Уравнение маятника.

Рассмотрим движения хорошо известного математического маятника, т. е. небольшого грузика с массой m, подвешенного на абсолютно жесткой, нерастяжимой проволочке длины l; массу проволочки будем считать пренебрежимо малой. Обычно изучают малые колебания и поэтому говорят о грузике на нитке, но мы хотим изучать любые движения и потому подвесим наш жесткий маятник на хорошо смазанной оси в точке О' так, чтобы он мог свободно вращаться, а не только качаться вблизи положения равновесия. Угол φ, измеряемый в радианах, отсчитывается от нижнего положения против часовой стрелки (рис. 4.1). Полный оборот соответствует φ = 2π, два оборота — 4π и т. д. Движению по часовой стрелке соответствует уменьшение угла φ. для полного оборота по часовой стрелке φ = -2π и т. д. Для определенности будем считать, что в момент времени t = 0 маятник отклонен на нулевой угол, φ(0) = 0. В качестве координаты грузика можно взять угол φ или же алгебраическое значение длины дуги s = φ • l.

В каждой точке А движение происходит в направлении касательной к окружности под действием тангенциальной (направленной по касательной) составляющей силы тяжести. Как ясно из рисунка, эта составляющая равна (с учетом нашего выбора положительного направления движения). Скорость движения грузика по окружности равна v = s' = lφ', где s' и φ' обозначают производные по времени t. Пользуясь тем, что малые смещения грузика направлены по касательной к окружности, точно так же определим тангенциальное (т. е. по направлению дуги окружности) ускорение а = v' == s" = lφ", где s" и φ" — вторые производные по времени. Второй закон Ньютона для движения грузика можно написать в виде ma = , или окончательно.

Соотношение (4.1), выражающее угловое ускорение грузика φ" через его положение φ(t) в тот же самый момент времени, называют дифференциальным уравнением движения грузика. Решить его значит найти такую зависимость угла φ от времени t, для которой в каждый момент выполнено соотношение (4.1).

Дифференциальное уравнение описывает все возможные движения маятника. Чтобы найти какое-то конкретное движение, надо еще добавить некоторые дополнительные условия. Например, если задать положение и скорость грузика в начальный момент времени, то движение будет полностью определено. Как сказал бы математик, существует единственное решение дифференциального уравнения (4.1), удовлетворяющее начальным условиям φ(0) = φ₀, φ'(0) = φ'₀, (φ₀ и φ'₀ могут быть любыми).

Это уравнение, очевидно, нелинейно. Даже если известны какие-то два его решения φ₁(t) и φ₂(t), новое решение их сложением не получишь. Ясно также, что умножение решения на число с 1 не дает нового решения: вторая производная от сφ₁ равна сφ"₁, а . Правда, есть простой случай, когда φ₁ + φ₂ тоже есть решение, но, к сожалению, этот случай не интересен, так как дает просто разное описание состояния покоящегося маятника. Действительно, уравнение имеет простые решения φ = ... Первая серия соответствует устойчивому положению равновесия маятника внизу (минимум потенциальной энергии). Грузик покоится, его скорость, ускорение и действующая на него сила равны нулю. А вторая серия — это неустойчивое положение равновесия в крайней верхней точке (максимум потенциальной энергии). Если грузик чуть-чуть отклонится от этого положения, то он придет в движение. Так как в реальном физическом мире всегда остаются какие-то малые неконтролируемые воздействия на грузик («возмущения»), долго находиться в этом состоянии он не может.