Схолия Седьмая,

Где Илюша открывает еще кое-что насчет обычаев и нравов веселого карликового народца, у которого он был в гостях, и, в частности, узнает о том, как можно натянуть нос одному неуклюжему существу, причем натягивание это мнимое, а нос-то получается совершенно вещественный. После этого наш герой пытается играть с зеркалом в «Дразнилку», а затем наши добрые друзья встречаются с тремя недогадливыми испанцами и тремя храбрыми дипсодами, то есть людьми из Страны Жаждущих (которая подробно описана в знаменитой истории Гаргантюа и Пантагрюэля, неутомимых острословов, великанов и мудрецов). И только благодаря этой встрече Илюша узнает, сколько врагов надо уложить, когда на тебя нападают со всех сторон, ибо до сих пор он думал, что сторон в три раза меньше, чем это оказывается на самом деле. Тут же выясняется, почему любители чужого добра вдруг становятся такими кроткими, когда им растолкуют наконец, какие симпатичные треугольнички для них приготовлены в царстве ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА.

Илюша и Радикс продолжали свой путь в самом приятном расположении духа. Однако через несколько времени Илюша задумчиво промолвил:

— Эх! Я забыл спросить у этого человечка еще одну штуку.

— Что именно? — вопросил Радикс.

— 97 —

— Я никак не пойму: какое отношение эти комплексные человечки могут иметь к такой задаче, в которой есть только вещественные, да еще притом целые числа?

Тут Илюше показалось, что на него кто-то смотрит сзади.

Он обернулся и к своему неописуемому удовольствию увидел, что невдалеке позади, под синей стеной, в креслице сидит Мнимий Радиксович собственной персоной.

— Могу, — сказал любезный человечек, — вам рассказать о некоторых наших хитроумных проделках. Это вам кое-что пояснит. Вы, конечно, помните, что разность двух квадратов распадается на два множителя — на сумму и разность первых степеней.

— Ну еще бы, — отвечал Илюша.

— А мы, — продолжал словоохотливый человечек, — умеем делать то, чего вещественные числа делать не умеют: мы можем разложить на множители сумму квадратов. Это очень просто. Смотрите.

И на стене около кресла сейчас же появилось следующее:

X² + у² = (х + iy) (x — iy).

— Буква i, как всегда, обозначает √-1. Перемножьте, и вы убедитесь, что это равенство справедливо. Кстати сказать, формулы для пифагоровых троек я мог бы получить тоже не без помощи этого выражения, а именно вот как. Если нам нужно, чтобы.

Х² + у² = z²,

То положим, что оба множителя, то есть (x + iy), а также (х- iy), суть квадраты каких-то чисел, разумеется тоже комплексных, так что, например:

X + iy=(p + iq) ² = p² — q² + 2pqi.

Теперь я сравниваю левую часть с правой и заключаю, что.

Х = p² — q²; y = 2pq,

Откуда уже сразу следует, что.

Z = р² + q².

Это, правда, не совсем строго, хотя бы потому, что из a · b = z² не следует, что а и b непременно квадраты, но формулы получаются как раз те, какие нам нужны. Обратите, кстати, вни-

— 98 —

Мание еще на то, что одно равенство комплексных чисел заменяет собой два равенства обычных чисел. Это тоже ведь преимущество немалое! Теперь позвольте вам указать еще и на то, что если мы возьмем не разность квадратов, а разность кубов (а ведь куб-то как раз и является первой из тех степеней, о которых идет речь в Большой теореме Ферма!), то вещественные числа умеют разлагать эту разность только на два множителя, то есть на разность первой степени и неполный квадрат суммы. Не так ли?

Илюша утвердительно кивнул. И тотчас на стене появилось:

(х³ — 1) = (x — 1) (х² + х + 1).

— Ну, а мы можем разложить вам эту разность не на два, а на три множителя, и получится вот что…

— Вы легко можете убедиться в справедливости этого равенства, либо просто перемножив эти три скобки, либо решив квадратное уравнение, которое представляет собой ваш неполный квадрат суммы.

Х² + х + 1 = 0.

— Ну вот, — продолжал Мнимий, — отсюда вы легко можете видеть, что мы вполне можем иметь прямое отношение к задачам, в которых есть только вещественные числа. С этим несложным, но очень полезным разложением мы еще встретимся в дальнейшем, когда займемся вопросами довольно хитрыми (но при этом замечательно интересными) через каких-нибудь двенадцать Схолий. Причем мы способны делать то, о чем вещественные числа и понятия не имеют. А так как наша арифметика очень похожа на арифметику вещественных чисел, то вы можете прийти к нам, а потом вернуться к вещественным числам, и никаких недоразумений у вас не получится. А мы будем вам с удовольствием помогать теми своими способностями, которых у вещественных чисел нет. Мало того, мы еще вам что-нибудь подарим на память, чего вы даже у нас не просили. Вот, например, разложим разность кубов на три множителя, а если вы внимательно присмотритесь к этому разложению, то увидите, что наше решение имеет непосредственное отношение к геометрической задаче о том, как вписать в окружность равносторонний треугольник. И это потому, что мы друзья с синусами и косинусами, а коэффициенты, ко-

— 99 —

Торые мы вам вывели, равны: один — синусу тридцати градусов, а другой — косинусу тридцати градусов.

Илюша не мог сразу сообразить, при чем тут равносторонний треугольник, но, вспомнив, что синус 30° действительно равен одному из приведенных Мнимием Радиксовичем коэффициентов (то есть половине), не решился спрашивать и дал себе слово, что на досуге возьмет геометрию и сам все разберет.

— Теперь, — сказал Илюша, — я, кажется, начинаю понимать, как вы помогаете. Это замечательно!

— Милый юноша, — отвечал ему Мнимий Радиксович, — все, что вы здесь увидите, все вам будет помогать. Только надо научиться пользоваться нашей помощью. Это кажется трудным, но ведь вы когда-то и читать не умели, однако научились! Так и здесь то же самое. А если вы меня спросите теперь, почему мы с такой охотой беремся помогать вам в чужой задаче, то я вам отвечу, что, во-первых, всякому охота показать, на что он способен, ну, а потом, знаете, это все-таки довольно забавно — натянуть нос этим неповоротливым вещественным числам, чтобы они не важничали, потому что они народ ужасно спесивый, но совершенно не могут быть такими юркими, догадливыми и любезными, как мы! Однако, не всякий сразу с нами освоится. Вот, например, число шесть — поговорите о нем с вещественными числами, и они вам скажут, что это просто «дважды три». Справедливо, разумеется! Но с нашей точки зрения его можно еще немного иначе написать:

2 · 3 = 6 = (1 + √-5)(1 + √-5).

Попробуйте проверьте! Надо, видите ли, еще иметь в виду, что вопросы делимости могут касаться даже и алгебраических выражений, а ведь это очень важно, ибо алгебра-то и учит нас решать вопросы в общем виде. Вот задачка: дано выражение.

M³ + 6m² + 11m + 6.

Спрашивается, делится оно на три или нет? Что вы на это скажете?

— Не знаю, — ответил смутившийся Илюша, — может быть, попробовать разложить на множители?

— 100 —

И мальчик получил:

(m + 2) (m + 3) (m + 4).

— А теперь заменим (m + 2) на n. И тогда?

Илюша написал, а затем ответил нерешительно:

— Три натуральных числа подряд. Произведение! Коли так… то должно делиться на три! Вот странная задачка! Сразу не разберешься. А ведь мне нужно еще узнать про Дразнилку, — обратился Илюша к Радиксу, ибо Мнимий уже исчез. — Ты расскажешь?

— Отчего же! — ответил Радикс, беря со стола три картоночки, каждая величиной с почтовую карточку, и протягивая их Илюше. — Мы с тобой сначала рассмотрим самый простенький случай — тройного Дразнилку, который у тебя назывался «икс». Помнишь?

— Помню! — сказал Илюша, разглядывая карточки. На каждой стояла цифра: 1, 2 и 3.

— Так вот, — продолжал Радикс, — положи их на стол в обычном порядке. Запиши мелом на стене эту первую комбинацию, исходный порядок, то есть 1-2-3. А теперь перекладывай их так: ту, которая стоит спереди, клади в самый конец и повторяй дальше тем же порядком. Это круговая, или циклическая, перестановка.

Илюша переложил несколько раз, потом сказал:

— Больше не выходит. Опять то же самое получается.

— А теперь разложи их в обратном порядке: 3-2-1 и перекладывай опять так же.

— И тут то же, — ответил Илюша. — Опять я пришел к тому же, с чего начал, то есть к 3-2-1.

— Ну, теперь запиши.

Илюша записал так:

А).

1 — 2 — 3.

2 — 3 — 1.

3 — 1 — 2.

Б).

3 — 2 — 1.

2 — 1 — 3.

1 — 3 — 2.

— Вот они и все, — сказал Илюша, — их всего шесть штук.

— Попробуй, — посоветовал Радикс, — взять опять комбинацию 1-2-3 и перекладывать не переднюю назад, а заднюю вперед.

— Не стоит, — отвечал Илюша, — это я уже пробовал там, у Розамунды. То-то и дело, что они ходят друг за дружкой гуськом. И все равно в какую сторону двигать.

— 101 —

— Правильно, — сказал Радикс. — А теперь положи карточки рядом в порядке 1-2-3 и посмотри в зеркало, что у тебя получится.

Илюша посмотрел в зеркало и увидел, что из его комбинации 1-2-3 в зеркале получается 3-2-1.

— Как раз наоборот! — сказал он. — Из «А» получается «Б».

— Ну, теперь переставляй их вкруговую. И смотри, что выходит в зеркале.

Из 2-3-1 в зеркале вышло 1-3-2; из 3-1-2 получилось 2-1-3.

— Ну, как ты думаешь, — спросил Радикс, — можно ли уложить карточки так, чтобы и перед зеркалом и в зеркале получилось одно и то же расположение?

— Н-нет, — сказал в недоумении Илюша. — Ну как же это возможно? Нет, нельзя!

— Так, — отвечал его наставник, — Значит, там один круг, а здесь другой. Ну, вот и всё. Весь секрет Дразнилки в том, что там при наличии одной пустышки, в сущности, возможны только круговые перестановки. Игра в Дразнилку, как ты и сам понимаешь, это игрушка, почти безделка, но вот именно из-за того, что в этой игре участвуют эти круговые перестановки, о которых мы еще наговоримся впоследствии, игрушка эта получает довольно серьезный смысл. А перевести 1-2-3 в 3-2-1 циклической перестановкой нельзя, как нельзя добиться, чтобы в зеркале было то же, что перед зеркалом. Значит, если у тебя стоит с самого начала какая-нибудь комби-

— 102 —

Нация из круга «А», то ты можешь прийти к основной комбинации 1-2-3. Это будет четный круг. Но если у тебя стоит комбинация из круга «Б», то ее перевести в основную комбинацию невозможно. Но это — круг нечетный. Попробуй теперь в основной комбинации 1-2-3 переставить две какие-нибудь рядом стоящие цифры.

Илюша переставил. Из 1-2-3 получилось 1-3-2, потому что он переставил 2 и 3.

— Вот теперь получился круг «Б».

— Переставь еще двух соседей.

Илюша поменял местами 3 и 1 и получил 3-1-2.

— А теперь получился круг «А».

— Ну, вот и всё! — сказал Радикс. — Ты, я думаю, и сам видишь, что если переставляешь соседей четное число раз, то получается тот же круг. А если переставишь нечетное число раз любых соседей, причем неважно — этих ли самых или каких-нибудь других, то ты переводишь все расположение во второй круг, и тогда вернуться к первому кругу, не вынимая шашек из коробочки, невозможно. А теперь возьмем какую-нибудь комбинацию шашек в самом маленьком Дразнилке. Ответь мне: можно ли сказать сразу, выйдет у тебя в данном случае или не выйдет?

— Сказать я могу, — отвечал мальчик, — потому что помню, какие комбинации относятся к какому кругу.

— Та-ак… — довольно кисло протянул Радикс. — Однако не в числе шашек дело, потому что всего интереснее располагать правилом, которое было бы пригодно для любого числа шашек. Разумеется, мы начнем с того, что выясним, какие комбинации относятся к какому кругу, но в дальнейшем нам придется рассуждать уже по-иному. Не так ли? Как тебе кажется?

— Мне кажется, что нам нужно найти правило, по которому можно было бы сразу установить, выйдет данная комбинация или нет. Ты говорил, что все дело в том, сколько раз я переставлял соседние шашки…

— Так. Ну и что же?

— По-моему, можно так рассуждать. Каждый раз я меняю местами две шашки, то есть одну пару. Значит, надо сосчитать, сколько есть таких пар, которые поменялись местами.

Так как я не знаю, как именно они переставлялись, то надо пересмотреть все пары, которые стоят не в том порядке, который нужен. Вот, например, я начинаю с комбинации 1-2-3, затем идет комбинация 2-1-3. Тут только одна пара нарушает порядок: единица и двойка.

— Можно сказать, — вставил Радикс, — что эта пара образует беспорядок, инверсию.

— 103 —

— Хорошо. Значит, у нас здесь одна инверсия. Каждую пару я буду считать только один раз. Дальше беру комбинацию 2-3-1. Здесь есть две пары, образующие инверсии. Первая пара — единица и двойка, вторая — единица и тройка.

Двойка и тройка стоят относительно друг друга в порядке. Значит, здесь две инверсии. Беру еще одну комбинацию: 3-2-1. Здесь три пары шашек нарушают порядок. Первая пара — тройка и двойка. Вторая пара — тройка и единица. Третья пара — двойка и единица. Всего здесь три инверсии. Как ты и говорил, при четном количестве инверсий задачка решается…

— А если нет ни одной?

— Если нет ни одной, то и делать нечего, все и так в порядке. Значит, нуль тоже можно считать четным числом.

— Правильно.

— А если нечетное число инверсий, то задачка не может быть решена. Если подсчитать число инверсий в любой комбинации, то можно сразу сказать, выйдет или не выйдет. Если инверсий четное число, то выйдет; если нечетное, то не выйдет.

— Хорошо, — сказал Радикс, — а теперь перейдем к большому Дразнилке. Как там надо считать число инверсий и какой установить порядок?

Илюша задумался.

— Да, — промолвил он, — они просто по кругу не располагаются. Это ясно. Сейчас я попробую во всем разобраться. Ты не торопи меня. Ага, кажется, я начинаю кое-что понимать.

Начальный порядок там идет змейкой (верхний рисунок)^{7}.

— Правильно. Так вот мы и будем далее считать, «змейку» как нормальное начальное расположение в Дразнилке. Если двигаться по «змейке», то инверсий не получится. Вдоль нашей «змейки» мы и будем отсчитывать число инверсий. Теперь посмотрим, как вообще будет изменяться число инверсий, если.

— 104 —

Мы возьмем какое-нибудь — любое — расположение (рисунок средний)^{8} и в нем передвинем на пустое место (оно у нас во втором столбце и во второй строке) одну из шашек той же строки, то есть «три» или «восемь».

— Если идти вдоль по «змейке», — отвечал внимательный Илюша, — то число инверсий не изменится. Только разрыв в «змейке», который образует пустышка, перейдет на другое место, а в остальном расположение останется такое же.

— Прелестно! — отметил Радикс. — Ну, а если я на это место подвину одну из шашек того же столбца, то есть «десять» или «шесть», тогда что случится?

— Можно сосчитать! — сказал Илюша. — В первом случае мы перейдем к положению нижнего рисунка, то есть от ряда (по «змейке»).

1, 10, 15, 14, 12, 8, —, 3.

К ряду.

1, — , 15, 14, 12, 8, 10, 3.

Раньше «десять» образовывало инверсию с «восемью», а теперь этого не будет, но зато появятся инверсии «пятнадцати», «четырнадцати» и «двенадцати» с «десятью»; в общем, окажется на три инверсии больше и на одну меньше — в итоге на две инверсии больше. Если же передвинуть не «десять», а «шесть», то в средних строчках вместо ряда мы получим ряд.

12, 8, —, 3, 11, 6, 7, 5.

Мы получим ряд.

12, 8, 6, 3, 11, — , 7, 5;

Значит, «шесть» перескочит через «три» и «одиннадцать» и будет теперь образовывать новую инверсию с «тремя», потеряв свою старую с «одиннадцатью», — число инверсий совсем не изменится.

— Вообще, — сказал Радикс, — где бы ты ни оставил пустышку, каждый раз, когда на ее место подвинешь соседнюю шашку сверху или снизу, число инверсий или вовсе не изменится, или изменится на четное число.

Большая стрелка показывает, как идет «змейка».

— 105 —

— Да-а, — протянул Илюша. — Из этих примеров выходит так. Но я не пойму: как надо рассуждать, чтобы убедиться в том, что всегда так будет выходить?

— Ну хорошо! — примирительно сказал Радикс. — Давай теперь соберем все наши наблюдения над Дразнилкой. И попробуем подытожить все вместе. Итак — шашка может обойти только четное число других шашек: две, четыре и шесть. Это и есть основа всей системы Дразнилки: если есть возможность, комбинируя друг с другом такие четные обходы, достигнуть желаемой позиции — задачка решается. Если нет, то и нет решения. Надо сравнить заданную позицию с желаемой: если между ними четное число инверсий — все в порядке! Если нечетное, ничего добиться нельзя. Вот и все! Любая позиция из круга иной четности переходит в обратный круг при перестановке с места на место одной-единственной (но не двух!) шашки. Если внимательно посмотреть на зеркальное отображение самого маленького трехшашечного Дразнилки, то ясно, что один круг переходит в другой как раз через зеркальное отображение. Но если это так, то всегда из задачи, которая «не выходит», можно сделать другую, которая «выходит». Это будет та же искомая позиция, но в зеркальном отображении. Конечно, как это в каждом случае сделать — уж вопрос другой (АЛ-1, VIII).

— Понимаю, — сказал Илюша. — Выходит верно, но как-то не очень складно. Ведь должна же быть какая-нибудь общая причина, благодаря которой число инверсий всегда меняется на четное число при скачке через четное число шашек…

— Ишь какой хитрец! — воскликнул, рассмеявшись, Радикс. — Причина-то как раз в том и заключается, что ты перескакиваешь через четное число шашек, а ведь всякое четное число состоит из двоек. А если взять две шашки, то уже мы с тобой установили… Впрочем, можно этого отдельно и не рассматривать. Будем рассуждать так. Пусть шашка перепрыгивает по «змейке» через четное число 2n шашек. Причем есть р шашек, с которыми у нее были инверсии, и q = 2n — р шашек, с которыми инверсий не было. Ясно, что 2n — четное число. Но если это так, то числа р и q, как говорится, одной четности, то есть либо они оба четные, либо оба нечетные, иначе их сумма не могла бы быть четной. Если же я теперь вычту эти два числа одной четности, р и q, друг из друга, то я обязательно получу четное число, так как разность двух четных, как и двух нечетных, чисел неизбежно четная. Можешь проверить, коли тебе не лень. Другими словами, разность двух чисел всегда одинаковой четности с их суммой. Иначе говоря, алгебраическая сумма некоторого числа единиц с любыми знаками всегда будет одной четности с чис-

— 106 —

Лом этих единиц. Вот в чем тут сила! Ну, вернемся к нашей задаче. Изложи мне коротко и ясно: что же мы доказали этим рассуждением?

— Мы доказали, что при всякой перестановке шашки на пустое место число инверсий меняется на четное число. Значит, здесь, как и в маленьком Дразнилке, вернуться к исходному положению (то есть к такому, в котором нуль инверсий) можно только из расположения, в котором подсчет вдоль по «змейке» показывает четное число инверсий.

— Великолепно! — отвечал, вздохнувши, чтобы перевести дух, Радикс. — Вот теперь мы можем сказать, что установили необходимое условие того, чтобы Дразнилка вышел. А то, что это условие еще сверх того и достаточное, можно доказать совершенно строго, но мы этим заниматься не будем.

— Ну! — произнес огорченно Илюша. — Это мне не очень нравится. Ведь выходит, что мы только полдела сделали. И, наверно, это самое интересное и есть, потому что мы не получили правила, как приводить шашки в порядок.

— Конечно. Хотя одно общее доказательство вовсе и не должно указывать, как добиться цели скорей всего. Но только дело в том, что это доказательство не простое, и я не уверен, захочешь ли ты его слушать.

— Захочу, захочу! — обиженно сказал Илюша. — Мне очень нравится, когда я наконец начинаю разбираться в таких вещах, которые сперва кажутся такими уж хитрыми, что не знаешь, с какой стороны и подойти.

— Хорошо, — покорно отвечал Радикс. — Давай попробуем. Начнем вот с чего: убедимся в том, что с помощью перемещения шашек на пустое место мы всегда можем перепрыгнуть через любые две шашки по линии «змейки». Это совершенно ясно, если они обе стоят по соседству с пустышкой у того края, где «змейка» переходят из строки в строку. Но если они стоят где-нибудь рядом в одной строке, то мы можем поступить так: переместим их на край, не нарушая циклического расположения трех шашек (третья — та, которую надо перевести), так, чтобы они стали на краю друг под другом; затем, освободив место для переводимой шашки, перемещаем ее через них и вернемся, не нарушая.

— 107 —

Циклического расположения трех шашек, к исходному порядку, но с перемещенной уже шашкой. Приведем пример, и все станет ясно (верхний рисунок, стр. 107). Шашку «восемь» переведем через «девять» и «десять». Сперва мы передвинем шашки в двух нижних строках (нижний рисунок на стр. 107). Затем, как показывают три рисунка рядом^{9}, мы постепенно передвигаем шашки, потом перескакиваем и возвращаемся обратно. Как видишь, все осталось на месте, только шашка «восемь» перепрыгнула через двух своих соседок.

А теперь нам осталось доказать еще, что все шашки можно поставить на место такими скачками при любом исходном положении, содержащем четное число инверсий. Для этого давай поставим сначала шашку «единица» на первое место, если она еще на нем не стоит. Ясно, что, перескакивая через две шашки, мы ее доведем либо до второго, либо до первого места. Но если «единица» попадет не на первое, а на второе место, мы заставим шашку, которая стоит на первом месте, перепрыгнуть через две шашки направо. Тогда шашка «единица» очутится на первом месте.

Восьмерка перепрыгивает через две шашки («2» и «11»).

Поступим затем тем же порядком и с шашкой «двойка», то есть поместим ее на второе место, и так далее.

Но когда мы дойдем до предпоследнего места, то поставить на него шашку, которая стоит на последнем месте, не удастся, потому что ей ведь для этого надо перепрыгнуть через одну, а не через две шашки. В таком случае в самом конце «змейки», в четвертой строке, мы получим расположение 13-15-14 вместо 13-14-15, и если все остальные шашки уже стоят по местам, то получается только одна инверсия, между «четырнадцатью» и «пятнадцатью». Однако это может случиться только в тех расположениях, где уже с самого на-

— 108 —

Чала было нечетное количество инверсий. Следовательно, при четном числе инверсий все шашки в конце концов неизбежно станут на свои места.

Восьмерка перепрыгивает через четыре шашки («14», «15», «11» и «2»).

Как видишь, мы попутно еще доказали, что когда Дразнилка «не выходит», то на свои места можно поставить все шашки, кроме двух последних, что ты, как я полагаю, и сам не раз замечал. Если ты пожелаешь разобрать это доказательство на примере, расставь все шашки для упрощения в одну шеренгу и перепрыгивай через две, как указано. Конечно, в квадратике Дразнилки ты можешь для ускорения дела иногда перепрыгивать и через четыре или шесть шашек, как мы выяснили раньше. Ну вот, а теперь поставь нашу «змейку» в ее натуральном порядке.

Илюша поставил (см. рис. на стр. 110).

— Погляди, как в зеркале отражается, и запиши.

Илюша глянул в зеркало и написал то, что видно на рисунке на следующей странице внизу.

— В первой строке «четыре» дает инверсии с «тройкой», «двойкой» и «единицей», «тройка» — с «двойкой» и «единицей», наконец, «двойка» — с «единицей».

Всего в первой строке одна плюс две плюс три — шесть инверсий. Во второй строке столько же. В третьей тоже столько же. Всего восемнадцать. А в последней строке только три инверсии. В конечном счете получается двадцать одна инверсия.

— То есть в итоге нечетное число. Значит, если зеркальное расположение «не выходит», его можно перевести в натуральное расположение с одной инверсией. Но раз так, значит, и расположение с одной инверсией можно перевести в зеркальное. А поэтому всякое расположение, которое «не выходит» (и которое, как мы доказали, можно свести к одной инверсии), ты можешь перевести в зеркальное. Так вот, когда у тебя «не выйдет» (возьми-ка поставь в большом Дразнилке пример с перестановкой только двух шашек — «единицы» и «пятнадцати»), то ты можешь для утешения стремиться не к натуральной расстановке шашек, а к зеркальной.

— Вот это так! — вскричал Илюша. – Беспроигрышный Дразнилка! Здорово! Знаешь, это мне напоминает то странное слово, которое язык тетушки написал в Схолии Четвертой.

— 109 —

Илюша попробовал прием и убедился в его доброкачественности.

— Мне потому нравится Дразнилка, — заявил Илюша, — что все у него выходит просто. Только торопиться не надо!

Радикс усмехнулся.

— Как сказать! — проворчал он. — Как сказать! Если ты уж так хорошо все понял, то возьми-ка переверни шашки. На них ведь сзади, как ты помнишь, написано «Тетушка Дразнилка».

Вынь одну шашку… Ну, для памяти вынем ту, на которой стоит буква «ша». Потом перепутай шашки и проверь на буквах, как получается насчет правила «выйдет-не-выйдет». А коли заметишь какие-нибудь особенности, не поленись дать исчерпывающее объяснение. Да, кстати, вот еще что. Скажи, пожалуйста: известно ли тебе, что бывают уравнения со многими неизвестными?

— Ну еще бы! — отвечал Илюша — Конечно, известно.

Так вот, представь себе, что Дразнилка имеет довольно близкое касательство к решению систем уравнений со многими и даже весьма многими неизвестными.

— Да что ты? — удивился мальчик.

— Дело в том, — продолжал Радикс, — что если тебе, допустим, придет в голову точно определить, как можно вывести общие формулы, определяющие значения неизвестных в зависимости от коэффициентов в уравнениях, то придется заняться тем же самым, чем мы сейчас с тобой забавлялись, а именно — подсчитать число инверсий. Если не струсишь, то советую проверить это. Давай напишем систему уравнений:

A₁x + b₁y + c₁z = d_1.

A₂x + b₂y + c₂z = d_2.

A₃x + b₃y + c₃z = d_3.

И найдем, чему равняется у.

— Это что-то трудновато, — неопределенно заметил Илюша.

— Для простоты положим, что х и z уже известны и нам надо определить через них у. Ну-ка попробуй, что получится.

— 110 —

Илюша взял карандаш, задумался на минутку и написал следующее выражение для у:

Y = (d₁ — a₁x — c₁z) / b_1.

— Очень мило! Ну, а еще чего-нибудь ты не придумаешь?

— Можно подставить это значение у в остальные два уравнения, тогда останутся неизвестными только х и z.

— Можно. А далее?

— А далее поступаю подобным же образом. Определю из одного из уравнений z и подставлю его в последнее оставшееся уравнение. Получу, очевидно, значение для х. А его можно подставить в предыдущую формулу для z и так далее.

Все определится очень просто. Только бы не запутаться во всех этих подстановках.

— Так, — закончил Радикс, — верно. Придется тебе еще подумать, кстати, о том, чтобы у этих твоих дробей, которые определяют неизвестные, знаменатели не обращались в нуль.

Но если оставить это пока в стороне, то формулы ты получишь верные. О них-то я и хотел тебе сказать несколько слов.

Займись-ка, выпиши, что получается окончательно в знаменателе дробей. Если ты нигде не напутал, то получится алгебраическая сумма произведений:

A₁b₂c₃; a₁b₃c₂; a₂b₁c₃; a₂b₃c₁; a₃b₁c₂; a₃b₂c₁;

А что касается знаков перед ними, то они как раз тем и определяются, какое число инверсий, четное или нечетное, образуют числа «один», «два» и «три» в подписных значках у букв a, b и с, если мы будем писать эти три буквы каждый раз в их алфавитном порядке, как это у нас и сделано. Если при четном числе инверсий брать знак плюс, а при нечетном — минус, то получится алгебраическая сумма, которая называется определителем, или детерминантом, данной системы уравнений. Ты можешь еще заметить, что и числители дробей построены так же, только там вместо одной из букв а, b или с (в зависимости от того, какое ты неизвестное определяешь) поставлена буква d (для икса d заменяет букву а, для игрека — букву b, для зета — букву с). Если мы захотим определить знак перед каждым произведением, то для этого достаточно того, что мы вывели, когда разбирали маленького Дразнилку. А дальше дело пойдет, разумеется, похитрее. Мы еще вспомним нашего друга Дразнилку, когда будем разбирать одну довольно сложную задачу в Схолии Девятнадцатой.

— 111 —

— Теперь уже я буду относиться к Дразнилке посерьезнее. Вот какая он, оказывается, знатная персона!

— Кстати, — задумчиво произнес Радикс. — Ты, кажется, уверял меня по поводу младшего Дразнилки, что из трех элементов можно образовать всего шесть комбинаций?

— Разумеется, — уверенно ответил Илюша.

— Как это мило!.. — еще более задумчиво произнес его приятель. — И ты уверен, что больше шести не может быть?

— Конечно, уверен!

— Так, значит, шесть! И все разные. Это очень важно. Ровно шесть, говоришь ты?.. Это приводит мне на память один престранный случай. В архиве одного нотариуса города Толедо, в Испании, была обнаружена следующая запись, относящаяся к началу восемнадцатого столетия:

«После кончины достопочтенного дона Диего дель Кастильо в его доме было найдено завещание, согласно которому три драгоценных ларчика — бронзовый, серебряный и золотой — были оставлены трем его друзьям юности: дону Альваро, дону Бенито и дону Висенте, причем условие завещания гласило:

«Означенные предметы переходят во владение моих друзей по их выбору, который должен происходить в следующем порядке: 1) тот, кто видел меня в зеленом плаще, не может выбирать раньше дона Альваро; 2) если дон Висенте не был в Саламанке в тысяча шестьсот девяносто четвертом году, то, значит, тот, кто будет выбирать первым, никогда не давал мне своей табакерки; 3) дон Альваро и дон Бенито могут выбирать во вторую очередь только в том случае, если дон Бенито будет выбирать раньше того, кто первый стал носить шпагу…».

Когда вышеупомянутые лица, как того требует закон, были вызваны в суд, то они показали, что завещание это было составлено лет пятнадцать назад и поэтому сейчас никто из них не может вспомнить, о каком зеленом плаще идет речь, какое имела табакерка отношение к городу Саламанке, и так далее. Однако им известно, что в то давнишнее время дон Диего не раз говорил о том, что он имеет намерение оставить каждому из них хороший подарок. Тогда судья прочел им заключительные строки этого удивительного завещания, где говорилось:

«Настоящим я, завещатель, торжественно утверждаю во всеобщее сведение, что три вышеприведенных условия, которые определяют, кто и в какую очередь должен выбирать ларчики, вполне достаточны для этой цели, и ни одно из них не является лишним».

— 112 —

Однако и это не помогло тропы наследникам, вслед за чем судья, дон Базилио, закрыл заседание суда, а через неделю он, призвав к себе наследников, объявил им порядок выбора, определенный доном Диего в его завещании, сообщив им одновременно, кто видел завещателя в зеленом плаще, кто давал ему свою табакерку, кто первым стал носить шпагу и был ли дон Висенте в Саламанке в тысяча шестьсот девяносто четвертом году».

— Так вот, — продолжал Радикс, — ты теперь знаешь об этом деле столько, сколько знал судья. Представь себе, что к тебе обратились за решением того же вопроса, и ответь, каков же назначенный доном Диего порядок выбора.

— Не знаю, — сказал Илюша.

— Ну, брат, это не решение! — ответил ему Радикс. — Вспомни своего друга младшего Дразнилку и все шесть его переодеваний, хорошенько подумай и давай-ка решать…

Говорят, Илюша впоследствии все-таки нашел это решение. И, как это ни удивительно, в дальнейшем выяснилось, что туманные речи Радикса насчет шести переодеваний младшего Дразнилки, волшебника Икса, оказались в высшей степени полезными для этого. Пришлось еще припомнить и знаменитую речь У. У. Уникурсальяна из Схолии Пятой, о которой забывать вообще не советую… Очень странная история! ..

— Ну хорошо, — пробурчал, немного помолчав, Радикс — А слышал ли ты, кстати, когда-нибудь знаменитую историю с девятью бутылями вина Атоса, Портоса и Арамиса?

— Трех мушкетеров? — изумленно спросил Илюша.

— 113 —

— Ну да. История эта заключается в следующем. Однажды, после путешествия в Пино-Гри, Медок, Барзак, Грав, Шато-Икем, Бургундию и прославленную Шампанью, трое друзей съехались вместе, и между ними произошел следующий великолепный разговор. «Пусть меня подведут к единственным воротам славного города Кагора, — вскричал Арамис, — и повесят на них три раза подряд! Пусть шесть шпаг и десять пистолетов разом будут направлены в мое неустрашимое сердце! Пусть меня разорвут на двести пятьдесят три куска бешеные гиены из проклятых ущелий! Пусть мне в глотку немедленно вобьют ровно двести семьдесят шесть каленых пушечных ядер! Клянусь Геркулесом, Вулканом и самим длиннохвостым Вельзевулом — я не паду духом и не отступлю! Даже если бы я сам был пушечным ядром и на меня напали сразу все мои соседи справа, слева, сзади и спереди, еще с двух сторон, а кроме того, сверху и снизу, то и тогда бы я не дрогнул, а доблестно сразился бы со всеми этими двенадцатью врагами!» Услыхав эту бесподобную клятву, Портос и Атос мигом вскочили со своих мест, выхватив свои шпаги, и грозно гаркнули: «Мы готовы немедленно вступить в бой с миллионом горилл и людоедов, если кто-либо из них усомнится в том, что то, что ты сейчас сказал, чистая правда!».

Но Арамис грустно посмотрел на своих друзей и тихо промолвил: «И все же есть одна чудная сила, перед которой я слабею и падаю ниц…» Портос и Атос так были удивлены этим признанием, что не могли вымолвить ни слова. «Да, дорогие соратники, — повторил Арамис, — такая сила существует, клянусь моей непобедимой шпагой, и эта сила — жажда». Тут Портос и Атос, подумав недолгое время над этой фразой, сообразили, что все это было очень веселой шуткой, и, повалившись на диваны, начали хохотать. «Клянусь жареной головой кабана, начиненной говорящими попугаями, — вскричал в восторге Портос, утирая радостные слезы, — этот кавалер может уложить одной шуткой целый эскадрон королевских кирасир! Но что же нам делать с этим чудовищем — жаждой? Как же нам одолеть его?» Тут друзья отправились втроем в погреб гостеприимного дома, и там судьба послала им девять бутылей с вином. В первой было девять кварт вина, во второй — восемь, в третьей — семь, и так далее до девятой, в которой была только одна кварта. Вино было во всех бутылях разное, и одно только утешало наших мудрецов: все эти девять сортов вина отличались одним общим удивительным качеством — все они превосходно утоляли жажду. Дело было только за тем, чтобы откупорить бутыли и выпить все это вино. Но тут начались очень шумные пререкания. Затруднение заключалось в том, что Атос уважал сладкие вина,

— 114 —

Портос отдавал предпочтение кисленьким, в то время как Арамис пил только такие вина, которые были до того крепки, что уже невозможно было разобрать, кислые они или сладкие, и ни о каких других слышать не хотел. Мало этого, никак нельзя было догадаться, как бы поделить это вино, не смешивая его. А так как всем было до смерти некогда и их мучила жажда, а никто не хотел пить то вино, которое он не любит, то ты можешь вообразить, какая там поднялась суматоха! Однако отважный Арамис вдруг хлопнул себя по лбу и воскликнул: «Да здесь не без черта! Мне даже кажется, что я слышу некий адский серный запах. Ясно, что в это дело запуталось какое-то ужасное колдовство. Но так как я прошел с большим успехом полный курс магии всех цветов, начиная с черной, то сейчас же я разрешу это дьявольское недоразумение при помощи таинственного заклинания, сообщенного мне под страшным секретом знаменитым волшебником Чу-Син-Чьеном, который подарил мне драгоценное «Зерцало Четырех Стихий». Вслед за этим Арамис быстро разрешил вопрос о том, как поделить безобидно эти девять бутылей, не смешивая вина, а при этом еще предложил друзьям несколько решений, чтобы бутылки не только можно было поделить поровну, но всякий мог отобрать себе те вина, которые ему больше нравятся. Вот что гласит эта замечательная история. Не скажешь ли ты мне теперь, как поделить эти бутылки и как получить несколько решений задачи?

Илюша быстро сложил все кварты вина и получил «сорок пять». Значит, каждый кавалер мог рассчитывать на пятнадцать кварт вина. Несомненно, этого было вполне достаточно, чтобы утолить их благородную жажду, принимая во внимание, что кварта — это литр с лишним. Но как поделить эти девять бутылей, чтобы в каждых трех было пятнадцать кварт?

— В этой задаче, — произнес Радикс, — тебе бы мог помочь средний Дразнилка. Поставь-ка в коробочку все девять шашек, а потом подбери их так, чтобы…

— Понял! — воскликнул Илюша. — Так, чтобы каждый столбец из трех цифр давал в итоге «пятнадцать».

При помощи шашек Илюша быстро нашел решение.

— Получаются сразу два решения, — заявил Илюша, — потому что и по столбцам сумма дает «пятнадцать» и по строкам тоже выходит «пятнадцать». Постой-ка! Эта штука, кажется, называется магическим квадратом? Я где-то читал о них. Вот, значит, почему Арамис вспоминал о магии! А что же это за волшебник?

— 115 —

— Был такой волшебник математик в тринадцатом веке, и книга его действительно носит такое странное название.

Квадраты эти иногда называют «серебряными», так как в старину некоторые чудаки так их любили, что вырезали их на серебряных дощечках и были уверены, что эти квадраты прекрасное предохранительное средство против чумы. Европейцы узнали их из сочинения ученого византийца Мосхопулоса, который жил в четырнадцатом веке. Но на Востоке их знали много раньше, чем была написана книга Чу-Син-Чьена. Магические квадраты были найдены на стене развалин одного индийского храма, построенного в одиннадцатом веке. Арабы писали о них в девятом веке. А потом ими занимались многие, включая Ферма.

— А ну-ка, — воскликнул мальчик, — я попробую найти еще одно решение этой головоломки!

И довольно быстро Илюша получил его.

— Вот еще! — сказал он весело. Но, присмотревшись, добавил: — Впрочем, это тот же самый квадрат, который у меня получился в первый раз, только переставленный. Левый столбец, начиная снизу, стал третьей строчкой, средний столбец сделался второй строчкой, третий — первой.

Тут Илюша случайно взглянул в зеркало и увидел, что там его квадрат отражается еще по-иному[10].

— А вон, — весело воскликнул Илюша, — в зеркале еще решение! Ну-ка, я попробую теперь с большим Дразнилкой.

Но с большим Дразнилкой Илюша застрял основательно. Он высчитал, что должна получиться сумма столбца или строки, равная 34. Однако задачка оказалась довольно головоломной. Все-таки наконец он одолел этот упрямый квадратик. Его столбцы или строки тоже можно было переставлять и ловить отражение в зеркале со всех четырех сторон. Кроме того, оказалось, что если магический квадрат вращать вокруг точки, находящейся между четырьмя средними шашками, то есть вокруг центра коробочки, поворачивая каждый раз на 90°, то можно получить еще несколько квадратов. При первом повороте магического квадрата на четверть круга в положительном направлении, то есть против часовой стрелки, первая строка.

— 116 —

Превращалась в первый столбец, поворачиваясь так, что последняя ее шашка становилась верхней шашкой первого столбца, и так далее…

— Все-таки долго делать! — сказал Илюша. — А что будет, если взять квадрат побольше? Например, в двадцать пять клеток или в тридцать шесть. Совсем пропадешь!

— Как ты скоро пропадаешь! — отвечал Радикс. — Есть несколько способов составлять такие квадраты. Вот, например, как строится серебряный квадрат с нечетным числом клеток по старинному индийскому способу. Представь себе, что твой квадрат со всех сторон окружен такими же квадратами; их всего будет восемь, то есть к каждой стороне твоего квадрата приставлен такой же квадрат и к каждому его углу тоже. Начинаешь ты с того, что ставишь единицу в среднюю клеточку первой строки. Затем дальше ты всегда двигаешься по диагонали снизу вверх и, следовательно, слева направо. Если пойдешь по диагонали от единицы, ты попадаешь в тот приставной квадрат, который стоит сверху, и двойка попадает на его последнюю строку. Ты ее сейчас же переносишь в ту же самую клетку основного квадрата. Затем опять идешь по диагонали. Если ты снова попадешь в приставной квадрат, то опять переносишь цифру в соответствующую клеточку основного квадрата. Если же, когда ты двигаешься по диагонали или переносишь цифру из приставного квадрата в главный, попадаешь в клеточку, которая уже занята, то ты ставишь эту цифру как раз под той же клеточкой, которую только что заполнил. Для тройного квадрата ты получаешь то, что нарисовано на этой странице.

Илюша попробовал сделать по этому способу серебряный квадрат с двадцатью пятью клетками и убедился, что индийский способ очень прост[11]. Он отодвинул бумажку с цифрами и сказал:

— А все-таки хорошая книжка про мушкетеров! Он был молодчина, этот Арамис! Двести семьдесят семь пушечных ядер!..

— Положим, — заметил Радикс, — не двести семьдесят семь, а двести семьдесят шесть.

— Хм… — задумчиво протянул Илюша. — Ну, пусть двести семьдесят шесть. Это не так важно. На единицу больше, на единицу меньше…

— 117 —

— Значит, в таком случае, ты но будешь спорить, когда тебе скажут, что одиннадцать равно двенадцати? Там ведь тоже на единицу разница.

— Ну, это совсем другое дело!.. Но я вот про что. А как он собирался быть пушечным ядром и сражаться сразу с двенадцатью врагами со всех сторон? Я что-то не пойму.

— Он был человек военный, — отвечал Радикс, — и, конечно, любил вспоминать о ядрах. Попробуй-ка сообразить: когда ядра уложены на земле в кучу, со сколькими ядрами соприкасается каждое ядро, лежащее внутри кучи?

— Я где-то видел такую кучу, — припомнил Илюша, — кажется, во фруктовом магазине… Значит, я — ядро и лежу внутри кучи ядер. А все соседи нападают на меня. И сверху, и снизу, и со всех сторон! Сколько же их будет?.. Постой-ка! Ведь наверху лежит только одно ядро?

— Одно.

— Хорошо. Мне кажется, что об этом очень трудно рассуждать…

— Постой! — перебил его Радикс. — А если я тебе предложу несколько превосходных ядер?

Илюша обернулся и увидел, что на полу уже лежит ровная треугольная куча ядер. Ему показалось, что теперь он уже не запутается.

— Значит, — сказал он, — наверху одно ядро. Так! Теперь я его снимаю. Сколько во втором слое? Куча ядер треугольная, следовательно, и каждый ее слой — треугольник. Так?

— Конечно.

— Следовательно, самый малый треугольник, на котором лежит верхнее ядро, составлен из трех ядер. В нем есть только одна-единственная лунка, и в ней-то и лежало верхнее ядро. Теперь следующий слой, третий. Сбоку у него с каждой стороны по три ядра. Конечно, этот второй ядерный треугольник тоже равносторонний, и сторона его равняется трем ядрам. В нем всего шесть ядер. Как он устроен? Очень просто. Взят второй слой из трех ядер, и к нему добавлено с одной стороны еще три ядра. В этом третьем слое есть четыре лупки, но из них идут в дело только три, потому что для четвертого ядра уже места нет. Теперь четвертый слой. Он получается из третьего путем добавления с одной из сторон еще четырех ядер. В нем всего десять ядер и девять лунок, по заняты только шесть — для остальных трех ядер нет места.

— Расскажи-ка мне подробно про эти лунки, — предложил Радикс.

— Дело вот в чем: если я на чертеже соединю центры ядер прямыми, то из каждых трех ядер получу равносторонний треугольник, сторона которого равна диаметру ядра.

— 118 —

Среднее черное ядро в четвертом слое — первое из тех, которые нельзя увидеть сбоку.

В четвертом ядерном слое всего десять ядер. Они образуют на чертеже (стр. 120) шесть заштрихованных («черных») треугольничков. Эти треугольнички соответствуют тем лункам, на которые можно положить ядра третьего слоя. Центры шаров (ядер) этого третьего слоя придутся как раз над средними точками этих треугольничков, и расстояния между ними опять будут теми же самыми.

Но есть еще треугольнички, которые не заштрихованы («белые»): их три. Они-то и дают еще три лунки, на которые нельзя положить ядра, потому что расстояния от их средних точек до средних точек заштрихованных треугольничков вдвое меньше, чем требуется. Но можно было бы, разумеется, поступать и наоборот, то есть пропускать «черные» лунки и класть ядра только на «белые».

— Хорошо, — отвечал Радикс, — пусть будет так. Но как же ты решил насчет двенадцати ядер, с которых начался наш разговор?

— Сейчас подумаю. Для этого я возьму тот же четвертый слой. В схеме треугольничков я оставляю без внимания три крайние точки — А, В, С. Тогда, если обвести жирной линией периметр оставшейся фигуры, получится шестиугольник, правильный, разумеется. В нем один шар (то есть одно ядро) посредине, а кругом шесть точек для ядер.

— Значит?

— Значит, кругом ядра, находящегося внутри кучи, лежат по сторонам шесть ядер.

— Ясно. А сколько лежит сверху его и снизу? Ну-ка, подсчитай!

— Так как мой шестиугольник состоит из трех «черных» треугольников, то, значит, он образует три лунки для ядер (остальные будут лишними), а следовательно, сверху можно положить т р и ядра. Снизу же седьмое, то есть центральное,

— 119 —

Шесть треугольников четвертого слоя.

Ядро, о котором мы толкуем с тобой, тоже опирается на три ядра, что ясно из тех же самых соображений. Итого: шесть, да три, да еще три — выходит двенадцать. Так оно и есть. Вот так здорово вышло!

— Здорово-то здорово, но дело в том, что ты все это делал с ядрами в руках. А как бы это нам с тобой рассудить вообще, не касаясь ядер? Вот что интересно.

Илюша задумался. Ему казалось, что и без того все ясно, но высказать эту храбрую мысль он почему-то не решился. Радикс немного поморщился и произнес:

— Вот передо мной кучка ядер в два слоя: в первом слое, как обычно, одно ядро, во втором — три. Ясно?

— Вполне.

— Прелестно и очаровательно! Теперь пусть фигура не разрушается, пусть линии, соединяющие центры ядер, не расплываются и не укорачиваются, а ядра уменьшатся почти до размеров точки, только чтобы можно было заметить глазом.

Тетраэдр.

Немедленно все совершилось как по-писанному. И вскоре перед Илюшей на полу стояла некая геометрическая фигура, очень похожая на те проволочные модели, с которых рисуют начинающие живописцы. Ядра стали толстыми «точками» в углах фигуры, а центры ядер соединились тонкими линиями.

— Это, — сказал Радикс, — не что иное, как тетраэдр, один из правильных многогранников, каждая грань которого есть равносторонний треугольник. Их всего четыре, столько же у него и вершин (вспомни, что в той фигуре, с которой мы начали, было тоже четыре ядра), а ребер у тетраэдра шесть. Пять правильных многогранников были известны еще грекам, в частности о них писал Платон, почему их нередко называют Платоновыми телами. Вот они каковы: тетраэдр, ограниченный четырьмя правильными треугольниками; октаэдр, ограниченный восемью правильными треугольниками; икосаэдр, ограниченный двадцатью правильными треугольниками; куб — известное тебе.

— 120 —

Тело, ограниченное шестью квадратами, и додекаэдр, ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками. Так вот, перед тобой здесь тетраэдр. Рассматривая его, можно легко понять, как лежат ядра в куче. Надо иметь в виду, что нужно уложить ядра так, чтобы они располагались наиболее плотно. Чтобы нам в этом разобраться, начнем с более простой задачи. Как уложить на плоскости возможно больше кругов, которые должны частично соприкасаться, но нигде не перекрываться? Рассуждение приводит нас к выводу, что наиболее плотное (решетчатое) расположение кругов на плоскости получается, если центры трех кругов, из которых только два лежат в одном ряду, образуют равносторонний треугольник, сторона которого, очевидно, равна диаметру круга. Когда мы теперь переходим к расположению не кругов на плоскости, а шаров в пространстве, то очевидно, что пока речь идет о расположении шаров в одни слой, остается верным правило равностороннего треугольника, которое мы формулировали для кругов на плоскости. Но когда дело касается наиплотнейшего расположения шаров в пространстве, тут задача несколько усложняется. Как ты уже отметил (и совершенно правильно), мы не имеем возможности укладывать шары в следующем слое в каждую лунку — для этого шары слишком велики, — следовательно, нам надо выбирать те или иные лунки. Ты сам это заметил, когда говорил о шестиугольнике. Помнишь?

— Конечно, помню.

Октаэдр.

Куб.

Икосаэдр.

— 121 —

Додекаэдр.

— Так вот. Для изображения двух слоев ядер ставим рядом три тетраэдра, чтобы их соприкасающиеся точки слились.

Немедленно перед Радиксом стали на полу три тетраэдра, и указанные точки слились.

— Так, — сказал Илюша, — теперь я как будто понимаю. Точки в углах тетраэдров — это ядра. В нижнем ряду шесть ядер, в верхнем — три. Все правильно. Основание каждого тетраэдра — это те треугольнички, которые мы называли «черными». А треугольник, который лежит в глубине впадины между тремя тетраэдрами, назывался у нас «белым». Его мы пропускаем. То есть здесь среди шаров и будет та лунка, которую мы не заполняем. А если я сверху, на вершины этих трех тетраэдров, поставлю еще один так, чтобы три точки его основания слились с тремя вершинами нижних трех тетраэдров, то ясно, что на трех шарах будет лежать один. Я получу тогда один большой тетраэдр. Теперь я понял.

— Но это еще не все, — добавил Радикс. — Дело в том, что наиплотнейшее расположение шаров в пространстве, даже в три только слоя, зависит от того, в какие лунки ты кладешь ядра и какие ты пропускаешь. Чтобы это стало совершенно ясным, составим тетраэдры в два слоя так, чтобы соприкасающиеся углы их совпали, и допустим, что эти два слоя тянутся безгранично далеко. У каждого из тетраэдров есть вершина, которая изображает в нашей схеме шар второго слоя. Теперь я хочу добавить еще третий слой, но добавить его не сверху, а снизу. И при этом я могу действовать двумя способами. Либо я к каждому основанию моего тетраэдра приклею основание еще одного (чтобы они совпали и слились воедино), и тогда вершина второго тетраэдра будет стоять симметрично относительно вершины первого. Это первый способ наиплотнейшего расположения шаров в.

Наиболее плотное расположение кругов на плоскости.

— 122 —

Четыре тетраэдра (план). Заштрихованные треугольники — основания трех нижних тетраэдров; кружки — вершины этих тетраэдров (А, В, С); звездочка — положение верхнего шара, то есть вершины четвертого тетраэдра, основание которого совпадает с пунктирным треугольником ABC.

Пространстве. Однако можно действовать и по-другому, то есть приложить основание второго тетраэдра к той впадине, которая образуется между двумя рядом стоящими тетраэдрами. Тогда третий, нижний слой шаров будет расположен так, что его можно перевести в первый при помощи того же смещения, которое переводит первый ряд во второй. Комбинируя эти два основных способа укладки, можно получить различные расположения шаров в пространстве. Так вот, куча из ядер, о которой мы с тобой сейчас толкуем, построена по…

— Второму способу! — закончил Илюша. — Ну, теперь ясно, что на Арамиса должны нападать трое сверху, трое снизу и шесть человек со всех сторон! Выходит не так, как всегда говорят: «со всех четырех сторон», а со всех двенадцати сторон! Интересно, сколько же в куче будет всего ядер? Наверху — одно, в следующем слое — столько, сколько видно сбоку в первом треугольнике, то есть три, а в следующем — столько, сколько во втором треугольнике; это будет еще на три ядра больше, значит, шесть. Потом будет уже на четыре больше — десять. Как же считать?

Четыре тетраэдра (вид сбоку).

— Об этом ты узнаешь в Схолии Одиннадцатой, а пока продолжай складывать.

— В первом и втором слоях вместе: один да три — четыре.

— Квадрат двух, — подсказал Радикс. — А во втором и третьем?

— Три и шесть — девять,

— 123 —

Первый способ наиплотнейшего расположения шаров. Шары верхнего слон (кружки) закрывают шары нижнего слоя (крестики).

Опять квадрат. А шесть и десять-шестнадцать, опять квадрат.

— Три и шесть — девять, опять квадрат. А шесть и десять — шестнадцать, опять квадрат. Как интересно! Значит, очень просто эти слои считать: вычти число последнего слоя из следующего квадрата и получишь то, что надо. Следующий квадрат будет двадцать пять. Вычитаю десять, и выходит пятнадцать. Так?

— Твое наблюдение правильно. Это треугольные числа.

— Как интересно! — воскликнул Илюша. — И для всякого числа есть свое название! А выходит, что шесть — это очень знатное число: оно и совершенное и треугольное! Теперь: сколько же всего ядер выходит в куче?

Один слой — одно. Два слоя — четыре. Три слоя — десять. Четыре слоя — двадцать. Пять слоев — тридцать пять.

Строение селитры по М.В. Ломоносову (1763 г.).

— А это пирамидальные числа.

— Ну да, потому что выходит пирамида из ядер.

— Конечно, — сказал Радикс. — Такое расположение имеет важное значение при изучении места отдельных.

— 124 —

Атомов или молекул в кристаллах. Они там тоже так уложены. Представь себе, что математики пришли к этой мысли раньше, чем физики! И все эти числа получить очень просто. Возьми-ка мел и пиши. В первом столбике напиши одну под другой пять единиц; во втором — те числа, которые ты видишь в пирамиде ядер сбоку; в третьем столбике — треугольные числа, а в четвертом — пирамидальные.

Илюша взял мел и написал то, что изображено справа.

— Смотри, какая у тебя получилась табличка. Каждое число в любой строке равно сумме того числа, которое стоит над ним, и того, которое стоит слева от него. Видишь?

— Верно, — отвечал Илюша. — Например, десять равно шести плюс четыре!

— А теперь, — продолжал его друг, — ты видишь, что эту табличку очень легко продолжить по этому правилу. Добавь-ка еще четыре единички в первой строке и три в первом столбце и заполни таблицу. И в каждой строке пиши одним числом меньше, чем в верхней. Ну-ка, пиши поскорей!

Илюша написал единицы, и у него получилась табличка, изображенная слева.

— Эта замечательная табличка называется треугольником Паскаля, — сказал Радикс, — потому что она была составлена французским математиком семнадцатого века Блезом Паскалем.

— Это тот самый, про которого ты вспоминал, когда Великий Змий пришел пробирать нас? — спросил Илюша.

— Он самый, — торжественно произнес Радикс. — Эту табличку до Паскаля, веком раньше, построили итальянские математики. Но в то время известия о новых открытиях распространялись не так быстро, как теперь. Мало того, что этот треугольник дает натуральные числа, треугольные, пирами-

— 125 —

Дальние и многие другие, которые в общем называются фигурными числами, он дает еще более полезные и важные указания. Вот я его сейчас перепишу по-другому.

Радикс взял мел и написал то, что изображено слева.

— Посмотри, — сказал он. — Тебе эти цифры ничего не напоминают?

Илюша внимательно посмотрел новую табличку, подумал, потом сказал:

— Один, два, один — это похоже на сто двадцать один, то есть на квадрат одиннадцати.

Потом Илюша взял мел и начал что-то старательно множить.

— Четвертая строка, — сказал он, — это будет куб одиннадцати, а пятая — четвертая степень одиннадцати.

— Правильно, — отвечал Радикс. — Ну, а кроме этого, ты ничего не замечаешь?

— Нет, — сказал Илюша, подумав, — больше, кажется, ничего.

— А помнишь ты формулу квадрата и куба суммы?

— Конечно!

— А как там идут коэффициенты?

Илюша помолчал, посмотрел на Радикса, потом на табличку и затем написал:

(а + b)² = а² + 2ab + b².

(а + b)³ = а³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Внимательно посмотрев на эти хорошо знакомые формулы, а затем снова на табличку Радикса, Илюша сказал:

— А ведь верно! Если взять квадрат суммы, то при а² коэффициент единица, при ab — двойка, а при b² — снова единица, то есть коэффициенты идут, как в третьей строке: 1—2—1.

И в кубе суммы тоже идут, как в четвертой строке: 1—3—3—1.

Илюша умножил куб суммы на первую степень суммы и, довольный, сказал:

— Ну это просто замечательно! И в четвертой степени у нас получается:

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ ,

И, значит, коэффициенты идут опять, как здесь, в последней строчке: 1—4—6—4—1.

— 126 —

— Ну, так вот, — продолжал, улыбаясь, Радикс, — значит, с помощью этого треугольника, если ты его продолжишь (а как ты видел, это очень просто), ты можешь написать сумму в любой степени. Ты должен только запомнить еще одно нехитрое правило: степени первого слагаемого уменьшаются от той степени, в которую ты возводишь сумму, до нулевой, а степени второго слагаемого идут как раз в обратном порядке — от пулевой до старшей.

— Действительно так, — сказал Илюша, посмотрев на четвертую степень суммы.

— И это еще не все, — сказал Радикс. — Ты еще немало узнаешь в дальнейшем про эти числа. Они многое могут делать. Узнаешь также, что у Арамиса были весьма серьезные основания интересоваться этим треугольником (АЛ-I, XII).

— Вот почему он и сказал про двести семьдесят шесть ядер?

— Двести семьдесят шесть и двести пятьдесят три — это два пирамидальных числа. Но тут есть вещи и посерьезнее. Дело в том, что этот треугольник учит храбрых пушкарей не только складывать ядра в кучи: он учит их еще и стрелять из пушек! А самое главное, он учит их попадать этими ядрами как раз туда, куда следует, чтоб отвадить непрошеных гостей, которые падки на чужое добро!

— 127 —