Но совершилось чудо – эта точность, с которой определились постоянные Форстера, совершенно неожиданно оказалась чрезвычайно высокой, можно даже сказать невозможно высокой, делающей гиперболу Форстера, по сути, предзаданной:

Результаты исследования Форстера и его коллег демографических данных по численности населения мира методом наименьших квадратов: N = C/(t₀ – t)^p; C = 179 ± 14 млрд; t₀ = 2027 ± 5; p = 0,99 ± 0,009.

Здесь важно то, что показатель степенной функции, описывающей рост, практически равен единице, т. е. простейшему целочисленному значению. (При вычислении p по методу наименьших квадратов могло быть получено любое действительное число, например, p = 0,78 или p = 1,16, но вышло, что p = 1 с точностью до одного процента.).

Вряд ли целочисленность p является всего лишь делом случая. Такое совпадение возможно, но, очевидно, весьма маловероятно. Скорее всего, за этим стоит нечто большее, позволяющее считать население мира единой системой. И по причине этой «невозможно» высокой точности для p и t₀ только и можно говорить о новой фундаментальной константе С, Форстера, характеризующей растущее человечество как систему. Стоит отметить, что сам Форстер, хотя и шутил на эту тему, но так и не понял ни причины, ни значения открытого им аномального гиперболического роста.

Немецкий физик Хорнер[35] расширил время действия закона Форстера до неолита, подключив дополнительные данные, что несколько увеличило постоянную Форстера С и оставило практически без изменения p и t₀ [1]:

Рис. 1. Гипербола Хорнера.

Итак, в начале шестидесятых годов прошлого века была введена новая, видимо, фундаментальная постоянная, определяющая рост численности Homo sapiens и его эволюцию, смысл которой для ее первооткрывателя так и остался непонятым. Размерность этой эмпирической константы, как следует из формулы Форстера, – год в степени 0,99. Что позволяет предположить, что p = 1, и постоянная Форстера должна иметь размерность времени. Однако авторы статьи «Судный день. Пятница 13 ноября 2026 года» гипотезу о целочисленности p не рассматривали, что не позволило им определить С с максимально возможной точностью.

Действительно, значение C = 179 ± 14 млрд лет было получено в предположении о том, что показатель p является неопределенным и должен вычисляться по методу наименьших квадратов так же, как C и t₀. Что представляется вполне логичным. Но получив для него столь близкое к единице значение, Форстер и его коллеги должны были сделать перерасчет на основе тех же самых данных, которыми они располагали, полагая, что p = 1.

Этого сделано не было, и значение постоянной Форстера оказалось несколько заниженным. Далее мы приведем наши расчеты, которые позволяют уточнить значение постоянной С, приведенное в статье «Судный день. Пятница 13 ноября 2026 года». Эти расчеты хотя и не могут считаться вполне корректными, зато позволяет определить постоянную С при p = 1 на основе результатов, полученных Форстером и его коллегами: C = 188 ± 14 млрд лет. (Данные, использованные ими, опубликованы не были.).

* * *

Теперь мы вплотную подошли к вопросу о смысле постоянной Форстера. Что означают эти 188 миллиардов лет? – Непонятно… но уж только не численность народонаселения за год до сингулярности, т. к. до этого значения она точно не дорастет. Есть один интервал времени, известный из космологии, который по порядку величины близок к данной константе: это возраст Вселенной T = 13,8 млрд лет. Если постоянная Форстера С имеет космологический смысл и как-то связана с универсальной эволюцией, то ее отношение к возрасту Вселенной p = C/T, не имеющее размерности, должно вытекать из некой финалистской теории эволюции.

Согласно нашей теории С = kK²τ, возраст Вселенной T ≈ Tu = 2¹³N₄τ = 2¹³N₄C/kK² (K = 65536, k = 1,1 – зомби-коэффициент, N₄ = 42399 – полное число циклов сети человека, Tu – интервал времени от Большого взрыва до недостижимой космологической сингулярности), следовательно F = C/T ≈ C/Tu = kK²/(2¹³N₄) = 13,6 (доверительный интервал обозначить затруднительно из-за неопределенности в значении зомби-коэффициента). Что полностью соответствует астрофизическим и демографическим данным: F = (188 ± 14)/13,8 = 13,6 ± 1.

Таким образом, теория роста сети четвертого ранга позволяет вычислить возраст Вселенной с помощью постоянной Форстера: T = C/F =13,8 ± 1 млрд лет. Однако высокой точности ожидать здесь не следует: дело в том, что точность, с которой может быть определена постоянная C ограничена по принципиальным соображениям.

Если принять, что С = 189 ± 1,3 млрд, что представляется, по нашему мнению, наиболее правдоподобным (см. далее), то эта точность возрастает на порядок: T =13,9 ± 0,1 млрд лет. Теория роста сети пятого ранга, как мы это покажем в дальнейшем, позволяет вычислить возраст Вселенной с точностью до пяти значащих цифр: T =13,8050 ± 0,0002 млрд лет.

* * *

С другой стороны, зная возраст Вселенной можно найти постоянную Форстера: C = FT = 188 млрд лет, и гипербола роста населения Земли может быть определена с точностью до начального условия. (Важным отличием нашей модели от всех прочих является то, что постоянную Форстера можно вывести из космологических данных.) В качестве начального условия выберем значение численности в тот момент времени t_c, когда сеть становится совершенной: N(t_c) = k*K² = 1,1*2³² = 4,72 млрд; в этот момент, согласно теории, до сингулярности остается всего лишь шаг исторического времени.

По демографическим данным, довольно точным для второй половины XX столетия, находим, что t_c = 1982 г. Теперь можно найти точку сингулярности теоретической гиперболы: t₀ = 1982 +188 /4,72 = 2022 г. Поскольку гиперболическое уравнение N = C/(t₀ – t), постоянная Форстера C и точка сингулярности t₀ были выведены на основе теории роста сети четвертого ранга – эмпирический закон гиперболического роста населения Земли, открытый Форстером, получен нами теоретически.

Отметим разницу между теориями, объясняющими гиперболический рост населения мира на основе нелинейного дифференциального закона (уравнения), связывающего мировой естественный прирост с текущей численностью (dN/dt = N²/C), и нашей финалистской теорией. Пропорциональность прироста численности ее квадрату в таких редукционистских теориях объясняется чисто умозрительно (на самом деле постулируется), а коэффициент пропорциональности 1/С – берется из работы Форстера. Гипербола мирового демографического роста получается здесь как решение этого дифференциального уравнения.

Наша модель построена иначе. Она не основана на законе квадратичного роста как на причинном дифференциальном законе, описывающем автокаталитический процесс. Постоянная C, гипербола мирового демографического роста, точка ее сингулярности t₀ выводятся нами чисто теоретически из алгоритма роста сети четвертого ранга и космологических данных без всяких ссылок на работу Форстера и его коллег.

Расщепление постоянной Форстера С на константы. Капицы К и τ

Сравним сначала законы экспоненциального и гиперболического роста численности популяции с точки зрения возможности введения в рамках этих законов характерных масштабов времени и численности.

Рис. 1. Экспоненциальный и гиперболический закон роста численности популяции.

Если математические уравнения, описывающие некий закон, не содержат масштаб, в котором могут быть измерены входящие в него переменные, то такой закон называется масштабно-инвариантным относительно этих переменных. В физике масштабная инвариантность означает неизменность уравнений, описывающих какой-либо процесс при изменении всех расстояний и промежутков времени в некоторое число раз. В теории фракталов под масштабной инвариантностью, самоподобием понимают неизменность структуры фрактала при изменении масштаба протяженности, в котором он наблюдается.

Насколько правомерно говорить о масштабной инвариантности закона роста населения Земли, как это делает С.П. Капица, основываясь лишь на том факте, что рост этот описывается степенным законом?

Возникает вопрос: масштабная инвариантность чего? Масштабная инвариантность – это неизменность уравнения или структуры. Речь здесь явно не может идти ни о какой структуре исторического или демографического процесса во времени. Никто же не станет всерьез утверждать, что каждый из десяти исторических циклов в модели Капицы – это сжатая копия предыдущего!

Остается степенная зависимость численности от времени, которая, как и всякая другая степенная зависимость, является инвариантной к масштабам, в которых измеряются входящие в нее переменные. (Т. е. степенная зависимость N(t) сохраняется при изменении масштабов N и t.) Что позволяет говорить в этом смысле о законе роста населения мира, как о законе масштабно-инвариантном.

Но несет ли такая масштабная инвариантность этого закона какой-либо смысл, объясняется ли эта его чисто математическая инвариантность природой процесса роста численности населения Земли или не имеет к ней никакого отношения? Ведь даже в каузальном отношении суть его остается непонятной.

В случае экспоненциального роста показатель n = 1, дифференциальный закон роста является линейным и экспоненциальная зависимость численности от времени содержит встроенный в этот закон масштаб времени τ = 1/α. Что это означает?

Это означает то, что такой рост и такой закон роста нельзя считать масштабно-инвариантными по отношению к переменной t. Действительно, за время τ численность популяции всегда возрастает в 2,7 раза независимо от того, какого значения она достигла к этому моменту времени.

Это свойство закона экспоненциального роста популяции уникально по сравнению со всеми другими законами роста, вне зависимости от того является ли этот закон причинным или не является, т. е. определяет ли положительную обратную связь между численностью и естественным приростом или не определяет, а выражает лишь связь функциональную, непричинную (не ПОС).

Причина уникальности – в линейности дифференциального уравнения, описывающего рост, и как следствие этой линейности – независимости (в случае линейной ПОС между численностью и приростом) роста каждой части популяции от другой.

* * *

Следует отметить, что никакого встроенного масштаба численности закон экспоненциального роста популяции не содержит, т. к. численность за время τ возрастает, как мы уже отмечали ранее, в 2,7 раза независимо от того, с какого значения начался ее рост.

Закон гиперболического роста (n > 1), так же как и любой другой степенной закон, является в указанном нами смысле масштабно-инвариантным и не содержит никаких «встроенных» в этот закон масштабов времени и численности.

Например, если N(t) = Ct^m и взять t₁ = kt, а N₁ = k^mN, то закон роста останется неизменным: N₁ = Ct₁^m, т. е. он оказывается инвариантным по отношению к согласованному изменению единиц измерения времени и численности (увеличению первой в k раз, второй – в k^m раз).

Чего не скажешь о законе экспоненциального роста; если N(t) = N_oe^t/τ и взять, например, t₁ = kt, то никаким изменением масштаба N₁ = k₁N закон роста к прежнему виду не привести: N₁(t) = N_o(e^t/τ)^k → N₁(t) = No^1-k(N(t))^k ≠ k₁N(t).

* * *

Если сравнивать законы экспоненциального и гиперболического роста популяции с точки зрения характерных масштабов времени и численности, то необходимо отметить, что независимо от их каузальной интерпретации, закон экспоненциального роста содержит «встроенный» в этот закон масштаб времени, но не содержит никакого «встроенного» в него масштаба численности.

Закон же гиперболического роста, как таковой, не содержит никаких «встроенных» в этот закон масштабов времени и численности. Но если существует некий «сторонний», не связанный с уравнением роста масштаб, например, масштаб времени τ, то масштаб численности определяется с полной однозначностью из условия N₁ = C/τ (n = 2).

Действительно, если поделить числитель и знаменатель выражения N(t) = C/(t₀ – t) на характерное время τ (в общем случае делим на τ^n-1), то время роста будет выражаться в единицах характерного времени τ, а численность в характерных единицах численности: N' = C/τ. Т. е. закон гиперболического роста популяции, в отличие от закона экспоненциального роста, либо вообще не имеет никаких характерных масштабов ни для N, ни для t, либо имеет их сразу оба.

Есть еще одно важное отличие экспоненциального роста популяции от гиперболического. Заключается оно в том, что эволюция популяции, численность которой растет по экспоненциальному закону, не может происходить циклически, тогда как в случае гиперболического роста с характерным временем и характерной численностью ее эволюция, по-видимому, должна быть циклической.

Что означает понятие цикличность в применении его к процессу роста популяции? Цикличность – это ритм, в котором происходит ее эволюция; ритм, связанный с процессом роста и с четко обозначенными на шкале абсолютного времени фазами этого процесса, отмечающими его подъем, стабилизацию и стагнацию.

Если считать численность растущей популяции мерой ее эволюции, то ее экспоненциальный рост (независимо от его каузальной интерпретации) не может быть связан (причинно или функционально) с каким-либо циклическим эволюционным процессом. Дело в том, что рост популяции будет здесь однородным во времени и цикл ее эволюции, зависящий от растущей численности, может иметь любой период и любую фазу.

Что же касается гиперболического роста, то, во-первых, этот рост в силу своей нелинейности, выражаемой простейшим аналитическим законом, подразумевает системность растущей популяции, т. е. связность всех ее частей, поэтому общая численность популяции может служить здесь мерой, характеризующей ее эволюцию. И, во-вторых, рост этот по определению имеет одну особенность: точку на оси времени, в которой эта численность устремляется к бесконечности.

Циклы роста и развития могут быть введены здесь обратным отсчетом времени от точки сингулярности в прошлое с периодом, равным характерному времени. (Такое определение цикличности эволюции и развития в процессе гиперболического роста является, разумеется, чисто формальным. Подробнее см. главу «Законы роста численности изолированных популяций».).

Если связь между скоростью роста и численностью населения мира не является причинно-следственной, а является всего лишь сопутствующей, то должен существовать некий причинный закон (возможно, с постдетерминацией), который обеспечивает такой не автокаталитический рост. Кроме того, этот же причинный закон будет определять характерное время и характерную численность, которые являются по отношении к закону гиперболического роста населения мира в таком случае сторонними.

И, что особенно важно, так это то, что эти сторонние масштабы времени и численности должны быть характерными масштабами на всех этапах такого роста: в том числе на начальном его этапе, а также во время перехода. Поэтому, в случае роста населения Земли, значения этих констант, полученные для начала демографического перехода, могут быть использованы и при описании гиперболического роста.

* * *

Постоянную Форстера С = 187 млрд лет, имеющую размерность времени, можно представить в виде произведения постоянных роста тремя различными способами:

1. Исходя из нашей модели.

2. Исходя из модели Капицы.

3. Используя значение численности на момент завершения эпохи гиперболического роста и начала демографического перехода.

Все они дают для характерного времени τ и характерной численности М примерно одинаковые значения. Рассмотрим их по порядку, но сначала разберемся с обозначениями.

* * *

Почему главное число своей теории С.П. Капица обозначил заглавной буквой K? Однозначного ответа нет, но, скорее всего, по имени автора (Kapitsa), т. к. берет заглавную K по аналогии с обозначением безразмерного числа Рейнольдса Re, с которым Капица сравнивает свою постоянную. (Рейнольдсу было сложнее, т. к. R – это универсальная газовая постоянная и пришлось взять две буквы имени Re. Однако это привело к неоднозначности в понимании: то ли Re – это число Рейнольдса, то ли произведение универсальной газовой постоянной на заряд электрона.).

Теперь о константе К₅ – почему такое странное обозначение? Дело в том, что в нашей модели рост населения мира сопоставляется росту биниальной иерархической сети четвертого ранга. Число носителей клаттера такой сети равно двойке, в показателе которой стоит также двойка в четвертой степени.

Это число примерно равно постоянной Капицы K, определяющей порядок численности населения Земли на момент начала гиперболического роста. А его квадрат, K² = K₅ = 4,3 млрд, равен числу носителей структурной единицы сети пятого ранга (т. е. ее клаттера). Характерная численность народонаселения М, соответственно, в k раз больше K₅: M = k*K₅= 4,72 млрд, где k = 1,1 – зомби-коэффициент.

Рис. 2. Постоянные роста биниальных иерархических сетей от первого ранга до восьмого и некоторые известные в математике и физике числа с ними связанные.

* * *

В нашей модели характерное время τ ≈ T/(2¹³N₄) ≈ 40 лет (N₄ = 42399 – полное число циклов сети человека, T = 13,8 млрд лет – время эволюции Вселенной). Характерная численность M = kK₅ = 4,72 млрд (k =1,1 – зомби коэффициент, K₅ = 65536² – число узлов клаттера сети пятого ранга.) Постоянная Форстера C = M*τ = 4,72*40 = 188,8 млрд выводится нами теоретически.

* * *

С.П. Капица был первым, кто попытался выяснить смысл постоянной Форстера. Поскольку интервал времени в 187 млрд лет для растущей «популяции» Homo sapiens явно не имеет никакого смысла, он представил постоянную Форстера в виде произведения двух сомножителей С = τK². Где, согласно его подсчетам, время τ равно 41–42 годам и представляет собой некое характерное время человека.

Рис. 3. Расщепление постоянной Форстера С на константы Капицы К и τ. Уравнение Капицы.

А K – безразмерная постоянная, равная 67000. Она определяет масштаб, в котором может быть измерена численность в начальную эпоху роста. Эта постоянная, которую С.П. Капица называет масштабным параметром, занимает центральное место в его теории:

«Это число занимает центральное место в теории роста, определяя все основные соотношения, возникающие при описании системной динамики человечества, являясь, в терминах синергетики, масштабным параметром. Следует отметить, что числами порядка K определяется эффективный размер группы, в которой проявляются коллективные признаки когерентного сообщества людей. Таким может быть оптимальный масштаб города или района большого города, обладающего, как правило, системной самодостаточностью. В популяционной генетике величины такого порядка определяют численность устойчиво существующего вида или популяции, занимающей определенный ареал и экологическую нишу. Иными словами, это число является масштабом сообщества, имеющего генетическую или социальную природу» [1]. «Величина К определяет не только масштаб численности в начальную эпоху роста, но и дает оценку численности когерентной группы людей или племени – самодостаточной единице населения» [21].

Характерное время роста населения Земли τ, С.П. Капица уточнил следующим образом: он добавил член τ² в знаменатель выражения для скорости изменения численности (1), а затем, проинтегрировав его, получил одну из ряда возможных гладких, с «выходом на полку» кривых, описывающих изменение численности до и во время перехода – рис. 4.

В результате сингулярность пропала, и можно было сравнивать фактические данные по населению мира за последние 250 лет и по формуле (2). Испробовав семь вариантов с τ = 20, 25, 33, 40, 42, 45, 55 лет, С.П. Капица пришел к выводу, что наилучшее приближение дает вариант № 5 с τ = 42 года.

Рис. 4. Определение характерного времени τ путем замены гиперболы на время демографического перехода и времена близкие к нему – гладкой кривой с горизонтальной асимптотой.

Итак, согласно подсчетам С.П. Капицы, характерное время и характерная численность равны, соответственно: τ = 42 года, M = K² = 67000² = 4,49 млрд.

* * *

И, наконец, существует третий способ расщепления постоянной Форстера, который заключается в следующем:

На кривой роста численности населения Земли есть одна особенная точка: это тот момент времени и соответствующая ему численность, когда закон роста, остававшийся неизменным в течение многих тысяч лет, навсегда отходит от гиперболы. Эта дата, отделяющая эпоху гиперболического роста от эпохи перехода, согласно нашей теории, может быть использована для определения этих констант. Но определить их таким образом можно и без всякой связи с какой-либо теорией. Это мог сделать и С.П. Капица.

Действительно, рассмотрим теоретическую гиперболу с p = 1. Возьмем какую-то точку на оси времени и подсчитаем для нее численность населения мира и интервал времени, отделяющий ее от сингулярности гиперболы роста. Произведение этих величин равно постоянной Форстера, которая выступает здесь в качестве инварианта гиперболического роста. Продвигаясь по оси времени от прошлого к настоящему, дойдем до последней точки на кривой роста, для которой эта инвариантность будет еще выполняться (далее начинается демографический переход).

Эта точка является особенной, т. к. принадлежит как этапу роста, так и этапу перехода, поэтому ее координаты могут характеризовать как первый, так и второй. Если считать, что рост и переход представляют собой две последовательные стадии одного и того же процесса и могут быть описаны с помощью единых на всем их протяжении масштабов времени и численности, то определить эти масштабы можно следующим образом:

Примем за естественную меру для переменной «численность населения Земли» полное число живущих на тот момент времени, когда завершается эпоха гиперболического роста и начинается глобальный демографический переход. Иначе говоря, M – это численность населения мира в тот год, когда закон роста, остававшийся неизменным в течение многих тысяч лет, навсегда отходит от гиперболы.

В качестве масштаба времени выберем интервал времени, отсчитываемый от момента начала демографического перехода до точки сингулярности гиперболы демографического роста. Назовем этот интервал времени τ = C/M – характерным временем исторических изменений.

Момент времени, отмечающий завершение эпохи гиперболического роста, трудно определить по следующим причинам: во-первых, численность населения мира по годам во второй половине XX века известна лишь с точностью до нескольких процентов.

И, во-вторых, если исходить из нашей модели, гиперболический рост населения Земли хотя и представлял собой рост управляемый, подчиняющийся условию эквифинальности, тем не менее являлся по самой своей природе процессом случайным, что также не может не отразиться на точности выбора момента отхода роста от гиперболы.

Найти значения этих масштабов можно исходя из данного определения, однако высокой точности ожидать здесь не следует. Согласно мнению ряда исследователей, включая С.П. Капицу, переход начался где-то между 1965 годом и началом 1980-х прошлого столетия.

Начало демографического перехода С.П. Капица относит к моменту наивысшего набора скорости роста населения мира, а его конец – к моменту максимального спада прироста. Это не его определение, но оно полностью соответствует тому физикалистскому подходу к проблеме гиперболического роста населения планеты, которого он всегда придерживался.

При таком определении столь глобальные события, как конец эпохи гиперболического роста и момент завершения перехода (полное прекращение роста) определяются через мгновенную, «точечную» характеристику динамической системы растущее население Земли, такую как скорость роста численности.

Что вряд ли может считаться удовлетворительным, поскольку при таком физикалистском подходе остается необъясненной парадоксальная устойчивость гиперболического роста, возвращающая рост всегда на одну и ту же, по сути, предзаданную гиперболу. Скорее всего, здесь мы имеем дело с нестационарным случайным процессом N(t), направленным во все времена на одну и ту же гиперболу демографического роста.

Мгновенное значения скорости dN/dt в произвольный момент времени будет в таком случае всего лишь случайной величиной, и определять из динамики ее роста такие глобальные характеристики системы «растущее человечество», как начало и конец перехода – представляется неправильным.

Это неверное, по нашему мнению, определение и отодвинуло в прошлое дату начала перехода в расчетах С.П. Капицы примерно на 17 лет. Продолжительность демографического перехода в его модели составляет два характерных времени: 2τ = 42*2 = 84 года.

Если отложить от момента начала перехода по Капице характерное время τ, получаем ни о чем не говорящую, «безликую» дату 2007 год: 1965 + 42 = 2007. Дату, с которой не связано никакого глобального события истории, демографии и экономики и которая мало чем отличается от всех прочих дат первого десятилетия XXI века. (Мировой экономический кризис 2007–2012 гг. не был катастрофическим, и, кроме того, он никак не связан с демографическим переходом.).

Но если сместить начало перехода на 17 лет в будущее, то момент окончания первого цикла перехода (1982 + 40 = 2022) совпадет с сингулярностью гиперболы Форстера: исторической сингулярностью или сингулярностью Дьяконова – Капицы по нашему определению. Что еще раз указывает на ошибочность представления о том, что демографический переход начался в 1965 году.

Считая, что переход начался в конце семидесятых, начале восьмидесятых годов годов прошлого столетия и принимая для сингулярности гиперболы Форстера значение to = 2022–2032 г., получаем по самой грубой оценке для численности населения мира на момент начала перехода значение M ~ 5 млрд человек и для промежутка времени до сингулярности τ ~ 40–45 лет.

Закон гиперболического роста N = C/(to – t) – закон степенной и потому, по крайней мере чисто формально, – закон масштабно-инвариантный. Но такая его инвариантность к масштабу – не более чем промежуточная асимптотика. При выходе за границы интервала этой асимптотики для времени и для численности появляются естественные масштабы их измерения.

Во второй половине ХХ века, когда завершилась эпоха гиперболического роста, численность населения Земли составляла значение M ~ 5 млрд человек. То, что гиперболический рост завершился именно при такой, а не при какой-то меньшей или большей численности, позволяет определить ее в качестве естественной меры численности человечества на время перехода.

На другом конце интервала промежуточной асимптотики, в самом начале роста одной из популяций Homo sapiens, 1,7 млн лет тому назад, когда ее численность была порядка K = 60000–70000, был такой момент ее эволюции, когда произошел переход к гиперболическому росту. При этом можно заметить, что M ≈ K² и имеется еще один масштаб для численности – К. В итоге и при таком определении мы снова приходим к константам Капицы K и т.

* * *

В феноменологической теории Капицы есть единственная характерная численность К, используя которую можно полностью описать гиперболический рост. Но для описания завершающего этапа этого роста и перехода без характерной численности M = kK₅ = kK₄² = K² не обойтись. Почему это так?

• во-первых, потому, что конец эпохи гиперболического роста и начала демографического перехода приходится, как мы уже отмечали ранее, на тот момент времени, когда численность населения Земли достигает значения равного M = 4–5 млрд человек;

• во-вторых, численность населения Земли на момент завершения демографического перехода подойдет к своему пределу и будет в первом приближении оставаться неизменной, по порядку величины сравнимой с M: в модели Капицы (2–3)M, в нашей модели 2M;

• в-третьих, закон гиперболического роста, записанный в характерных масштабах τ и М, наиболее прост по форме: N(T) = 1/T, где численность измеряется в единицах M, а время отсчитывается в единицах τ от точки сингулярности в прошлое;

• и, наконец, в-четвертых, если принять M, а не К, как это делает С.П. Капица, за масштаб для измерения численности, то не будет никаких проблем с размерностью константы К.

Действительно, постоянную К можно считать безразмерной постоянной, но можно, как полагал С.П. Капица, определить ее и как размерную постоянную. В этом случае теория размерностей позволяет избежать ошибок в процессе преобразований закона роста. С.П. Капица даже в рамках одной работы описывает константу К то как размерную, то как безразмерную. [1].

Причем для того, чтобы добиться равенства размерностей в правой и левой части уравнения Капицы, он даже вводит две константы К, равные по величине, но одну из них считает безразмерной, а вторую – размерной: с размерностью численности. [21].

Если считать, что C = K₁K₂τ, где K₁ = 67000 – число (с размерностью люди) числа людей в популяции, а K₂ – полное число популяций в финале роста (безразмерное число компактных человеческих поселений), то размерности в левой и правой части уравнений Форстера и Капицы будут одинаковы.

При такой интерпретации постоянных роста теория Капицы приводит к демографическому парадоксу: K₁ = K₂ – люди и поселения в момент начала перехода оказываются по непонятной причине друг другу соразмерными. (Подобное странное совпадение есть и в космологии: число галактик во Вселенной на завершающем этапе ее эволюции, т. е. в наше время, равно среднему числу звезд в галактиках.).

Свою феноменологическую теорию С.П. Капица мог построить и с использованием констант М и τ, определив из динамики роста численности в конце ХХ века характерную численность М = K₁K₂ и постулируя, что на завершающем этапе роста K₁ = K₂. Тогда уравнение Капицы могло бы быть интерпретировано как закон квадратичного роста не людей, а популяций. Но «парадоксов роста» здесь все равно не избежать.

Кроме парадокса перехода, когда K₁ = K₂, – это и отсутствие ответа на вопрос: чем популяция гоминид, наших далеких предков, отличалась от всех прочих популяций, что при достижении числа ее членов значения ~ К₁ расти уже стала численность популяций, а не самих гоминид, причем не экспоненциально, а гиперболически; это и парадокс начала неолита, когда число популяций достигло значения корня квадратного из численности одной популяции: K₂ = √K₁ и началась первая демографическая революция; это и парадокс исторических циклов Дьяконова – Капицы, природа которых остается непонятной…

На самом деле, вводить две константы K₁ и K₂ нет никакой необходимости, ведь если считать, что M имеет размерность численности – проблема полностью снимается. Постоянная К в таком случае имеет размерность корень квадратный из размерности численности.

По нашему же мнению, численность населения мира следует считать целочисленной безразмерной величиной, а размерность ее плотности – 1/м². Так, например, в физике концентрация частиц имеет размерность 1/м³.

* * *

Важно понимать следующее: вычислить постоянные роста оказалось возможным по двум причинам. Первая причина заключается в том, что рост человечества на протяжении тысячелетий описывался – причем с очень высокой точностью – простейшей из возможных, степенной гиперболической функцией. (В модели Капицы при to – t >> τ зависимость (2) должна по идее переходить в гиперболу Форстера.) Именно поэтому постоянная Форстера C как константа эволюции человека имеет право на существование.

А вторая следует из теории глобального демографического перехода, в соответствии с которой этот рост, длившийся тысячелетиями, во второй половине текущего столетия за ничтожное по историческим меркам время, т. е. практически мгновенно, прекращается, численность стабилизируется (в модели Капицы устремляется к асимптоте кривой (2)) и меняться в дальнейшем не будет.

Как показывает анализ демографического перехода, мы в данный момент времени (второе десятилетие XXI века) приближаемся к его середине, причем длительность перехода составит примерно 100 лет. Т. е. стабилизация численности произойдет не за 10000, не за 1000 и не за 500 лет, а именно за 100 лет. Момент отхода закона роста от гиперболы Форстера, численность в этот момент времени, длительность первого цикла перехода от момента его начала до сингулярности гиперболы Форстера, динамика роста численности в конце ХХ, начале XXI века – все эти данные позволили «расщепить» постоянную Форстера C на константы M и τ.

* * *

Действие своих констант K и τ, полученных при анализе начала перехода, С.П. Капица распространил и на эпоху гиперболического роста. В своих работах он утверждает, что именно такие масштабы времени и численности характеризуют также и процесс гиперболического роста населения мира, продолжавшегося тысячи или даже десятки и сотни тысяч лет.

И для этого есть все основания. Так, характерная численность человеческих поселений, районов в составе больших городов составляет как раз К человек, а характерное время τ разумно считать равным средней продолжительности человеческой жизни за все время роста; этому же значению равна длительность Кондратьевского цикла, который является, по мнению ряда исследователей, главным циклом экономики и истории.

Демографический переход, согласно теории Капицы, занимает удвоенное характерное время: 2τ = 2(40–45) ~ 100 лет. Оба эти явления: гиперболический рост и демографический переход до сих пор остаются во многом непонятными и загадочными; и оба эти явления нашли свое описание во многом непонятной, загадочной и противоречивой феноменологической теории Капицы с ее константами К и τ, с удивительной точностью описывающей мировой демографический процесс.

* * *

Описание С.П. Капицей роста и перехода, в рамках его модели, содержит ряд непонятных моментов. Так, арккотангенсоиду (2) на рис. 4 он, очевидно, считает экстраполяцией, гладким аналитическим продолжением гиперболы роста на эпоху перехода. С этим трудно согласиться, т. к. уравнение (1) было получено в результате нескольких последовательных изменений (можно даже сказать искажений) из уравнения гиперболы Форстера на рис. (1). Действительно:

Во-первых, для показателя p степенной функции он берет не усредненное значение p = 0.99 по Форстеру, а целочисленное p = 1. Такая подмена, как мы покажем в дальнейшем, существенно повлияла на точность в определении постоянных К и τ.

Во-вторых, при выборе экстраполирующей функции (2), С.П. Капица варьирует не только характерное время τ, но и постоянную Форстера С: в формуле (1) С' = 186 (163 – в последней своей работе) млрд, а не С = 179 млрд лет, как у Форстера). Варьирует он также и t_o, которое у него 2007 (1995 – в последней работе) год, а не 2027-й, как у Форстера.

В результате такого вольного обращения с результатами исследования Форстера и его коллег (значениями C, p, t_o) его арккотангенсоида, описывающая рост за последние 250 лет, оказывается слабо связанной с гиперболой Форстера. Да и есть ли такая связь вообще? Всегда ведь можно подобрать достаточно гладкую кривую (например, с помощью полинома), хорошо отвечающую демографическим данным за последние два с половиной столетия.

Что же касается предшествующих им семнадцати с половиной веков, ясно, что эта арккотангенсоида не согласуется с демографическими данными и не совпадает с гиперболой Форстера, т. к. C' ≠ C.

Возможно такое возражение: С' = 186 (167) млрд лет, а не 179 млрд, как у Форстера, но разница невелика и находится в пределах разброса, отмеченного Форстером; а с учетом того, что точность демографических данных быстро убывает – составляет десятки процентов – по мере ухода в прошлое, можно ли вообще говорить о каком-то несовпадении? Ответ такой: для оценки численности населения мира в любой момент времени от 0 до 1960 года можно считать, и это будет нормально, что p = 1, а не 0.99, а константу С взять равной 179, 186 или даже 200 млрд лет.

Но если мы хотим определить c максимально возможной точностью постоянные К и τ, которые являются интегральными характеристиками роста, т. е. определяют его на протяжении двадцати столетий – нужно использовать средние значения, полученные Форстером, т. е. тройку [C = 179, p = 0.99, to = 2027], не меняя в ней ни одну из величин.

Можно ли в таком случае доверять полученным С.П. Капицей результатам: К = 67000, τ = 42 года? Здесь еще нужно учесть то, что постоянные p, С и to согласованы и нельзя произвольно, даже в небольших пределах изменять их по отдельности, а также и то, что условие К²τ = C, связывающее константы Капицы, должно быть уточнено – см. ниже.

Кроме того, примерно такой же по точности результат может быть получен, как это было сделано нами ранее, гораздо более простым способом, исходя лишь из того факта, что численность в момент начала перехода была равна K², а характерное время τ равно интервалу времени от начала перехода до сингулярности гиперболы Форстера.

* * *

Еще один непонятный момент связан с тем, что константы К и τ С.П. Капица вводит и вычисляет на момент начала перехода, а затем эти же постоянные применяет и при описании гиперболического роста, используя их в уравнении Капицы. Что, как мы отмечали ранее, вполне законно, если считать их сторонними по отношению к закону степенного роста.

Однако это противоречит основной предпосылке его модели о самоподобии роста и его масштабной инвариантности, когда в эпоху гиперболического роста нет и не может существовать никаких характерных масштабов τ и К для времени и для численности.

Масштабная константа M = K², константа Капицы К, которую он считает главным параметром своей модели, определяют характерный масштаб численности и уже только поэтому полагать, что степенная зависимость N = C(t_o – t)^-1 описывает самоподобный, масштабно-инвариантный рост населения Земли – представляется ошибочным.

То же можно сказать и о характерном времени τ = 42–45 лет, если считать его системным, т. е. характеризующем систему «растущее население Земли». Но если считать, что оно характеризует лишь носителя цивилизации, человека, тогда масштабная инвариантность закона N = C(t_o – t)^-1, как, видимо, полагал С.П. Капица, будет выполняться.

С этим вряд ли можно согласиться. Подобные соображения, вероятно, и стали причиной того, что С.П. Капица так и не связал с характерным временем τ никакого циклического исторического процесса, что является, по нашему мнению, существенным недостатком его модели.

Действительно, историческое время согласно модели Капицы сжимается, т. е. при переходе от цикла к циклу (всего их у него одиннадцать) численность растет все быстрее и быстрее, а исторический процесс, в соответствии с принципом демографического императива Капицы, все более и более ускоряется. Но характерное время τ, усредненное время продолжительности жизни человека по Капице, характеризует лишь представителя цивилизации и никак напрямую не связано с историческим процессом. Что вряд ли можно считать приемлемым.

Как мы показали ранее, точка сингулярности гиперболы Форстера отстоит от момента начала демографического перехода как раз на величину характерного времени. Считать, что положение этой точки на оси времени всего лишь дело случая с учетом того, что всякие доказательства устойчивости роста в построениях С.П. Капицы отсутствуют, – представляется ошибочным. Если же взять эту дату ~ 2022 год и постоянную τ = 40 лет, то можно разметить историческое время на циклы обратным отсчетом от точки сингулярности в прошлое. В результате получим (с хорошей точностью на границы) циклы Кондратьева.

Все это говорит о том, что характерное время τ – это не усредненное время жизни человека, как полагал С.П. Капица, а длительность главного цикла экономики, истории и эволюции – Кондратьевского цикла. Время, за которое с системой «все человечество в целом» могут произойти качественные изменения. Его также можно назвать характерным временем исторических изменений.

* * *

Однако как бы то ни было, постоянные τ и К входят в уравнение Капицы и определяют в соответствии с этим уравнением два естественных масштаба: масштаб времени и масштаб численности. Единица исторического времени (его квант) равна постоянной τ, а естественная единица измерения численности населения Земли, в соответствии с уравнением Капицы, – это K.

Если численность измерять в единицах характерной численности Капицы n = N/K, а время – в числе циклов Кондратьева (не обязательно целом) до сингулярности: Т = (to – t)/τ, то закон гиперболического роста приобретает более простой вид: n = К/Т. (Если за масштаб для измерения численности взять M = K², то этот закон приобретает еще более простой вид: n = 1/Т.).

Постоянные Капицы К и τ – фундаментальные константы эволюции человека.

Являются ли постоянные Капицы фундаментальными постоянными эволюции человека? Определяют ли они эволюцию Homo sapiens, или это всего лишь эмпирические константы, входящие в закон гиперболического роста численности населения Земли?

Если говорить о физических постоянных, то, как известно, все они делятся на две основные группы: размерные и безразмерные. Значения безразмерных постоянных таких, как постоянная тонкой структуры, не зависят от систем единиц и должны определяться теоретически. Численные значения размерных постоянных зависят от выбора единиц измерения.

Размерные фундаментальные константы такие, как скорость света или постоянная Планка, могут выступать в виде естественных масштабов соответствующих физических величин. Это подчеркивал еще В. Гейзенберг:

«Универсальные постоянные определяют величины масштабов в природе, они дают нам характеристические величины, к которым можно свести все другие величины в природе». (Гейзенберг, 1959, с. 136.).

Вместе с тем в той же физике существует большое количество прикладных задач, в которых также есть соответствующие естественные масштабы важные именно для этих прикладных задач, но не столь фундаментальные, как постоянные с, h, G. В аэродинамике – это скорость звука, в гидродинамике – вязкость, которые определяют естественный масштаб измеряемой величины. Например, в аэродинамике «мах» – это мера скорости в единицах скорости звука.

С.П. Капица так и не пришел к окончательному выводу о смысле своих постоянных. На протяжении ряда лет он по разному определял и характерную численность, и характерное время. В последних своих работах характерное время τ он описывает как «эффективную продолжительность жизни человека» или как время близкое к среднему возрасту человека, а постоянную К сравнивает с безразмерным числом Рейнольдса в гидродинамике. [21].

В таком случае задача описания роста населения Земли в его модели – не более чем прикладная задача, а его постоянные – не более чем естественные масштабы для этой конкретной прикладной задачи. С этим трудно согласиться, потому что совершенно невозможно поверить в то, что рост населения Земли во все времена определялся, как полагал С.П. Капица, причинным законом квадратичного роста. Если бы это было так – не было бы никакой гиперболы роста и не было бы никаких постоянных роста.

Гиперболический рост населения Земли и связанные с ним константы роста, по нашему глубокому убеждению, был вызван неким неоткрытым и по настоящее время причинным законом с постдетерминацией, управлявшим ростом популяции Homo sapiens. Этот закон и определил постоянные роста, причем не только τ и К, но и to – момент сингулярности гиперболы Форстера. В таком случае постоянные Капицы – это постоянные эволюции человека и универсальной эволюции вообще.

Подобно тому как фундаментальные физические постоянные определяют естественные природные масштабы и, прежде всего, масштаб длительности и протяженности в физической картине мира, константы Капицы задают естественный масштаб измерения численности представителей человеческого социума, являющегося авангардной системой эволюции в текущую эпоху и масштаб времени, характеризующий темпы роста этой численности, – масштаб, в котором может быть измерено время эволюции человека.

Константы Капицы позволяют определить не только время начала антропогенеза, но и момент начала неолита, начала и завершения демографического перехода, а также оценить численность населения Земли во все времена. С помощью τ и К можно подсчитать продолжительность сокращающихся по закону прогрессии циклов эволюции и истории, а также полное число когда-либо живших на Земле людей. [1] Причем все это можно сделать как в рамках модели Капицы, так и на основе изоморфной ей сетевой модели.

Таблица 1. Самые важные даты эволюции и истории человечества, рассчитанные теоретически с помощью постоянных Капицы τ и К. Приведены также современные научные данные по численности населения Земли в эти моменты времени.

Результаты расчетов в рамках первой и второй модели в первом приближении совпадают и полностью соответствуют данным демографии, истории и палеоантропологии – таблица 1. Все это говорит о том, что τ и К – фундаментальные постоянные эволюции человека.

Кроме того, об этом же говорит и полученная нами теоретическая зависимость численности от времени, полностью совпадающая с эмпирической гиперболой, описывающей рост населения Земли за последние сорок с лишним тысяч лет:

Рис. 1. Теоретическая гипербола, совпадающая с эмпирической гиперболой демографического роста. Отсчет времени ведется от момента начала неолита. Постоянная Капицы K ≈ K₄, весу клаттера сети четвертого ранга (точнее K = √kK₄).

Если бы константы τ и К не были постоянными эволюции человека – не было бы и никакой теоретической зависимости, описывающей гиперболический рост населения мира. Если же считать, что квант исторического времени, точнее его цикл (абсолютная разметка исторического времени на периоды постоянной длительности), существует, алгоритм восьми шагов отвечает действительности – такую формулу легко сконструировать.

Длительность исторического цикла τ равна здесь сорока годам, отсчет времени ведется от начала неолита. Гиперболический рост занимает 255 циклов; в 1982 году начинается демографический переход и формула на рис. 1 перестает правильно описывать рост. Сингулярность теоретической гиперболы, сингулярность Дьяконова – Капицы, наступает в момент времени t = 256τ.

В физике, как правило, безразмерные постоянные появляются в качестве эмпирических параметров, а затем находят свое объяснение при развитии физической теории. Здесь похожая ситуация: поскольку К – константа безразмерная и не зависит от выбора системы единиц, то ее значение должно, так или иначе, следовать из несуществующей пока теории эволюции человека или даже общей теории универсальной эволюции.

И здесь есть согласие феноменологической теории Капицы и сетевой модели: постоянная K₄, равная двойке в шестнадцатой степени в нашей теоретической схеме, возможно, являющейся первым шагом на пути к созданию такой теории эволюции, практически совпадает с безразмерной константой К в теории Капицы.

Постоянная τ – единственная размерная эмпирическая константа, определяющая темпы роста и развития человечества как системы, есть не что иное, как: время цикла сети четвертого ранга в нашей модели, постоянная времени Капицы, длительность Кондратьевского цикла, продолжительность последнего, восьмого исторического периода 1942–1982 гг., половина длительности демографического перехода. Это фундаментальная постоянная, задающая масштаб времени исторических изменений.

Численность населения Земли как функция времени в соответствии с формулой на рис. 1, так же как показатели продвижения человеческой цивилизации по пути исторического развития от начала неолита до 1982 года, зависела только от отношения t к τ, т. е. от числа циклов, пройденных Мир-системой к моменту времени t.

Если отсчет времени вести в циклах от сингулярности Дьяконова – Капицы в прошлое, теоретическая зависимость численности от времени на рис. 1 приобретает наиболее простой вид:

Рис. 2. Наиболее простой вид теоретической гиперболической зависимости численности населения мира от времени. Отсчет времени ведется от сингулярности гиперболы Форстера в прошлое.

Например, чтобы подсчитать сколько людей проживало в 1700 году, сначала вычисляем количество циклов до сингулярности Дьяконова – Капицы: (2022–1700)/40 = 8,05 цикла. Затем 1,1*4,3 миллиарда делим на 8,05 и получаем 590 миллионов человек.

Средняя длительность инновационных циклов, так же как продолжительность глобальных исторических периодов Мир-системы в нашей теории, выражается через фундаментальную константу исторического времени по одной и той же формуле:

Рис. 3. Обобщение гипотезы Шумпетера: длительность периодических инновационных циклов и сокращающихся по закону прогрессии циклов Дьяконова – Капицы от начала неолита до конца ХХ века выражаются через фундаментальную постоянную эволюции, постоянную времени Капицы, по одной и той же формуле.

При этом целые неотрицательные значения n берутся в пределах от нуля до семи. Отрицательные значения параметра n: n = -1,-2,-4 задают среднюю длительность экономических циклов Кузнеца, Жугляра и Китчена.

Вывод: таблица 1, Зависимости на рис. 1 и 3 говорят о том, что постоянные Капицы τ и К – фундаментальные константы эволюции человека.

Эволюцию физической картины мира можно рассматривать как переход от физики без фундаментальных констант (классическая физика) к физике с фундаментальными константами (современная физика). Подобно тому, как с каждой новой физической теорией связана фундаментальная физическая постоянная (с, h), с новой теорией эволюции также могут быть связаны фундаментальные постоянные эволюции.

Возможно, что новая теория эволюции в отличие от классической, на основе мутаций и естественного отбора, будет использовать константы τ, К, to или производные от них при описании эволюции человека и универсальной эволюции вообще.

И подобно тому, как фундаментальные физические постоянные не просто фигурируют как коэффициенты в физических законах, а определяют границы применимости физических теорий, константы эволюции определяют границы по времени и по численности, в которых происходит рост населения мира и эволюция человека.

Это в первую очередь касается численности населения Земли в трех главных точках ее роста, жестко закрепленных на оси времени и связанных, согласно нашей гипотезе, с датой t_o.

Первая точка ~ 1,7 млн лет тому назад – это начало роста, когда появился род Homo и стартовал гиперболический рост численности наших далеких предков; тогда она по порядку величины была равна К. Вторая точка – момент начала неолита, когда она стала порядка К√К. И, наконец, третья точка – это момент начала перехода, когда численность стала порядка К².

Константы τ, К и to определяют в модели Капицы и в нашей модели границы по времени эволюции человека [-1,7 млн лет, 2062 г. н. э.] и границы по численности на этом интервале времени [~2К, ~2К²]. При удалении в прошлое на времена большие, чем 1,7 млн лет или в будущее в XXII век и далее, константы τ и К не могут уже считаться постоянными авангардной системы эволюции и присутствовать в законе роста численности ее представителей.

* * *

Даты, отмечающие начало роста, его середину на логарифмической шкале времени и его конец, должны занять, по нашему твердому убеждению, свое место среди фундаментальных постоянных эволюции человека. Для исторического процесса особую важность представляют первая и вторая демографическая революция: моменты начала взрывного роста численности населения мира и взрывной ее стабилизации на предопределенном уровне.

В модели Капицы неолитический период никак не выделен, отмечается лишь [3,4], что неолит приходится точно на середину исторического времени, пересчитанного в логарифмическом масштабе. А ведь именно во время неолита – и это считается наиболее общепризнанным – стартовал тот процесс, который ныне зовется историческим.

И если начало истории – это начало неолита, то ее (по крайней мере, в том виде, в каком мы ее знаем) конец – это вторая за всю историю человечества демографическая революция: демографический переход. Который С.П. Капица справедливо называет периодом коренной ломки всех установившихся в течение тысячелетий способов развития:

«Демографическая революция и переход к постоянному населению, несомненно, самое крупное за всю историю потрясение в развитии человечества» [21].

Демографический переход, внутри которого все мы находимся, начался во второй половине двадцатого столетия и закончится во второй половине двадцать первого. Но существует ли какая-то конкретная дата, точка на оси времени, которую можно было бы связать с этим переходом?

Казалось бы, что может быть естественнее, чем связать с эпохой демографического перехода сингулярность эмпирической гиперболы демографического роста? Это та дата, при приближении к которой численность населения мира устремляется к бесконечности при условии неизменности закона роста.

Если есть гипербола роста, продолжавшегося в течение столетий, то существует и точка ее сингулярности, при подходе к которой этот рост, несомненно, должен претерпеть некие качественные изменения. И у этой точки на оси времени должен быть какой-то смысл.

Как ни странно, в построениях С.П. Капицы эта дата вообще отсутствует. Вместо 2022 (2025) года он вводит какую-то «безликую», ни о чем не говорящую дату: 2007 год, когда согласно первому варианту его модели скорость роста должна была достичь максимума:

«Скорость роста пройдет через максимум при Т₁ = 2007 г… Из-за введения τ, значение критической даты максимума Т₁ сдвигается от 2025 года к 2007 году. Это сдвиг, который следовало ожидать, и который в физике связывают с перенормировкой» [1].

Когда выяснилось, что максимум скорости роста населения мира был достигнут в 2000 году, С.П. Капица передвинул этот бессмысленный «полюс» на 1995 год. [21].

Смысл этой сингулярности, как нам представляется, не связан с какими-то конкретными событиями истории, экономики или демографии, которые непременно должно произойти в двадцатых годах текущего столетия. А в том, что эта дата, так же как и дата начала неолита, представляет своеобразную отметку на оси времени, которая позволяет разметить историю человечества на восемь сокращающихся по закону прогрессии исторических периодов.

Алгоритм такого разбиения – алгоритм восьми шагов – очень прост: делим отрезок времени от начала неолита до сингулярности гиперболы Форстера пополам, затем делим пополам оставшуюся половинку, ту, что у сингулярности. И так восемь раз. В итоге получаем восемь сокращающихся по закону прогрессии исторических периодов (и первую половину перехода).

* * *

Можно по-разному относиться к феноменологической теории Капицы, но одно несомненно: введенные им постоянные позволяют рассчитать с прекрасной точностью важные даты и циклы как истории, так и эволюции, а также численность населения мира во все времена.

С.П. Капица и сам с некоторой растерянностью отмечал этот удивительный и непонятный феномен. Феномен, который становится еще более удивительным, если учесть, что наша модель, идейно никак не связанная с моделью Капицы, оказывается полностью ей изоморфной. Т. е. использует (без всякой подгонки) те же самые константы, но в совершенно иной их интерпретации и выдает практически такие же результаты.

Ясно, что могут быть построены новые модели, могут быть уточнены старые. Может быть предложена иная, отличная от существующих интерпретация постоянных Капицы. В одном только нет сомнения: постоянные Капицы К и τ – фундаментальные постоянные эволюции человека.

Может оказаться так, что постоянные Капицы имеют очень простой смысл. Так, константа К – это примерно 2¹⁶ в нашей модели (K = √kK₄), а константа τ, возможно, будет выражена через планковское время. Так это или не так – покажет только время. Действительный смысл постоянных К и τ сможет прояснить лишь новая теория эволюции.

Сам факт существования этих констант эволюции и развития – факт удивительный, неожиданный, никем не предсказанный:

«Мы знаем, что нетривиальный научный прогноз будущего невозможен хотя бы уже потому, что в сфере социальных наук (в отличие от физики) нет фундаментальных констант, остающихся неизменными во времени. Нет их в психологии и биологии. Отсутствие фундаментальных постоянных свидетельствует о том, что в Мире живого нет существенно устойчивых систем. В этом мире действует спонтанность, не схватываемая рационально ориентированной наукой» В.В. Налимов «В поисках иных смыслов».

Факт существования констант К и τ говорит нам о том, что в Мире живого есть пример устойчиво развивающейся системы. Такой системой является растущее население Земли, причем рост ее, если исходить из нашей гипотезы, далеко не случаен и направлен к четко обозначенной цели. Следовательно, нетривиальный научный прогноз будущего и даже отдаленного будущего – возможен.

К вопросу о точности, с которой определены постоянные гиперболического роста C, p, τ, К, to.

Здесь мы попытаемся ответить на три важных вопроса, касающихся постоянных роста:

1. С какой точностью известна постоянная Форстера С?

2. Действительно ли показатель степенной функции p в законе Форстера в точности равен единице?

3. Можно ли было определить константы τ и К с большей точностью, чем та, с которой их вычислил С.П. Капица?

Прежде всего, необходимо обратить внимание на разницу, существующую между теоретической и эмпирической зависимостью. Невозможно оспаривать результаты эмпирического исследования Форстера и его коллег и, в частности, значение осредненного за двадцать столетий показателя p = 0.99.

Утверждение о том, что значение показателя степенной функции p в законе Форстера должно быть в точности равно единице относится к теоретической зависимости численности населения мира от времени, отражением которой и являются результаты эмпирического исследования Форстера: N = C/(t₀– t)^p; C = 179 ± 14 млрд лет; t₀= 2027 ± 5 г.; p = 0.99 ± 0.009.

Зависимости, которая является выражением неоткрытого и по настоящее время динамического причинного закона. В рамках нашей модели такая теоретическая зависимость найдена, но ею нельзя в полной мере воспользоваться, т. к. неизвестен с достаточной точностью зомби-коэффициент k и момент начала неолита.

Таким образом, говоря о законе роста, законе Форстера, мы имеем в виду теоретический закон гиперболического роста.

* * *

Гиперболической зависимостью называется любая степенная зависимость вида Y = C/X^p, где показатель p > 0 и необязательно целый. Является ли этот показатель в законе Форстера целочисленным или же он может быть равен какому-то нецелому, близкому к единице значению? Это очень важный вопрос, т. к. точность, с которой Форстер определил его в своей работе, некоторыми авторами ставится под сомнение.

Такое искажение исследования Форстера и его коллег позволяет им говорить не о законе гиперболического роста, а о гиперболическом тренде, предлагать модели роста, способные объяснить лишь такой гиперболический тренд, но никак не закон, и называть гиперболический рост населения Земли «надэкспоненциальным».

Что гораздо лучше отвечает их редукционистским теориям, неспособным объяснить парадоксальную системность растущего человечества. Так, С.В. Цирель в своей тяжелой для восприятия, наукообразной статье «Скорость эволюции: пульсирующая, замедляющаяся, ускоряющаяся», пишет (авторская орфография сохранена):

«Дальнейшие исследования (Kremer 1993; Коротаев 2006; Цирель 2008) показали, что сама пропорциональность выполняется не столь жестко, что показатель степени в знаменателе не обязательно равен единице и не обязательно неизменен в течение всей истории человечества, поэтому предопределенность, заданная уравнением (1), (эмпирической гиперболой Форстера [А.М.]) существенно преувеличена» [44].

В 2006 году Цирель писал мне о том, что они с Коротаевым чрезвычайно озабочены слишком высокой, по их мнению, точностью, с которой определена гипербола Форстера. Так и не найдя этому никакого объяснения, они решили сей факт проигнорировать и считать, что его как бы нет. А для того, чтобы их редукционистские модели выглядели правдоподобно, они, без всякого на то основания, стали называть закон гиперболического роста – гиперболическим трендом.

И даже С.П. Капица выражает сомнение в точности, полученной Форстером для показателя степенной функции:

«Заметим, что точность определения показателя n представляется несколько преувеличенной» [1].

Здесь мы приведем аргументы, говорящие о том, что показатель p в формуле степенного закона роста численности населения мира от времени должен быть в точности равен единице.

Иначе говоря, получив для показателя степенной функции при обработке данных по методу наименьших квадратов столь точный и столь близкий к единице результат, можно было сразу же прийти к утверждению о том, что в формуле закона, вызывающего такой рост, показатель p должен быть в точности равен единице и не может быть равен, скажем, 0.99 по принципиальным соображениям.

Мы докажем, что целочисленное значение показателя p = 1 занимает выделенное по сравнению со всеми другими, близкими к единице значениями, его соседями на числовой оси.

Действительно, если считать, что в формуле закона роста численности населения мира от времени показатель p ≠ 1, а равен, скажем, 0.99, то размерность постоянной Форстера С не будет уже иметь размерность времени, а будет иметь какую-то непонятную размерность: год или секунда в степени 0.99.

Что вряд ли может считаться приемлемым, т. к. эта константа определяла рост населения Земли на протяжении многих столетий и, несомненно, является фундаментальной постоянной роста и развития человечества как системы.

И, подобно тому как все фундаментальные физические постоянные имеют размерность, выражающуюся в целых или полуцелых степенях основных единиц измерения, постоянная Форстера С не может иметь размерность T^0.99. Она должна иметь размерность времени. Поэтому в законе роста недопустимо даже небольшое отклонение p от единицы[36].

Если бы в результате вычислений, которые провел Форстер, показатель p оказался нецелым и далеким от единицы и/или если бы точность его оказалось не столь высока, то, учитывая большой объем используемых данных, можно было бы сделать вывод о том, что аппроксимация закона роста степенной функцией не может считаться удовлетворительной. В таком случае не было бы никакого степенного закона роста населения Земли, не было бы никакой постоянной роста и не возникало бы никакого вопроса о ее размерности. Закон роста в таком случае мог быть каким-то иным, возможно, экспоненциальным или даже описываться на языке теории случайных процессов.

Но даже если бы Форстер и его коллеги в результате своего исследования получили, что численность населения Земли с начала новой эры до 1960 года росла с хорошей точностью по закону экспоненты, то этот результат был бы не менее парадоксален, чем установленный ими факт гиперболического роста. Действительно, на историческом этапе своего роста, особенно последние два столетия, человечество не было «однородной популяцией», а представляло скорее конгломерат, образованный различными как по численности, так и по естественному приросту популяциями (коэффициент естественного прироста в разные времена, для разных народов мог различаться в разы, поэтому простое усреднение его по всей массе человечества не может считаться допустимым). А значит, по закону Мальтуса могли расти лишь отдельные страны или народы такие, как, например, Америка в период освоения территорий.

Следовательно, даже если предположить, что численность каждого народа, этноса росла экспоненциально – из этого вовсе не следует, по изложенным выше соображениям, что численность человечества также росла экспоненциально. Вывод здесь был бы точно таким же, как и в случае гиперболического роста: учитывая чрезвычайную простоту полученного закона и единую на всем историческом этапе постоянную роста – время удвоения численности – его нельзя было бы считать причинным законом, а сам рост – автокаталитическим, самоускоряющимся процессом.

Но возвратимся к гиперболе. Если бы получилось так, что показатель p оказался близок к единице, но не равен ей (p ≠ 1); близок в том смысле, что в результате обработки большого объема данных доверительный интервал для него оказался небольшим и включающим целочисленное значение, в данном случае единицу, то соображения размерности позволили бы сразу же считать, что p = 1.

Иначе пришлось бы вводить фундаментальную константу с непонятной и изменяющейся по мере поступления новых данных размерностью. У Форстера p ∈ [0.981, 0.999] и интервал немного, на одну тысячную, «не дотягивает» до единицы, но все равно нужно положить p = 1, т. к. его границы выбираются по предзаданной вероятности.

Вывод здесь простой: закон роста населения Земли не мог быть «примерно» гиперболическим с нецелым, близким к единице показателем p и говорить о гиперболическом тренде, гиперболической тенденции и «надэкспоненциальном» росте в применении к мировому демографическому процессу – неверно в принципе.

И еще один важный момент. Что означает утверждение о том, что в течение всей эпохи гиперболического роста показатель p в формуле закона роста был равен единице?

Оно не означает, конечно, что рост всегда шел в точности по гиперболе Форстера, что естественный прирост населения мира причинно определялся численностью и был в любой момент времени пропорционален квадрату численности. Даже если бы это было так – рост все равно не был бы гиперболическим по причине его неустойчивости.

По нашему мнению, такой рост может быть представлен как нестационарный случайный процесс похожий на случайное блуждание по вертикали, направленное на гиперболу роста, с постоянным дрейфом по горизонтали в координатах время-численность на графике гиперболы демографического роста.

Показатель p в таком случае в точности равен единице лишь в том смысле, что это случайное блуждание во все времена каким-то непонятным образом направлялось на теоретическую гиперболу демографического роста, у которой p = 1. Именно поэтому при обработке данных по методу наименьших квадратов усредненный показатель p и оказался столь близок к единице. Итак, почему p = 1? Тому есть две причины:

1. Работа Форстера и его коллег, результаты которой считаются общепризнанными и из которой следует, что p = 1 с точностью до одного процента.

2. Соображения размерности: постоянная Форстера должна иметь размерность времени, а это возможно лишь при p = 1.

Теперь о потере точности при определении С.П. Капицей постоянных τ и К. По нашему мнению, такая потеря произошла при замене p = 0.99 (усредненный показатель по Форстеру) на целочисленный показатель p = 1.

«Как же так!» – возможно, удивится читатель. Только что доказали, что показатель p в законе Форстера должен быть в точности равен единице, а теперь утверждаем обратное?

Противоречия здесь нет, т. к. причинный динамический закон, благодаря которому эмпирический закон роста численности от времени оказался столь близок к гиперболическому с p = 1, предполагает существование теоретической гиперболы, показатель которой в точности равен единице.

Говоря о законе Форстера, мы и имеем в виду эту теоретическую, «идеальную» гиперболу. Однако при подсчете постоянных τ и К нужно пользоваться не теоретическим, а эмпирическим законом, т. е. гиперболической зависимостью с показателем p = 0.99, вычисленным по методу наименьших квадратов, и сейчас мы это докажем.

Существует семейство гипербол, почти столь же хорошо отвечающих демографическим данным за последние двадцать столетий, как и гипербола Форстера, каждую из которых можно полностью определить с помощью трех параметров [C, p, to][37].

Точность переменной численность населения Земли N(t) при ее вычислении по формуле Форстера менее всего зависит от даты сингулярности to, т. к. она определена Форстером и его коллегами с очень хорошей (в несколько лет) точностью.

Следовательно, даже в первой половине ХХ века любая вариация to в пределах доверительного интервала практически не влияет на результат. Здесь еще нужно учесть то, что динамика изменения численности населения мира даже в ХХ веке известна лишь с точностью до нескольких процентов, а также и то, что во второй половине ХХ века начался демографический переход и формула Форстера перестала правильно описывать рост.

Из двух оставшихся констант [C, p] наиболее важной – в плане ее максимально точного определения – является показатель степенной зависимости р (степенная функция гораздо более чувствительна к относительному изменению ее показателя по сравнению с аналогичным изменением мультипликативной константы), который характеризует «крутизну» гиперболы. Даже небольшая, в один-два процента, его вариация может существенно повлиять на результат, причем во всем диапазоне исторического времени.

Изменение постоянной Форстера С определяет равномерное растяжение (сжатие) исходной гиперболы роста от/к оси времени, и поэтому точность в ее определении одинаково важна при подсчете численности во все времена. Точность, с которой могут быть определены постоянные Капицы K и τ, напрямую зависит от точности, с которой вычислена пара [C,p] в соответствии с условием С = Mτ^p = K²τ^p.

Хотя действительный (теоретический) закон роста, как мы показали ранее, – это гипербола с целочисленным показателем p = 1, но если в результате обработки демографических данных по методу наименьших квадратов средняя аппроксимирующая гипербола получилась с дробным показателем, то при определении К и τ нужно исходить из обобщенного условия С = Mτ^p = K²τ^p. Использовать для этой цели уравнение С = K²τ, как это делает С.П. Капица, – представляется ошибочным.

Почему это так? Дело в том, что эмпирическая гипербола, заданная тройкой [C, p, to] меньше отличается (отстоит на меньшее расстояние) от теоретической гиперболы, соответствующей закону гиперболического роста [C', 1, to'] (где C' и tо' неизвестны), чем гипербола, определяемая тройкой [C, 1, to], у которой p = 1, а С и to остаются теми же, что у эмпирической гиперболы или каким-то случайным образом варьируются.

Поэтому характерное время и характерная численность (сторонние, не связанные со степенным законом роста) для обобщенного закона с нецелочисленным показателем р, закона, определяющего гиперболу [C, p, to], ближе (по сравнению с законом [C, 1, to]) к тем, что могли бы быть вычислены для теоретического закона гиперболического роста с целочисленным показателем p = 1, будь этот «истинный» закон ([C', 1, to']) известен.

Например, если бы удалось каким-то образом оценить характерное время τ, то характерную численность K следовало бы вычислять в соответствии с условием С = K²τ^p, а не с условием С = K²τ.

Допустим, к примеру, что характерное время τ связано с каким-то циклическим историческим процессом и длительность этого цикла известна с хорошей точностью. Или, никакой такой цикл неизвестен, а момент отхода роста от гиперболы найден с достаточно хорошей точностью, исходя из анализа общей его динамики во второй половине ХХ века.

В таком случае значение константы K следует искать в соответствии с эмпирической зависимостью Форстера рис. 1: N(to – τ) = K²= C/τ^p, где C = 179 млрд, p = 0.99, поскольку эта зависимость позволяет с наибольшей точностью вычислять полное число живущих в каждый год от начала новой эры до начала перехода. А не по формуле Капицы: N(to – τ) = K² = C/τ, где C = 163 млрд, которая была получена в результате округления показателя р до единицы. [21].

Поэтому значение численности на момент начала перехода, вычисленное по эмпирической формуле Форстера, будет более точным, чем в соответствии с феноменологическим уравнением Капицы. Кроме того, об этом же говорит и теория размерностей. Нельзя определять характерную численность, исходя из условия К² = C/τ, как это делает С.П. Капица, поскольку постоянная С в работе Форстера имеет размерность год ^0.99.

Так, если взять C = 186 млрд, К = 67000, как он полагал в своей первой статье 1992 года, то при р = 1 получаем τ = 41.4 года, а при р = 0.99 – τ = 43.0 года. Если же взять С = 163 млрд и К = 60100, как в его последней работе 2010 года [21], то при р = 1, τ = 45.2 года, а при р = 0.99, τ = 46.9 лет.

Разница для характерного времени в обоих случаях слишком велика, чтобы пользоваться формулой С = K₅τ = K²τ вместо формулы С = K²τ^p. Неоднократно изменяя свои константы K и τ, С.П. Капица никогда не подбирает для каждой такой пары наиболее подходящий показатель степенной функции р, считая, что он во всех случаях равен единице. И это, на наш взгляд, может рассматриваться как серьезная ошибка. В книге «Парадоксы роста. Законы развития человечества» на стр. 170 читаем:

«При обращении к последним данным демографии были получены уточненные значения постоянных: С = 163 млрд, и К = 60100, τ = 45 лет; K = (C/τ)^0.5».

При этом подразумевается, что p = 1; на самом же деле значению С = 163 млрд лет в семейство гипербол, аналогичных гиперболе Форстера, полученных по методу наименьших квадратов, должен соответствовать некий неизвестный показатель р, значение которого при подсчете своих постоянных С.П. Капица никак не учитывает. Можно ли в таком случае доверять тем оценкам для K и τ, которые он получил?

По неясным причинам С.П. Капица не связывает характерное время τ и характерную численность K с моментом начала перехода, что также является, по нашему мнению, большой ошибкой. (Скорее всего, по причине неверного определения начала перехода через мгновенную скорость роста численности dN/dt.) Кроме того, совершенно непонятно откуда вообще взялось значение С = 163 млрд лет, которое без всякого обоснования и каких-либо объяснений появляется в последней его работе [21]. Оно совершенно не согласуется с результатами работы Форстера и приведенными ниже оценками.

* * *

Определим константы Капицы, исходя из нашей гипотезы: характерная численность Капицы K = √kK₄= √1,1*2¹⁶ ≈ 68700 (точность К зависит от точности в определении зомби-коэффициента k, доверительный интервал для которого нам неизвестен); характерное время находим по формуле τ = T₁₃/N₄. Где T₁₃ – продолжительность 13-й эпохи универсальной эволюции или время эволюции человека; N₄ – полное число циклов роста сети четвертого ранга, сети 65536; T₁₃ = Тu/2¹³, Тu = 13.81 ± 0.06 млрд лет – время эволюции Вселенной, N₄= 42399. Получаем τ = 39.75 ± 0.20 лет.

* * *

В заключение рассмотрим вопрос о точности, с которой известна постоянная Форстера.

1. Согласно расчетам Форстера и его коллег, значение постоянной С равно 179 ± 14 млрд лет. Но это ее значение справедливо лишь для эмпирической гиперболы с показателем p = 0.99. Если же положить p = 1, что соответствует теоретической гиперболе и, как мы это показали ранее, действительному закону роста, то значение постоянной Форстера должно быть несколько увеличено.

На пальцах это можно объяснить так: гипербола y = C/x² при x > 1 ближе «прижимается» к оси 0X чем гипербола y = C/x и чтобы вернуть ее на позицию максимально близкую (на некотором интервале) к y = C/x нужно несколько увеличить С. В нашем случае гипербола с p = 0.99 отстоит на наименьшее расстояние от всех точек плоскости (N,t), отвечающих данным мировой демографии. Гиперболу с p = 1 нужно немного «приподнять» над осью 0t для того, чтобы максимально сблизить с оптимальной гиперболой с p = 0.99, т. е. немного увеличить С.

Авторы статьи «Судный день: Пятница, 13 ноября 2026 года» (Doomsday: Friday, 13 November, A.D. 2026) использовали в своих вычислениях 24 опорных значения времени и численности, полученные из большого числа источников разной степени надежности, однако никакие из них приведены не были. Поскольку воспользоваться этими данными и определить на их основе постоянную С при p = 1 невозможно, оценить ее можно только исходя непосредственно из результатов исследования. Для этого необходимо подобрать такую гиперболу с целочисленным p = 1, которая отстоит от эмпирической гиперболы Форстера на наименьшее «расстояние»:

Рис. 1. Определение постоянной Форстера С для гиперболы с целочисленным показателем, исходя из условия минимальности «расстояния» между гиперболой с p = 1 и гиперболой Форстера с p = 0.99.

Значение С, которое является решением данной вариационной задачи, равно 188 млрд лет с точностью до одного-двух процентов, независимо от значения t₀ в интервале [2022, 2028]. Поскольку у Форстера постоянная С определена с точностью 8 %, то эту же точность следует принять и для ее модифицированного значения. (Это и подобные ему определения постоянной С, основанные на усредненных значениях t₀ и р, не могут, конечно, считаться математически строгими. Но позволяют, тем не менее оценить ее примерное значение, которое должно быть на несколько процентов больше, чем 179 млрд в формуле Форстера.).

2. Для непосредственного вычисления постоянной С при р = 1 воспользуемся данными по росту населения Земли, представленными в работе [40] Остина и Брюэра (A.L. Austin and J.W. Brewer). Хотя точек N(t_i) у них, в отличие от работы Форстера и коллег, всего только 12 – все они взяты из трех авторитетных и признанных источников.

Таблица 1. Данные по населению мира от начала новой эры до 1960 года согласно A.L. Austin and J.W. Brewer [40].

Добавим еще одну точку N(1982) = 4.72 млрд, которая соответствует и теоретической гиперболе, и данным мировой демографии и обработаем все эти данные методом наименьших квадратов. В результате получим (в предположении p = 1, t₀ = 2022) C = 194.3 млрд лет.

3. Мак-Эведи, Джоунс и Кремер выполнили собственный расчет, включив данные по неолиту и верхнему палеолиту. Значение постоянной Форстера С оказалось равным 189.6 млрд лет (p = 1, t₀ = 2022) [13].

4. Примерно такое же значение для постоянной С находим и в работе [1] С.П. Капицы. Особенность его оценки, как мы уже отмечали ранее, заключается в том, что он определил постоянную Форстера, используя данные только за последние 250 лет (с учетом демографического перехода). В результате был получен следующий результат: C = K²τ = 186 ± 1 млрд лет (τ = 42 ± 1, К = 67000, p = 1, t₀ = 2027 ± 1).

5. И, наконец, определим значение постоянной Форстера на основе нашей модели, вычисляя ее по формуле: C = kK₄²τ. Точность постоянной С сильно зависит от усредненного зомби-коэффициента k, значение которого подбирается исходя из критерия близости теоретической гиперболы данным мировой демографии. При k =1.1 C = 1.1*65536²*(39.75 ± 0.2) = 187.8 ± ? млрд лет.

Итак, для постоянной Форстера имеем пять очень близких, независимых оценок. При этом точность ни одной из них нельзя считать установленной надежно:

1. Исходя из результатов работы Форстера и его коллег: С = 188 млрд лет.

2. Расчет на основе данных взятых у Остина и Брауэра: С = 194.3 млрд лет.

3. Работа Мак-Эведи, Джоунса и Кремера: С = 189.6 млрд лет.

4. Модель С.П. Капицы: С = 186 млрд лет.

5. Сетевая модель: С = 187.8 млрд лет.

Рассматривая эти результаты как ряд последовательных, независимых измерений величины С для ее среднего значения и среднеквадратического отклонения, получаем (при условии р = 1, t₀ = 2022): С = 189.1 ± 1.3 млрд лет. Учитывая, что объем выборки очень мал, этот результат вряд ли можно считать корректным, и вопрос о точности, с которой известна постоянная С, остается открытым. Возможно ли вообще когда-либо решить этот вопрос, учитывая значительные пробелы и неточности в данных по численности населения Земли?