Примечания.

1.

Пусть не входит никто, не знающий геометрии (Греч.).

2.

Цитата из псевдо-Плутарха: «Другие считают Землю неподвижной, но пифагореец Филолай считал, что она обращается около центрального огня по косому кругу совершенно так же, как Солнце и Луна. Гераклит Понтийский и пифагореец Экфапт тоже заставляют Землю двигаться, но не поступательно, а как бы привязанной вроде колеса, с запада на восток вокруг собственного ее центра» (Греч.)

3.

«Если бы возможно было установить истину столь же легко, как искоренять ложь!»-(Лат.)

Я считаю своим долгом с благодарностью чтить его память и отметить здесь, что все свое сооружение я возвожу на его земле, заимствуя у него материал.

4.

Я считаю своим долгом с благодарностью чтить его память и отметить здесь, что все свое сооружение я возвожу на его земле, заимствуя у него материал.

5.

Ф. А. Петровский указал, что смысл, вложенный в этот пример Кеплером, получается только по латинскому тексту Библии (от Луки, V, 4). Если обратиться к греческому оригиналу семидесяти толковников, то там сказано: «Плыви в глубокое море»; в латинском же тексте глубокое и высокое передается одним словом altum. - Прим. сост.

6.

Ввиду отсутствия прижизненных портретов Гука, приводится фото титульного листа «Микрографии» — основного труда Р. Гука.

7.

При современной терминологии заглавие сочинения Ньютона: «Philosophial Natu-raiis Principia Mathematica» наиболее точно передается словами: «Математические основания физики». Термин «Натуральная или естественная философия» — «Natural Philosophy» удержался и до сих пор в английской литературе; так, например, озаглавлено знаменитое сочинение В. Томсона и Тэйта (см. стр. 185— Ред.) — Прим. А. Я. Крылова.

8.

Заглавие в подлиннике есть «Regulae philosophandi, т.е. «Правила философствования». Уже не раз приходилось обращать внимание на тогдашнюю терминологию, удержавшуюся в английском языке и по теперешнее время. По этой терминологии натуральной философией называлась наука о природе вообще, в частности физика, под словом physics разумеется медицина.

В те времена была гораздо более тесная связь между «философией» и «физикой» в теперешнем смысле этих слов. Так, Маклорен свой «Отчет о философских открытиях Ньютона» начинает словами: «Описывать явления природы, объяснять их причины, намечать соотношения между этими причинами и исследовать все устройство Вселенной есть задача натуральной философии... Но натуральная философия подчинена и высшего рода целям и должна, главным образом, цениться потому, что она устанавливает надежное основание естественной религии и нравственной философии, приводя удовлетворительным образом к познанию Творца и Вседержителя Вселенной».

Философские системы, в особенности декартова, тогда еще прочно царили над учением о природе и мироздании. Ньютоново воззрение, что при изучении природы надо от наблюдаемых явлений восходить к установлению причин, коими они объясняются, шло в разрез с декартовым учением, согласно которому надо проницательностью ума вперед установить первопричины и из них выводить следствия.

С другой стороны, философия близко примыкала к религии и богословию; связь эта была не только свободною, но и насильственною, чему примером может служить следующее «Заявление о, Лесера и Жакье», предпосланное третьему тому их издания ньютоновых «Начал» 1760 г.: «Ньютон в этой книге III принимает гипотезу о движении Земли. Предложения автора не могут быть объяснены иначе, как на основании сделанной гипотезы. Таким образом, мы вынуждены выступать от чужого имени. Сами же мы открыто заявляем, что мы следуем постановлениям, изданным верховными первосвященниками против движения Земли». Это заявление не помешало, однако, ученым отцам-иезуитам к 140 страницам, составляющим книгу III «Начал» Ньютона, добавить в своем издании 540 страниц толкований, из которых видно, что движение Земли едва ли рассматривалось ими как гипотеза, отринутая постановлениями римских пап и уже по одному этому неверная.—Прим. А. Н. Крылом.

9.

«Природа проста и разнообразна». (Лат.).

10.

Если в своем прогрессе химия как будто является исключением в этом отношении, это объясняется безусловно тем, что она еще очень мало продвинулась вперед, несмотря па большие успехи, которые она обнаружила за последние 30 лет. Но и сейчас уже можно заметить, что отношения многочисленных соединений, которые она являет, отношения, из которых, как первоначально казалось, каждое подчиняется своим особым законам, в настоящее время оказываются объединенными общими правилами большой простоты.

11.

Если только не предположить, что световые частицы обладают некоторого рода  намагничением или внутренней модификацией, являющейся результатом разложения или неравномерного распределения еще более тонкой жидкости, заключенной в  каждой из частиц. По нашему мнению, это значит злоупотреблять аналогией,  предполагая столь сложные свойства у элементарных частиц наиболее тонкой жидкости, которая только известна.

12.

В своих исследованиях по вопросу о колебаниях упругих жидкостей геометры  пришли к выводу, что волны различных длин распространяются с одной и той же скоростью. Но, допуская этот вывод для однородной жидкости, из него не следует  делать заключения, что то же самое имеет место, когда эта жидкость находится в промежутках между частицами значительно более плотного тела, обладающего к тому же совершенно другой упругостью. Вполне возможно, что запаздывание,  вызываемое этими препятствиями в ходе световых волн, изменяется вместе с их  длинами таким же образом, как она изменяется с формой, массой и промежутками между частицами среды. И если дисперсия — наиболее иррегулярное явление оптики — не была еще объяснена теорией колебаний, тем не менее нельзя сказать, что она находится в противоречии с этой системой. Ньютоновская теория не лучше  объясняет законы дисперсии. Она полагает, что притяжения, которые оказывают тела на свет, изменяются в зависимости от природы тел и сообразно различным их  отношениям к различным родам световых частиц; но можно ли назвать объяснением то, что ни в чем не упрощает науки и заменяет факты равным количеством частных гипотез?

13.

При помощи принципа интерференции можно легко объяснить закон цветных колец, когда направление падения света нормально к поверхности; не прибегая к предположению, что косое расположение слоя воздуха привносит какое-то изменение в длину проходящих через него световых волн, можно понять, почему диаметр колец увеличивается с углом падения. Этот принцип приводит к очень простой формуле, которая весьма хорошо представляет явление, за исключением случаев больших наклонов; в последних случаях результаты, получаемые по этому способу, заметно отличаются от наблюдений Ньютона. Вполне возможно, что это расхождение между теорией и опытом зависит от изменений обычного закона преломления для случаев, когда лучи с очень большим наклоном проходят между двумя стеклами, сближенными таким же образом, как те, которые отражают цветные кольца.

14.

Это объяснение явлений интерференции с точки зрения эмиссионной теории принадлежит господину Юнгу. (См. статью «Chromatics» в Дополнении к Encyclopaedia Britannica, статья (раздел IV А); см. также Miscellaneous Works, стр. 328).

Можно утверждать, что в Англии, со времени изобретения тепловых машин, добыча угля удесятерилась. Приблизительно то же имеет место относительно добычи меди, олова и железа. Воздействие, которое тепловая машина оказала полвека тому назад на копи Англии, ныне повторяется па серебряных и золотых рудниках Нового Света — рудниках, производительность которых сокращалась изо дня в день, главным образом, благодаря неудовлетворительному действию машин, откачивавших воду и поднимавших руду.

Мы говорим — уменьшить опасности путешествий: в самом деле, если применение тепловых машин на корабле и представляет некоторые опасности, впрочем весьма преувеличенные, то они с избытком искупаются возможностью всегда держаться на посещаемом и хорошо известном пути и противостоять усилиям ветра, когда он не- сет корабль на берег, мель пли рифы.

15.

Скорее меньше, чем больше людей, которые прославили себя в геометрии. (Лат.).

16.

Можно утверждать, что в Англии, со времени изобретения тепловых машин,  добыча угля удесятерилась. Приблизительно то же имеет место относительно добычи  меди, олова и железа. Воздействие, которое тепловая машина оказала полвека тому назад на копи Англии, ныне повторяется па серебряных и золотых рудниках  Нового Света — рудниках, производительность которых сокращалась изо дня в день, главным образом, благодаря неудовлетворительному действию машин,  откачивавших воду и поднимавших руду.

17.

 Мы говорим — уменьшить опасности путешествии: в самом деле, если применение тепловых машин на корабле и представляет некоторые опасности, впрочем весьма преувеличенные, то они с избытком искупаются возможностью всегда держаться на посещаемом и хорошо известном пути и противостоять усилиям ветра, когда он несет корабль на берег, мель пли рифы.

18.

Мы употребляем здесь выражение движущая сила, чтобы обозначить полезное действие, которое может дать двигатель. Это действие всегда возможно свести к поднятию груза па определенную высоту; мерой его, как известно, является произведение веса па высоту, на которую груз поднят.

19.

Гамильтон имеет в виду распространение представлений хорватского философа и ученого аббата Руджера Босковича, который в конце XVIII века пропагандировал последовательную атомистическую теорию строения вещества, состоящего из  частиц, связанных только силами взаимного притяжения или отталкивания.— Прим. составителя».

20.

Лагранж, а за ним и Лаплас и другие использовали одну функцию для того, чтобы выразить различные силы в системе и таким путем получить достаточно изящным образом дифференциальные уравнения движения. Таким образом удалось существенно упростить постановку задачи в динамике. Но решение этой задачи пли нахождение самих движении или интегралов движения зависит, как это видно из данного сочинения, от совершенно другой и до сих пор неизвестной функции.

21.

«Первопричины вещей нам неизвестны, но они подчиняются простым и постоянным законам, которые могут быть открыты путем наблюдений и изучение которых составляет предмет натуральной философии». Из трактата Фурье: «Аналитическая теория тепла» (см. стр. 151).

22.

Я пользуюсь случаем, чтобы выразить мою благодарность сэру В. Томсопу и профессору Тэйту за многие ценные указания, сделанные во время печатания этой работы.

23.

Life and Letters of Faraday, vol. I, p. 395.

24.

Ср. Кundt und Warburg, Pogg. Ann. 1875, 155, 341.

25.

Н. von Helmholtz. Uber die physikalische Bedeutung der Prinzips der kleinsten Wirkung. Journ. fur die reine imd angewandte Mathematik, 100, 1887, S. 137—166, 215—222; Prinzipen der Statik monocyklischer Systeme. ibid., 97, 1884, S. 111—140. 317—336.

26.

О некоторых приложениях принципов динамики к физическим явлениям. Philosophical Transactions, 1885, 176 II, p. 307-342.

27.

Об общей теории дифференциальных параметров. Mem. della Beale Accad. di Bologna, 25 Febbrajo 1869.

28.

Исследование проблем вариационного исчисления, в которых заключены проблемы механики —Jour, fur die reine und Angewandte Mathematik, 74, 1877, S. 116—149. Замечания о принципе наименьшего действия. Ibid., 82, 1877, S. 316—342.

29.

 Лекции об общей теории поверхностей. Кн. V, гл. VI, VII, VIII. Париж, 1889.

30.

 Механика, Историко-критический очерк развития (1883).

31.

 Трактат о натуральной философии (1867) (см. стр. 185).

32.

Lorentz. Arch. neer. 1887, 21, 103; Lodge, Phil. Trans. 1892, 184, 727; Lorentz. Versl. Akad. Wet. Amsterdam, 1892, 1, 97.  

33.

  Amer. Journal of Science, 1881. 22, 120; 1887, 34, 333. Phil. Mag., 1887, 24, 449.

34.

 Wied. Ann., 1889, 38, 71.

35.

Ann. de chim. et de phys., 1860, 58,129; Pogg. Ann. 1861, 114, 554.

36.

Ann. de chim. et de phys., 1859, 57, 385; Pogg. Ann. 1853, 3, 457.

37.

Amer. Journal of Science, 1886, 31, 377.

38.

 Arch, neerl., 1892, 25, 363.

39.

VersL Akad. Wet. Amsterdam, 1892—1893,1, 28 und 149.

40.

Wied. Ann. 1882, 17, 538.

41.

Proc. Royal Soc., 1884, 37, 317.

42.

Wied. Ann., 1887, 32, 565; 1888, 33, 638.

43.

Wiener Sitzungsberichte, 1888, 97, 1255.

44.

Wied. Ann., 1893, 48, 389.

45.

Колачек (Коldсек. Wied. Ann., 1887, 32, 224 und 429) также сделал попытку объяснить, хотя и другим образом, дисперсию электрическими колебаниями в молекулах. Следует также упомянуть теорию Гольдхаммера.

46.

Giеsе. Wied. Ann,, 1889, 37, 576.

47.

Arch, neerl., 1892, 25, 363.

48.

Gauss, Werke, 5, 629.

49.

Овидий. Песни любви, I, 15, 39, пер. Н. И. Шатерникова.

50.

Я называю умственными фактами математические истины, т.е. результаты вычислений как количеств, так и сил, а также результаты измерений, ибо эти факты познаются нами при помощи нашего ума, а не при посредстве чувств. Эти умственные факты представляют собой такие же положительные истины, как и те факты, которые касаются существования тел, доступных нашему наблюдению, а также многое другое.

51.

«Amphimixis, oder die Vermischung der Individuen», Jena, 1891.

52.

Столетний юбилей клеточной теории будет праздноваться в 1938 г., но экспериментальная часть работ Шванна была закончена, конечно, ранее 1838 г.

53.

О чувствительности и раздражимости органов. Лозанна, 1756.

О движении соков и рассечении вен. Лозанна, 1756.

Развитие сердца, образование яйца и возникновение дыхания. Лозанна, 1757.

54.

Единственные относящиеся сюда явления, которые не могли быть объяснены до сих пор мышечным движением, суть те изменения глаза, которые характеризуются словами: блеск, томность и проч.

55.

Berliner IClinische Wochonschrift, 1881, № 31 и последующие.

56.

Mitleilungen aus dem Kaiserlichen Gesundheitsamte, Bd. II, 1884, S. 481.

Дарвин. Происхождение видов, изд. 5-е, гл. И.

57.

Давин. Происхождепие видов, изд. 5-е, гл. 11.

58.

Е. L. Тhог dike. Animal Intellegence: An experimental study of the associative processes in animals, 1898.

59.

Только опыт дает истинный ответ. (Лат.).

60.

Г-н Бенк.

61.

Е. L. Thorndike. Animal Intellegence: An experimental study of the associative processes in animals, 1898.

62.

В этой книге выражения «высший» и «низший» в применении к животным учитывают степень сложности существования во внешней среде. К. У. Монсаррат в» книге «Я сам, моо мышленио и мои мысли» (1942, стр. 117) выражает это следующими словами: «...под высшим животным здесь следует иметь в виду животное* которое обнаруживает более высокую степень и большее разнообразие в его общении с окружающим, чем некоторые другие, с которыми оно сравнивается». Некоторые биологи употребляют эти выражения в более широком понимании.

63.

См. Изложение, освещающее этот вопрос, в книге: У. Рассел Брейн. Философия, 1946 т. 21, стр. 134.

64.

De Anima, I, 3, §§ 22-23, стр. 35.

65.

1 часть, § 88.

66.

Так как у меня нет под рукой этого трактата, я ссылаюсь здесь па «Ouvrages diver-ses de Mrs. de Maupertuis» в «Acta Erud» за 1745 г. Речь идет о тех светлых пятнах да небе, которые носят пазвания звездных туманностей и обычно считаются скоплением мелких неподвижных звезд. Одпако астрономы при помощи превосходных подзорных труб убедились в том, что это только большие овальной формы пятна, несколько более светлые, чем остальные части неба. Гюйгенс нашел нечто подобное впервые в Орионе; Галлей упоминает в Anglical. Trans, о шести таких пятнах: 1) в Мече Ориона, 2) в Стрельце, 3) в Кентавре, 4) перед правой ногой Антнноя, 5) в Геркулесе, 6) в поясе Андромеды. Если рассматривать их в 8-футовый  отражательной телескоп, то видно, что лишь четверть из них можно принять за  скопление звезд; остальные представляются лишь беловатыми пятнами, мало  отличающимися друг от друга, разве только тем, что одни из них имеют более круглую форму, а другие продолговатую. По-видимому, выяснилось также, что беловатое мерцание у первых не может быть от видимых в телескопе мелких звездочек. По мнению Галлея, эти явления могут объяснить то, о чем говорится в начале  библейской истории сотворения мира, а именно, что свет был создан раньше Солнца. Дэрхем сравнивает их с отверстиями, сквозь которые просвечивает другое  необъятное пространство, а может быть, и огпенпое небо. По его мнению, ему удалось  обнаружить, что звезды, видимые около этих пятен, гораздо ближе к нам, чем эти светлые пятна. Автор присовокупляет к этому перечень звездных туманностей,  взятые у Гевелиуса. Он считает их большими светящимися массами, которые  сплющились от чрезвычайно сильного вращения. Если бы материя, из которой они  состоят, имела такую же силу света, как и прочие звезды, то опа должна была бы быть огромной, коль скоро ее рассматривают с гораздо большего расстояния, чем  расстояние ее звезд, и тем не менее видно в телескопе, что опа имеет заметную форму и  величину. Но если бы по своей величине они приблизительно равнялись остальным неподвижным звездам^ то они должны были бы быть не только гораздо ближе к нам, и иметь гораздо более слабый свет, потому что при такой близости и  кажущейся величине они все жо дают столь слабое мерцание. Поэтому было бы очень  интересно открыть их параллакс, если только они его имеют, ибо те, кто отрицает у них наличие параллакса, быть может, делают выводы о всех на основании наблюдения над немногими. Если бы оказалось, что звездочки, наблюдаемые в середине этих пятен, например в Орионе (или, еще лучше, па пятне перед правой ногой Антпноя, похожей па неподвижную звезду, окружаемую туманом), ближе к нам, то это' означало бы, что мы видим их как бы проектированными на эти пятна или же что они просвечивают сквозь указанные массы, как сквозь хвосты комет.

67.

См. басню Геляерта «Ганс Норд».

68.

«Человеческой жизни едва ли хватит, чтобы основательно изучить и описать все литологическое разнообразие и все переходы чернозема и родственных ему почв,— при бесконечности занимаемого ими пространства — все их местные особенности, различное плодородие, подпочву, отложение и т.д.» Вангенгейм фон Квален. [W. von Qualen. Beilriige zur Kenntniss der scliwarzen Erde in Russland (Tsclier-nosem). Bull, de la Societe des naturalistes de Moscou, 1853, t. 26, N 1.].— Ред.

69.

A. Wegener. «Die Entstehung der Kontinente». Pelerm. Mitt. 1912, 185—195, 253— 256, 305—309.

70.

A. Wegener. «Die Entstehung der Kontinente und Ozeane». «Samml. Vieweg»,N23, 1915, Braunschweig.

71.

2. Auflage. «Die Wissenschaft», N 66, 1920, Braunschweig.

72.

Carl Freihorr Loffelholz von С о 1 b e r g. «Die Drehung der Erdkruste in geologischen Zeitranmen», 1886, Miinchen, 2-е дополнительное издание; 1895; Miin-chen.

73.

D. Kreichgauer. «Die Acquatorfrage in der Geologie», 1902, Steyl.

74.

The Fourn. of Geol., 1907, 13, N 1; см. также Gaea, 1907, 43, 385.

75.

Эта излюбленная многими геологами мысль Дарвина есть чистая гипотеза. Шварц-шнльдом, Ляпуновым, Рудзским, Сей и другими она считается неверной. Мои личные взгляды на происхождение Луны совершенно иные, и с ними можно ознакомиться в моей работе: «Die Entstehung der Mondkrater» (Samml. Vieweg, № 55, S. 48_r Braunschweig, 1921).

76.

F. B. Taylor. «Bearing of the tertiary mountain belt on the origion of the earth's dan». Bui. Geol. Soc. Am. 21 (2), 176—226, июнь 1910.

77.

Извлечено самим Сочинителем из рассуждения под названием: Exposition suc-cinele des principes de la Geometrie etc., читанного им в Заседании Отделення Физико-Математических наук, 12 февраля 1826 г.

78.

J. S. ill. System of Logic, Ratiocinative and Inductive. Vol. II, p. 292.

79.

Ср. Н. Helmholtz. Ober die Wechselwirkung der Naturkraft und die derauf bezii-glichen neuesten Ermittlung der Physik. 1854. (Русский перевод: «О взаимодействии гпл природы», в сб. Гельмгольц. Популярные речи, изд. 2, ч. I. СПб,, 1898).

80.

Что это значит — каждый знает,

Кто ездил во сне верхом без коня (пели).

81.

Рисунок взят из журнала Scientific American, N 5, 1957.

82.

Первые этапы этой работы были опубликованы: J. v о n Neumann. Zur Theorie der Gesellschaftspiele, Math. Ann., 100 (1928), 295—320. (Русский перевод: Дж. Нейман. К теории стратегических игр, в сб. «Матричные игры», Физматгиз, 1961, стр. 173—204). Дальнейшее развитие теории, равно как и более детальная разработка подхода, предложенного в цитированной статье, публикуются здесь впервые.

83.

Подобное начало имеет и определенный практический смысл, поскольку формы обмена между песколькнмн индивидуумами в точности совпадают с теми, которые наблюдаются па некоторых важнейших рынках современной промышленности пли же при товарообмене между странами в международной торговле.

84.

Revue Generale des Sciences, 30 janvir 1896.

85.

Comptes rendus, t. CXXII, p. 312.

86.

Comptes rendus, t. CXXII, p. 386.

87.

Comptes rendus, t CXXII, p. 564.

88.

Becquerel, Comptes rendus, 1896 (несколько сообщений).

89.

Е. Rutherfor d. Phil. Mag., 21, 669 (1911).

90.

См. также: Geiger, а г s d п. Phil. Mag., April, 1913.

91.

J. J. h о m s о n. Phil. Mag., 1904, 7, 237.

92.

См., например: «Theorie du rayonnement et les quanta». Rapports de la reunion a* Bruxelles. Nov. Ш1, Paris, 1912.

93.

Если такое добавочное явление имеется, то оно должно происходить без внешних затрат (как, например, изотермическое сжатие или расширение идеального газа — по закону Джоуля). Ио в таком случае, все равно, «даром» ничего де получается.

94.

Я упростил вопрос. На самом деле, в выражение плотности должно входить время, и средняя плотность, если мы ее определяем для малого объема У, окружающего данную точку в данный момент, должна вычисляться для некоторого малого  промежутка времени , включающего и этот момент. Средняя масса, содержащаяся в объеме V, за этот промежуток , имеет выражение - J mdt, а средняя плотность о есть вторая производная от массы по объему и по времени. Ее изображение в виде функции двух переменных дало бы бесконечно извилистую поверхность.

95.

Те, кто интересуется этим вопросом, с пользой прочтут сочинения Э. Бореля, в особенности его прекрасную лекцию: «Молекулярные теории и математика» (вступительная лекция в Гаустонском университете и в Revue genrale des sciences, ноябрь 1912), в которой выясняется, каким образом математический анализ, который был создан для потребностей физики непрерывного, должен быть подновлен теперь для потребностей физики прерывного.

96.

Ср. также работу В. Гордона по эффекту Комптона (Zeits. fur Physik, в печати).

Человек свободный ни о чем так мало не думает, как о смерти, и его мудрость состоит в размышлении не о смерти, а о жизни.— Спиноза, Этика, ч. IV, теорема 67.— (лат.).

97.

Человек свободный нп о чем так мало не думает, как о смерти, и его мудрость  состоит в размышлении не о смерти, а о жизни.— Спиноза, Этика, ч. IV, теорема 67.— (лат.).

98.

Честь обязывает (франц.).

99.

Мыслю, значит существую,— Декарт (лат.).