Малые колебания маятника.

Чтобы подступиться к решению нелегкой задачи о движениях маятника, рассмотрим сначала малые колебания, когда угол настолько мал, что можно положить sin φ φ. Уравнение теперь становится линейным (это и есть линеаризация!):

, и можно угадать (или вспомнить!) его решение φ = φ_M(ω₀t) *), которое равно нулю при t = 0. Благодаря линейности уравнения максимальное значение угла φ_M формально может быть произвольным числом, но мы, конечно, должны помнить, что при больших значениях φ_M наше приближение не годится. Поэтому число φ_M должно быть таким, что sin φ_M φ_M.

_{*) для этого достаточно вспомнить правило дифференцирования тригонометрических функций. Ниже это движение будет построено другим, геометрическим способом.}

Этим решением, разумеется, не исчерпывается все множество решений. Мы заранее предположили, что φ(0) = 0, и этим отбросили, например, решение φ = cos (ω₀t), которое тоже легко угадать. Пользуясь линейностью, теперь можно найти и общее решение, складывая sin (ω₀t) и cos (ω₀t), умноженные на произвольные амплитуды. Ясно, что этим способом получается любое колебание, так как первое решение позволяет получить любое значение скорости в начальный момент, а второе — задать любое начальное положение.

^{Самое общее малое колебание можно получить и другим способом, понимание которого очень полезно. Заметим, что движение φ = φ_Msin(ω₀t) можно наблюдать, пустив другие часы отсчитывать время в момент t₀ (по старым часам). При новом отсчете времени то же самое движение будет выглядеть как φ = φ_Msin[ω₀(t + t₀)].}

^{Нетрудно проверить, что это решение при любых t₀ удовлетворяет уравнению 4.1. Отсюда следует, что если движение φ = φ_Msin(ω₀t) возможно, то и движение φ = φ_Msin[ω₀(t + t₀)] также возможно. А это движение уже самое общее, поскольку подбором φ_M и t₀ можно задать любые начальные значения скорости и положения.}

^{Решение уравнения для малых колебаний можно найти совсем простым способом. Достаточно вспомнить геометрическое определение тригонометрических функций и закон движения материальной точки по окружности. Пусть точка М движется по окружности единичного радиуса с постоянной скоростью V = ω₀ (рис. 4.2). Скорость V направлена по касательной, и ее проекция на ось Оу равна ω₀cos α, где α = ω₀t (радиан). Точка S совершает гармоническое движение, длина отрезка (OS) = sin ω₀t, и ее скорость v равна проекции скорости V на ось Оу, т. е. v = ω₀cos(ω₀t). Полное ускорение α направлено к центру и равно (радиус окружности равен 1). Ускорение точки S равно проекции ускорения а на ось Оу, т. е. . Таким образом, ускорение точки S равно . Если взять (OS) = φ, получим φ" = . Обозначив , находим, что φ = sin(ω₀t) есть решение линейного уравнения для малых колебаний маятника. Заодно вспомним, что период колебаний Т совпадает с временем полного оборота точки М по окружности, т. е. равен .}