Лекция #5: Численные алгоритмы. Матричные вычисления. Язык программирования Python.

Язык программирования Python.

Лекция #5: Численные алгоритмы. Матричные вычисления.

В данной лекции рассматривается пакет Numeric для осуществления численных расчетов и выполнения матричных вычислений, приводится обзор других пакетов для научных вычислений.

Numeric Python — это несколько модулей для вычислений с многомерными массивами, необходимых для многих численных приложений. Модуль Numeric вносит в Python возможности таких пакетов и систем как MatLab, Octave (аналог MatLab), APL, J, S+, IDL. Пользователи найдут Numeric достаточно простым и удобным. Стоит заметить, что некоторые синтаксические возможности Python (связанные с использованием срезов) были специально разработаны для Numeric.

Numeric Python имеет средства для:

• матричных вычислений LinearAlgebra;

• быстрого преобразования Фурье FFT;

• работы с недостающими экспериментальными данными MA;

• статистического моделирования RNG;

• эмуляции базовых функций программы MatLab.

Модуль Numeric.

Модуль Numeric определяет полноценный тип–массив и содержит большое число функций для операций с массивами. Массив — это набор однородных элементов, доступных по индексам. Массивы модуля Numeric могут быть многомерными, то есть иметь более одной размерности.

Создание массива.

Для создания массива можно использовать функцию array() с указанием содержимого массива (в виде вложенных списков) и типа. Функция array() делает копию, если ее аргумент — массив. Функция asarray() работает аналогично, но не создает нового массива, когда ее аргумент уже является массивом:

>>> from Numeric import *

>>> print array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]).

[[1 2].

[3 4].

[5 6]].

>>> print array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], Float).

[[ 1. 2. 3.].

[ 4. 5. 6.]].

>>> print array([78, 85, 77, 69, 82, 73, 67], 'c').

[N U M E R I C].

В качестве элементов массива можно использовать следующие типы: Int8– Int32, UnsignedInt8– UnsignedInt32, Float8– Float64, Complex8– Complex64 и PyObject. Числа 8, 16, 32 и 64 показывают количество битов для хранения величины. Типы Int, UnsignedInteger, Float и Complex соответствуют наибольшим принятым на данной платформе значениям. В массиве можно также хранить ссылки на произвольные объекты.

Количество размерностей и длина массива по каждой оси называются формой массива (shape). Доступ к форме массива реализуется через атрибут shape:

>>> from Numeric import *

>>> a = array(range(15), Int).

>>> print a.shape.

(15,).

>>> print a.

[ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14].

>>> a.shape = (3, 5).

>>> print a.shape.

(3, 5).

>>> print a.

[[ 0 1 2 3 4].

[ 5 6 7 8 9].

[10 11 12 13 14]].

Методы массивов.

Придать нужную форму массиву можно функцией Numeric.reshape(). Эта функция сразу создает объект–массив нужной формы из последовательности.

>>> import Numeric.

>>> print Numeric.reshape("абракадабр", (5, -1)).

[[а б].

[р а].

[к а].

[д а].

[б р]].

В этом примере –1 в указании формы говорит о том, что соответствующее значение можно вычислить. Общее количество элементов массива известно (10), поэтому длину вдоль одной из размерностей задавать не обязательно.

Через атрибут flat можно получить одномерное представление массива:

>>> a = array([[1, 2], [3, 4]]).

>>> b = a.flat.

>>> b.

Array([1, 2, 3, 4]).

>>> b[0] = 9.

>>> b.

Array([9, 2, 3, 4]).

>>> a.

Array([[9, 2],

[3, 4]]).

Следует заметить, что это новый вид того же массива, поэтому присваивание значений его элементам приводит к изменениям в исходном массиве.

Функция Numeric.resize() похожа на Numeric.reshape, но может подстраивать число элементов:

>>> print Numeric.resize("NUMERIC", (3, 2)).

[[N U].

[M E].

[R I]].

>>> print Numeric.resize("NUMERIC", (3, 4)).

[[N U M E].

[R I C N].

[U M E R]].

Функция Numeric.zeros() порождает массив из одних нулей, а Numeric.ones() — из одних единиц. Единичную матрицу можно получить с помощью функции Numeric.identity(n):

>>> print Numeric.zeros((2,3)).

[[0 0 0].

[0 0 0]].

>>> print Numeric.ones((2,3)).

[[1 1 1].

[1 1 1]].

>>> print Numeric.identity(4).

[[1 0 0 0].

[0 1 0 0].

[0 0 1 0].

[0 0 0 1]].

Для копирования массивов можно использовать метод copy():

>>> import Numeric.

>>> a = Numeric.arrayrange(9).

>>> a.shape = (3, 3).

>>> print a.

[[0 1 2].

[3 4 5].

[6 7 8]].

>>> a1 = a.copy().

>>> a1[0, 1] = -1 # операция над копией.

>>> print a.

[[0 1 2].

[3 4 5].

[6 7 8]].

Массив можно превратить обратно в список с помощью метода tolist():

>>> a.tolist().

[[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]].

Срезы.

Объекты–массивы Numeric используют расширенный синтаксис выделения среза. Следующие примеры иллюстрируют различные варианты записи срезов. Функция Numeric.arrayrange() является аналогом range() для массивов.

>>> import Numeric.

>>> a = Numeric.arrayrange(24) + 1.

>>> a.shape = (4, 6).

>>> print a # исходный массив.

[[ 1 2 3 4 5 6].

[ 7 8 9 10 11 12].

[13 14 15 16 17 18].

[19 20 21 22 23 24]].

>>> print a[1,2] # элемент 1,2.

>>> print a[1,:] # строка 1.

[ 7 8 9 10 11 12].

>>> print a[1] # тоже строка 1.

[ 7 8 9 10 11 12].

>>> print a[:,1] # столбец 1.

[ 2 8 14 20].

>>> print a[-2,:] # предпоследняя строка.

[13 14 15 16 17 18].

>>> print a[0:2,1:3] # окно 2x2.

[[2 3].

[8 9]].

>>> print a[1,::3] # каждый третий элемент строки 1.

[ 7 10].

>>> print a[:,:: -1] # элементы строк в обратном порядке.

[[ 6 5 4 3 2 1].

[12 11 10 9 8 7].

[18 17 16 15 14 13].

[24 23 22 21 20 19]].

Срез не копирует массив (как это имеет место со списками), а дает доступ к некоторой части массива. Далее в примере меняется на 0 каждый третий элемент строки 1:

>>> a[1,::3] = Numeric.array([0,0]).

>>> print a.

[[ 1 2 3 4 5 6].

[ 0 8 9 0 11 12].

[13 14 15 16 17 18].

[19 20 21 22 23 24]].

В следующих примерах находит применение достаточно редкая синтаксическая конструкция: срез с многоточием ( Ellipsis). Многоточие ставится для указания произвольного числа пропущенных размерностей ( :, :, ..., :):

>>> import Numeric.

>>> a = Numeric.arrayrange(24) + 1.

>>> a.shape = (2,2,2,3).

>>> print a.

[[[[ 1 2 3].

[ 4 5 6]].

[[ 7 8 9].

[10 11 12]]].

[[[13 14 15].

[16 17 18]].

[[19 20 21].

[22 23 24]]]].

>>> print a[0,...] # 0–й блок.

[[[ 1 2 3].

[ 4 5 6]].

[[ 7 8 9].

[10 11 12]]].

>>> print a[0,:,:,0] # срез по первой и последней размерностям.

[[ 1 4].

[ 7 10]].

>>> print a[0,...,0] # то же, но с использованием многоточия.

[[ 1 4].

[ 7 10]].

Универсальные функции.

Модуль Numeric определяет набор функций для применения к элементам массива. Функции применимы не только к массивам, но и к последовательностям (к сожалению, итераторы пока не поддерживаются). В результате получаются массивы.

Функция	Описание
add(x, y), subtract(x, y)	Сложение и вычитание
multiply(x, y), divide(x, y)	Умножение и деление
remainder(x, y), fmod(x, y)	Получение остатка от деления (для целых чисел и чисел с плавающей запятой)
power(x)	Возведение в степень
sqrt(x)	Извлечение корня квадратного
negative(x), absolute(x), fabs(x)	Смена знака и абсолютное значение
ceil(x), floor(x)	Наименьшее (наибольшее) целое, большее (меньшее) или равное аргументу
hypot(x, y)	Длина гипотенузы (даны длины двух катетов)
sin(x), cos(x), tan(x)	Тригонометрические функции
arcsin(x), arccos(x), arctan(x)	Обратные тригонометрические функции
arctan2(x, y)	Арктангенс от частного аргумента
sinh(x), cosh(x), tanh(x)	Гиперболические функции
arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x)	Обратные гиперболические функции
exp(x)	Экспонента (e^x)
log(x), log10(x)	Натуральный и десятичный логарифмы
maximum(x, y), minimum(x, y)	Максимум и минимум
conjugate(x)	Сопряжение (для комплексных чисел)
equal(x, y), not_equal(x, y)	Равно, не равно
greater(x, y), greater_equal(x, y)	Больше, больше или равно
less(x, y), less_equal(x, y)	Меньше, меньше или равно
logical_and(x, y), logical_or(x, y)	Логические И, ИЛИ
logical_xor(x, y)	Логическое исключающее ИЛИ
logical_not(x)	Логические НЕ
bitwise_and(x, y), bitwise_or(x, y)	Побитовые И, ИЛИ
bitwise_xor(x, y)	Побитовое исключающее ИЛИ
invert(x)	Побитовая инверсия
left_shift(x, n), right_shift(x, n)	Побитовые сдвиги влево и вправо на n битов

Перечисленные функции являются объектами типа ufunc и применяются к массивам поэлементно. Эти функции имеют специальные методы:

accumulate()	Аккумулирование результата.
outer()	Внешнее «произведение».
reduce()	Сокращение.
reduceat()	Сокращение в заданных точках.

Пример с функцией add() позволяет понять смысл универсальной функции и ее методов:

>>> from Numeric import add.

>>> add([[1, 2], [3, 4]], [[1, 0], [0, 1]]).

Array([[2, 2],

[3, 5]]).

>>> add([[1, 2], [3, 4]], [1, 0]).

Array([[2, 2],

[4, 4]]).

>>> add([[1, 2], [3, 4]], 1).

Array([[2, 3],

[4, 5]]).

>>> add.reduce([1, 2, 3, 4]) # т.е. 1+2+3+4.

10.

>>> add.reduce([[1, 2], [3, 4]], 0) # т.е. [1+3 2+4].

Array([4, 6]).

>>> add.reduce([[1, 2], [3, 4]], 1) # т.е. [1+2 3+4].

Array([3, 7]).

>>> add.accumulate([1, 2, 3, 4]) # т.е. [1 1+2 1+2+3 1+2+3+4].

Array([ 1, 3, 6, 10]).

>>> add.reduceat(range(10), [0, 3, 6]) # т.е. [0+1+2 3+4+5 6+7+8+9].

Array([ 3, 12, 30]).

>>> add.outer([1,2], [3,4]) # т.е. [[1+3 1+4] [2+3 2+4]].

Array([[4, 5],

[5, 6]]).

Методы accumulate(), reduce() и reduceat() принимают необязательный аргумент — номер размерности, используемой для соответствующего действия. По умолчанию применяется нулевая размерность.

Универсальные функции, помимо одного или двух необходимых параметров, позволяют задавать и еще один аргумент, для приема результата функции. Тип третьего аргумента должен строго соответствовать типу результата. Например, функция sqrt() даже от целых чисел имеет тип Float.

>>> from Numeric import array, sqrt, Float.

>>> a = array([0, 1, 2]).

>>> r = array([0, 0, 0], Float).

>>> sqrt(a, r).

Array([ 0. , 1. , 1.41421356]).

>>> print r.

[ 0. 1. 1.41421356].

Предупреждение: Не следует использовать в качестве приемника результата массив, который фигурирует в предыдущих аргументах функции, так как при этом результат может быть испорчен. Следующий пример показывает именно такой вариант: >>> import Numeric. >>> m = Numeric.array([0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0]). >>> add(m[:-1], m[1:], m[1:]). Array([0, 0, 1, 1, 1, 1, 1]). В таких неоднозначных случаях необходимо использовать промежуточный массив.

Функции модуля Numeric.

Следующие функции модуля Numeric являются краткой записью некоторых наиболее употребительных сочетаний функций и методов:

Функция	Аналог функции
sum(a, axis)	add.reduce(a, axis)
cumsum(a, axis)	add.accumulate(a, axis)
product(a, axis)	multiply.reduce(a, axis)
cumproduct(a, axis)	multiply.accumulate(a, axis)
alltrue(a, axis)	logical_and.reduce(a, axis)
sometrue(a, axis)	logical_or.reduce(a, axis)

Примечание: Параметр axis указывает размерность.

Функции для работы с массивами.

Функций достаточно много, поэтому подробно будут рассмотрены только две из них, а остальные сведены в таблицу.

Функция Numeric.take().

Функция Numeric.take() позволяет взять часть массива по заданным на определенном измерении индексам. По умолчанию номер измерения (третий аргумент) равен нулю.

>>> import Numeric.

>>> a = Numeric.reshape(Numeric.arrayrange(25), (5, 5)).

>>> print a.

[[ 0 1 2 3 4].

[ 5 6 7 8 9].

[10 11 12 13 14].

[15 16 17 18 19].

[20 21 22 23 24]].

>>> print Numeric.take(a, [1], 0).

[ [5 6 7 8 9]].

>>> print Numeric.take(a, [1], 1).

[[ 1].

[ 6].

[11].

[16].

[21]].

>>> print Numeric.take(a, [[1,2],[3,4]]).

[[[ 5 6 7 8 9].

[10 11 12 13 14]].

[[15 16 17 18 19].

[20 21 22 23 24]]].

В отличие от среза, функция Numeric.take() сохраняет размерность массива, если конечно, структура заданных индексов одномерна. Результат Numeric.take(a, [[1,2],[3,4]]) показывает, что взятые по индексам части помещаются в массив со структурой самих индексов, как если бы вместо 1 было написано [5 6 7 8 9], а вместо 2 — [10 11 12 13 14] и т.д.

Функции Numeric.diagonal() и Numeric.trace().

Функция Numeric.diagonal() возвращает диагональ матрицы. Она имеет следующие аргументы:

a	Исходный массив.
offset	Смещение вправо от «главной» диагонали (по умолчанию 0).
axis1	Первое из измерений, на которых берется диагональ (по умолчанию 0).
axis2	Второе измерение, образующее вместе с первым плоскость, на которой и берется диагональ. По умолчанию axis2=1.

Функция Numeric.trace() (для вычисления следа матрицы) имеет те же аргументы, но суммирует элементы на диагонали. В примере ниже рассмотрены обе эти функции:

>>> import Numeric.

>>> a = Numeric.reshape(Numeric.arrayrange(16), (4, 4)).

>>> print a.

[[ 0 1 2 3].

[ 4 5 6 7].

[ 8 9 10 11].

[12 13 14 15]].

>>> for i in range(-3, 4):

... print "Sum", Numeric.diagonal(a, i), "=", Numeric.trace(a, i).

...

Sum [12] = 12.

Sum [ 8 13] = 21.

Sum [ 4 9 14] = 27.

Sum [ 0 5 10 15] = 30.

Sum [ 1 6 11] = 18.

Sum [ 2 7] = 9.

Sum [ 3] = 3.

Функция Numeric.choose().

Эта функция использует один массив с целыми числами от 0 до n для выбора значения из одного из заданных массивов:

>>> a = Numeric.identity(4).

>>> b0 = Numeric.reshape(Numeric.arrayrange(16), (4, 4)).

>>> b1 = -Numeric.reshape(Numeric.arrayrange(16), (4, 4)).

>>> print Numeric.choose(a, (b0, b1)).

[[ 0 1 2 3].

[ 4 -5 6 7].

[ 8 9 -10 11].

[ 12 13 14 -15]].

Свод функций модуля Numeric.

Следующая таблица приводит описания функций модуля Numeric.

Функция и ее аргументы	Назначение функции
allclose(a, b[, eps[, A]])	Сравнение a и b с заданными относительными eps и абсолютными A погрешностями. По умолчанию eps равен 1.0e–1, а A = 1.0e–8.
alltrue(a[, axis])	Логическое И по всей оси axis массива a
argmax(a[, axis])	Индекс максимального значения в массиве по заданному измерению axis
argmin(a[, axis])	Индекс минимального значения в массиве по заданному измерению axis
argsort(a[, axis])	Индексы отсортированного массива, такие, что take(a, argsort(a, axis), axis) дает отсортированный массив a, как если бы было выполнено sort(a, axis)
array(a[, type])	Создание массива на основе последовательности a данного типа type
arrayrange(start[, stop[, step[, type]]])	Аналог range() для массивов
asarray(a[, type[, savespace]])	То же, что и array(), но не создает новый массив, если a уже является массивом
choose(a, (b0, ..., bn))	Создает массив на основе элементов, взятых по индексам из a (индексы от 0 до n включительно). Формы массивов a, b1, …, bn должны совпадать
clip(a, a_min, a_max)	Обрубает значения массива a так, чтобы они находились между значениями из a_min и a_max поэлементно
compress(cond, a[, axis])	Возвращает массив только из тех элементов массива a, для которых условие cond истинно (не нуль)
concatenate(a[, axis])	Соединение двух массивов (конкатенация) по заданному измерению axis (по умолчанию — по нулевой)
convolve(a, b[, mode])	Свертка двух массивов. Аргумент mode может принимать значения 0, 1 или 2
cross_correlate(a, b[, mode])	Взаимная корреляция двух массивов. Параметр mode может принимать значения 0, 1 или 2
cumproduct(a[, axis])	Произведение по измерению axis массива a с промежуточными результатами
cumsum(a[, axis])	Суммирование с промежуточными результатами
diagonal(a[, k[, axis1[, axis2]]])	Взятие k–й диагонали массива a в плоскости измерений axis1 и axis2
dot(a, b)	Внутреннее (матричное) произведение массивов. По определению: innerproduct(a, swapaxes(b, -1, -2)), т.е. с переставленными последними измерениями, как и должно быть при перемножении матриц
dump(obj, file)	Запись массива a (в двоичном виде) в открытый файловый объект file. Файл должен быть открыт в бинарном режиме. В файл можно записать несколько объектов подряд
dumps(obj)	Строка с двоичным представлением объекта obj
fromfunction(f, dims)	Строит массив, получая информацию от функции f(), в качестве аргументов которой выступают значения кортежа индексов. Фактически является сокращением для f(*tuple(indices(dims)))
fromstring(s[, count[, type]])	Создание массива на основе бинарных данных, хранящихся в строке
identity(n)	Возвращает двумерный массив формы (n, n)
indices(dims[, type])	Возвращает массив индексов заданной длины по каждому измерению с изменением поочередно по каждому изменению. Например, indices([2, 2])[1] дает двумерный массив [[0, 1], [0, 1]].
innerproduct(a, b)	Внутреннее произведение двух массивов (по общему измерению). Для успешной операции a.shape[-1] должен быть равен b.shape[-1]. Форма результата будет a.shape[:-1] + b.shape[:-1]. Элементы пропадающего измерения попарно умножаются и получающиеся произведения суммируются
load(file)	Чтение массива из файла file. Файл должен быть открыт в бинарном режиме
loads(s)	Возвращает объект, соответствующий бинарному представлению, заданному в строке
nonzero(a)	Возвращает индексы ненулевых элементов одномерного массива
ones(shape[, type])	Массив из единиц заданной формы shape и обозначения типа type
outerproduct(a, b)	Внешнее произведение a и b
product(a[, axis])	Произведение по измерению axis массива a
put(a, indices, b)	Присваивание частям массива, a[n] = b[n] для всех индексов indices
putmask(a, mask, b)	Присваивание a элементов из b, для которых маска mask имеет значение истина
ravel(a)	Превращение массива в одномерный. Аналогично reshape(a, (-1,))
repeat(a, n[, axis])	Повторяет элементы массива a n раз по измерению axis
reshape(a, shape)	Возвращает массив нужной формы (нового массива не создает). Количество элементов в исходном и новом массивах должно совпадать
resize(a, shape)	Возвращает массив с произвольной новой формой shape. Размер исходного массива не важен
searchsorted(a, i)	Для каждого элемента из i найти место в массиве a. Массив a должен быть одномерным и отсортированным. Результат имеет форму массива i
shape(a)	Возвращает форму массива a
sometrue(a[, axis])	Логическое ИЛИ по всему измерению axis массива a
sort(a[, axis])	Сортировка элементов массива по заданному измерению
sum(a[, axis])	Суммирование по измерению axis массива a
swapaxes(a, axis1, axis1)	Смена измерений (частный случай транспонирования)
take(a, indices[, axis])	Выбор частей массива a на основе индексов indices по измерению axis
trace(a[, k[, axis1[, axis2]]])	Сумма элементов вдоль диагонали, то есть add.reduce(diagonal(a, k, axis1, axis2))
transpose(a[, axes])	Перестановка измерений в соответствии с axes, либо, если axes не заданы — расположение их в обратном порядке
where(cond, a1, a2)	Выбор элементов на основании условия cond из a1 (если не нуль) и a2 (при нуле) поэлементно. Равносилен choose(not_equal(cond, 0), (y, x)). Формы массивов–аргументов a1 и a2 должны совпадать
zeros(shape[, type])	Массив из нулей заданной формы shape и обозначения типа type

В этой таблице в качестве обозначения типа type можно указывать рассмотренные выше константы: Int, Float и т.п.

Модуль Numeric также определяет константы e (число e) и pi (число пи).

Модуль LinearAlgebra.

Модуль LinearAlgebra содержит алгоритмы линейной алгебры, в частности нахождение определителя матрицы, решений системы линейных уравнений, обращение матрицы, нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы, разложение матрицы на множители: Холецкого, сингулярное, метод наименьших квадратов.

Функция LinearAlgebra.determinant() находит определитель матрицы:

>>> import Numeric, LinearAlgebra.

>>> print LinearAlgebra.determinant(

... Numeric.array([[1, -2],

... [1, 5]])).

Функция LinearAlgebra.solve_linear_equations() решает линейные уравнения вида ax=b по заданным аргументам a и b:

>>> import Numeric, LinearAlgebra.

>>> a = Numeric.array([[1.0, 2.0], [0.0, 1.0]]).

>>> b = Numeric.array([1.2, 1.5]).

>>> x = LinearAlgebra.solve_linear_equations(a, b).

>>> print "x =", x.

X = [-1.8 1.5].

>>> print "Проверка:", Numeric.dot(a, x) - b.

Проверка: [ 0. 0.].

Когда матрица a имеет нулевой определитель, система имеет не единственное решение и возбуждается исключение LinearAlgebraError:

>>> a = Numeric.array([[1.0, 2.0], [0.5, 1.0]]).

>>> x = LinearAlgebra.solve_linear_equations(a, b).

Traceback (most recent call last):

File "<stdin>", line 1, in ?

File "/usr/local/lib/python2.3/site–packages/Numeric/LinearAlgebra.py", line 98,

in solve_linear_equations raise LinAlgError, 'Singular matrix'.

LinearAlgebra.LinAlgError: Singular matrix.

Функция LinearAlgebra.inverse() находит обратную матрицу. Однако не следует решать линейные уравнения с помощью LinearAlgebra.inverse() умножением на обратную матрицу, так как она определена через LinearAlgebra.solve_linear_equations():

Def inverse(a):

return solve_linear_equations(a, Numeric.identity(a.shape[0])).

Функция LinearAlgebra.eigenvalues() находит собственные значения матрицы, а LinearAlgebra.eigenvectors() — пару: собственные значения, собственные вектора:

>>> from Numeric import array, dot.

>>> from LinearAlgebra import eigenvalues, eigenvectors.

>>> a = array([[-5, 2], [2, — 7]]).

>>> lmd = eigenvalues(a).

>>> print "Собственные значения:", lmd.

Собственные значения: [-3.76393202–8.23606798].

>>> (lmd, v) = eigenvectors(a).

>>> print "Собственные вектора:".

Собственные вектора:

>>> print v.

[[ 0.85065081 0.52573111].

[-0.52573111 0.85065081]].

>>> print "Проверка:", dot(a, v[0]) - v[0] * lmd[0].

Проверка: [ -4.44089210e–16 2.22044605e–16].

Проверка показывает, что тождество выполняется с достаточно большой точностью (числа совсем маленькие, практически нули): собственные числа и векторы найдены верно.

Модуль RandomArray.

В этом модуле собраны функции для генерации массивов случайных чисел различных распределений и свойств. Их можно применять для математического моделирования.

Функция RandomArray.random() создает массивы из псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0, 1):

>>> import RandomArray.

>>> print RandomArray.random(10) # массив из 10 псевдослучайных чисел.

[ 0.28374212 0.19260929 0.07045474 0.30547682 0.10842083 0.14049676.

0.01347435 0.37043894 0.47362471 0.37673479].

>>> print RandomArray.random([3,3]) # массив 3x3 из псевдослучайных чисел.

[[ 0.53493741 0.44636754 0.20466961].

[ 0.8911635 0.03570878 0.00965272].

[ 0.78490953 0.20674807 0.23657821]].

Функция RandomArray.randint() для получения массива равномерно распределенных чисел из заданного интервала и заданной формы:

>>> print RandomArray.randint(1, 10, [10]).

[8 1 9 9 7 5 2 5 3 2].

>>> print RandomArray.randint(1, 10, [10]).

[2 2 5 5 7 7 3 4 3 7].

Можно получать и случайные перестановки с помощью RandomArray.permutation():

>>> print RandomArray.permutation(6).

[4 0 1 3 2 5].

>>> print RandomArray.permutation(6).

[1 2 0 3 5 4].

Доступны и другие распределения для получения массива нормально распределенных величин с заданным средним и стандартным отклонением:

>>> print RandomArray.normal(0, 1, 30).

[-1.0944078 1.24862444 0.20415567 -0.74283403 0.72461408 -0.57834256.

0.30957144 0.8682853 1.10942173 -0.39661118 1.33383882 1.54818618.

0.18814971 0.89728773 -0.86146659 0.0184834 -1.46222591 -0.78427434.

1.09295738 -1.09731364 1.34913492 -0.75001568 -0.11239344 2.73692131.

-0.19881676 -0.49245331 1.54091263 -1.81212211 0.46522358 -0.08338884].

Следующая таблица приводит функции для других распределений:

Функция и ее аргументы	Описание
F(dfn, dfd, shape=[])	F–распределение
beta(a, b, shape=[])	Бета–распределение
binomial(trials, p, shape=[])	Биномиальное распределение
chi_square(df, shape=[])	Распределение хи–квадрат
exponential(mean, shape=[])	Экспоненциальное распределение
gamma(a, r, shape=[])	Гамма–распределение
multivariate_normal(mean, cov, shape=[])	Многомерное нормальное распределение
negative_binomial(trials, p, shape=[])	Негативное биномиальное
noncentral_F(dfn, dfd, nconc, shape=[])	Нецентральное F–распределение
noncentral_chi_square(df, nconc, shape=[])	Нецентральное хи–квадрат распределение
normal(mean, std, shape=[])	Нормальное распределение
permutation(n)	Случайная перестановка
poisson(mean, shape=[])	Пуассоновское распределение
randint(min, max=None, shape=[])	Случайное целое
random(shape=[])	Равномерное распределение на интервале (0, 1)
random_integers(max, min=1, shape=[])	Случайное целое
standard_normal(shape=[])	Стандартное нормальное распределение
uniform(min, max, shape=[])	Равномерное распределение

Заключение.

В этой лекции рассматривался набор модулей для численных вычислений. Модуль Numeric определяет тип многомерный массив и множество функций для работы с массивами. Также были представлены модули для линейной алгебры и моделирования последовательностей случайных чисел различных распределений.

Ссылки.

Сайт, посвященный Numeric Python: http://www.pfdubois.com/numpy/

Оглавление.