Сферландия.

Роман.

Об.

Искривленном пространстве.

И расширяющейся Вселенной.

С иллюстрациями автора,

Шестиугольника.

КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.

Первое издание «Сферландии» разошлось за четыре месяца. Однако меня радует не только это, но и тот интерес, с которым широкие круги читателей, как видно из многочисленных писем, отнеслись к проблемам, затронутым в «Сферландии». Шестиугольник и доктор Пункто получили также письма от различных людей, укрывшихся за псевдонимами Равносторонний Треугольник и Обитатель Лайнландии. В одних письмах их авторы просили разъяснить непонятные места, в других содержались предложения относительно того, как улучшить книгу. Все это и побудило меня предпринять второе издание «Сферландии».

Хотя для доктора Пункто не составляло особого труда более подробно рассказать читателям о точности произведенных им измерений, мы решили, что широкой публике это вряд ли будет интересно. Вместе с тем мы хотели бы подчеркнуть, что при измерении космических расстояний по методу построения треугольников расширение пространства не успевает сказаться на результатах производимых измерений, поэтому длину базиса можно считать постоянной.

Многие читатели обратили мое внимание на то, что у флатландских деревьев нет стволов. Это действительно так. Деревья во Флатландии по своей форме отличаются от деревьев в Трехмерии. У них нет ни корней, ни ствола, ни листьев. Слово «ствол» в книге означает то же, что в Трехмерии принято называть «кроной». Выражение «поверхность моря» я по совету читателей заменил выражением «линия, отделяющая море от суши». Разумеется, и сейчас в тексте можно обнаружить не всегда последовательное словоупотребление. К сожалению, это неизбежно, ибо многие понятия, встречающиеся в трехмерном мире, попадая в двумерный мир, приобретают несколько иной оттенок.[1].

Я всегда признателен за любые критические замечания.

Шестиугольник

ПРЕДИСЛОВИЕ, КОТОРОЕ МОЖНО И НЕ ЧИТАТЬ.

Около семидесяти лет назад вышел в свет небольшой роман, который приобрел широкую популярность, и, хотя это произведение мало переиздавалось, название его до сих пор пользуется всеобщей известностью. Мы имеем в виду «Флатландию», роман, в котором в весьма своеобразной форме излагается понятие четвертого измерения.

Замысел этого произведения обладает выдающимися дидактическими достоинствами. Роман, в котором повествование ведется от лица одного из обитателей Флатландии — Квадрата, рассказывает о тех трудностях, с которыми столкнулся мнимый автор при попытке представить себе третье измерение. По аналогии читатель приходит к пониманию того, что такое четвертое измерение — измерение в направлении, перпендикулярном нашему трехмерному пространству.

Подлинным автором романа о Флатландии, который приобрел международную известность, был англичанин Эдвин Э. Эбботт. Он был не математиком, а необычайно одаренным и квалифицированным педагогом. Мистер Эбботт родился 20 декабря 1838 г., а в 1865 г. стал директором одной из лондонских школ. Помимо знаменитой «Флатландии», из-под его пера вышли школьные учебники, несколько теологических работ, биография Бэкона и «Шекспировская грамматика», которая также приобрела широкую известность. Умер Эдвин Э. Эбботт в 1926 г. в возрасте 87 лет.

Повествование в романе ведется в несколько старомодном духе. В привычном для наших предков неторопливом стиле нас посвящают в тайны Флатландии. Мы как бы оказываемся рядом с ее обитателями — плоскими геометрическими фигурами. «Флатландия» резко отличается от обычных научно-популярных книг не только беллетризованной формой изложения (роман!), но и замедленным темпом повествования, позволяющим непосвященному читателю разобраться в существе дела. В этом и состоит неоценимая находка автора «Флатландии», сделавшая его книгу уникальным явлением в литературе. Герберт Уэллс написал множество рассказов, основанных на использовании тех или иных научных данных, но его рассказы менее всего преследуют познавательную цель и чтение их отнюдь нельзя рассматривать как приобщение к науке. Еще раньше мы могли бы назвать Жюля Верна, в сочинениях которого читатель действительно может почерпнуть научные сведения, однако приводимые им факты служат лишь развитию фабулы и не преследуют высоких целей просвещения.

«Флатландия» знакомит читателя с понятием четвертого измерения, но не позволяет ему заглянуть дальше. Читатель узнает лишь о том, что можно мысленно представить себе четвертое направление, перпендикулярное любым трем взаимно перпендикулярным направлениям в нашем мире. Во времена, когда Эбботт создавал свою «Флатландию», большинство людей считало, что четвертое измерение представляет собой не более чем научную («геометрическую») фантазию. Разумеется, и тогда Эбботт мог бы пойти дальше и использовать в своем романе зачатки неевклидовой геометрии, но он благоразумно ограничился рассмотрением лишь традиционной евклидовой геометрии, поскольку всякое отклонение от нее тогда считалось своего рода забавой геометров. Ныне все знают, что наше пространство устроено не так просто, как полагали на протяжении многих некой. Наше пространство искривлено в недоступном нашему непосредственному восприятию направлении и, что еще более странно, расширяется. Читателю, которому случалось хоть раз держать в руках любую книжку, посвященную проблемам пространства, несомненно знакомо все это. Поэтому ныне мы не можем довольствоваться одной лишь «Флатландией».

Популярные книги, призванные помочь читателю разобраться в этих интересных проблемах, имеются в достаточном числе, но их изложение доступно не всем. Темп, в котором эти книги вводят читателя в существо проблем, слишком высок, поэтому автор данной книги решил последовать примеру Эбботта и изложить сведения об искривленном пространстве и расширяющейся Вселенной в форме романа.

Вместо того чтобы населять плоский мир совершенно новыми существами, автор счел за благо обратиться к хорошо известной Флатландии. Поэтому, прежде чем приступать к чтению «Сферландии», необходимо ознакомиться с «Флатландией» Эбботта.

Относительно содержания «Сферландии», пожалуй, уместно сделать несколько замечаний. Автор полагает, что его персонажи обладают большим сходством с «землянами», чем обитатели эбботтовской Флатландии. Разумеется, следует иметь в виду, что автор поневоле вынужден был ограничить свой роман довольно жесткими рамками. По замыслу автора, читатель должен извлечь из знакомства со «Сферландией» представление о том, что пространство может быть искривлено и может расширяться. Говоря об искривленном мире, автор ограничился рассмотрением лишь поверхности сферы и оставил в стороне все остальные типы искривленных пространств. Ни словом не упомянул он о положительной и отрицательной кривизне и о том, как мы представляем себе структуру реального пространства — того пространства, в котором мы живем.

Разумеется, о теории относительности также можно было бы рассказать в форме романа, но автор побоялся выйти за пределы своей компетентности. Не следует в одной книге затрагивать слишком много тем. Темп повествования в «Сферландии» по самой природе вещей гораздо выше, чем во «Флатландии».

Если знакомство с этой книгой доставит читателю хотя бы небольшую часть того удовольствия, которое испытал автор при ее создании, появление «Сферландии» можно будет считать полностью оправданным.

Роттердам, 1957 г. Д. Бюргер

ЧАСТЬ I. ПЛОСКИЙ МИР.

1. НОВЫЕ ВРЕМЕНА.

Прошло более семидесяти лет с тех пор, как мои дед, знаменитый Квадрат, написал книгу, в которой изложил свои представления об иных мирах. Ныне я считаю своим долгом подробно рассказать о том, как сильно изменились с тех пор наши воззрения. Я почувствовал особое призвание к этому еще и потому, что меня не покидало смутное ощущение своей вины, которое мне не удавалось полностью заглушить никакими доводами рассудка. Разве не я выступил против высшего знания и бросил своего деда на произвол судьбы? До тех пор пока его не заточили в тюрьму, он все пытался убедить меня в возможности существования третьего измерения. Я же убегал, делая вид, будто все, о чем он говорит, кажется мне бессмыслицей, хотя хорошо сознавал его правоту. Я неоднократно пытался найти оправдание себе в том, что был тогда лишь малым ребенком и, следовательно, не мог нести полной ответственности за свои поступки, но ощущение вины не покидало меня на протяжении многих лет.

Ныне имя моего деда окружено почетом. К сожалению, он не дожил до этих времен, по потомки приложили все усилия к тому, чтобы восстановить справедливость. На рыночной площади города, где родился мой дед, ему воздвигнут памятник в натуральную величину. Вокруг памятника живая окружность из двенадцати деревьев символизирует высшую мудрость.

Каждый год у памятника происходит официальная церемония: здесь собираются профессора математики и физики, а также бургомистр города и многие выдающиеся политические деятели и ученые. В своих речах они предаются воспоминаниям о том, сколь отсталым было общество в те времена, когда считалось, будто науку можно сковать какими-то узами.

^{Памятник моему деду, знаменитому Квадрату, в окружении двенадцати деревьев.}

Большие изменения произошли и еще в одной области. За годы, истекшие со времени выхода в свет книги моего деда, была полностью ликвидирована отсталость женщин. Мнение о том, будто женщина — создание глупое (якобы потому, что она обладает головным мозгом крайне малых размеров), не считается более верным. Ныне мы знаем женщин, которые получают образование в университете и даже удостоены ученых степеней. Наука перестала быть монополией мужчин, хотя, по правде сказать, у женщины в силу ее природных особенностей на первом месте всегда стоит супружество. Женщине с присущим ей даром любви и заботы самой судьбой предназначено воспитывать детей и вести домашнее хозяйство. На эти хлопоты у женщины уходит большая часть жизни, так что в ее мозгу обычно не остается места для занятий наукой. Великие открытия и изобретения по-прежнему совершают мужчины!

У женщин почти полностью прекратились ужасные приступы ярости, которые порой приводили к немалым бедствиям. Женщина по природе своей склонна подчиняться твердой власти. В прошлом этого не понимали и воспитывали девочек в таком духе, будто они не в состоянии владеть собой. Тем самым юной воспитаннице внушалось чувство безответственности, и женщина считала, что ей дозволено безнаказанно предаваться приступам ярости. На то она и женщина! Ныне женщине хорошо известно, что она несет судебную ответственность наравне с мужчиной.

Не следует упускать из виду и еще один чрезвычайно важный фактор. В соответствии с законом судья, прежде чем начать разбирательство всякого дела, обязан назначить освидетельствование обвиняемого, которое устанавливает его вменяемость. Обычно такое освидетельствование сводится к осмотру внешней формы того лица, о котором идет речь, снизу доверху, и женщина больше всего боится, чтобы в ее «отрезке» не обнаружили малейшего отклонения от прямой. Сколь угодно малое отклонение от прямолинейной формы считается унизительным. Женщина гораздо охотнее согласится, чтобы ее признали вполне вменяемой, хотя при этом ей придется нести полную ответственность за свои действия.

Опасность, какую представляет для общества наша женщина, в значительной мере удалось устранить введением женской «обуви». Каждая женщина, появляясь в общественном месте, носит на заднем конце своего тела специальный чехол — «башмачок». Это позволяет избежать серьезных повреждений, даже если кто-нибудь, с небольшой скоростью налетит на женщину сзади. Закон, по которому женщина, находясь вне стен собственного дома, должна непрестанно совершать колебательные движения задним концом своего тела, отменен, став совершенно излишним. Кроме того, женщина, стремительно несясь по улице, не должна более издавать предупредительные крики. Однако среди дам, принадлежащих к высшим слоям общества, долгое время сохранялась мода двигаться по улице на старый манер. Они очень гордились своим умением совершать изящные гармоничные движения задним концом своего тела. Ныне и этому пришел конец. Уличная молодежь так зло высмеивала светских дам, что те почувствовали себя неловко. Кроме того, не одной даме случалось, совершая упомянутые выше ритмические движения, терять свой «башмачок». Уличные зеваки в насмешку прозвали таких дам золушками.

Чтобы смысл этого прозвища был понятен, вам следует знать, что у нас есть старая сказка про Золушку. Так звали прекрасную девушку, стройную, как отрезок идеальной прямой. У Золушки были две сводные сестры. Они также отличались красотой, но по толщине значительно превосходили ее. Нужно ли говорить о том, что сестры завидовали Золушке и заставляли ее выполнять самую грязную работу. Она должна была не только готовить обед, но и наводить чистоту в доме и выгребать золу из очага. Поскольку Золушка всегда была перемазана в золе и саже, то выглядела она далеко не так, как подобает светской даме.

Однажды в королевском дворце давали бал в честь наследного принца, который в ту пору надумал жениться. Принц хотел выбрать себе в жены самую красивую девушку в мире. Все юные дамы, желавшие участвовать в конкурсе кандидаток в принцессы, приглашались во дворец к девяти часам вечера. Кроме того, приглашение на бал получили все юноши от 18 до 22 лет, правда, с оговоркой: число сторон у каждого из них должно было быть не меньше шести. Проверить выполнение этого условия было довольно просто.

Золушка, как и все девушки, с радостью стала собираться на бал, но ее злые сестры принялись насмехаться над ней и заявили, что явиться во дворец без бального башмачка просто немыслимо. Действительно, по обычаю, существовавшему на протяжении многих веков, дамы, отправляясь на бал, должны были облачать заднюю часть своего тела в специальный чехол, ибо в противном случае, совершая во время танца ритмические движения то в одну, то в другую сторону, они могли бы нанести кому-нибудь тяжелые увечья. Золушка осталась дома. Она села у очага и принялась мечтать о принце, прекрасном двадцатичетырехстороннем юноше. Правда, в последнее время каждая девушка рассчитывала стать принцессой, и целый месяц только и разговоров было — о принце.

И вот в то самое время, когда Золушка печально сидела у очага, вошла соседка и сказала: «Послушай, дитя! Я дам тебе бальный башмачок, какого нет ни у одной другой девушки: маленький, изящный, сверкающий, но сначала мне нужно примерить его на тебя». Золушка хорошенько вымылась и лишь тогда попробовала натянуть башмачок. Он пришелся ей впору. Поблагодарив добрую женщину, девушка поспешила во дворец. Соседка успела лишь предупредить Золушку, чтобы та не забыла вернуться домой до того, как пробьет 12 часов. «Башмачок, — пояснила соседка, — сделан из синтетического материала, который остается твердым не более трех часов, и после того, как башмачок растает, ты с липким комком на теле превратишься в совершенно нелепую фигуру». Это была ложь, ибо башмачок был сделан из прекраснейшего хрусталя, который мог без малейшего ущерба выстоять века и великолепно служить и дальше. Соседка хорошо разбиралась в людях и понимала, что. принц, который, конечно, влюбится в Золушку, будет потрясен, когда прекрасная фея бала внезапно исчезнет.

Так и случилось. Когда Золушка появилась во дворце, веселье было в разгаре. Взоры всех присутствующих обратились к ней, а принц тотчас же поспешил навстречу вновь прибывшей. Красота Золушки произвела ошеломляющее впечатление на всех юношей, бывших на балу. Хрустальная туфелька выгодно подчеркивала стройность ее тела. Принц танцевал с Золушкой подряд все танцы, по вот пробило двенадцать часов. Золушка испуганно вскрикнула, повернулась и бросилась бежать. Входные двери дворца были заперты, но девушка проскользнула через отверстие для вентиляции. Принц, бросившийся за ней, был поражен тем, что его возлюбленная смогла проникнуть через такую узкую щелочку. Разумеется, принцу было не под силу последовать за Золушкой, но что это? Перед ним лежала крохотная изящная туфелька Золушки, которую та потеряла, когда проскальзывала через узкое отверстие. Принц поднял хрустальную туфельку и поклялся, что найдет ее обладательницу.

На следующий день он отправился в город. Впереди шествовали герольды, извещавшие население о том, что вознамерился предпринять принц. Каждой юной даме разрешалось заявить о своем желании примерить хрустальную туфельку. Многих постигло горькое разочарование, когда изящная туфелька оказалась для них слишком узкой и маленькой. Сестры Золушки также попробовали натянуть на себя заветную туфельку, но их попытки, как и следовало ожидать, не увенчались успехом. Тогда Золушка спросила, нельзя ли и ей примерить туфельку. Сестры принялись смеяться над ней и, не скрывая презрения, насмешливо спрашивали: «Уж не принцесса ли ты, Золушка? Не хочешь ли ты, замарашка, выйти замуж за принца?» Накануне вечером они ее не узнали.

Каково же было изумление стоявших вокруг прохожих, когда туфелька пришлась Золушке впору. Принц тотчас узнал свою избранницу и с торжеством повез ее во дворец. Вскоре они поженились. Принц и Золушка жили долго и счастливо, у них родилось много детей: двадцать пять красавцев-сыновей и стройных красавиц-дочерей.

2. СМЯГЧЕНИЕ КАСТОВОГО ДУХА.

Кастовость, на протяжении нескольких веков пронизывавшая нашу общественную жизнь, не была полностью преодолена, а лишь утратила свою остроту. Когда увидели, что женщина по уму не уступает мужчине и ее отсталость обусловлена в основном отсутствием должного образования, стало ясным, что одна лишь величина угла при вершине (вместилище головного мозга) сама по себе недостаточна для того, чтобы судить о степени умственного развития. В прежние времена никому и в голову не пришло бы искать ученых среди Равнобедренных Треугольников, а теперь случалось, и не единожды, что среди Равнобедренных Треугольников оказывались не просто юноши, обладающие склонностью к наукам, а фигуры, которые со временем становились Равносторонними профессорами.

Возросшая свобода в общении обоих полов также способствовала уменьшению кастовых барьеров. Различия между девушками, принадлежащими к различным кастам, всегда были незначительными, и в прошлом нередко случалось, что Окружность брала в жены первую же очаровавшую ее девушку. Огромное число сторон позволяло Окружности быть беспечной. Какое ей дело до того, что у ее потомка будет на две стороны меньше?

Постепенно такую же неразборчивость стали проявлять и другие касты. Сначала она затронула Многоугольники с большим числом сторон, а затем распространилась на Шестиугольники, Пятиугольники и даже на Квадраты и Равносторонние Треугольники. Равносторонний Треугольник, у которого при неудачном выборе супруги рождались равнобедренные дети, не стыдился этого и не только не отказывался от своих сыновей, но даже поселял их вместе с собой и воспитывал с такой любовью, словно те были настоящими Квадратами.

В то же время у Равнобедренных Треугольников наблюдалось заметное ослабление честолюбивых помыслов. Мне случалось знавать одного из Равнобедренных Треугольников, у которого угол при вершине составлял 59½°. Он очень удачно женился, и все его сыновья были настоящими Равносторонними Треугольниками. Однако счастливый отец и не помышлял о том, чтобы получить официальное свидетельство Санитарной и социальной комиссии. Более того, когда члены высокой комиссии прибыли к нему на дом, чтобы обследовать форму его сыновей, наш Равнобедренный Треугольник пытался угрожать уполномоченным лицам, крича, что «он до них еще доберется».

Разумеется, никакие угрозы не смогли помешать членам комиссии исполнить свой долг. Принятое ими решение гласило: детей, как предписывает закон, надлежит отобрать у Равнобедренного отца и отправить на воспитание в одну из бездетных семей Равносторонних Треугольников. Тогда отец призвал на помощь всех соседей, а сыновья оказали членам комиссии отчаянное сопротивление. Лишь после вмешательства полиции порядок был восстановлен. Однако юные Равносторонние Треугольники не пожелали смириться со своим новым окружением. Они заявили, что считают отцовскую любовь более высокой добродетелью, нежели равенство сторон. Каждое воскресенье юные Треугольники отправлялись навестить своего равнобедренного отца, не взирая на запреты приемных родителей, пока те, доведенные до отчаяния непослушанием своих подопечных, не были вынуждены отказаться от воспитания непокорных юнцов.

Комиссия полагала, что возврат строптивых юнцов их равнобедренному отцу послужит устрашающим примером для других, но он возымел совершенно иное действие. Когда еще в одной семье родились равносторонние дети, их отец открыто заявил, что намерен оставить детей у себя дома и воспитывать их самостоятельно. Санитарная и социальная комиссия оказалась в весьма затруднительном положении, но затем был найден удачный на первый взгляд выход: кто-то предложил в подобных случаях оставлять детей на воспитание отцу, внося последнего в книгу записи актов гражданского состояния как Равносторонний Треугольник, даже если в момент регистрации угол при его вершине будет меньше 60°. Это предложение было провалено. Противники его заявили, что лучше вообще отказаться от эпитета Равнобедренный, чем вводить людей в заблуждение ложными Равносторонними Треугольниками.

Оппозиция одерживала одну победу за другой. В кругах Равнобедренных Треугольников широкой популярностью пользовались лозунги «Оставайтесь сами собой. Не стремитесь стать равносторонними!» и «Не женитесь на женщинах с хорошей родословной, ибо ваше потомство будет равносторонним!».

Положение сложилось гораздо более тяжелое, чем при открытом восстании: против высших слоев общества никто открыто не выступал, их просто презирали. Порой это презрение принимало весьма серьезные формы. У Равносторонних Треугольников совсем не трудно найти ту сторону, на которой расположен их глаз, хотя все три угла при вершинах Равностороннего Треугольника равны. Широкое распространение получила грубая шутка. Обращаясь к Равностороннему Треугольнику, обидчики заговаривали не с той вершиной, где находится его глаз (и рот), а с другой и, не получив ответа, делали вид, будто ошиблись, заявляя в свое оправдание: «Прошу прощения, но у вас так трудно отличить переднюю сторону от задней!».

Подобная грубость, повторявшаяся неоднократно и носившая преднамеренный характер, пробуждала у низших слоев общества чувство собственного достоинства. Если учесть к тому же всеобщее распространение образования, то станет ясно, что самосознание сословия Равнобедренных Треугольников укреплялось все больше и больше. Медицина также добилась значительных успехов, и операции по увеличению числа сторон у фигуры стали гораздо менее опасными и дорогостоящими.

Прежде подобные операции удавались лишь в исключительных случаях. Ныне неудачный исход стал происшествием чрезвычайным. Недавно один Равнобедренный Треугольник надумал подвергнуть операции сразу всех трех своих сыновей. После предварительного размягчения периметра юноши поступали в госпиталь. Когда операция была успешно закончена, один из них стал Шестиугольником, другой Десятиугольником и третий — Двенадцатиугольником, причем равенство сторон каждого из них подтверждалось официальным свидетельством.

Члены семьи не прониклись почтением к Двенадцатиугольнику. Наоборот, не только его братья, но и сам треугольный отец разрешали себе подшучивать над ним, называя его в насмешку «Додекагором»,[2] «Двенадцатиком» и «Надцатиком». Санитарная и социальная комиссия обратилась к юному Двенадцатиугольнику с запросом, не желает ли он вступить в благородное сословие, но получила отрицательный ответ. Отец Двенадцатиугольника высмеял составителей запроса, да и сын ответил им в том же духе. С тех пор у Двенадцатиугольника появилось еще больше прозвищ. Его стали называть и «Додекаграфом», и «бароном фон Додекагоном», и «герцогом Надцатиугольником».

Ясно, что подобные случаи надлежит рассматривать как отказ от того чрезмерного уважения, с которым в прежние времена относились к средним и высшим слоям общества. Такая реакция, как и все реакции, носила лишь временный характер. Правда, она наблюдается еще и в наши времена. Нужно сказать, что преувеличенное почтение, с которым относились к Окружности люди старой закалки, ныне окончательно исчезло. Теперь значение придается самой личности, и какой-нибудь Равносторонний Треугольник бывает окружен большим почетом и уважением, чем ленивая Окружность, способная твердить лишь о славе своих предков.

Вместе с тем интересно заметить, что происхождению в наше время уделяется гораздо больше внимания, чем прежде, и хорошая родословная ценится гораздо выше, чем внезапный переход в гораздо более высокое сословие. Двадцатичетырехугольник, ставший правильным после оперативного вмешательства, по общему мнению, занимает более низкую ступень в табеле о рангах, чем Шестиугольник, достигший своего состояния в результате постепенного восхождения его предков по общественной лестнице. По специальным регистрам и книгам записи актов гражданского состояния всегда можно проверить, сколько времени понадобилось интересующему вас лицу для того, чтобы достичь нынешнего числа сторон.

Я не думаю также, что в будущем хорошее происхождение будет цениться меньше, чем теперь. Здесь многое зависит от наименее образованных слоев общества, придающих большое значение сословным различиям. Однако и в школах высших ступеней юношеству внушают, что принадлежность к благородному сословию ко многому обязывает. В этой связи уместно привести изречение одного древнего философа, который сказал: «Чтобы создать собственное состояние, нам прежде всего необходимо избавиться от наследия отцов».

Переворот в наших представлениях, протекавший вполне мирно, привел к важным последствиям не только в области политической экономии, но и в области науки. Здесь также повеяли новые освежающие ветры, и ученые смогли избавиться от косности и рутины. Новые представления получили доступ в науку, и результат не замедлил сказаться. Ныне никто не осмелился бы назвать провозвестника существования третьего измерения преступником или опасным безумцем. По-видимому, все согласятся с тем, что лишь немногие верили в существование третьего измерения до того, как оно было провозглашено Гиперокружностью,[3] и в этом есть определенный резон. Ныне же никто более не спрашивает, откуда возникли новые представления. Кроме того, у каждого Квадрата могут быть свои очень интересные идеи. Если говорить о моем деде, то у него такие идеи были.

3. ПУТЕШЕСТВИЯ И ОТКРЫТИЕ МИРА.

Наши представления о том, как устроен мир, претерпели значительные изменения по той причине, что путешествия и совершенные во время их открытия во многом способствовали расширению наших взглядов. Еще недавно мы полагали, будто весь мир хорошо изучен. Все были убеждены в том, что интерес представляют лишь те края, в которых побывали путешественники. Но они побывали далеко не всюду, и это обстоятельство само по себе говорит о том, что мир бесконечно велик.

Флатландцы были убеждены в том, что все обитаемые страны населены такими же существами, как и они сами, и что отличия могут состоять самое большее в уровне развития и цивилизации. Разумеется, никто не сомневался в том, что наиболее развитые существа находятся именно в нашем обществе. Сама мысль о том, что где-то могут обитать недоразвитые существа (по крайней мере, если говорить о настоящем времени), казалась нелепой. Все думали, что мир в будущем будет населен облагороженной расой. Общество в своем развитии достигнет такой ступени, когда все мужчины будут Окружностями, а все женщины — изящными тонкими Отрезками прямых, и те, и другие будут одинаково благородными по духу и по рождению. Полностью исчезнут преступления: их некому будет совершать. Каждый станет честным и добропорядочным, и в прекрасном мире будущего каждый станет с удовольствием выполнять порученное ему дело. Много времени будет оставаться для досуга. Его будут использовать для того, чтобы облагораживать собственное тело. Кроме того, каждый в свободное время сможет укрепить свой разум пищей духовной. Любое преступление, или, лучше сказать, «деяние, не столь благородное, как обычно», будет рассматриваться как заболевание, а виновника его подвергнут лечению в клинике.

Так мечтали мы об идеальном государстве далекого будущего как о конечном продукте счастливой эволюции нашей столь благородной в своей основе расы. В том, что в современном мире мы по своему развитию превосходим всех остальных существ, были убеждены все, кроме одного отшельника-философа. По его мнению, не исключалась возможность, что где-то в отдаленной стране обитают гораздо более развитые существа, которые считают нас народом, стоящим на низкой ступени развития, и, быть может, даже рассматривают как своего рода домашних животных. Но предсказания отшельника не оправдались. В какой бы части света пи оказывались наши путешественники в своих странствиях, они всюду обнаруживали существ, подобных нам, которые в своем развитии достигли гораздо более низкой ступени, чем мы.

Например, была открыта страна, у всех обитателей которой угол при вершине меньше 10°. Сначала наши путешественники думали, что имеют дело с выродившейся расой, по более тщательные исследования выяснили иную картину: по существующему обычаю всех мальчиков с углом при вершине больше 10° обитатели этой страны просто умерщвляли. При опросе обнаружилось, что некогда страну населяли гораздо более разумные и развитые существа: Равносторонние Треугольники, Квадраты и даже Многоугольники, но после одного восстания они вывелись. В кровопролитном сражении, положившем конец их господству, победу одержали Равнобедренные Треугольники с весьма острыми углами при вершинах. Они так беспощадно уничтожали всех своих противников, что все высокоразвитые существа погибли. В живых остались лишь Равнобедренные Треугольники, причем в основном с весьма малым углом при вершине. Большинством голосов они установили верхнюю границу для угла при вершине в 10°. Правда, у тех Равнобедренных Треугольников, которые голосовали против, углы при вершине были больше 10°, но они были беспощадно истреблены воинами, и новый закон вступил в силу.

Сначала жители той страны, о которой идет речь, жили весело и счастливо. Это был сильный парод, способный одолеть любого противника. Однако вскоре они стали замечать, что хозяйство страны мало-помалу приходит в упадок. Нельзя сказать, что Равнобедренные Треугольники с углом при вершине в 10° не были полностью лишены разума, но деятелей науки и искусства среди них почти не встречалось. Вся духовная жизнь постепенно замерла. Общество было обречено на отставание. Конкуренция с другими странами, не подвергшимися такой «нивелировке» не могла продолжаться долго. Некогда процветавшая страна не только отстала в своем развитии, но и превратилась в третьеразрядную державу. Не прошло и века, как в области культуры она утратила свое прежнее положение и заняла самое последнее место среди соседних народов.

В другой стране, расположенной неподалеку от первой, внимание, уделяемое духовному развитию народа, было необычайно высоко. Не забывали там и о физической культуре (все обитатели страны занимались спортом), но армия отсутствовала. Жители надеялись, что смогут обойтись и без нее. Полная гармония тела и духа настолько ускорила эволюцию в этой стране, что Равнобедренные Треугольники в ней почти вывелись, а у оставшихся угол при вершине был больше 50°. Страна прямо-таки кишела Многоугольниками и Окружностями. Жизнь там была райской, как вдруг наступило жестокое разочарование.

Соседнее государство, содержавшее сильную армию, но не достигшее столь высокого жизненного уровня, стало зариться на богатства этой страны, расположенной в непосредственной близости от него, и двинуло свои войска через границу. Следуя ими же выдвинутой теории, согласно которой все богатства земли должны принадлежать сильнейшему, захватчики, застав врасплох миролюбивых соседей, истребили подавляющее большинство коренного населения, захватили все богатства и, обратив в рабство оставшихся в живых обитателей, заставили их работать на себя.

Дальше на юг, где притяжение сильнее и плотнее атмосфера, были открыты племена, стоящие еще на очень низкой ступени развития. Жили эти племена в густых лесах. Равносторонних Треугольников и более высоко развитых существ среди них не было обнаружено. Все они представляли собой Равнобедренные Треугольники с очень малым углом при вершине. В среднем этот угол не превосходил 30°, но у отдельных особей был еще меньше. В этих же лесах путешественники встретили пигмеев, карликов, которые ростом были не больше нашего ребенка. Это открытие потрясло цивилизованный мир: о карликах часто говорили, но никто не подозревал, что они существуют в действительности.

В самой чаще густых темных лесов был обнаружен целый народ, состоявший из Неправильных фигур. Сразу было ясно, что в умственном развитии Неправильные фигуры — народ очень отсталый и что все они прирожденные преступники. К счастью для цивилизованного мира, большинство из них не могут выходить за пределы ареала своего обитания. Неправильные фигуры велики по размеру и слишком бесформенны для того, чтобы передвигаться между деревьями, поэтому обычно они поселяются на открытых местах, выбирая для этого лесные поляны или искусственно расчищая площадки. Стремясь ко всемерному росту благосостояния своих народов, цивилизованные государства решили полностью уничтожить этих дикарей, являвших собой оскорбительную карикатуру на Правильные Многоугольники. В операции по очистке лесов от Неправильных фигур все цивилизованные народы приняли участие тем охотнее, что в местах обитания этих бесформенных чудовищ были обнаружены полезные ископаемые, столь высоко ценимые развитыми странами. Разногласия по поводу раздела освободившейся территории послужили причиной возникновения войн между различными нациями.

Рассказ обо всех народах, открытых в нашем мире, увел бы меня далеко в сторону, поэтому я упомяну еще только об амазонках. Это был народ, который, как все думали, состоял из одних лишь женщин. И действительно, никто и никогда не видел среди амазонок ни одного мужчины. Относительно того, каким образом происходит размножение у амазонок, существовали самые различные теорий, и ученые немало поломали головы, размышляя над этой тайной, пока не обнаружили, что все теории неверны.

Оказалось, что в действительности мужчины в стране амазонок все же были. Это оказались главным образом пленные. Отряд их был очень немногочислен, и составляли его одни лишь Квадраты и Многоугольники. Мальчиков, рождавшихся Треугольниками, немедленно умерщвляли, даже если они и были Равносторонними. Из числа остальных Многоугольников в живых оставляли ровно столько, сколько требовалось для нужд общества. Уцелевших мужчин содержали в специальном лагере, выпуская их лишь для продолжения рода амазонок и выполнения различных работ по хозяйству. Несколько часовых-амазонок без труда поддерживали порядок. При малейшем неповиновении они безжалостно пронзали мужчин.

Из истории известно, что однажды мужчины подняли восстание. Улучив момент, они напали на охрану, надеясь убежать. Все войско амазонок устремилось в погоню за беглецами. Поскольку наиболее вооруженными из них были Квадраты, а другие Многоугольники имели еще более тупые углы при вершинах, то защищаться мужчины не могли. Настигшие их амазонки беспощадно перебили всех, буквально пронзая их насквозь.

Государство амазонок было бы заведомо обречено на вымирание, если бы эти воительницы постоянно не заботились о «подвозе» новых мужчин. Поставщиками мужчин служили главным образом сопредельные страны. «Заготовка» не обходилась без войн, и многие амазонки пали на поле брани, но этим превосходным воительницам, несмотря на потери, все же удавалось каждый раз одерживать победу и увозить с собой в плен значительную часть мужского населения побежденной страны.

Если бы «экспедиция» за мужчинами проводилась один-единственный раз, то причиненное ею зло было не столь уж велико, но успех, сопутствовавший первой же попытке насильственного угона мужчин, окрылил амазонок, и они почувствовали вкус к подобным набегам, Умыкать взрослых мужчин казалось амазонкам гораздо более простым делом, чем растить тех же мужчин с детских лет. В соответствии с этими взглядами амазонки стали умерщвлять всех рождавшихся у них младенцев мужского пола, оставляя в живых лишь новорожденных женского пола. Девочек воспитывали как солдат, причем никаких помех, создаваемых присутствием мальчиков, у амазонок, естественно, не было.

Нужно ли говорить о том, какое негодование вызывали у соседних государств эти набеги, тем более что амазонки действовали дерзко и безрассудно, Они мародерствовали, грабили решительно все, что попадалось под руку, и к тому же облагали страны непомерной данью. Последние, естественно, в конце концов воспротивились и, собрав общими усилиями огромное войско, двинулись на амазонок. В кровопролитном сражении, в котором обе стороны понесли большие потери, победу одержали женщины. Нетрудно представить, сколь ужасной была месть Беллафорты, царицы амазонок. Все юноши в покоренных странах были беспощадно умерщвлены, а девушки угнаны в рабство. Получив специальную подготовку, они должны были затем служить в войсках амазонок. Тех же, кто проявлял преданность своей семье и родине, беспощадно умерщвляли.

Страны, еще не успевшие к тому времени испытать на себе иго амазонок, не на шутку встревожились. Состоялась весьма представительная конференция глав государств, на которой подробно обсуждалось создавшееся серьезное положение. Предложение о том, чтобы выставить против амазонок женское войско, было отвергнуто, поскольку обучение такого войска заняло бы слишком много времени. После долгих препирательств главы государств решили, что наиболее эффективным в борьбе с амазонками должно быть войско, набранное из солдат с весьма острыми углами при вершинах.

^{Царица амазонок Беллафорта в момент нападения на нее сержанта Квадрата (А) и после того, как она застряла между деревьев (Б).}

Поход, в котором я сам принял участие совсем еще молодым лейтенантом, навсегда останется славной страницей в истории Флатландии. Наш главнокомандующий, принц Арматус, знатный Десятиугольник, был необычайно искусным стратегом. Вместе со своим войском он подстерег амазонок на опушке огромного леса. Свои отборные войска он расположил у самых деревьев. Солдаты стояли плечом к плечу так плотно, что из-за них не видно было леса. Когда амазонки стремительно бросились на нас, солдаты в самый последний момент отступили за деревья. Несущиеся с бешеной скоростью воительницы почувствовали опасность, когда было поздно: острия их тел вонзились в деревья. Многие амазонки переломились пополам, другие прочно застряли в деревьях и стали легкой добычей наших пехотинцев, атаковавших их сбоку.

Царица Беллафорта и ее штаб, находившиеся в арьергарде и оттуда руководившие боем, попытались было бежать. Развернувшись, они устремились к группе отдельно стоявших деревьев, надеясь, что им удастся ускользнуть, но наши солдаты, замаскировавшиеся на этом участке, напали на беглецов сбоку. Саму царицу амазонок взял в плен некий сержант по имени Квадрат, сумевший защемить Беллафорту так, что она прочно застряла между тремя деревьями. Беллафорта не могла двинуться ни вперед, ни назад. Ее с торжеством извлекли из ловушки и затем долго возили по разным странам, выставляя напоказ на ярмарках. Храбрый сержант за проявленное мужество был осыпан почестями и наградами, а после операции, произведенной за счет государства, превратился в Двенадцатиугольник и был возведен в благородное сословие.

4. ДЕРЕВЬЯ, ДИКИЕ ЗВЕРИ И МОРЕ.

Хотя мы достаточно много говорили о деревьях и лесах, однако вполне возможно, что вы не вполне ясно представляете себе, как выглядят деревья у нас, во Флатландии. Так же, как и у вас в Трехмерии, наши деревья представляют собой живые существа, стоящие на сравнительно низкой ступени развития и лишенные способности самостоятельно передвигаться с места на место. Наши деревья могут лишь ощущать внешние воздействия, но не могут видеть, слышать или говорить. Однако растут они не вверх и у них нет длинных стройных стволов. Наши деревья — это иногда круглые, иногда ребристые образования, которые по мере роста постепенно утолщаются. На поверхности деревьев образуются семена, которые затем отделяются и закрепляются на некотором удалении от породившего их дерева.

Из семян со временем вырастают новые деревья. Достигнув определенной зрелости (у некоторых пород критический возраст больше ста лет), деревья умирают и рассыпаются в прах.

Иногда деревья в лесу стоят так густо, что одно дерево срастается с другим. Лес в таких случаях становится поистине непроходимым. Однако и до того, как деревья срастутся, лес может стать столь дремучим, что взрослому флатландцу не под силу протиснуться сквозь него. Дети еще могут кое-как пробраться сквозь узкие промежутки между отдельными представителями растительного царства, но при этом возникает серьезная опасность, которую не следует упускать из виду: дети легко могут заблудиться в лесу. Ведь они не обладают способностью ориентироваться на местности, присущей лишь взрослым флатландцам, которые особым чутьем определяют направление силы притяжения (то есть направление на юг) и, кроме того, умеют по окраске деревьев определять направление на север. Дело в том, что все наши деревья имеют зеленоватую окраску, которая с северной стороны гуще, чем с южной: дожди, идущие с севера, обильнее увлажняют именно северную сторону наших деревьев.

Различных пород деревьев открыто очень много. В южных странах деревья получают больше влаги, имеют более зеленый цвет и растут быстрее, чем на севере. Атмосфера там насыщена водяными парами, поэтому для жителя севера прогулка по тамошнему лесу иногда бывает неприятной. Северянина охватывает гнетущее, тревожное чувство. Нередко он испытывает в чаще южных лесов сильный страх, и не без оснований, поскольку там в непроходимых дебрях обитают существа, представляющие серьезнейшую опасность для путешественника.

Среди животных, населяющих Флатландию, но не известных обитателям Трехмерия, прежде всего можно назвать ящеров.

Внешний вид ящеров не одинаков, что свидетельствует о принадлежности их к различным видам. Если вы захотите узнать о ящерах побольше, то я рекомендую вам обратиться к флатландским учебникам зоологии, в которых описаны разнообразнейшие животные. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что все ящеры имеют жесткую грубую оболочку, покрытую мелкими выступами, или чешуйками. В оболочке ящеров имеется одно или несколько углублений (каждое такое углубление называется пастью), через которые ящер может втягивать внутрь себя других существ, даже если те стоят на более высокой ступени развития. Нападая, ящер раскрывает пасть и поглощает тело своей жертвы.

^{Различные виды ящеров.}

О том, насколько небезопасна жизнь среди подобных чудовищ, достаточно свидетельствует хотя бы тот факт, что совсем недавно из девственных южных лесов не вернулась научная экспедиция, занимавшаяся там изучением флоры и фауны. Лесорубы, валившие деревья на опушке леса, слышали доносившиеся издалека душераздирающие вопли и крики о помощи, но не решились тотчас же броситься на выручку, а вместо этого сообщили обо всем в расположенный неподалеку город. Специально снаряженная военная экспедиция, прибыв на место происшествия, смогла лишь восстановить подробности разыгравшейся трагедии. Среди кустарников и деревьев были обнаружены останки некоторых ученых и часть собранных ими материалов.

Хотя путешественники, отправлявшиеся на восток и на запад, каждый раз обнаруживали другие пароды, у обитателей Флатландии гораздо больший интерес вызывали страны, расположенные далеко на юге. Объяснялось это тем, что и на востоке, и на западе Флатландии климат, сила притяжения и давление воздуха остаются по существу неизменными, а вот по мере продвижения на юг сила притяжения заметно возрастает и вместе с ней увеличивается давление воздуха. К тому же в южных областях более высокие температуры и растительность отличается большей пышностью.

Довольно скоро выяснилось, что перенести все тяготы путешествия в южные страны под силу далеко не каждому. Многие пали жертвой особой болезни — тропической лихорадки, протекающей иногда в столь острой форме, что больной погибает через несколько часов после начала болезни. При появлении первых же симптомов больной подлежит немедленной отправке в более умеренный климат, однако в большинстве случаев сделать этого не удается. Путешествующие в одиночку заведомо обречены в этих случаях на смерть. Однако тропическая лихорадка не раз сводила в могилу и большие экспедиции. Чтобы отважиться на путешествие в изнурительном климате, нужна немалая доза мужества и упорства. Те, кто ставил перед собой столь сложную задачу, стремились лишь к одной цели: успешному завершению экспедиции! Они упорно старались проникнуть как можно дальше на юг! Когда же один из членов экспедиции заболевал, остальные просто не решались повернуть назад до тех пор, пока чувствовали себя вполне здоровыми. Они продолжали продвигаться на юг, заражая друг друга, до тех пор, пока не заболевал последний. В итоге погибал весь состав экспедиции до единого человека.

Тщательная подготовка и строгий медицинский контроль все же позволили отобрать тех, кто способен выдержать длительное пребывание в жарком климате, и укомплектованные таким образом экспедиции заново обследовали южные страны. Действительно, по мере продвижения на юг в условиях повышенной влажности растительность становится все более пышной. Деревья вырастают чрезвычайно мощными, а их поверхность обычно покрывает мох или плесень, полностью обволакивающая дерево. Так же как и у вас в Трехмерии, мертвые растения и животные в такой атмосфере быстро разлагаются. Оказавшись посреди девственных тропических лесов, вы как бы попадаете внутрь сосуда, наполненного гниющими отбросами. Миазмы вызывают головокружение, шум в ушах, туманят разум. Заметив угрожающие симптомы, руководитель экспедиции обязан тотчас же повернуть назад. Опыт вернувшейся, пусть даже неудачной экспедиции принесет науке больше пользы, чем безвременная гибель исследователей.

Довольно скоро выяснилось, что по мере продвижения на юг леса становятся все более непроходимыми из-за густого подлеска и змееподобных лиан, закрывающих все проходы.

Поскольку флатландцев очень интересовало, нет ли за лесами открытого пространства, они снарядили экспедицию, в состав которой вошли солдаты — рубщики лиан. Ими стали Равнобедренные Треугольники с весьма острым углом при вершине, специально снаряженные для работы в жарких странах. Это был знаменитый поход, продолжавшийся довольно долго. Многие уже начали сомневаться в возвращении экспедиции, как вдруг весь цивилизованный мир с быстротой молнии облетела весть о ее возвращении. Оставшиеся в живых рассказали о том, как им с большим трудом удалось пройти сквозь густые леса и в конце концов выйти на берег моря — мирового океана, в котором собиралась падающая с севера дождевая вода. На берегу моря отважные путешественники увидели необычайных живых существ — животных, которые могли передвигаться лишь по линии, отделяющей воду от суши, легко становились добычей членов экспедиции и послужили великолепным пополнением ее запасов продовольствия.

Возвратившихся ожидали всевозможные почести и слава. Научных руководителей экспедиции избрали членами различных ученых обществ. Их считали открывателями границ мира, ибо (как полагали несведущие) никому и в голову не придет исследовать, что находится за линией, отделяющей мировой океан от суши. Однако вместо того, чтобы стать завершающим этапом эпохи великих открытий, эта экспедиция положила начало все более и более дерзким попыткам исследовать Флатландию.

Не прошло и года, как отправилась новая экспедиция, снабженная всем необходимым оборудованием, чтобы в герметически замкнутых лодках опуститься под линию, отделяющую море от суши. Члены этой экспедиции по возвращении представили описания животных, увиденных ими под поверхностью моря, и рассказали о жестоких битвах между обитателями подводного царства, разыгравшихся на их глазах. Животных, обитающих под водой, удобнее всего назвать одним собирательным словом «рыбы», однако не следует думать, будто между морскими чудовищами имеются лишь незначительные различия. Наоборот, обитатели подводного мира существенно отличаются друг от друга как по форме, так и по величине. Одни из них имеют очертания окружности, другие напоминают ланцет, третьи имеют весьма неправильную форму. Членам экспедиции случалось видеть и странных существ с длинными щупальцами. Одно из таких существ схватило своими щупальцами подводную лодку экспедиции. Экипаж уже считал себя погибшим, как вдруг пришло неожиданное избавление: чудовище поранило щупальце об одну из острых вершин лодки и выпустило свою добычу.

Новые экспедиции продолжали исследования Флатландии по другую сторону моря. Там были обнаружены пышные заросли великолепных растений. Исследователи провели бурение морского дна и обнаружили, что оно состоит из очень твердого вещества, названного «камнем» или «скальной породой».

Ныне «границы» мира все же установлены, и лишь философы могут рассуждать о том, незыблемы ли они, толсты или тонки, простираются ли до бесконечности, нет ли за границей нашего мира другого, незамкнутого, пространства, иного мира и что это такое. Наука в настоящее время не может ответить на все эти вопросы.

5. КРУГОСВЕТНОЕ ПУТЕШЕСТВИЕ.

Иногда случай может сыграть в истории науки совершенно неожиданную роль. Известно, что научные экспедиции, требующие больших затрат, усилий и сопряженные с опасностью для жизни исследователей, далеко не всегда оправдывают огромные расходы. В то же время нельзя не удивляться тому, что иное путешествие, не требующее особых приготовлений, порой может иметь для науки неоценимое значение. Именно так и произошло с путешествием, в которое отправились двое туристов, заключивших между собой пари.

В некоем городе существовало общество под названием «Клуб Квадратов», членами которого могли состоять лишь Квадраты. Среди членов клуба находились два бывалых путешественника, которые очень любили хвастать своими приключениями. Стоило лишь зайти разговору о чужих странах и народах, как друзья принимались спорить: они все пытались выяснить, кто из них путешествовал больше. Для разрешения спора была создана специальная комиссия, которая в своей работе столкнулась с немалыми трудностями. Дело в том, что один из путешественников, господин Ориенталис, посетил больше стран и повидал больше народов, в то время как другой, господин Окциденталис, странствовал на большем удалении от дома. Отдать предпочтение кому-нибудь из двоих было чрезвычайно трудно, и после долгого обсуждения комиссия решила объявить победителем господина Окциденталиса. Тогда Ориенталис заявил, что он намерен превзойти своего друга и соперника не только по числу стран, но и по дальности маршрутов. Было заключено пари. Оба спорщика должны отправиться в путешествие: Ориенталис на восток, Окциденталис на запад. Отчеты о путешествии должны были помочь установить, кто из двух друзей заслуживает более громкой славы.

Сначала Ориенталис хотел испросить себе длительный отпуск и совершить налегке путешествие продолжительностью в несколько недель, но когда он узнал, что его соперник затеял такие приготовления, словно отправляется в научно-исследовательскую экспедицию, то передумал и также принялся за подготовку разнообразного снаряжения. Ориенталис сам сварил пищевые концентраты и приобрел оружие на случай, если в пути придется защищаться от разбойников или диких зверей. Он заказал столько всего, что в случае необходимости сделанных запасов должно было хватить по крайней мере на год.

В заранее назначенный день в присутствии всех членов «Клуба Квадратов» оба путешественника пустились в путь в противоположные стороны.

В степах клуба долго еще обсуждали успех дерзкого предприятия. Шансы обоих соперников оценивались примерно одинаково.

Когда прошел год и ни один из путешественников не вернулся, члены клуба забеспокоились. Спорщики славились своим упрямством, и вполне могло случиться, что каждый из них, желая непременно превзойти соперника, продолжал уходить все дальше и дальше, пока не встретил какое-нибудь непреодолимое препятствие, а может быть, и смерть. Все сочли ошибкой то обстоятельство, что в условиях состязания не был установлен предельный срок, в течение которого оба соперника должны завершить свой вояж, ибо в сложившейся ситуации, даже если бы один из них благополучно вернулся, то его все равно нельзя было бы объявить победителем, не убедившись предварительно в том, жив ли второй путешественник и не пришлет ли он известий о себе. Президент клуба предложил объявить победителем первого, кто вернется, а если впоследствии окажется, что квадрат, вернувшийся вторым, проделал более длинный путь, то ничто не мешает устроить еще одно чествование. Это предложение получило всеобщее одобрение, но проходили дни, недели, месяцы, а о путешественниках не было пи слуху ни духу. Минуло три года. Беспокойство росло. Об этом случае говорили лишь шепотом, словно обоих путешественников уже не было в живых. Но спустя два месяца оба без вести пропавших самолично явились в клуб и заговорили со своими друзьями так, будто ничего особенного не произошло. Господин Ориенталис сообщил, что пари выиграл его друг господин Окциденталис, по обо всем остальном оба хранили молчание.

Позднее они представили подробный доклад о своих открытиях, которые оказались столь замечательными, что привели весь ученый мир в состояние необычайного возбуждения. Что же собственно произошло с двумя путешественниками? Ориенталис отправился в путь, держа курс на восток. Так же как и его соперник, он взял с собой новейший прибор для измерения силы притяжения, позволявший ему двигаться без малейших отклонений. Если показания прибора уменьшались, то это означало, что маршрут отклонился к северу. Если же показания прибора увеличивались, то это означало, что маршрут отклонился к югу.

Много месяцев шел Ориенталис все дальше и дальше, от города к городу, из страны в страну. Сначала его путь пролегал через известные страны с цивилизованным населением, по затем Ориенталис вступил в пределы обитания более отсталых племен, с удивлением смотревших на путешественника. Население этих стран находилось на столь низкой ступени развития, что ему редко доводилось видеть Квадрата, а поскольку туземцы испытывали безграничное почтение к высшим существам и неизменно наделяли их способностью исцелять различные болезни и недуги, то путешествие Ориенталиса в тех краях проходило без особых приключений. Всюду, куда бы он ни приходил, его окружал ореол искуснейшего лекаря. Каждый выздоровевший пациент умножал его славу. Если же улучшения в состоянии больного не происходило, то это приписывали действию злых духов.

Так шел Ориенталис от одного селения к другому, как вдруг его путешествие неожиданно оборвалось — он повредил свои органы движения. Жители ближайшего селения приютили Квадрата, окружив заботой и вниманием, они сочли его волшебником, спустившимся с небес.

Ориенталис месяц за месяцем жил среди туземцев. Но мало-помалу им стала овладевать непреодолимая тоска по родине. Неужели ему суждено всю дальнейшую жизнь провести в этой невольной ссылке? Неужели его всегда будут окружать одни лишь Равнобедренные Треугольники с острыми углами при вершине и даже Неправильные фигуры? И хотя его почитали здесь богом, что значили для него все эти почести, воздаваемые жалкими, неразвитыми существами!

Наконец наступило долгожданное выздоровление. Ориенталис вновь обрел способность передвигаться. Сначала он совершал лишь небольшие прогулки по окрестностям, но затем окреп и стал делать уже основательные дневные переходы. Мысленно Ориенталис уже видел себя в кругу своих одноклубников. Он беспокоился за своего друга и досадовал, что тот не сможет получить всех полагающихся ему почестей. Вскоре Ориенталис принялся за необходимые приготовления, так как опасался, что местные жители не захотят по доброй воле расстаться с ним. Предчувствия не обманули Ориенталиса. Туземцы довольно скоро заметили, что он ведет себя странно, и раскусили его намерения. Они по-прежнему вели себя самым дружественным образом, но приставили к Ориенталису стражу, якобы для его вящей безопасности, а в действительности для того, чтобы помешать ему бежать из селения.

Когда Ориенталис заметил, что о скрытном побеге не может быть и речи, он открыто рассказал о своем намерении вождю племени. Поблагодарив вождя за гостеприимство и тщательный уход во время болезни, он сказал, что теперь выздоровел и хочет уйти.

Бургомистр селения (условимся так называть это высокое должностное лицо) без обиняков заявил Ориенталису, что у того ничего не выйдет, что он спустился с небес, дабы излечиться в селении от своей болезни, и что нет ни малейших признаков, которые свидетельствовали бы о том, что воля богов изменилась. Кроме того, бургомистр возражал против ухода великого целителя и как вождь племени.

И вот именно в ту пору, когда все шансы на побег были безвозвратно потеряны, пришло избавление, но пришло не с запада, как ожидал Ориенталис, а с востока. Соперник Ориенталиса, господин Окциденталис, пустившийся в путь в противоположном направлении, встретился с Ориенталисом в том же самом селении. Едва по поселку разнеслась весть о том, что к нему приближается еще один Квадрат, как все население охватило ликование. Навстречу новому гостю отправилась торжественная процессия с музыкой и подарками, дабы умилостивить божество. Гостя провели к его коллеге, и оба соперника приветствовали друг друга самым дружеским образом. Несколько дней спустя они покинули селение и отправились дальше, на сей раз беспрепятственно.

На обратном пути оба путешественника изрядно поломали голову, пытаясь найти объяснение происшедшему с ними чуду: каким образом тот, кто отправился на запад, мог вернуться домой с востока. Они не смогли найти никакого объяснения этому и решили, вернувшись домой, предложить загадку членам клуба. Однако в день своего прибытия путешественники сочли неуместным задавать своим друзьям неразрешимые задачи и, войдя в клуб, приветствовали своих коллег простым восклицанием: «Господа! А вот и мы!» Ориенталис сделал краткое сообщение, заявив, что не он, а его друг выиграл пари, а обо всем остальном оба друга умолчали.

6. НАША ЗЕМЛЯ КРУГЛАЯ.

Удивительное происшествие, случившееся с Ориенталисом и Окциденталисом, сначала породило множество бесполезных споров в стенах «Клуба Квадратов», но, когда слух о нем распространился шире, стало предметом всеобщего обсуждения. Каждый пытался дать свое объяснение чуду. В счастливый миг непонятным происшествием заинтересовался ученый мир. Один из виднейших его представителей, работавший в университете моего родного города, профессор Боллобосо, личность энциклопедических знаний, первым понял, в чем суть дела. Решение догадки он сформулировал весьма кратко: «Наша Земля круглая!».

Направление «вверх», или, как принято говорить у нас, во Флатландии, направление «на север», против силы притяжения, не для всех смертных одинаково. Если мы возьмем два отвеса и поместим их на некотором расстоянии друг от друга, то на первый взгляд может показаться, будто они указывают параллельные направления. Однако в действительности это не так: оба направления пересекаются в некоторой точке, удаленной от того места, где мы находимся, на довольно большое, но конечное расстояние. Эта точка называется центром Земли.

Наша Земля круглая! На юге находится твердое каменное ядро, вокруг которого простирается море (или Мировой океан). Затем идет атмосфера. Двигаясь от центра Земли, при входе в атмосферу мы прежде всего попадаем в зону тропических лесов. После тропических лесов идет обитаемая зона, в которой находятся различные города и селения, где живут цивилизованные и отсталые народы.

Может быть, обитатель Трехмерия захочет сравнить нас с птицами, поскольку мы обладаем способностью свободно перемещаться в атмосфере в любом направлении, какое только может быть в нашем двумерном пространстве. Однако такое сравнение было бы неверным, поскольку нам в отличие от птиц, чтобы передвигаться в слабом поле, создаваемом силой притяжения, не нужны крылья. В мои намерения не входит объяснение того, каким образом флатландцы перемещаются в горизонтальном (с запада на восток) и в вертикальном (с севера на юг) направлении. Тем, кого это заинтересует, я рекомендую обратиться к трудам по биологии.

Другой ученый, профессор Ньютон, открыл, что существование сил притяжения обусловлено действием ядра Земли. Сосредоточенная в ядре огромная масса притягивает все живые и неодушевленные тела. Именно поэтому капли дождя всегда падают вниз, по направлению к ядру, и образуют море. При испарении влаги водяные пары снова попадают в атмосферу. Под влиянием разнообразнейших обстоятельств они сгущаются и образуют облака, а из облаков может идти дождь. Так происходит в природе круговорот воды.

Разумеется, сразу же возникает вопрос, почему не все предметы падают вниз. Твердые предметы, дома и различные сооружения, а также растения, отдельно стоящие деревья и деревья в лесу, остаются на своих местах и не обнаруживают ни малейшей наклонности падать вниз. Ответить на этот вопрос отнюдь не просто.

^{Наш круглый мир. Самая большая окружность условно изображает границу атмосферы. В действительности эта граница размыта.}

Возможно, лучше всего рассматривать незыблемость домов и деревьев как закон природы. Однако нельзя не упомянуть о множестве вполне серьезных научных теорий, разработанных для объяснения этого явления. Современные представления ученых о неподвижности твердых предметов настолько сложны, что разобраться в них вы сможете, лишь затратив известные усилия.

Наши ученые считают, что твердые предметы опираются на некое пространство, параллельное нашему миру. Таким образом, наши твердые предметы опираются на некую плоскую поверхность, такую же плоскую, как мир, в котором мы живем. Должен заметить, что понять эту гипотезу (а то, о чем я вам сообщил, — не более чем предположение) неспециалисту очень трудно, хотя для обитателя Трехмерного Пространства она выглядит менее странной, чем для нас. Учитывая все это, мы в дальнейшем будем просто констатировать, что деревья и дома во Флатландии стоят неподвижно на своем месте (поскольку никто не сомневается в том, что это действительно так).

Ученый мир очень быстро воспринял новую теорию о том, что наша Земля круглая, но широкой публике, далекой от науки, понадобилось много времени, прежде чем она смогла поверить в открытие профессора Боллобосо. Люди никак не могли понять, каким образом каждый, кто, выйдя из дома на запад и никуда не сворачивая, в конце концов вернется к себе домой с востока. Некоторые даже сомневались, так ли это, и спрашивали, не вздумали ли Ориенталис и Окциденталис подшутить над всеми, а если все действительно обстоит так, как они рассказали, то не существует ли более простого объяснения. Тем временем ученые не сидели сложа руки и на опыте доказали, что две отвесные линии, проведенные в разных местах нашей Земли, не вполне параллельны. Самые широкие круги флатландского общества начали поговаривать о повторных кругосветных путешествиях как о чем-то заурядном и вполне обыденном. Очень скоро кругосветные путешествия утратили свою исключительность и превратились в обычные рейсы. Их стали регулярно совершать и в восточном, и в западном направлениях.

И все же одна проблема по-прежнему оставалась нерешенной. Сводилась она к следующему: существует ли у атмосферы резкая внешняя граница или атмосфера становится все более и более разреженной и простирается до бесконечности? Объяснения, даваемые на сей счет учеными, были противоречивы и никого не удовлетворяли. Все попытки совершить путешествие на север наталкивались на непреодолимые трудности. Атмосфера там оказывалась слишком разреженной, для того чтобы в ней можно было дышать, и это обстоятельство исключало надежды на успех экспедиций в северные страны. Хотя спортсмены со специальным снаряжением предприняли несколько серьезных попыток проникнуть в недоступные северные области, по возвращении они смогли сообщить немного: атмосфера по мере подъема к северу становится все разреженней, а обозримая область Земли — все шире.

Историческим событием стало путешествие Аэросальты, молодой спортивной дамы. Движимая любовью к сенсациям в надежде снискать себе славу, она решила послужить науке. Последнее ей вполне удалось, но и наука также не осталась в убытке.

Из книг Аэросальта вычитала, что двигаться в верхних слоях атмосферы невозможно, поскольку там мало воздуха, а последний, как вы, несомненно, должны знать, необходим нам при движении. Наш организм в состоянии переносить пребывание в этих разреженных слоях атмосферы и некоторое время оставаться в безвоздушном пространстве, но наши двигательные функции при этом, так сказать, выключаются. И вдруг появляется воздушная акробатка и заявляет о своем намерении подняться в самые верхние слои атмосферы при помощи специально построенной для этой цели катапульты.

Аэросальта начала свои тренировки с малых высот. Сначала она двигалась медленно, но с каждым разом увеличивала скорость. Нельзя сказать, чтобы эти пробные рейсы были совсем безопасными. Хотя Аэросальта проводила свои тренировки вдали от городов, все же однажды ничего не подозревавшие путники едва не стали жертвой задуманного ею предприятия: столкновение с «летающей женщиной» едва не привело к смертельному исходу. К счастью, все закончилось благополучно. Аэросальта со свистом пронеслась между путниками, которые попадали со страху. По нелепой случайности путники оказались группой знатных вельмож, направлявшихся в соседнюю страну с дипломатической миссией. Эти важные господа решили, что на их жизнь совершено покушение. Тотчас же было произведено расследование, и ко всеобщему облегчению, установили, что злого умысла не было и в помине. Однако, чтобы исключить подобные случайности, был введен строгий запрет на полеты. Против легкомысленной Аэросальты возбудили судебное дело. Ей угрожала смертная казнь.

На счастье, суд отнесся к Аэросальте великодушно и был склонен ограничиться пожизненным заключением. Адвокат взывал к милосердию судей и произнес длинную речь в защиту обвиняемой. При этом он как бы по рассеянности прикасался то к одной, то к другой детали катапульты, стоявшей в зале суда в качестве вещественного доказательства. Под испуганными взглядами судей адвокат навел аппарат (который он между тем успел зарядить) в цель. В тот же момент его подзащитная вспрыгнула на катапульту, адвокат, сделав устрашающее движение, нажал на спуск, и Аэросальта, словно выпущенная из лука стрела, устремилась в пространство.

Все замерли от неожиданности. Стражники бросились на розыски беглянки, по, увы, напрасно. Как заявил адвокат (а в правдивости его слов никто не усомнился, поскольку доверие к адвокату — один из основных принципов нашего правосудия), все произошло непреднамеренно, в силу случайного стечения обстоятельств. Правда, как ни странно, направление выстрела оказалось очень тщательно рассчитанным. Воздушная путешественница пролетела между домами и деревьями и опустилась на большом расстоянии от зала суда в лесу, где между деревьями «совершенно случайно» была натянута прочная сетка.

Поскольку об этих подробностях судьи, естественно, не знали, а адвокат, судя по его внешнему виду, был не менее перепуган происшедшим, чем они, то никаких подозрений в отношении защитника Аэросальты у вершителей правосудия не возникло. Аэросальту заочно приговорили к смертной казни, а ее катапульта подлежала конфискации и уничтожению.

Был ли приведен в исполнение приговор суда, мне не известно. Однако точно установлено, что вскоре после происшествия в зале суда в одном из безлюдных районов Флатландии возобновились тренировочные полеты из катапульты со спуском на специальную сетку. Когда Аэросальта сочла себя достаточно подготовленной, она вместе со своими помощниками, в число которых входил и адвокат, ставший к тому времени ее мужем, перебралась выше, как можно дальше на север, и достигла границы, где живые существа еще могут находиться в, безопасности. В один прекрасный день, когда состояние атмосферы было особенно благоприятным, Аэросальта решилась на прыжок. Катапульта была направлена строго на север и заряжена до отказа. Аэросальта заняла свое место, ассистенты по ее сигналу нажали спуск, и она унеслась вверх, навстречу неизвестности.

^{Наше пространство заполнено мирами. Наш круглый мир — лишь один из них.}

Как рассказывала впоследствии сама Аэросальта, со всех сторон ее окружил свет. Туман рассеивался все больше, и вскоре она могла уже вполне отчетливо различать даже отдаленные предметы. Глубоко внизу под собой Аэросальта увидела обитаемый мир. Это было захватывающее зрелище!

Но когда она взглянула вверх, глазам ее открылась поразительнейшая картина, которую ранее не доводилось видеть ни одному живому существу! Небосвод не был пуст. На большом удалении во многих направлениях виднелись другие миры! Одни были расположены ближе, другие дальше, третьи совсем далеко.

При возвращении в обитаемый мир Аэросальта встретила восторженный прием. И хотя сердитые судьи настаивали на свершении правосудия, общественное мнение было решительно против, а ученый мир дал понять, что ни о каком приговоре не может быть и речи. Верховный жрец также выступил против принципа «Пусть погибнет мир, но да свершится правосудие».

Открытие Аэросальты, ставшей всемирной знаменитостью, получило всеобщее признание. Теперь все знали, что в нашей Вселенной имеется множество миров и наша круглая Земля — лишь один из них. Обитаемы ли другие небесные тела, неизвестно. Мы можем лишь строить на этот счет догадки. Чтобы добраться до новых миров, у нас нет подходящих средств. Может быть, позднее, когда достижения науки позволят преодолевать пустое пространство, мы сумеем побывать на других небесных телах.

7. ВЕЧЕР НАКАНУНЕ НОВОГО ГОДА.

Был канун Нового года. Я сидел в кругу семьи и рассказывал внукам сказку о Белоснежке и семи гномах. Взрослые также прислушивались к нам. Я говорил о том, каким прекрасным тоненьким Отрезком прямой была Белоснежка. Мачеха ее в юности также отличалась изяществом и красотой и, став старше, сумела сохранить стройность фигуры. Однако Белоснежка в красоте превзошла свою мачеху и по толщине, и по длине.

^{Белоснежка и семь гномов.}

Тут меня перебила внучка. Ей требовалось узнать, каким образом мачеха могла с легкостью превращаться в ведьму. Я ответил, что эта женщина умела искусно изгибать свое тело и при этом превращалась в безобразное страшилище. Внучку мое объяснение вполне удовлетворило.

Затем моему самому младшему внуку захотелось узнать, сколько сторон было у принца. Это был трудный вопрос. В старых сказках у принцев и королей чаще всего не более шести-восьми сторон. Но если у самих детей число сторон достигает восьми, то принц для них никак не может быть шестиугольником. В то же время, если сказать, что у принца сорок восемь сторон, то в глазах детей он окажется довольно смешной фигурой, поскольку будет сильно походить на жреца. И я решил в данном случае наделить принца двенадцатью сторонами.

Когда сказка кончилась, долгое время все молчали. Потом мой старший внук попросил меня рассказать еще что-нибудь.

— Какую сказку ты хотел бы услышать? — спросил я.

— Зачем сказку? — удивился внук. — Расскажи нам лучше что-нибудь о нашем мире, о путешествии Аэросальты и о тех чудесах, которые она увидела.

Эта просьба была мне особенно приятна. Мой внук впервые проявил интерес к научным проблемам. Поэтому я охотно рассказал об отважных путешествиях наших первооткрывателей и чудесах, открытых ими на небе. В заключение я заметил:

— Мы не можем с уверенностью ответить на вопрос, есть ли жизнь на других небесных телах. Наши телескопы недостаточно сильны для этого, тем более что небесные тела окружены плотной атмосферой. Весьма сомнительно, что там есть мыслящие существа, похожие на нас, то есть Треугольники и Правильные Многоугольники.

Тут в разговор неожиданно вмешалась жена одного из моих сыновей:

— Может быть, на других небесных телах женщины имеют форму окружности, а мужчины по виду напоминают линии, изогнутые в виде цифры «три».

Поднялась буря протестов. Само предположение о том, что где-то во Вселенной женщины могут иметь форму, которая у нас почитается благороднейшей и является достоянием одних лишь мужчин, в то время как мужчины по внешнему виду неотличимы от наших преступниц, изогнутых в форме тройки, мои сыновья сочли неслыханной дерзостью.

Но моя сноха была права. Я объяснил своим сыновьям, что на других небесных телах формирование внешнего вида их обитателей может подчиняться совсем иным законам природы, чем у нас, и не исключено, что там самыми благородными существами считаются Неправильные фигуры!

Это замечание также вызвало кучу возражений. Мои юные слушатели могли еще представить себе, что на других небесных телах обитают страшные ящеры, карлики или великаны, мирились с существованием миров, населенных одними лишь Окружностями, но не допускали и мысли, что где-то Неправильные фигуры считаются вполне приличными существами.

Пробило десять часов — время, достаточно позднее для детей. Поздравив всех с наступающим Новым годом, младшее поколение отправилось спать. Остальные члены семьи также разошлись по своим комнатам, и я остался вдвоем со своим старшим сыном.

Долгое время мы сидели молча, задумчиво глядя в огонь. Неожиданно мой сын спросил:

— Отец, существует ли в действительности третье измерение, о котором наш предок написал свою книгу?

— Что ты имеешь в виду? — попытался уточнить я.

— Я хочу сказать следующее: существует ли в действительности трехмерное пространство со столь удивительными существами, как Сфера и Куб, или все это не более чем научная фантастика?

В книге моего прадеда я прочитал, что его посетила Сфера, существо из трехмерного пространства. Не сохранилось ли каких-нибудь доказательств этого визита?

Я ничуть не сомневаюсь в том, что мой прадед написал книгу о действительно состоявшемся визите Сферы, но нельзя же целиком полагаться лишь на его собственный рассказ об этом событии. А что если вся его книга — сплошной вымысел. Разумеется, ничто не мешает нам мысленно представить себе третье направление, перпендикулярное двум известным нам направлениям, по существует ли это третье направление только в нашем воображении, представляя интерес и имея значение лишь для философов, или оно обладает некоторой реальностью?

Что я мог ответить своему сыну? Сам я всегда считал рассказ моего деда абсолютно правдивым и никогда не сомневался в его истинности, но не мог не согласиться с тем, что объяснения в нем не мешало бы подкрепить более вескими доводами. У меня в голове не укладывалось, как во имя каких-то вымышленных представлении, лишенных какой бы то ни было реальности, можно до конца жизни оставаться в тюрьме и встретить там смерть.

— Послушай, — продолжал мой сын, — мы можем представить себе Лайнландию, где все обитатели — это длинные или короткие отрезки, расположенные на одной и той же прямой, которая и служит их Вселенной. Эти отрезки могут двигаться вперед и назад, но только вдоль прямой. Такой лайнландец может представить себе одно измерение, но если заговорить с ним о втором направлении, перпендикулярном тому миру, в котором он живет, то лайнландец просто не поймет, о чем идет речь. Будь наш лайнландец гениальным ученым, он мог бы, пожалуй, путем умозрительных построений продвинуться настолько, чтобы проследить за следующим рассуждением. Если точка проходит конечное расстояние вдоль некоторой прямой, то она описывает отрезок, концами которого служат две точки. Если теперь мы станем перемещать отрезок конечной длины в перпендикулярном ему направлении на расстояние, равное его длине, то получится квадрат, имеющий четыре вершины и ограниченный четырьмя сторонами.

— Не думаю, — прервал я своего сына, — чтобы твой лайнландец мог понять эту часть твоих рассуждений. Ведь ему не известно, что такое «перпендикулярное направление», а это понятие играет важную роль в них.

— Согласен, но должен заметить, что мой лайнландец — не более чем плод воображения. В Лайнландии подобного гениального ученого нет, да и не может быть. Нельзя ожидать, что столь примитивные существа, как лайнландцы, в достаточной мере владеют геометрическими понятиями. Но мы, двумерные существа, знаем, что означает «перпендикулярное направление», и, следовательно, наиболее разумные из нас в состоянии проследить за рассуждениями и дальше. Сделаем теперь еще один шаг и мысленно представим себе, что квадрат может перемещаться в некотором третьем направлении, воспринимать которое нам не дано. Разумом мы можем вообразить такое движение, но представить себе его наглядно не в наших силах. Итак, предположим, что квадрат, двигаясь в направлении, перпендикулярном нашему пространству, проходит расстояние, равное, любой из его сторон. Тогда мы получим некое трехмерное тело — гиперквадрат, или куб. По своему строению это тело весьма правильно. У него восемь вершин и двенадцать граничных линий.

— Почему у гиперквадрата двенадцать граничных линии? — спросил я. Вопрос был задан с умыслом: мне хотелось проверить, повторяет ли мой сын сведения, почерпнутые им в книге своего прадеда, или ему удалось до конца разобраться в прочитанном и он сумеет привести аргументы, подтверждающие правильность высказанных им утверждений.

— В этом нетрудно убедиться, — последовал ответ. — У квадрата в исходном положении имеются четыре граничные линии (его стороны) и столько же граничных линий в конечном положении. Таким образом, восемь граничных линий мы уже насчитали. Кроме того, у квадрата имеются четыре вершины, каждая из которых при перемещении квадрата вдоль третьего направления опишет по одной граничной линии. Следовательно, общее число граничных линий у трехмерного тела, называемого гиперквадратом, или кубом, равно двенадцати.

— Да, у куба двенадцать ребер, как принято называть граничные линии в Трехмерии, — вставил я.

— Но самое замечательное, — продолжал мой сын, — заключается в том, что куб ограничен плоскими фигурами, квадратами. Всего таких квадратов шесть, причем каждая точка, лежащая внутри любого из шести квадратов, принадлежит наружной поверхности куба. Нам, флатландцам, трудно представить себе, что точка, лежащая внутри квадрата, в то же время может принадлежать наружной поверхности трехмерного тела, но тем не менее это действительно так. Таким образом, у куба имеется шесть вершин, двенадцать ребер и шесть граней, все точки которых, в том числе и внутренние, принадлежат его наружной поверхности.

— Ну что же, с твоими рассуждениями нельзя не согласиться, — снова прервал я сына. — Однако теперь ничто не мешает нам продвинуться еще на одни шаг вперед и мысленно представить себе то, что получится, если мы вздумаем сдвинуть куб вдоль четвертого направления, перпендикулярного трем первым.

— Получится четырехмерное тело, — сказал мой сын, — которое можно было бы назвать гиперкубом. Разумеется, мы не можем представить его себе наглядно.

— Более того, даже трехмерные существа не могли бы представить себе гиперкуб наглядно. Им не оставалось бы ничего другого, как прибегнуть к умозаключениям и выводить свойства куба путем абстрактных рассуждений — так же, как мы рассуждаем о кубе, будучи не в силах представить себе его наглядно. Позволительно спросить, какими элементами ограничен такой гиперкуб?

— Прежде всего ясно, что у гиперкуба шестнадцать вершин, поскольку у куба имеется восемь вершин в исходном и столько же вершин в конечном положении. Восемь и восемь как раз дает шестнадцать вершин.

— А сколько у гиперкуба ребер?

— Тридцать два.

— Почему?

— У куба в исходном положении двенадцать ребер, и столько же ребер у куба в конечном положении. Таким образом, двадцать четыре ребра мы уже насчитали. Кроме того, каждая из восьми вершин куба, двигаясь, опишет отрезок прямой, который также служит ребром гиперкуба. Следовательно, всего у гиперкуба имеется тридцать два ребра.

— А сколько у гиперкуба плоских граней?

— Двадцать четыре: шесть граней у куба в исходном положении, еще шесть — у куба в конечном положении, и каждое из двенадцати ребер при движении также заметает по одной грани. Вот всего и набирается двадцать четыре грани.

— Ты перечислил все элементы гиперкуба?

— Нет, самое главное впереди. Гиперкуб ограничен восемью кубами. Каждая из граней исходного куба при движении породила по одному новому кубу. Вместе с кубом в исходном и кубом в конечном положении мы получаем всего восемь кубических граней. Таким образом, гиперкуб ограничен восемью кубами, все точки которых, в том числе и внутренние, лежат на наружной поверхности гипертела. Разумеется, представить себе наглядно, как это происходит, мы не в состоянии.

— Трехмерные существа также не в силах представить себе такую картину.

— Мы вполне могли бы продолжить наши рассуждения, — заметил мой сын, — и заставить гиперкуб перемещаться вдоль пятого направления, но какое тело при этом получится, представить себе даже мысленно довольно трудно.

— Почему? — возразил я. — Мы получим пятимерное тело, обладающее весьма правильным строением, с тридцатью двумя вершинами, восемьюдесятью ребрами, восемьюдесятью плоскими, сорока кубическими и десятью гиперкубическими гранями. Правда, я не могу не согласиться с тем, что чем дальше, тем сложнее будут получаться гипертела.

Мы оба замолчали и погрузились в размышления. Я был горд своим сыном, который так хорошо разбирался в многомерной геометрии — отрасли науки, которой занимались многие члены нашего семейства. Занятие многомерной геометрией стало своего рода семенной традицией в честь нашего великого предка, замечательного Квадрата.

Мой сын первым нарушил молчание:

— В настоящее время мы не можем ответить на вопрос, является ли все это чистой гипотезой, игрой разума, или третье измерение действительно существует. Посетила ли моего прадеда Сфера или весь рассказ о ее визите от начала до конца был плодом его фантазии?

Тогда мы еще не знали, что ответ на этот вопрос будет дан очень скоро.

8. ВОЗВРАЩЕНИЕ СФЕРЫ.

Часы пробили полночь, и великий миг, которого каждый год ожидают с нетерпением, настал. Может быть, вам покажется странным, что моя семья в новогоднюю ночь не собралась в тесном кругу у очага. Дело в том, что мои домочадцы, следуя примеру детей, решили лечь спать пораньше. Поэтому мы сдвинули торжество на несколько часов и уже успели отпраздновать встречу Нового года. По обычаю, мы отведали окружности на масле — блюдо, считавшееся большим лакомством у детей, которое с удовольствием ели и взрослые. Затем я рассказал сказку, так что, по нашему мнению, встреча Нового года прошла вполне удачно. Что же касается детей, то для них это был настоящий праздник.

Разумеется, мы, взрослые, могли бы собраться в полночь еще раз, но заранее условились не делать этого. Ведь момент, когда Новый год сменяет старый, выбран совершенно произвольно и зависит лишь от принятого у нас способа измерения времени и нашего летосчисления. Никаких перемен для того, чтобы выделять этот момент времени среди других или приписывать ему особое значение, в природе не существует.

Итак, по известным теперь вам причинам мои домочадцы разошлись из-за стола, а я остался, чтобы посидеть у очага и побеседовать со своим старшим сыном о третьем измерении. И тут это случилось. Я хочу сказать, что мне вдруг послышался какой-то странный звук, шорох или тихое гудение. Откуда он доносился, я не мог никак понять и вопросительно посмотрел на сына.

— Тебе что-нибудь послышалось? — сказал он.

— Да, но что это? — спросил я.

— Трудно сказать. Не понимаю, откуда доносится звук.

— Я тоже, — пришлось признаться мне.

Звук стал явственнее и быстро смолк. Между мной и сыном появилась какая-то точка, которая начала быстро увеличиваться в размерах. Нет, это была не точка, а растущая на глазах окружность. Спустя какое-то время она стала уменьшаться, сначала медленно, а затем всё быстрее и быстрее. Наконец она стянулась в точку и исчезла совсем.

Мы с сыном смотрели друг на друга, потрясенные, но не испуганные.

— Это была Сфера, — промолвил сын.

— Думаю, что так, — согласился я.

— Значит, все-таки… — начал было он, но не закончил.

— Да! — сказал я. — Существование Трехмерия — не гипотеза, а реальность. Мои дед действительно познакомился с реально существующей Сферой.

До нас донесся таинственный голос:

— Я возвращаюсь. Я — Сфера, только что прошедшая насквозь вашу плоскость. Смотрите! Сейчас я пройду сквозь нее еще раз в обратном направлении.

И действительно, мы снова увидели точку. Она стала расти и увеличиваться в своих размерах до тех пор, пока не превратилась в окружность — наибольшее сечение Сферы нашим двумерным миром.

Какое-то мгновение мы молчали. Но тут я подумал, что мне необходимо приветствовать высокого гостя, и сказал:

— Добро пожаловать, ваше превосходительство, в наш мир двух измерений.

— Здравствуйте! — ответила Сфера. — С Новым годом, с новым счастьем!

— Спасибо, желаем и вам того же! — поблагодарил я.

— Вы внук того самого Квадрата, с которым мне довелось познакомиться прежде? — поинтересовался мой гость.

— Да, того самого! — ответил я, весьма польщенный. — Не могу не выразить свое восхищение умом вашего превосходительства: вы сумели отыскать меня среди многих тысяч Шестиугольников, обитающих в нашем мире.

— Да, это было не просто. Пришлось даже заняться подслушиванием разговоров между флатландцами. Из них я поняла, что у вас теперь к третьему измерению относятся совсем иначе, чем прежде. Из него не делают больше тайны. Наоборот, нынче каждый рассуждает о третьем измерении, хотя ничего в нем не смыслит.

— Это вы верно изволили заметить, — согласился я. — Теперь, так же как и во время вашего прежнего визита, вы могли бы показаться публике, но с одним весьма существенным различием: ныне вас провозгласили бы героем!

— Вполне возможно, — сказала Сфера, — но я еще не решила, как мне быть. Кроме того, для подобной демонстрации время еще не настало; ведь с тех пор, как я нанесла свой последний визит во Флатландию, еще не минуло тысячи лет.

— Да, это так, — подтвердил я и добавил: — А что привело вас сейчас в наш мир? Мы весьма рады вашему визиту и очень ценим ваше внимание.

— Мой нынешний визит объясняется чрезвычайно просто: я почувствовала непреодолимую потребность побывать еще раз во Флатландии. В прошлый раз я выполняла приказ свыше. Мне было поручено нанести официальный визит в Двумерие, чтобы показать вам, флатландцам, ограниченность вашего мира.

— А на этот раз? — спросил я.

— На этот раз мне хотелось бы сделать все, что не удалось выполнить во время моего прошлого визита. Я несколько постарела. Мы, Сферы, живем у себя в Трехмерии гораздо дольше, чем обитатели Флатландии, но мне не суждено дожить до следующего века. С каждым днем я дряхлею, а у меня на душе лежит некий груз, поэтому я и решила нанести свой визит вам, именно вам, а не кому-нибудь другому.

— Вы можете рассказать нам лишь то, что сочтете необходимым, — успокоил я своего гостя.

— Если вы хотите поговорить с отцом с глазу на глаз, то я могу выйти, — вмешался в разговор мой сын.

— Вы мне ничуть не мешаете, — последовал невозмутимый ответ, — у меня нет от вас секретов. Можете остаться и слушать. Из вашего разговора я поняла, во-первых, что судьба столкнула меня с потомками того самого Квадрата, которому я в свое время открыла чудеса Трехмерия, и, во-вторых, что вы оба придаете немаловажное значение проблемам геометрии. Поэтому я надеюсь, что вы со вниманием выслушаете мои признания и с сочувствием отнесетесь к рассказу о происшедших со мной событиях.

— Мой сын и я выслушаем вас с величайшим удовольствием, — заверил я высокого гостя.

— Коль скоро вы читали книгу, написанную вашим дедом и прадедом (кстати сказать, она была издана и у нас, в Трехмерии, где ее прочитал каждый, кто интересуется свойствами пространства), то, должно быть, помните, — начала Сфера свой рассказ, — что сначала я пыталась доказать вашему предку, Квадрату, существование третьего измерения при помощи некоторых наглядных демонстрации, но затем, видя, что мне никак не удается полностью убедить его, я захватила Квадрата с собой в Трехмерие, откуда он смог взглянуть на свой собственный мир.

— Об этом мы вполне осведомлены, — подтвердил я.

— Тогда вам, по-видимому, известно и другое. Ваш дед и прадед все время пытался убедить меня в том, что по аналогии с уже существующими мирами мы можем сделать еще один шаг и прийти к заключению о существовании четырехмерного мира. Тогда я и слышать не хотела о четырехмерном мире и, когда мой собеседник стал упорно настаивать на своей правоте, возвратила его назад на плоскость, а сама скрылась.

Последовала довольно продолжительная пауза. Мой сын и я хранили молчание. Интуитивно мы чувствовали, что нам не следует прерывать Сферу прежде, чем она кончит свое признание. Наконец Сфера собралась с силами и продолжила свою исповедь.

— Вопрос, заданный мне Квадратом, с его точки зрения был вполне обоснованным и разумным. Ему, только что познавшему существование нового, ранее не известного измерения, предположение о существовании четвертого измерения казалось совершенно естественным и очевидным, для меня же оно звучало явной нелепостью. Впрочем, мое отношение к словам вашего деда и прадеда вполне понятно: ведь мне никогда не приходилось переживать ничего подобного.

Квадрат спросил меня, не сохранились ли в летописях Трехмерия упоминания о появлении существ более высокого порядка, обладавших способностью проникать в закрытые помещения. Следует признать, что в исторических хрониках встречаются сообщения о подобных фактах, но такие явления было принято считать галлюцинациями, возникающими в мозгу при чрезмерном заострении угла при вершине. Теперь я думаю об этом иначе.

Наш гость снова замолчал, и я не удержался от того, чтобы не задать Сфере вопрос, не посетило ли ее какое-нибудь четырехмерное существо.

— Мне нанесла визит Гиперсфера, — ответила она, — существо из царства четырех измерений, столь же странное для меня, как и я для вас.

— Пожалуйста, расскажите нам подробно об этом, — попросил я.

И Сфера поведала нам удивительную историю о том, как ей довелось увидеть четырехмерное существо. Нам, принимавшим у себя в двумерном пространстве Сферу, происшествие это не показалось столь странным.

По словам Сферы, она однажды сидела совсем одна у себя в комнате, когда неожиданно послышался странный шум и перед ней возникла точка. Все окна и двери в доме были закрыты. Точка начала расти и увеличиваться в размерах, На глазах изумленной Сферы она превратилась в крохотный шарик, затем в большой шар, после чего начала постепенно уменьшаться и, превратившись снова в точку, исчезла.

Что же случилось? Гиперсфера прошла сквозь трехмерный мир, в котором обитал наш гость. Подобно тому как сечение трехмерной сферы плоскостью имеет форму окружности, сечение четырехмерной сферы трехмерным миром имеет форму трехмерной сферы. Подобно тому как мы можем наблюдать лишь сечение Сферы, то есть окружность, сама Сфера может наблюдать лишь сечение Гиперсферы своим пространством, то есть трехмерную сферу.

Гиперсфера продемонстрировала несколько удивительных трюков. Нежнейшим прикосновением она даже дотронулась до желудка Сферы, ибо перед обитателями Гиперпространства Трехмерие столь же открыто, как Флатландия перед обитателями трехмерного пространства. Странный посетитель Трехмерия мог без труда описывать до мельчайших подробностей предметы, находящиеся в закрытом ящике.

Затем Сфера рассказала еще об одном трюке, который для нас, флатландцев, остался совершенно непонятным. Чтобы закрепить предметы, в Трехмерии пользуются веревками и цепями. Веревки при этом завязывают в узлы. По словам Сферы, невозможно развязать веревку, если кто-нибудь держит оба ее конца (мы, флатландцы, не в состоянии представить себе, как это происходит, и потому всецело полагаемся на утверждение Сферы). Гиперсфера играючи развязывала любые узлы!

Другой предмет, о котором я только что упомянул, трехмерная цепь, представляет собой набор из нескольких звеньев, имеющих форму окружностей или эллипсов и соединенных между собой. Рассыпать цепь на отдельные звенья, не разогнув при этом хотя бы одно звено, в трехмерном пространстве невозможно. Гиперсфера с величайшей легкостью рассыпала на звенья любые цепи, не разрывая ни одного звена!

Затаив дыхание, слушали мы рассказ нашего гостя. Его визит был важен для нас по двум причинам. Во-первых, мы узнали, что сообщение деда о его потустороннем госте — не выдумка. Во-вторых, наш гость сообщил нам о том, что, помимо третьего, существует еще и четвертое измерение. Однако наибольшее удовлетворение нам доставило признание Сферы, к которой мы испытывали глубокую симпатию, что она изменила свои взгляды на существование четырехмерного пространства.

Мрачным тоном Сфера сообщила нам, что обитатели Трехмерия отнеслись к ее рассказу о посещении Гиперсферы с недоверием. И хотя Сферу не преследовали и не бросили в тюрьму, ей пришлось выслушать немало насмешек. Поговаривали, что визит Гиперсферы ей, должно быть, приснился.

Такое недоверие явно печалило Сферу, и мы, вспоминая испытания, выпавшие на долю нашего предка, не могли не посочувствовать ей.

— Мне особенно приятно отметить, — прервал я грустные размышления Сферы, — что в моем доме вы встретили дружеское отношение и сочувствие, которые тщетно пытались найти в своем собственном мире.

— Благодарю вас за эти теплые слова, — ответила Сфера. — Но, хотя мне очень дорого ваше сочувствие, я все же надеюсь, что и в моем мире отношение к существованию Четырехмерия вскоре изменится.

— Как бы то ни было, мы всегда рады вашим визитам, — заверил я.

— Друзей, способных помочь в беде, нелегко забыть, — сказал наш гость, — ибо на них можно положиться.

Сфера пообещала посетить нас еще раз в канун следующего Нового года, чтобы мы могли обменяться мнениями относительно различных проблем, связанных с пространством. Наш гость нуждался в дружеской поддержке, которой не мог обрести в своем мире.

Мы настаивали на том, чтобы Сфера посетила нас, не дожидаясь конца года, но она отдавала явное предпочтение визиту под Новый год. Сфера все еще надеялась убедить обитателей Трехмерия в существовании четвертого измерения, а для этого ей требовалось время. Вместо того чтобы появиться перед нами в некий произвольно выбранный день и час, Сфера хотела прибыть к нам в точно установленный срок. Тем более что к тому времени могут произойти какие-нибудь новые события, заслуживающие обсуждения.

Мы сердечно простились, и наш гость покинул двумерное пространство. Видимая нам окружность стала уменьшаться в размерах и наконец совсем исчезла.

Мы с сыном еще долго сидели, обсуждая события новогодней ночи.

— И все-таки нельзя не восхищаться тем, что мы в своем двумерном мире придерживаемся более передовых представлений о пространстве, чем обитатели Трехмерия. Мой прадед Квадрат пришел ко вполне правильному выводу о существовании третьего измерения в ту пору, когда сама Сфера еще не верила в существование четвертого измерения. Ныне существование трехмерного мира ни у кого из нас не вызывает сомнений, в то время как в самом трехмерном мире широкая публика все еще сомневается в существовании четвертого измерения.

— Все это так, — не мог не признать я, — но не следует забывать, что нам помог случай. Моего деда и твоего прадеда Сфера посетила давным-давно, в то время как визит Гиперсферы к Сфере состоялся недавно.

Моему сыну не оставалось ничего другого, как согласиться. По-видимому, его мысли потекли в другом направлении, ибо немного погодя он сказал:

— Существует ли пятое измерение? Не может ли в гости к четырехмерной Гиперсфере наведаться существо еще более высокого порядка из мира пяти измерений?

— Такое событие отнюдь не исключено, — заметил я без всякого энтузиазма. — Но почему ты думаешь, что математический процесс, каковым, несомненно, является восхождение от пространств одной размерности к пространствам другой, более высокой, размерности нигде не обрывается? Ведь это означало бы, что существует бесконечно много измерений!

— Но от того, что кто-то придумал многомерные пространства, они вовсе не обязаны существовать в действительности, — возразил мои сын.

— Это вполне справедливо, — согласился я, — ибо заключение о том, что некий мир реально существует, мы вправе вывести не раньше, чем за картиной этого мира обнаружим сам мир. До того любые предположения о неизвестном мире — не более чем фантазия.

— Да, по прекрасная фантазия, — не удержался от признания мой сын, — Может быть, нам еще предстоит удовольствие познакомиться с существами, обитающими в многомерных мирах. Они же сочтут, что мы совсем примитивные организмы, и будут смотреть на нас сверху вниз.

Так мы беседовали в ту ночь допоздна. И хотя то, о чем мы говорили, было чистейшей фантазией и не могло дать ничего нового, мне было приятно найти в своем сыне собеседника, с которым я мог столь свободно обсуждать интересовавшие меня проблемы.

ЧАСТЬ II. КОНГРУЭНТНОСТЬ И СИММЕТРИЯ.

9. ПОРОДИСТЫЕ СОБАКИ И ДВОРНЯГИ.

Весь следующий год мысли мои то и дело обращались к предстоящей встрече со Сферой. Как она произойдет? Расскажет ли Сфера в своем мире о втором визите во Флатландию? Продолжает ли она совершенствовать познания своих соседей по Трехмерию в геометрии? Удалось ли Сфере найти себе слушателей или за смелые идеи, в корне меняющие привычные представления о пространстве, ее бросили в тюрьму? Если так, то Сфера не сможет прибыть к нам в назначенное время.

Однажды вечером, когда все уже спали, мы со старшим сыном беседовали о всякой всячине. Вскоре наш разговор коснулся заветной темы.

— Не думаю, чтобы Сфера томилась в темнице, — заявил мой сын. — Разве сами обитатели Трехмерия не предпринимали на протяжении многих веков попыток убедить нас, флатландцев, в существовании большего числа измерений.

— Ты прав лишь отчасти, — возразил я. — Обитатели Трехмерия охотно пытаются убедить нас в существовании третьего, но отнюдь не четвертого измерения, ибо в существовании последнего они сами не уверены. Если наш друг, Сфера, была столь неосторожной, что позволила себе заговорить с обитателями Трехмерия о существовании четырехмерного мира, то она вполне могла оказаться за решеткой и мы при всем желании не в силах освободить ее из темницы.

— Как ни печально, но это так, — согласился мой сын. — Лишь Гиперсфера в состоянии освободить Сферу из заточения, причем обитатели Трехмерия бессильны помешать этому, ибо доступ в трехмерную тюрьму в четвертом направлении открыт.

— Будем надеяться, что ничего серьезного не случилось и что Сфера навестит нас в назначенный час. Даже если Сфера не сообщит нам ничего нового, мы освежим свои познания и приятно проведем время за беседой о геометрии многих измерений.

— Только вот никаких особо интересных событий, которые могли бы заинтересовать Сферу, у нас не происходило, — задумчиво произнес мой сын. — Не думаю, чтобы для нее представляла интерес история об Агате и ее собаках.

Чтобы вы поняли, о чем идет речь, я должен пояснить, кто такие «собаки», поскольку до сих пор вам никогда не приходилось слышать о существовании таких зверей.

Во времена, когда жил мой дед, звери во Флатландии практически не водились, по крайней мере домашних животных не было. Я уже рассказал о том, как в эпоху великих путешествий на юге Флатландии были открыты непроходимые девственные леса и расположенное за лесами море. В тропических лесах обитают диковинные существа, известные под собирательным названием «ящеры» (биологи различают среди ящеров множество различнейших типов, классов, отрядов и видов, причем каждая разновидность животных имеет особое значение). Еще более странные существа, которые вплоть до настоящего времени до конца не изучены, населяют море.

Собственно говоря, утверждение о том, что до великих путешествий флатландцы не были знакомы с животными, не вполне справедливо. В старинных легендах, преданиях и сказках встречаются упоминания об опасных зверях, называемых то ящерами, то волками. Известно, что в древности эти звери жили не только в южных районах, но и в более умеренном климате. Они обитали в лесах и зарослях, и пройти по лесу в те времена можно было лишь с риском для жизни.

Обычная разновидность волка представляет собой животное с одной пастью и двумя отростками, называемыми конечностями. Для чего служат эти конечности, неизвестно, во всяком случае не для передвижения. На теле волка различают два выступа. Один из выступов, расположенный ближе к пасти, служит глазом, другой — ухом. Волк — опасный зверь. Он может проглотить любого из нас целиком.

^Волк.

Предприимчивые флатландцы издавна пытались ловить волчат и выставляли их для всеобщего обозрения на ярмарках. Однако, подрастая, волки становились опасными. Тогда их сажали в прочные клетки, чтобы публика могла смотреть на хищных зверей, не подвергая себя опасности.

Отбирая среди волчат наиболее смирные экземпляры, флатландцы постепенно вывели породу животных, которые стали настолько ручными, что их можно было использовать в качестве домашних животных. Их-то и стали называть «собаками».

Собаки оказались очень послушными и преданными животными. Их спокойно можно держать в обычной жилой комнате. Спят собаки либо в углу гостиной, либо даже в спальне. Они неотлучно следуют за своим «хозяином» или «хозяйкой» повсюду: на улице, в магазине или во время прогулки.

Но вернемся к Агате, моей единственной дочери, красивой девушке, стройной, как геометрическая прямая. У Агаты была собака, которая очень любила свою хозяйку. Нельзя сказать, что собственность Агаты представляла особую ценность, поскольку это была не породистая собака, а обыкновенная дворняга. Различие между ними заключалось не в форме (и породистая, и дворняга могут быть одинаково безобразны и одинаково изящны), а в «ориентации».

^{Дворняга (Д) и породистая собака (ПС).}

Сейчас я объясню вам, что это такое. Если я вздумаю обойти в положительном направлении любую дворнягу, то есть сначала пойду на север, затем поверну на восток, потом на юг и наконец на запад, то мне придется пройти мимо ее уха, глаза, пасти, конечностей, причем именно в той последовательности, которую я назвал. Если же я вздумаю обойти в положительном направлении породистую собаку, то последовательность будет иной: ухо, конечности, пасть, глаз и снова ухо. Породистая собака и дворняга переходят друг в друга при отражении в зеркале. Как говорят ученые, они симметричны, но не конгруэнтны.

Как ни крути и ни верти дворнягу, вам никогда не удастся получить из нее породистую собаку. Дворняга всегда остается дворнягой. Каждая собака рождается либо породистой, либо дворнягой и остается таковой на всю жизнь.

^{Как ни верти, как ни крути, из дворняги никогда не удастся сделать породистую собаку.}

По случайной игре природы число породистых собак в мире крайне невелико. На каждую тысячу дворняг приходится самое большее одна породистая собака. Поэтому породистых собак принято считать более «красивыми», благородными. Порой за породистых собак предлагают совершенно немыслимые суммы. Можно было бы сказать, что это противоречит здравому смыслу, по мода никогда не внимала голосу рассудка. Породистая собака редка и, следовательно, дорога. Дама, прогуливающаяся с породистой собакой, — шикарная дама. На нее обратит внимание каждый.

Собака Агаты была обыкновенной дворнягой. Агата ее очень любила, чувствовала себя вполне счастливой и, по всей вероятности, оставалась бы пребывать в этом состоянии, если бы на нашей улице не поселилась некая девушка по имени Хромоза, у которой была породистая собака. Само но себе это обстоятельство Агата перенесла бы довольно спокойно, если бы не один красивый юноша, Пятиугольник, который сначала ухаживал за Агатой, но внезапно обратил весь свой пыл на Хромозу, и только потому, что собака последней успела к тому времени принести семь щенят, трое из которых оказались породистыми. Можете представить себе, с какой гордостью шествовала но улице Хромоза в окружении целой своры породистых собак!

^{Хромоза со своими собаками на прогулке.}

Агата была очень расстроена. Пытаясь ее утешить, я заметил было, что вряд ли стоит сожалеть о юноше, который больше смотрит на собак, чем на их владелиц, но не добился успеха. Тогда я решил сделать Агате приятное.

Я отправился к своему хорошему знакомому, некоему Равностороннему Треугольнику, у которого был породистый кобель, и после некоторых переговоров добился желаемого. Правда, это оказалось дороже, чем я ожидал, и, но чести говоря, мой приятель запросил с меня несколько больше, чем следовало, но мне хотелось доставить удовольствие своему ребенку и я решил не останавливаться перед расходами. Результат не замедлил сказаться: в скором времени мой знакомый, прихватив с собой свою собаку, заглянул к нам в гости.

В напряженном ожидании прошли необходимые недели. Породистая собака — действительно редкость в наше время. Даже если оба родителя — отец и мать — принадлежат к породистым собакам, число породистых щенят в одном помете не превышает тридцати процентов, а тут еще мать — дворняга!

Наконец все стало ясно. Собака Агаты произвела на свет двенадцать щенят, но… среди них не было ни одного породистого!

Нужно ли говорить о том, как сильно была расстроена Агата. Сам я тоже был огорчен не меньше дочери. Молодой человек вообще перестал смотреть в ее сторону и вскоре женился на Хромозе. По дороге в городскую ратушу их сопровождали породистые собаки! Можно себе представить, сколько было зевак!

Агата нашла утешение в своих беспородных собаках, которым она отдала всю свою любовь.

10. КРАСНАЯ ТАПОЧКА.

Снова наступил канун Нового года. Раньше всех ему обрадовались дети, с удовольствием уплетавшие окружности на масле, испеченные моей женой и снохой. Разумеется, как и год назад, дедушка должен был рассказать сказку. На этот раз я остановил свой выбор на сказке о Красной Тапочке. Дети давно ее знали, но это была очень хорошая сказка, и я решил, что не будет особой беды, если я расскажу ее еще раз, тем более что приподнятое настроение новогоднего вечера придаст сказке особую прелесть.

— Красная Тапочка, — начал я свой рассказ, — была прелестной маленькой девочкой, хотя и не очень послушной. Как-то раз папа и мама подарили ей ко дню рождения красную тапочку, которая пришлась девочке впору и так понравилась, что она никогда не снимала подарок. Жители деревни, где жила девочка, прозвали ее поэтому Красной Тапочкой.

— А как девочка могла все время носить тапочку, не снимая? — спросил один из самых младших внуков, внимательно слушавший сказку.

— Маме девочки очень нравилось, когда ее дочка носила красную тапочку, вот та и не снимала ее, — пояснил я. — Почему бы девочке не носить все время красную тапочку?

— А тогда почему ты говоришь, что Красная Тапочка была не очень послушной? — захотел узнать малыш.

— Сейчас узнаешь, — успокоил я внука. — Слушай, что было дальше.

Однажды мама сказала своей дочке: «Красная Тапочка! Ты знаешь, что твоя бабушка уже давно болеет. Сейчас ей стало лучше, и я испекла для нее вкусные окружности на масле и приготовила бутылочку вина. Отнеси гостинец бабушке. Узнай у нее, как она себя чувствует, и передай, что мы все желаем ей побыстрее выздороветь».

— Хорошо, — сказала Красная Тапочка, — я так и сделаю.

— И запомни хорошенько, — добавила мама, — идти к бабушке нужно только по большой дороге, по которой ходят все. Правда, она несколько длинновата, но путь напрямик через лес опасен. И не потому, что ты можешь заблудиться, а потому, что в лесу живет волк, а это очень страшный зверь.

— Хорошо, мама, — сказала Красная Тапочка и отправилась в путь. Стояла прекрасная погода, и девочка очень радовалась, что ей предстоит самой прогуляться так далеко. Обычно в гости к бабушке она ходила с папой или мамой, но на этот раз они были заняты. Мама не могла отлучиться из дому, а папа был на работе. Отец Красной Тапочки был дровосеком и валил в лесу деревья или распиливал их на доски. Правда, дровосек из него получился неважный, потому что угол при его вершине был равен 10°, а это многовато для дровосека, но его отец и дед валили деревья, и он избрал для себя ту же профессию. Вот если бы у него родился сын с менее острым углом при вершине, то для такого сына пришлось бы подыскивать другое ремесло. Отец Красной Тапочки часто думал об этом, но ничего определенного придумать не мог. Кроме того, не имело смысла особенно ломать себе голову раньше времени. А пока у него был лишь один ребенок — дочка, Красная Тапочка, хорошенькая девочка, которую и он, и его жена очень любили. Но, к сожалению, Красная Тапочка не всегда была послушной девочкой!

До развилки Красная Тапочка добралась быстро. Дальше большая дорога шла вокруг леса, а маленькая тропинка вела через лес, прямо к домику, где жила бабушка.

Мама строго-настрого наказывала не ходить через лес, но зачем ей, Красной Тапочке, идти окольным путем? Она часто бывала в лесу вместе со своим отцом, и волк им ни разу не встретился. Откуда ему взяться именно сегодня? Может, он вообще имеет обыкновение обедать ровно в полдень, а затем ложиться отдыхать, особенно сегодня, когда стоит такая теплая погода? И потом разве волк не испугается ее? Ведь у нее такое острое-преострое жало! Для всяких там неженок волк, конечно, опасен, ведь они и защищаться толком не умеют.

Порассуждав какое-то время таким образом, чтобы хоть как-то оправдать в собственных глазах свое непослушание, Красная Тапочка в конце концов свернула на узкую тропинку, которая шла через лес. У первых деревьев она в нерешительности остановилась. Не вернуться ли назад, пока не поздно?.. Нет, только вперед! И Красная Тапочка бросилась бежать по тропинке. Не успела она и оглянуться, как оказалась в самой гуще леса.

На бегу Красная Тапочка все же посматривала по сторонам, не покажутся ли где-нибудь дровосеки. Ведь в лесу никогда не знаешь заранее, какой зверь может выпрыгнуть из-за дерева. Но Красная Тапочка решила быть храброй.

Едва Красная Тапочка дошла до середины леса, как прямо перед собой увидела волка. Она даже не услышала, как он подкрался. Как страшно выглядел этот зверь! Он был неправильной формы и весь покрыт какими-то отвратительными выступами! Красная Тапочка очень испугалась.

— Ей надо было убежать от волка! — воскликнул один из моих внуков.

— А я бы повернулась к ней задним концом, — заметила внучка.

— Это было бы самым разумным, — похвалил ее я, — но Красная Тапочка не догадалась этого сделать. Между тем волк заговорил с ней самым сладким и льстивым голосом: «Здравствуй, девочка. Куда ты так торопишься?».

Услышав нежный голос, Красная Тапочка успокоилась, страх ее прошел. «Я иду к своей бабушке, которая живет на другом конце леса. Она заболела, и я несу ей вкусные окружности на масле, которые испекла для нее моя мама».

Дети с интересом слушали сказку. И хотя она давно была им известна, каждый раз они находили в ней что-нибудь новое для себя. Я рассказал о том, как волк предложил Красной Тапочке бежать наперегонки к домику ее бабушки, как ему хитростью удалось пробраться в домик и как сильно испугалась бабушка, увидев перед собой страшного зверя. «Причем недолго ей пришлось дрожать от страха, ибо волк тотчас же проглотил ее».

Интересно заметить, что трагическое исчезновение бабушки не произвело на детей особого впечатления. Благополучный конец сказки был им известен, и они знали, что бабушка останется живой. Мои внуки не могли только понять, как могла Красная Тапочка не разобрать, кто лежит в постели: бабушка или какое-то существо неправильной формы.

— Бабушка, бабушка, — спросила Красная Тапочка, — а где же твой стройный отрезок?

— Это все от болезни, внученька! Все мое тело стало бесформенным, — схитрил волк, притворившийся бабушкой.

Когда же Красная Тапочка поняла свою ошибку, было слишком поздно: она исчезла в желудке голодного чудовища. Но тут, к счастью, она потеряла свою тапочку.

— Почему «к счастью»? — спросил одни из внуков.

— Ну это ясно, — ответила ему внучка, — ведь теперь она стала острой с обоих концов!

— Правильно, — подтвердил я — Красная Тапочка теперь хорошо сознавала, сколь большая опасность ей угрожает. Волк тоже понял, что, проглотив маленькую подвижную девочку, он совершил непоправимую ошибку. Когда он только заглатывал Красную Тапочку, та от испуга начала сильно дрожать, что было опасно уже само но себе. Но стоило Красной Тапочке оказаться в желудке у волка, как она принялась шнырять вперед и назад но всем направлениям, впиваясь при этом во внутренности так, что зверь взвыл от боли.

Красная Тапочка отнюдь не была уверена, что таким способом ей удастся одолеть волка. Поэтому она стала с силой совершать колебательные движения вдоль одного и того же направления. От многократных уколов в теле волка образовалась дырочка, через которую Красная Тапочка и выбралась на волю.

— А бабушка? Удалось ли ей найти отверстие в стенке желудка? — спросил кто-то из малышей, сгорая от любопытства.

— Нет, старушка не могла выбраться наружу. Ее зрение ослабело, и она так и оставалась бы в тесном желудке до тех пор, пока совсем не затупилась. К счастью, вой волка был слышен далеко, и на помощь подоспели отец Красной Тапочки и несколько лесничих. Острыми углами при своих вершинах они разрубили чудовище на части и выпустили несчастную бабушку на свет и воздух, что было весьма своевременно.

Красная Тапочка вновь натянула на себя свою красную тапочку и рассказала обо всем, что произошло. Отец девочки от радости, что его дочь жива и невредима, не стал наказывать ее за непослушание.

Я умолк. Мой рассказ особенно понравился девочкам. Разве сказка о Красной Тапочке не была сказкой о женщине? Мои дамы от мала до велика знали и любили сказки о Золушке и Белоснежке, но обе эти героини смотрели на своего принца с огромным числом сторон как на своего господина и повелителя. Что же касается Красной Тапочки, то она сама сумела найти выход из трудного положения и весьма храбро сражалась со страшным чудовищем. Таким образом, у нас имеются все основания провозгласить Красную Тапочку покровительницей женского движения.

Я не стал вмешиваться в спор, поскольку уже пробило десять часов и мне очень хотелось поскорее уложить детишек спать.

11. ФОКУС.

Когда внуки отправились спать, у очага остались лишь взрослые. Мы расположились широким кругом. Кроме меня, здесь были моя жена и наши старшие дети. Вместе с Агатой пришли все ее милые собаки. Их было тринадцать: мать и двенадцать щенят. Что и говорить, многовато для одного дома! Мой второй сын, на которого собаки частенько нападали, заявлял, что держать столько собак — безумие, десять или одиннадцать из них без ущерба можно кому-нибудь отдать.

Однако всякая попытка уменьшить численность обитавшей в нашем доме собачьей своры неизменно встречала резкий отпор со стороны Агаты, а я, признаюсь честно, питал слабость к своей дочери и не желал отнимать у нее ее любимцев, хотя они и причиняли нам всем немало хлопот.

Мы ждали нашего гостя — Сферу. Хотя полной уверенности в том, что он придет, ни у кого не было, все же в глубине души каждый из нас надеялся, что визит непременно состоится. Чем меньше оставалось до полуночи, тем больше возрастало нетерпение.

— Может быть, она заболела? — спросил мой сын, не уточняя, кого он имеет в виду, но мы отлично поняли, о ком идет речь.

— А может, ее уже нет в живых, — мрачно изрек второй сын.

— Или сидит в тюрьме, — предположил третий.

По вот охватившая всех напряженность спала: не успели часы пробить полночь, как перед нами появилась крохотная окружность. Очередной визит нашего друга, Сферы, во Флатландию начался!

Мы дали окружности спокойно вырасти до уже знакомых нам максимальных размеров. И после небольшой паузы я сказал:

— Добро пожаловать, ваше превосходительство! Мы все рады приветствовать вас как самого дорогого гостя!

— Я это знаю, — ответила Сфера, — знаю и чувствую. У вас я нахожу дружеское участие и поддержку. В моем расположении к вам вы также можете не сомневаться.

И действительно, теплый тон, которым были произнесены эти слова, достаточно красноречиво говорил о тех дружеских чувствах, которые питала к нам Сфера. Обращаясь ко всем членам семьи, наш гость осведомился, не произошло ли за прошедший год у нас чего-нибудь достойного внимания.

Моя жена и я принялись рассказывать Сфере о всевозможных мелких происшествиях, случившихся в прошлом году. Мне в голову пришла мысль рассказать Сфере о собаках Агаты и о том огорчении, которое постигло ее, когда все щенята оказались простыми дворнягами, по я все же решил не упоминать об этом происшествии, чтобы не бередить старые рапы.

У Сферы также не нашлось ничего такого, о чем стоило рассказать. После нескольких замечаний, не представлявших особого интереса, наша беседа зашла в тупик. Появление Сферы на этот раз больше напоминало обычный светский визит, чем встречу на научном уровне.

Неожиданно разговор принял новое, интересное направление. Наш гость внимательно присмотревшись к одной из собачек Агаты, осведомился, уж не юного ли преступника он видит перед собой? Этот вопрос вызвал бурный приступ веселья. Чтобы Сфера не подумала, будто смеются над нею, я поспешил вмешаться и дать необходимые объяснения:

— Я понимаю, почему у вас зародилось подобное подозрение. Ведь вы знаете, что в нашем мире существа, стоящие на низкой ступени развития, имеют форму неправильных многоугольников.

— Или прямолинейных отрезков, — добавила моя жена.

— Разумеется, — согласился я. — Как вам известно, наши женщины имеют форму прямолинейных отрезков. Менее развитые члены нашего общества — форму равнобедренных треугольников, а все неправильные фигуры — преступники. Однако те небольшие существа, которых вы видите перед собой, — всего лишь домашние животные, потомки приручаемых на протяжении многих веков диких животных, и поныне во множестве обитающих в лесах на юге Флатландии.

По-видимому, Сфера с легкостью поняла смысл сказанного, ибо ответила, что в Трехмерии также имеются существа неправильной формы, которые служат домашними животными. Сфера даже назвала несколько видов трехмерных домашних животных: собаки, кошки, овцы, свиньи, лошади, коровы и козы.

— А у себя в доме вы держите этих животных? — осведомился мой третий сын.

— Нет, — ответила Сфера. — Все Трехмерные существа, которых я только что перечислила, использует в качестве домашних животных другая разновидность зверей — удивительные создания неправильной формы.

^{Фигура, которую нарисовала Сфера, чтобы мы могли представить себе, как выглядит Гомо Сапиенс: А — рот, Б — глаза, В — уши, Г — хватательные органы (называемые также руками, Д — органы движения (или ноги).}

— Значит, эти создания — преступники, — констатировал мой старший сын.

— Может быть, вы и правы, — задумчиво произнесла Сфера, — хотя, по правде сказать, выглядят они иначе. Называются эти создания Гомо Сапиенс. Насколько можно судить, они довольно хорошо развиты: Гомо Сапиенс — симметричный зверь.

Чтобы мы могли представить себе, как выглядят это удивительное существо, Сфера выложила из детских кубиков, принадлежащих моим внукам, причудливую фигуру, которую все мы принялись разглядывать с большим любопытством.

— Причиняет ли это чудовище кому-нибудь зло? — спросил мой второй сын.

— Случается, что и причиняет, — ответила Сфера. — Оно считает себя вправе убивать существа, стоящие на более низкой ступени развития, и поедать их, держать их в неволе или даже искоренять по своему усмотрению.

— И такое существо — не преступник? — отважился спросить у Сферы кто-то из моих домашних.

— Само существо не считает себя таковым. У него сильно развита способность к мышлению, — ответила Сфера.

— Наверное, столь разумное существо живет в постоянном мире с себе подобными, — высказала предположение Агата.

— И это неверно, — возразила Сфера. — Существа, именующие себя Гомо Сапиенс, иногда подолгу сражаются друг с другом с большим ожесточением и немалым кровопролитием. Они собираются большими группами, и одни группы стремятся во что бы то ни стало уничтожить другие, а иногда всеми возможными способами мучают своих противников, пытают их и убивают.

— Но тогда нельзя не признать, что Гомо Сапиенс — величайший из преступников, — произнес кто-то из нас, и все с ним согласились. Сфера вынуждена была заметить:

— Собственно говоря, нельзя сказать, что у существ, именующих себя Гомо Сапиенс, не имеется высоких идеалов, которые они стремятся претворить в жизнь.

— И эти высокие идеалы служат оправданием совершаемых Гомо Сапиенс преступлений? — с негодованием спросила Агата.

— Да, — ответила Сфера, — у Гомо Сапиенс на все находятся оправдания. Вину за большие войны эти существа постоянно возлагают друг на друга, а когда речь заходит о преступлениях, совершенных ими самими и отрицать вину становится невозможно, они заявляют: «Я вынужден был пойти на это преступление, чтобы упредить своего противника».

— Не знаю, какие еще нужны аргументы для того, чтобы считать этих Гомо Сапиенс самыми отъявленными преступниками, — заявил мой старший сын. — Сама его форма красноречиво говорит об этом: может быть, она и симметрична, но зато чудовищно неправильна!

— А как выглядят Гомо Сапиенс женского пола? Имеют ли они форму прямолинейных отрезков? — поинтересовалась моя жена.

— Нет, — ответила Сфера. — По форме они мало чем отличаются от особей Гомо Сапиенс мужского пола.

— Как же они отличают друг друга? — последовал новый вопрос.

— Главным образом по одежде. У этих существ открыты лишь головы и хватательные органы, все остальное укутано тканью, — пояснила Сфера.

На какое-то время все замолчали. Новости стоили того, чтобы над ними поразмыслить. Первой нарушила молчание Агата. Ей не терпелось задать новый вопрос:

— Носят ли особи женского пола Гомо Сапиенс обувь?

— Обувь носят все Гомо Сапиенс, и мужчины, и женщины, — ответила Сфера. — Женская обувь обычно более привлекательна и изящна.

Это сообщение несколько успокоило Агату. Но тут один из моих сыновей спросил:

— А сколько туфель носят эти диковинные звери: одну или две?

— Две, — ответила Сфера, — по одной туфле на каждой ноге: левую туфлю на левой ноге, правую — на правой.

Этого замечания никто из нас не понял.

— Взгляните на изображение Гомо Сапиенс, — сказала Сфера, — и вы увидите, что его ноги симметричны. Они зеркально симметричны, но не конгруэнтны. Как бы Гомо Сапиенс ни крутил или ни поворачивал правый башмак, тот никогда не станет левым.

— Так же как дворняжка никогда не станет породистой собакой, — заметил по этому поводу мой второй сын.

Замечание по существу было правильным, однако я счел его крайне бестактным. Ну что ему стоило привести другой пример? Глаз Агаты наполнился слезами. От Сферы, не знавшей ничего ни о породистых собаках, ни о дворнягах, смысл этого замечания, естественно, ускользнул. Тем не менее она обратила внимание на то, что все взоры присутствующих обращены на собак.

— Взгляните, — обратилась к нам Сфера, — вот перед вами две совершенно одинаковые собаки. Они конгруэнтны.

— И как бы мы их ни крутили и ни вертели, они останутся конгруэнтными, — добавил мой сын.

— Ваше утверждение справедливо лишь в том случае, если мы не станем извлекать этих собачек из их пространства, выводить их из плоскости. Но если их вывести в трехмерное пространство, то изменить ориентацию собак не составит никакого труда.

Смысл последнего замечания был нам совершенно не понятен. Тогда Сфера перешла от слов к делу. Она взяла одну из собак и…. За тем, что проделала над ней Сфера, никто из нас уследить не мог. Лишь потом мне стало ясно, что Сфера подняла собачку из нашего пространства, каким-то необыкновенным образом повернула ее и снова возвратила во Флатландию. Дворняга превратилась в породистую собаку!

^{Если дворнягу повернуть в Трехмерии так, чтобы она изменила свою ориентацию, то она превратится в породистую собаку.}

Агата сначала замерла от удивления, а потом от радости расплакалась, схватила свою любимицу и принялась ее целовать.

Сфера решила, что моя дочь очень огорчена, и сказала:

— Милая девушка, не беспокойтесь! Я сейчас верну вашу собаку в прежнее состояние.

Разумеется, Агата весьма решительно воспротивилась такому предложению. Сфера, оставшаяся в полном неведении относительно того, почему моя дочь проявляет столь сильное волнение, никак не могла понять, хорошо или плохо она поступила, изменив ориентацию собаки. Я поспешил успокоить нашего гостя:

— Эту собаку вполне можно оставить в таком виде. А вот не могли бы вы проделать ту же операцию над другими собаками?

Наш гость из Трехмерия был столь любезен, что повторил свой фокус одиннадцать раз подряд, превратив всех щенят и их мать в породистых собак. Агата быстро распрощалась и ушла, боясь, что Сфера продолжит свои эксперименты. Она сослалась на то, будто ей очень хочется спать, а в действительности всю ночь не сомкнула глаз. Что скажут соседи, когда утром в первый день Нового года она отправится на прогулку вместе со всей своей великолепной породистой сворой!

^{Агата со сворой породистых собак на прогулке.}

Мы еще немного поговорили о симметрии и конгруэнтности.

— Насколько я понимаю, — сказал я, — в Трехмерии проделать нечто подобное с башмаками невозможно.

— Вы совершенно правы, — ответила Сфера. — Правый башмак, как его ни крути, как ни верти, останется правым.

Тут в разговор вмешался мой ученый сын:

— Но этого же не может быть! Если извлечь правый башмак из трехмерного пространства, в котором он находится, и перевернуть его в четырехмерном пространстве, а затем вернуть в исходное пространство, то правый башмак перейдет в свое зеркальное отражение и превратится в левый башмак.

— Не представляю, — призналась Сфера, — каким образом можно это сделать.

— Разумеется, вам трудно себе это представить, — согласился мой сын, — так же как нам трудно представить, что происходит в трехмерном пространстве. Вы могли бы попросить вашего друга Гиперсферу, чтобы она показала вам такой фокус.

— Убеждена, что это была бы невыполнимая задача, — возразила Сфера. — То, что возможно во Флатландии, невозможно в Трехмерии.

На этом наш гость, распрощавшись со всеми, исчез.

12. СОН О ЛАЙНЛАНДИИ.

Агата была неописуемо счастлива. На следующее утро она отправилась на прогулку со всеми своими собаками. Всюду она встречала завистливые или восхищенные взгляды. Я от души был рад за нее, хотя и считал непростительной глупостью судить о ком бы то ни было по тому, какой ориентации у него собака.

Затем жизнь вошла в привычное русло и потекла без особых потрясений. Ничего сколько-нибудь интересного не происходило, и единственное, что следовало бы, пожалуй, обсудить во время предстоящего визита Сферы — это возможность изменять ориентацию двумерных предметов путем поворота их в трехмерном пространстве. Представить себе наглядно, как изменяется при таком повороте ориентация, мы, естественно, не могли, и, чтобы хоть как-то разобраться в происходящем, нам оставалось лишь мысленно перенестись в Лайнландию.

Что касается меня, то я нанес свой визит в Лайнландию во сне. Не могу сказать, чтобы это произошло случайно. Вместе с одним из гостей я провел целый день в размышлениях над проблемой изменения ориентации. Не удивительно, что и во сне меня не покидали те же мысли.

Итак, совершенно отчетливо, как наяву, я увидел во сне Лайнландию. Передо мной простиралась прямая, усеянная множеством прямолинейных существ — то длинных, то коротких отрезков. Король Лайнландии находился среди своих подданных. Справа и слева от него на прямой располагались мужчины, женщины и дети. Весело двигались они то в одну, то в другую сторону своего одномерного пространства. Покинуть прямую обитатели Лайнландии, разумеется, не могли. Они были как бы привязаны к своему столь ограниченному, но все же бесконечно большому пространству. Да, бесконечно большому, хотя все пространство и состояло всего лишь из одной-единственной прямой!

Я обратился к королю, который раздраженно воскликнул:

— Откуда этот голос? Уж не колдун ли какой-нибудь разговаривает со мной?

— Нет, — ответил я, — голос, который вы слышите, принадлежит высшему существу из двумерного мира. Мой голос доносится до вас из-за пределов вашего пространства.

— Я не верю в сверхъестественные явления, — ответил король. — Либо я сплю, либо у меня слуховая галлюцинация.

— Ни то, ни другое, — возразил я. — Просто я приближаюсь к вам, опускаюсь в ваше пространство.

И в доказательство своих слов я пересек прямую.

— Откуда взялось это огромное Существо, ведь его здесь раньше не было? — воскликнул король. — Чудеса да и только!

С этими словами король ринулся на меня. Я успел выйти из его пространства как раз вовремя, и правитель с разгона врезался в своего соседа. По-видимому, несчастному однажды уже приходилось быть жертвой бурного темперамента своего монарха, но, насколько можно судить, с такой силой он никогда еще не сталкивался с королем.

— Позвольте задать вам несколько вопросов, ваше величество, — произнес я вкрадчивым, но внушительным тоном.

Обращение «ваше величество», по-видимому, польстило королю. Монарх Лайнландии откашлялся и сказал:

— Говорите, но только покороче!

Мне не хотелось омрачать благодушного настроения, в котором пребывало их величество, и я постарался изложить свое дело как можно более наглядно.

— Ваше величество, — сказал я, — вам, несомненно, надоело на протяжении многих лет находиться на одном и том же месте в вашем пространстве и иметь одних и тех же мужчин, женщин и детей слева от себя и одних и тех же мужчин, женщин и детей справа от себя. По одну сторону от вас я вижу двух мужчин, одну женщину и трех мальчиков, по другую — одного мужчину, трех женщин и пять мальчиков.

— Все это верно, но давно известно, — прервал меня король. — Любой младенец в Лайнландии скажет вам то же самое.

— Знаю, — невозмутимо ответил я и продолжал. — А что если я сейчас переверну вас, ваше величество?

— Что означает «переверну»? — озадаченно спросил король.

— А то, что, после того как я проделаю эту операцию, — пояснил я, — с той стороны от вас, где сейчас находятся двое мужчин и одна женщина, будут находиться один мужчина и три женщины, а с другой стороны от вас, там, где сейчас находятся один мужчина и три женщины, будут находиться двое мужчин и одна женщина.

— Это невозможно, — возразил король.

— Давайте попробуем, — предложил я. — Раз, два, три… Готово!

С этими словами я приподнял короля над его одномерными владениями и, перевернув, опустил его обратно на прямую.

^{Король Лайнландии до и после того, как его перевернули.}

— Что вы со мной делаете? Сейчас же прекратите! Слышите, вы, фокусник! — потребовал король.

— Я уже кончил, — ответил я и осведомился: — Как вы себя чувствуете, ваше величество?

— Отвратительно, хуже некуда! — проворчал король. — Своими дурацкими фокусами вы растрясли мне внутренности. У меня ломота и боль во всем теле.

— Не двигайтесь, и неприятные ощущения вскоре исчезнут, — посоветовал я.

Как и следовало ожидать, боли действительно вскоре утихли, и король вновь обрел ясность мышления.

— Где я? — спросил он.

— В вашем собственном пространстве, — успокоил его я.

— В моем пространстве? В моем собственном пространстве? Хотя вы правы: существует лишь одно-единственное пространство, и оно принадлежит мне. Ведь я король. Но здесь мне все совершенно незнакомо!

Не медля ни секунды, король раскрыл оба рта, которые находились у него на концах тела, и издал пронзительный вопль; таким способом он пытался установить слуховой контакт со своими подданными. Мы могли бы сказать: «Король воззвал к своим подданным». В ответ завопили все обитатели прямолинейного мира, причем каждый — двумя голосами.

— Что же все-таки произошло? Мир перевернулся! — пожаловался король. — Те из моих подданных, которые всегда находились справа от меня, переместились налево, а те, что всегда находились слева, перешли направо. Как это им удалось?

Замечание повелителя Лайнландии удивило меня. Я повернул короля относительно его же собственного мира, а он, по-видимому, ровным счетом ничего не заметил и считает, что перевернулся не он, а весь окружающий мир.

Я невольно задумался. Что ответить королю? Прежде всего мне необходимо было бы во всем разобраться самому. Я стоял недвижимо, а рядом со мной суетливо двигались то в одну, то в другую сторону обитатели Лайнландии. Различать их становилось все труднее и труднее, словно весь их крошечный мирок таял в тумане. Я проснулся и, к своему удивлению, обнаружил, что нахожусь у себя в спальне в своем собственном двумерном мире.

Над вопросом, который мне задал во сне король Лайнландии, я ломал голову довольно долго. Выбрав удобный момент, я рассказал о своих затруднениях старшему сыну и лишь с его помощью понял, что высказывания короля Лайнландии вполне естественны. Тело короля, после того как я его перевернул, расположилось на прямой в направлении, обратном исходному. Поэтому все звуки доносились до короля не с обычной, а с противоположной стороны. Голоса тех обитателей Лайнландии, которые прежде доносились до короля, так сказать, с востока, теперь сначала достигали «западного» уха и лишь затем — «восточного». Ясно, что королю показалось, будто и те, кому принадлежат голоса, переместились по другую сторону от него. Поэтому, с точки зрения короля, перевернулся не он, а окружающий мир.

Признаюсь вам честно, что сначала объяснения сына не вполне меня убедили. Правда, мое уважение к научным познаниям собственного отпрыска и его способности здраво мыслить было достаточно велико, чтобы поверить ему на слово, и теперь у меня не осталось ни малейших сомнений в том, что он был прав. Однако, чтобы я это понял, должны были произойти другие события.

В семейном кругу мы нередко обсуждали то, о чем я уже успел вам рассказать. Стоило кому-нибудь из знакомых прийти к нам в гости, как разговор заходил об удивительных событиях, происшедших у нас в доме. Такие беседы неизменно вызывали живейший интерес у наших гостей. Поводом к ним обычно служил вопрос о том, каким образом Агате удалось стать владелицей столь великолепной своры породистых собак.

Агата хотела, чтобы на этот вопрос мы давали уклончивые ответы. Свое желание она мотивировала по-разному. Во-первых, дочь опасалась, что ценность ее собак окажется под сомнением, если станет известно, каким образом они появились на свет. Во-вторых, Агата боялась, что рецепт превращения дворняг в породистых псов, став достоянием гласности, лишит ее преимущества быть единственной владелицей великолепной своры, поскольку к нему прибегнут многие. Было, по-видимому, и третье соображение, о котором Агата никогда не говорила вслух. Именно оно и заставляло ее придавать столь большое значение сохранению тайны. Все должны думать, что ее свора стоила безумных денег. Это льстило ее тщеславию гораздо больше, чем распространение нелепых сказок о таинственном волшебнике, посетившем наш дом.

Утаивать истину претило моей открытой натуре, но, судя по недоверчивым лицам наших гостей, правдивый рассказ о метаморфозе, происшедшей с собаками, производил совсем не то впечатление, которое я ожидал. Видимо, наши гости считали, что мы хотим заставить их поверить в явные небылицы, упорно скрывая, как все произошло в действительности. Если у нас есть знакомый волшебник, появляющийся ровно в полночь под Новый год, волшебник, которого не видел никто другой, то почему бы нам не попросить его, вместо того чтобы проделывать какие-то трюки с собаками, осыпать нас несметными сокровищами? Не потому ли, что нам не хочется открыто показывать всем, как быстро мы разбогатели? Очень все это подозрительно! Нужно ли удивляться, что о нашем семействе стали распространяться самые невероятные слухи, а на улице прохожие часто оглядывались и смотрели нам вслед. Если кто-нибудь из нас входил в зал, где находилось много народу, разговор при нашем появлении нередко смолкал. Мы чувствовали, что речь шла о нашем семействе. Даже нашего общества стали как-то избегать.

Большинство приписывало появление дорогих породистых собак черной магии. И в самом деле, кто знает, вдруг ночной гость, превративший обыкновенных дворняжек в породистых собак, был сам дьявол собственной персоной? А от тех, кто знается с самим Вельзевулом, лучше держаться подальше!

13. СЛУЧАЙ С ГОСПОДИНОМ ВЕРТАТО.

Несколько месяцев спустя я случайно разговорился с одним из своих знакомых, врачом-невропатологом.

По обыкновению большинства врачей, он рассказал мне об одном интересном случае из своей практики. Речь шла о пациенте, который никогда ранее не страдал галлюцинациями. Проснувшись утром после встречи Нового года, этот человек увидел весь мир перевернутым. Он не узнал даже собственной спальни. Стол стоял не с той стороны, где обычно, дверь также оказалась не на месте. На улице он заметил, что повозки движутся задней стороной вперед, но более всего его поразили надписи: они выглядели так, словно он рассматривал их отражение в зеркале. Пациент этот, а им был некий восьмиугольник, решил, что все это ему снится или мерещится, но не тут-то было! Он чувствовал себя очень несчастным, незнакомый мир вызывал у него страх и тревогу. Каким образом все вдруг стало таким странным и непривычным?

Восьмиугольник попытался разобраться в происшедшем. Он старался рассуждать методично и хладнокровно. Может быть, он болен, и болен серьезно? Может быть, его органы поражены какой-нибудь опасной болезнью? Прекратив прогулку, восьмиугольник вернулся домой и улегся в постель. Закрыв глаз, он почувствовал себя вполне здоровым. Тогда он решил встать. По стоило бедняге приподняться с постели и посмотреть вокруг, как его опять охватило странное ощущение: все выглядело так же, как обычно, и в то же время совсем иначе.

На следующее утро состояние восьмиугольника не изменилось, но и оставаться в постели он больше не мог. Однако даже пройти по собственному дому оказалось ему довольно трудно! Все предметы стояли не на своих местах. Но самое удивительное ожидало его, когда он добрался до входной двери. Улица, на которую он собирался выйти, проходила теперь вдоль другой стены дома, а дверь открывалась в противоположную сторону.

Восьмиугольник вышел на работу и начал с того, что написал срочное деловое письмо. Взглянув на это письмо, секретарша с удивлением вперила взор в своего шефа.

— Почему вы на меня так смотрите? — спросил тот.

— Я не могу прочитать то, что вы написали, — ответила девушка.

Восьмиугольник взял у нее письмо, но не обнаружил там ничего странного. Письмо было написано как обычно, и он нашел его вполне удобочитаемым. В то же время он не мог прочесть адресованных ему писем: они были написаны зеркальным шрифтом! Восьмиугольник ничего не мог понять. Может быть, он все-таки заболел? Может быть, у него какое-нибудь серьезное расстройство? Лучше всего будет, если он немедленно отправится домой. Необходимо подождать до завтрашнего утра и, если не станет лучше, вызвать врача. Он отправился домой, но на следующее утро лучше ему не стало. Не улучшилось его состояние и через день, и через неделю. С каждым днем становилось все хуже. В конце концов восьмиугольника поместили в психиатрическую лечебницу.

Я слушал рассказ своего знакомого со все возрастающим вниманием. Причина таинственного заболевания была мне совершенно ясна: восьмиугольника повернули в трехмерном пространстве.

Я высказал свою гипотезу, но мой приятель-медик не захотел ее принять, и по его насмешливой улыбке я понял, что он считает меня тоже не вполне нормальным. До него, конечно, дошли слухи о нашей семье, и мой знакомый считал, что видит перед собой персону с явными признаками опасного психического заболевания.

В просьбе разрешить мне когда-нибудь посетить необычного больного мне было категорически отказано. Особенно настаивать я не решился. Все же время от времени, встречая своего знакомого, я осведомлялся о состоянии здоровья его пациента.

Тот шел на поправку. Он заново научился читать и писать и спустя некоторое время смог покинуть клинику для душевнобольных и вернуться к своей прежней деятельности.

Что касается меня, то я был полностью убежден в одном: этот случай аналогичен происшествию с собаками Агаты. Мой сын, с которым я подробно обсудил необычное «заболевание», был совершенно согласен со мной. Открытым оставался лишь вопрос о том, каким образом восьмиугольника повернули в трехмерном пространстве. Мы долго ломали голову над этим, но так ничего и не придумали. Тщательно все взвесив, мы решили, что моему сыну следовало бы нанести визит этому восьмиугольнику. Теперь нам было известно его имя. Это был господин Вертато, известный коммерсант, живший неподалеку от нас.

Нельзя сказать, чтобы визит сына оказался успешным: мы узнали не слишком много нового. Господин Вертато утверждал, что в ночь под Новый год он почувствовал себя очень плохо. Кружилась голова, мутило. Весь следующий день Вертато провел в постели и подошел к входной двери лишь назавтра. Тогда-то с ним и приключилась та самая история. Вертато сообщил также, что ему пришлось заново учиться читать. Вместо обычных букв Вертато видел лишь их зеркальные отражения, а когда он учился нормально писать, то ему самому казалось, что он пишет зеркальным шрифтом. Теперь таких трудностей уже не возникает. После болезни у Вертато сохранилась способность одинаково свободно читать любые надписи, сделанные как обычным, так и зеркальным шрифтом. Но самое приятное состояло в том, что Вертато вновь обрел способность нормально воспринимать окружающее.

— Могу себе представить, — сказал мой сын, — что вам пришлось пережить во время болезни. Весь мир казался вам чужим, или, лучше сказать, вас не покидало такое чувство, будто вы не принадлежите более к этому миру, не «вписываетесь» в него.

— Вы совершенно правы, — подтвердил Вертато. — Я чувствовал себя так, будто находился в чужой стране и был вынужден жить в незнакомом окружении. Лишь с большим трудом мне удавалось отыскать свой собственный дом, свою дверь. Я плохо узнавал своих ближних, знакомых и тех, с кем мне приходилось встречаться по работе. Понадобилось много времени, прежде чем меня сумели вылечить.

— Счастье еще, что вам удалось выздороветь, — заметил мой сын. — Не могли бы вы, господин Вертато, рассказать, как к вам вернулась способность нормально воспринимать окружающее: был ли это медленный процесс, или ваше состояние изменилось внезапно?

— Я исцелился совершенно неожиданно, — ответил господин Вертато, — и обязан своим выздоровлением музыке. Не знаю, откуда доносились звуки — с улицы или откуда-то из дома, но только вдруг они слились в знакомую мелодию, и я почувствовал себя в прежнем мире, где ничто не менялось. Гармонию звуков я воспринимал, как прежде. Но никогда еще простенькая мелодия не доставляла мне такого удовольствия. Именно в этот момент и наступил перелом в ходе моей болезни. Слушая музыку, я обрел мужество, необходимое для того, чтобы снова вернуться к жизни.

С огромным интересом выслушали мы рассказ моего сына о его визите к господину Вертато. От нашего внимания не ускользнуло, что странное происшествие приключилось с ним в новогоднюю ночь, как раз в то время, когда у нас в гостях находилась Сфера. Случайно ли это совпадение или тут кроется какая-то взаимосвязь? Над этим вопросом мой сын и я размышляли всю оставшуюся часть года.

14. ЭКСПЕРИМЕНТЫ В ТРЕХМЕРИИ.

Для нас, чувствовавших себя в обществе парнями, собраться под Новый год в семейном кругу было настоящим праздником. Никто не мог забежать к нам в этот вечер: ни друг, пи просто знакомый. Именно поэтому мы ощущали особую признательность к нашему «потустороннему» другу, Сфере, имевшей обыкновение навещать нас в новогоднюю ночь.

Мы все очень ждали ее прихода, и по мере того, как времени до полуночи оставалось все меньше, напряжение возрастало. Разумеется, на торжественный ужин были поданы окружности на масле, а потом мне как отцу семейства пришлось рассказывать сказку. На этот раз я решил остановить свой выбор на сказке о спящей красавице — принцессе, которая жила в огромном замке посреди дремучего леса. Деревья в этом лесу были необычайно колючими и к тому же с каждым годом становились все толще и толще, поэтому пройти через лес к замку не было никакой возможности. Минуло сто лет, прежде чем один предприимчивый принц, разумеется, юный Двенадцатиугольник, задумал пробраться к замку. Сказать по правде, мне никогда не было до конца ясно, как ему удалось осуществить свой замысел. Я всегда говорил, что деревья от старости начали ссыхаться (такой процесс, как известно, действительно происходит в природе).

Когда принц добрался наконец до принцессы, то увидел, что все королевское семейство вместе с придворными спит беспробудным сном. Дело в том, что деревья за сто лет срослись так плотно, что приток свежего воздуха, необходимого для дыхания, прекратился, и все обитатели замка погрузились в сон. Они, наверное, все умерли бы, если бы не благовоние каких-то особенных деревьев, росших во дворе замка. Испаряясь, эти благовония совершили чудо: обитатели замка не умерли, а лишь впали в полное оцепенение.

Принц влюбился в принцессу с первого взгляда. Он поцеловал ее, вдохнув при этом в легкие девушки свежий воздух, от чего принцесса проснулась. Приток свежего воздуха теперь был как раз достаточен для того, чтобы пробудить всех от столетнего сна. Сыграли свадьбу. Лес, как полагается в таких случаях, проредили, замок отремонтировали, а принц и принцесса жили долго и счастливо.

Незаметно подошло время, когда детям следовало отправляться спать. Моему старшему внуку разрешили остаться и присутствовать при событиях, которые должны были произойти.

В страшном волнении ожидали мы, когда настанет великий миг. Едва часы пробили полночь, перед нами появилась крохотная окружность — верный признак того, что Сфера сейчас предстанет перед нами, в нашем пространстве, своим наибольшим сечением.

Мы все считали ее другом семьи, хотя я и называл ее «Ваше превосходительство», да и сама Сфера чувствовала себя у нас как дома. Вскоре разговор зашел о тех, кому выпало испытать на себе поворот в пространстве большего числа измерений, и я рассказал Сфере о коммерсанте, который однажды обнаружил, к своему ужасу, что правое и левое для пего поменялись местами (у нас этот случай известен под названием «случай с Вертато»). Сфера выслушала меня весьма внимательно и заявила, что этого господина в трехмерном пространстве повернула она сама. Покидая нас в прошлый раз, Сфера подумала, что поворачивать собак в трехмерном пространстве вряд ли стоило, поскольку животные ничего не могли рассказать об испытываемых ими ощущениях. Повернуть в трехмерном пространстве кого-нибудь из членов нашей семьи было уже поздно: Сфера успела покинуть нас. Тогда она решила повторить эксперимент на первом встречном.

Сфера не могла сказать с уверенностью, где находился дом ее жертвы. Помнила лишь, что где-то неподалеку от нашего. Подопытным оказался какой-то восьмиугольник (что соответствовало действительности). Сфера не ожидала, что произведенный ею эксперимент причинит несчастному столько страданий. Но коль скоро восьмиугольник уже был перевернут в трехмерном пространстве, Сфера не торопилась возвращать его в исходное состояние. Если бы столь развитая личность, как восьмиугольник, могла сообщить об ощущениях, испытанных ею при перевороте в трехмерном пространстве, то это, по мнению Сферы, имело бы величайшее значение для науки.

Мне очень хотелось узнать, считает ли наш друг по-прежнему, что трехмерный предмет нельзя повернуть в четырехмерном пространстве так, чтобы его правая и левая стороны поменялись местами, но счел за благо не касаться этого щекотливого вопроса. Не знаю, почувствовала ли Сфера, о чем я размышляю, но и ее мысли в течение довольно долгого времени, пока я боролся с искушением задать свой каверзный вопрос, были, по-видимому, заняты тем же, ибо она неожиданно сказала:

— Случай с господином Вертато совершенно аналогичен случаю, происшедшему в Трехмерии.

— А что у вас тоже кого-нибудь перевернули в четырехмерном пространстве? — с интересом спросил я. — Но ведь такое возможно лишь при вмешательстве некоего четырехмерного существа?

— Вы правы, — ответила Сфера. — Я обсуждала эти вопросы с Гиперсферой. Ей удалось убедить меня в том, что и трехмерные существа можно повернуть так, чтобы их правая и левая стороны поменялись местами, Гиперсфера не хотела начинать свои эксперименты с живых существ, и поэтому действие переворота в трехмерном пространстве было решено предварительно испытать на неодушевленных предметах. Сначала мы никак не могли найти подходящий объект, но потом я подумала, что действие поворота в четырехмерном пространстве неплохо было бы испытать на трехмерных книгах. Вместе с Гиперсферой мы отправились в книжный магазин, где я отобрала книги, содержавшие взгляды сторонников одного политического направления, которые я не разделяла. Все эти книги Гиперсфера тотчас же повернула в четырехмерном пространстве. Поскольку каждая буква перешла при такой операции в свое зеркальное отражение, то «обращенные» оказались совершенно неудобочитаемыми. Правда, приступая к эксперименту, я упустила из виду, что нанесу ущерб владельцу книжного магазина — лицу совершенно невиновному. Обращенные книги, естественно, не пользовались спросом. Владелец магазина вернул их издателю, который то ли прислал взамен другие экземпляры и тем самым взял на себя все расходы по возмещению убытка, то ли заявил, что полученные им книги ему не известны и он не имеет к ним никакого отношения. Один-единственный экземпляр обращенной книги попал в музей как замечательный, по необъяснимый технический казус. Рядом с ним для сравнения выставили необращенный экземпляр той же книги. Таким образом, я косвенно способствовала привлечению внимания к той книге, распространению которой мне так хотелось воспрепятствовать.

Над тем, что сообщила нам Сфера, требовалось хорошенько поразмыслить. После долгого молчания я спросил:

— А не производились ли в Трехмерии опыты по «обращению» живых существ?

— Такие опыты в конце концов все-таки были произведены, — сообщила Сфера. — Гиперсфера сначала решительно воспротивилась им. Она считала неисключенной возможность того, что живое существо, после того как его подвергнут повороту в четырехмерном пространстве, станет несчастным. Мне эта мысль была непонятна. Однако спорить с Гиперсферой не приходилось, и мне не оставалось ничего другого, как придумать ситуацию, которая полностью исключала бы возможность нежелательных, с точки зрения Гиперсферы, последствий эксперимента. И пока я размышляла, у меня созрел необычайный план. В Трехмерии встречается один недуг особого рода. Тех, кто им страдают, называют левшами. Все, что другой человек делает правой рукой, левша делает левой. В повседневной жизни левша сталкивается со множеством неудобств. Многие из тех действий, которые обычный человек («правша») легко совершает правой рукой, нельзя выполнить левой или они требуют от левши значительных усилий. Те же операции, которые с одинаковой легкостью можно выполнить и правой, и левой рукой, большинство людей выполняет правой рукой, ибо большинство составляют «правши». Если левше не удается выполнить то, что делает обычный человек, он становится объектом для насмешек.

— Значит, быть левшой не модно? — спросил у Сферы мой внук.

— По сути дела, да, — ответила Сфера. — Мода правит Трехмерием так же, как и Флатландией.

— В Лайнландии все обстоит иначе, — заметил мой сын.

— Но какое отношение имеют левши к вашему плану? — поинтересовался я.

— Самое непосредственное! Если левшу повернуть в Гиперпространстве, то его правая рука станет левой, а левая рука — правой, и левша станет «правшой».

— Великолепный план! — воскликнул я. — И вам удалось его осуществить?

— И да, и нет, — ответила Сфера. — Гиперсфера вняла моим доводам и повернула одного левшу в четырехмерном пространстве. Но человеку, над которым произвели опыт, превращение в «правшу» не принесло счастья. В бытность свою левшой он научился писать левой рукой, теперь же все написанное левой рукой сам он еще может прочитать, по остальным оно непонятно: наш бывший левша пишет зеркальным шрифтом. Не может он читать и написанное другими. Даже собственные письма, написанные перед выздоровлением, кажутся ему испещренными непонятными иероглифами. Наш левша был убежден, что заболел. Однако врач, к которому он обратился, не обнаружил у него никаких признаков болезни, временно запретил ему писать и читать и посоветовал побольше гулять. Совет врача оказался роковым. Поскольку у бывшего левши правая часть тела стала левой, а левая — правой, при виде мчавшейся навстречу машины он отступил не в ту сторону и погиб под колесами.

— Поистине печальный исход отлично задуманного эксперимента, — сказал я.

— Да, — задумчиво протянул мой сын. — Вы слишком рано предоставили своему пациенту свободу. Нужно было сначала дать ему полностью привыкнуть к изменившимся обстоятельствам. Хотя здесь не все еще ясно, быть может, в дальнейшем пациентов следовало бы на длительное время помещать в специально предназначенные санатории и проводить с ними курс обучения, чтобы они постепенно приобретали навыки, необходимые им для жизни в обращенном мире?

— При этом, как и в случае с господином Вертато, важную роль могла бы играть музыка, — добавила моя жена.

И все же остановились на том, что излечение левшей не представляет особого интереса и его вряд ли следует проводить в широких масштабах. Неудобства, испытываемые левшой, не столь велики, чтобы он чувствовал себя чужим в этом мире, а резкий переход в обычное состояние (от левши к «правше») влечет за собой столь опасные последствия, что недостатков у него гораздо больше, чем преимуществ.

Тут Сфера распрощалась со всеми и исчезла, оставив нам обильную пищу для размышлений и бесед.

ЧАСТЬ III. ИСКРИВЛЕННЫЕ МИРЫ.

15. СЛУХ.

Жизнь шла своим чередом, и тайны пространства, которые в первое время привлекали всеобщее внимание, все больше отступали на задний план. Обыватель, не особенно разбиравшийся в этих проблемах, давно уже говорил о другом и лишь иногда недоуменно задавал себе вопрос: «И зачем только ученые выдумывают всякие непонятные вещи?» Сами ученые, а к их числу я отношу и математиков, и естествоиспытателей, теперь все были убеждены в возможности существования миров с числом измерений, превышающим 2, хотя большинство сомневалось, что такие миры реально существуют. К разговорам о визитах из трехмерного пространства к нам, в Двухмерие, так называемой Сферы, или Гиперокружности, такие ученые относились как к выдумке, но ценили подобные фантазии, ибо те позволяли им знакомить широкую публику с геометрическими свойствами иных мыслимых миров. Однако вскоре произошли события, которые заставили всех совершенно по-новому взглянуть на всю совокупность проблем, связанных с пространством.

Однажды (я хорошо помню этот вечер) мы сидели по своему обыкновению в семейном кругу, как вдруг кто-то из моих детей спросил, слышали ли мы новость: директора Тригонометрической службы освободили от занимаемой должности. Меня это сообщение удивило. Не имея чести быть лично знакомым с директором, я тем не менее знал его как пунктуального служащего, весьма сведущего в науке и технике, который пользовался к тому же широкой известностью как искусный и точный наблюдатель. Что явилось причиной его внезапного позорного изгнания?

Моя жена высказала предположение, что снятый с поста директор мог питать пристрастие к деньгам (такое иногда случается с самыми высокопоставленными чиновниками), но я не мог поверить, чтобы многоугольник, посвятивший себя науке и получавший огромное жалование, был способен пойти на преступление.

— Мало ли с какими финансовыми затруднениями мог столкнуться директор, — возразила мне жена. — Не исключено, что он потерял много денег на каких-нибудь спекуляциях.

— Может быть, у него расточительная жена, — высказал новое предположение мой сын.

— Или транжира сын, — в пику ему подхватила моя жена.

В то время мы еще ничего не знали об истинных причинах увольнения директора и могли лишь строить догадки.

— А что такое Тригонометрическая служба? — спросил мой старший внук.

— Служба, которая занимается измерением углов треугольников, — пояснил я.

— Я тоже знаю, как это делать, — ответил мой внук. — Ведь, в конце концов, каждый из нас с полным правом может называть себя угломером. У всех, кто встречается мне на улице, я прежде всего измеряю обращенный ко мне угол — прикидываю на глаз его величину. Такая оценка, как известно, оказывается очень точной — то ли от постоянных упражнений, то ли в силу врожденной способности измерять углы. В школе нас также, к сожалению, заставляют заниматься этим более чем скучным делом. А тому, кто умеет измерить утлы, известен и сам треугольник.

— И все же измерение углов необходимо, — возразил я. — Время, потраченное на изучение этого тонкого искусства, нельзя считать потерянным напрасно. Каждый, кто быстро оценивает величину углов, хорошо разбирается в людях!

— Я не спорю, — признал мою правоту внук. — Просто мне хотелось сказать, что в измерении углов нет ничего особенно сложного — оно доступно каждому. Если же нам требуется измерить углы более точно, то их можно ощупать или обратиться в специально созданные для этой цели учреждения, где любому желающему не только измерят с высокой точностью его угол, но и выдадут официальное удостоверение о результатах измерения. И мне никогда не приходилось слышать, чтобы подобными делами занималась Тригонометрическая служба.

— Замечание вполне справедливое, — согласился я. — Тригонометрическая служба учреждена специально для того, чтобы путем измерения треугольников составить точную карту мира. Для этого весь мир был разбит на треугольники (триангулирован, или покрыт триангуляционной сетью), их углы измерены, а длины сторон вычислены.

— Дедушка, — укоризненно воскликнул мой младший внук, — как ты можешь так говорить! Разве можно вычислить длины сторон треугольника, зная лишь его углы?

— Разумеется, нельзя, — успокоил я внука, — в этом ты совершенно прав. Необходимо еще знать длину какой-нибудь из сторон. Тогда, точно измерив углы треугольника, можно вычислить длины остальных сторон.

— Для вычисления всех сторон треугольника достаточно знать длину одной из сторон и величину двух углов. Третий угол вычислить совсем не трудно, поскольку сумма всех углов треугольника равна двум прямым углам, или 180°, — счел необходимым добавить маленький всезнайка.

Я был горд его замечанием. Оно еще раз свидетельствовало о том, что малыш шел по стопам своих предков. Разве не был основатель нашего рода, знаменитый Квадрат, его прапрадедом?

На некоторое время в комнате воцарилась тишина. Каждый размышлял над необычайным происшествием. Первой нарушила молчание моя жена. Она сказала:

— Не понимаю, каким образом в вычислении сторон треугольников директор Тригонометрической службы усмотрел повод для того, чтобы совершить мошенничество. Может быть, директор злоупотребил своим правом выбирать вершины триангуляционной сети? Впрочем, выбор вершин — задача чисто техническая.

— Неизвестно, сколь строго следил директор за тем, как выполняют свои обязанности сотрудники Тригонометрической службы, — вмешалась в разговор жена моего сына, — а здесь-то и могли совершаться различные мошеннические проделки.

— Не будем больше говорить на эту тему, — потребовал я. — Мы ничего достоверно не знаем и лишь теряемся в догадках. Не будем фантазировать.

— Может быть, вскоре нам удастся разузнать какие-нибудь подробности? — предположила моя жена.

— Вполне возможно, — ответил я, не подозревая, сколь близок мой ответ к истине.

16. ВИЗИТ ДОКТОРА ПУНКТО.

Однажды я занимался, сидя в своем кабинете. Мой любимый предмет — математика — увлекал меня все больше и больше. В тот вечер я размышлял над одной сложной задачей, когда мне доложили, что меня спрашивает некий господин. Я попросил провести посетителя ко мне в кабинет. Им оказался стройный восьмиугольник, двигавшийся с непринужденным изяществом. Внешность его с первого взгляда располагала к полному доверию и внушала почтение. Велико же было мое удивление, когда посетитель представился доктором Пункто, недавно уволенным со своего поста директора Тригонометрической службы, чья неожиданная отставка вызвала столько кривотолков.

— Возможно, вы догадываетесь, — начал он, — что послужило причиной моего визита.

Что я мог ему ответить? Хотя кое-какие соображения на этот счет и мелькнули у меня в голове, однако высказывать их вслух я считал не вполне удобным: по моим предположениям посетитель пришел просить меня о помощи в связи со своей отставкой. Разве станет кто-нибудь, а тем более разумный и просвещенный восьмиугольник обращаться за советом к шарлатану и прорицателю и разве не был я в глазах широкой публики искушен в черной магии? Разве не считали мои недоброжелатели, что я знаюсь с нечистой силой? Мой посетитель не производил впечатление многоугольника, способного побеспокоить кого-нибудь по пустякам или ради праздной болтовни. Похоже было, что он решил (быть может не без влияния своей жены) прибегнуть к последнему средству.

Что ему от меня нужно? Может быть, он надеется, что с помощью волшебства я извлеку для него, из третьего измерения ту сумму денег, которую он растратил или потерял, и ему удастся таким способом оправдаться? Подобные мысли промелькнули у меня в голове, и я пребывал в растерянности, не зная, что ответить моему посетителю. По-видимому, он заметил мое смущение, потому что, немного помедлив, сказал:

— Вкратце дело, по которому я осмелился вас побеспокоить, сводится к следующему. Я пришел к вам за советом. Как вы, несомненно, слышали, меня уволили из Тригонометрической службы.

— Мне известно, — продолжал доктор Пункто, — что моя отставка породила множество самых нелепых слухов. Смею думать, однако, что вы придерживаетесь несколько иных взглядов на вещи, нежели широкая публика.

— Должен признаться, — ответил я, — что мне известен лишь сам факт вашей отставки. Относительно причин, вызвавших ее, я по сей день пребываю в полном неведении. Вам придется просветить меня на этот счет, чтобы я мог составить обо всем собственное мнение. Боюсь, однако, что не смогу ничем вам помочь.

Может быть, мои слова прозвучали несколько враждебно, но я умышленно избрал холодный тон. Я твердо решил без обиняков указать нежданному гостю на дверь, невзирая на его восемь равных сторон, если только он вздумает обратиться ко мне как к чернокнижнику и колдуну.

— Понимаю ваше недоумение, — сказал доктор Пункто. — Вы не усматриваете, каким образом могли бы мне помочь. К сожалению, я не могу ответить на ваш вопрос, ибо и сам ничего не знаю. Я хочу лишь предложить вашему вниманию некий комплекс загадок, путь к их решению для меня покрыт мраком. Я даже не знаю, в каком направлении его искать. Но если окажется, что эти загадки не под силу решить далее вам, то этого не сумеет сделать никто!

— В мире, я имею в виду в нашем двумерном Мире, — продолжал мой гость, подмигнув при этом, — есть немало математиков, но, думается мне, что здесь нашей старой, классической, математикой не обойтись. А поскольку вы показали, что способны не только воспринимать новые идеи, но и распространять усвоенные вами знания, то я решил: вряд ли кто-либо во всей Флатландии способен лучше вас беспристрастно разобраться в фактах.

— Если я правильно вас понял, — осторожно заметил я, — то ваш визит каким-то образом связан с чисто математическими проблемами и, следовательно, не имеет отношения к… гм… проблемам юридического и финансового порядка? Надеюсь, вы не рассердились на меня за то, что я задал вам столь прямой вопрос? — добавил я извиняющимся тоном.

— Наоборот, — воскликнул мой гость, — мне необычайно приятно опровергнуть слухи, распространяемые теми, кто не имеет ни малейшего представления о существе возникшей проблемы. Речь идет о чисто научной или по крайней мере технической проблеме. Хотя я должен признаться, — добавил доктор Пункто, — что эта проблема носит весьма необычный характер.

Антипатия, которую я испытывал к неожиданному посетителю, бесследно исчезла. Я был захвачен таинственной проблемой, хотя и сам еще не сознавал этого.

— Позвольте спросить вас, — осторожно попытался выяснить я суть дела, — о чем, собственно, идет речь? Если об ошибках прикладных методов измерения и вычисления, то должен вас предупредить, что я не специалист и в технических вопросах не разбираюсь.

— Думаю, что интересующая меня проблема не имеет отношения к технике, а является чисто теоретической, — успокоил меня доктор Пункто. — Хотя не могу сказать этого с полной уверенностью. Знаю лишь одно: все в ней необычно, крайне необычно!

Взгляд бывшего директора Тригонометрической службы был устремлен куда-то вдаль. Я с сожалением подумал о том, что столь разумный человек, должно быть, поставил перед собой неразрешимую задачу, своего рода загадку, которой другие либо просто не замечают, либо считают не заслуживающей внимания. Желая хоть чем-то помочь ему, я заметил:

— А не лучше ли оставить все, как есть? Ведь не исключено, что интересующая вас проблема неразрешима…

— Неразрешима? — поспешил возразить он. — Нет, решение проблемы существует. Все имеет свои причины. Все имеет свое объяснение. Мне казалось, что вам как математику такая точка зрения должна быть особенно близка. Хотя объяснение порой бывает странным… очень странным!

— Можете рассчитывать на меня, — заверил я гостя. — Однако, чтобы я мог глубже понять проблему, постарайтесь изложить основные факты по возможности подробнее.

— Я бы предпочел не делать этого, — прямо заявил доктор Пункто. — Вы усомнитесь в моих наблюдениях, а может быть, и в моих умственных способностях. Не могли бы вы завтра отправиться со мной в одно место?

— Что же, я не против, — сказал я. — Наоборот, вы настолько заинтриговали меня, что мне просто не терпится познакомиться с проблемой поближе. Все же должен предупредить заранее: не исключено, что вас постигнет большое разочарование и я не смогу объяснить явление, при анализе которого вы встретили столь большие трудности.

— Во-первых, — начал перечислять свои контрдоводы доктор Пункто, — может случиться, что вам удастся обнаружить какую-нибудь ускользнувшую от меня ошибку, хотя я уверен в обратном. Если вы все же найдете ошибку и выяснится, что все решается просто, то я буду чрезвычайно признателен вам за участие. Если окажется, что мои наблюдения верпы и тем не менее нуждаются в объяснениях, то и в этом случае я останусь в выигрыше, ибо буду не один. С вами мы поделим трудности и сможем обсуждать их. Для меня это было бы огромной поддержкой. Во-вторых, не исключено, что вам удастся найти решение загадки. Итак, согласны ли вы мне помочь?

— Я уже сказал, — ответил я, — что ваше предложение необычайно заинтересовало меня. Я приложу все усилия, чтобы решить проблему, а в случае неудачи надеюсь, что вы не станете меня упрекать.

— Упрекать? — воскликнул мой гость. — Ни за что и никогда! Может быть, совместными усилиями нам удастся найти решение! Ум хорошо, а два лучше! К тому же, работая над одной проблемой, мы могли бы обсуждать ее и постепенно прийти к решению, хотя это и очень трудно.

— Могу я просить вас еще кое о чем? — задал я гостю последний вопрос. — Не намекнете ли вы, с какого рода задачей нам придется иметь дело?

— Охотно, — согласился доктор Пункто. — Не могли бы вы сказать, чему равна сумма углов треугольника?

Неожиданный вопрос озадачил меня, но я все же ответил:

— Разумеется, 180°.

— Всегда? — спросил доктор Пункто и с этими словами исчез за дверью.

17. УДИВИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

Последнее замечание моего нового знакомого заставило меня призадуматься. Я разговаривал с ним довольно долго, у меня создалось впечатление, что это вполне разумный многоугольник, и вдруг этот вопрос, эти странные сомнения…

Можно ли быть уверенным в том, что на вопрос доктора Пункто в ста случаях из ста следует отвечать утвердительно? Всегда ли сумма углов треугольника равна 180°? Как можно усомниться в этом? Случалось ли кому-нибудь видеть треугольник с иной суммой углов? Как можно представить себе такой треугольник? Впрочем, доказать, что сумма углов треугольника равна 180°, совсем просто. Не лучше ли мне отказаться от участия в сомнительной затее моего нового знакомого? Потом отделаться от него будет гораздо труднее. А что если я попытаюсь разыграть из себя маньяка, одержимого какой-то другой бессмысленной навязчивой идеей, и заговорю с доктором Пункто о ней?

За этими размышлениями я провел бессонную ночь. Я намеревался придумать какую-нибудь отговорку, сослаться на неожиданный срочный вызов, в крайнем случае сказать, что умер кто-то из членов семьи, чтобы любым путем уклониться от встречи с тем, кто завтра с самого раннего утра будет стоять у моей двери. Однако стоило мне лишь увидеть вчерашнего гостя, как я вновь ощутил к нему такое доверие, что, не колеблясь, принял приглашение отправиться вместе с ним, о чем до сих пор не жалею.

Место, куда привел меня доктор Пункто, находилось за городской чертой. Наблюдательные пункты, расположенные на большом расстоянии друг от друга, образовали там триангуляционную сеть. Мы находились на наблюдательном пункте А. Оттуда при помощи новейшего прибора для измерения углов можно было определить углы между направлениями АВ, AC, AD, АЕ и AF. Мой провожатый попросил меня измерить угол между направлениями на пункты С и D. Я с удовольствием выполнил его просьбу, а заодно измерил и четыре остальных угла.

— Сумма всех пяти измеренных мной углов, естественно, должна быть равна 360°, — заметил я.

— Ну что же, проверим сначала сумму, — сказал мой новый друг (почему бы мне, в самом деле, не называть так доктора Пункто?).

^{Триангуляционная сеть — пространство, разбитое на треугольники.}

Мы сложили полученные величины углов и получили в результате величину, которая хотя и очень незначительно, но все же отличалась от 360°.

— Разумеется, ровно 360° не удается получить никогда, — заметил мой спутник, — ибо любое измерение, сколь бы тщательно мы его ни производили, неизбежно содержит некую малую ошибку. Она так и называется — ошибка измерения. Поэтому и сумма пяти измеренных углов никогда не бывает в точности равна 360°: она то меньше, то больше. У опытного наблюдателя отклонения меньше, у неопытного больше, но даже тот, кто производит измерения особенно тщательно, неизбежно совершает некоторую ошибку, хотя и очень малую.

— Об этом вы могли бы и не рассказывать, — заметил я. — Что существует ошибка измерения, мне хорошо известно.

— Тогда вам должно быть понятно, — продолжил свои объяснения мой собеседник, — что в том случае, когда одно и то же измерение приходится повторять несколько раз подряд, результаты получаются разными: одни больше, другой меньше.

— Разумеется, — согласился я, — но может случиться и так, что результаты нескольких последовательных измерений одной и той же величины окажутся одинаковыми…

— А затем, — подхватил мой друг, — снова появится меньшее или большее значение. И добавил:

— До сих пор все, о чем мы с вами говорили, было понятно. Вот теперь и начинается самое удивительное. Если мы перейдем в пункт С и измерим угол между направлениями CD и СА, а затем перейдем в пункт D и измерим угол между направлениями DC и DA и, наконец, вычислим сумму всех трех измеренных нами углов треугольника ACD, то…

— У нас должно получиться 180°, — закончил я фразу. — Вычисленная нами сумма окажется не в точности равной 180°, а будет отличаться от 180° либо в большую, либо в меньшую сторону на малую величину.

— Вы правы: так должно быть, — согласился мой друг, — но так не получается. Вычисленная мной сумма всегда оказывалась больше 180°, причем отклонение было слишком велико для того, чтобы его можно было приписать ошибкам измерения.

— Следовательно, — заключил я, — обнаруженное вами отклонение обусловлено не ошибками измерения и должна существовать более глубокая причина, по которой сумма углов треугольника ACD действительно больше 180°.

Я рассуждал здраво и логически безупречно, но все же, произнеся эти слова, невольно сам испугался их. Как это может быть? Что я, собственно, утверждаю? Сумма углов треугольника больше 180°! Но такое невозможно! Что делать, как быть?!

Доктор Пункто заметил мое замешательство. Он улыбнулся и сказал:

— Всё правильно! Именно к такому выводу пришел и я. Вы рассуждаете правильно, но… может ли быть такое? Нельзя же думать, что нам впервые удалось открыть треугольник, у которого сумма углов больше 180°! Такой вывод противоречит здравому смыслу. Такой вывод противоречит основам геометрии! Однако сумма углов оказывается больше 180° не только у треугольника ACD, но и у всех треугольников триангуляционной сети. В чем здесь дело, я не знаю. Может быть, вам удастся понять, чем вызван столь необычный результат? Может быть, вы можете хотя бы подсказать, в каком направлении следует искать решение этой загадки?

— Уж не послужило ли сделанное вами открытие причиной вашей отставки? — спросил я.

— Да, меня уволили именно из-за этого, — подтвердил доктор Пункто. — Отказались верить результатам моих измерений. Потребовали объяснений. Я рассказал все, о чем знал. Меня выслушали. Я видел, что многие смотрят на меня с сочувствием: либо я мошенник, либо душевнобольной. Сумма углов треугольника равна 180° и ничему другому. Но, клянусь святой Окружностью, я и сам знал об этом не хуже их! Мои судьи сочли, что, коль скоро я способен представить такие результаты измерений, мне никак не подобает занимать пост директора Тригонометрической службы.

— Но ведь здесь нет никакой подтасовки данных! — возмутился я.

— Мне особенно приятно слышать это от вас, — с достоинством заметил доктор Пункто. — По правде говоря, ничего другого я и не ожидал. Разумеется, мне не составляло никакого труда подтасовать результаты измерений так, чтобы скрыть обнаруженную невязку, но, совершив подобный подлог, я поступил бы против собственной совести.

— Кроме того, — добавил я, — не исключено, что впоследствии другой наблюдатель обнаружил бы расхождение между 180° и суммой измеренных углов треугольника и тогда ваш обман раскрылся бы.

— Вы правы, — такая возможность существует всегда, — признал доктор Пункто. — Нет, я действительно не мог поступить иначе.

— Есть еще один выход из создавшегося положения.

— Какой? — с интересом спросил доктор Пункто.

— Заявить, что ваши измерения были произведены с малой точностью и, следовательно, полученные результаты носят лишь приближенный характер. Тогда вопрос о невязке отпадает сам собой и все данные не будут противоречить геометрии.

— Такой выход действительно возможен, но лично мне он претит. Я выполнил работу с величайшей тщательностью и представил результаты измерений, произведенных с величайшей точностью. Я не могу поступить иначе и считаю, что только так следует относиться к своим обязанностям.

— Полностью разделяю ваше мнение, — успокоил я доктора Пункто. — Я отношусь к исполнению своих обязанностей точно так же.

Наступило продолжительное молчание. Каждый из нас был погружен в свои мысли. Первым нарушил тишину я:

— Давайте подумаем над тем, что следует сделать в первую очередь. Я предлагаю как можно точнее исследовать обнаруженное явление.

Доктор Пункто с энтузиазмом воскликнул:

— Мой лучший друг! Не часто случается в жизни неожиданно обрести в зрелые годы настоящего друга. Друзьями в большинстве случаев становятся в юности, но я чувствую, что именно теперь у меня появился настоящий друг. Позвольте мне называть вас своим другом. Мой лучший друг! Не могу выразить, как я благодарен вам за ваше предложение, за вашу готовность помочь мне, за ваше согласие посвятить свое время и свой разум решению проблемы, затронувшей лично меня.

— Эта проблема затрагивает не только вас, — возразил я. — Речь идет о научной проблеме из области геометрии, которая меня чрезвычайно заинтересовала. Я охотно присоединяюсь к вам. Как два друга, мы совместными усилиями постараемся решить проблему, с которой вы столкнулись, или по крайней мере по возможности ясно и кратко изложим основные этапы своих поисков, чтобы впоследствии кто-нибудь мог воспользоваться нашими результатами.

— Позиция, достойная подлинного ученого! — одобрил мою речь доктор Пункто. — Вперед, за работу!

— Прежде всего, — попросил я, — объясните, почему обнаруженную вами невязку не замечали раньше. Относите ли вы это за счет погрешностей в прежних методах измерений или усматриваете причину в чем-то ином?

— Ответить на ваш вопрос очень просто. Существующие ныне методы измерений и новейшие приборы позволяют достичь большей точности, но нельзя отрицать и другое: отклонения суммы измеренных углов треугольника от 180° столь велики, что их вполне можно было обнаружить и раньше.

— А как, по-вашему, почему столь интересное явление все же оставалось незамеченным? Может быть, в этом проявилась боязнь признать странные, непонятные результаты измерений?

— Вполне возможно, — согласился доктор Пункто. — Признав правильность измерений, мы тем самым бросаем вызов тем, кто производил измерения до нас, а нам бы не хотелось делать этого без крайней необходимости.

— Займемся в таком случае поиском другой причины, — продолжал я. — Приводили ли прежние наблюдатели лишь округленные результаты измерений или выписывали столько десятичных знаков, сколько им удавалось получить?

— Я специально интересовался этим. У меня сложилось впечатление, что каждый наблюдатель приводил полученные им результаты с максимальной точностью, которой ему удавалось достичь. Тем не менее мне не довелось встретить ни одного упоминания о том, что величина суммы углов треугольника может быть значительно больше 180°. Малые же отклонения, естественно, можно приписать ошибкам измерения.

— Необходимо выяснить, в чем состоят различия между старыми и новыми методами измерений. Короче говоря, что не так или делается не так, как раньше?

— Между старыми и новыми методами измерений существует одно большое различие. Раньше измерения производили на маленьких, а теперь на больших треугольниках.

— Тогда нам прежде всего необходимо выяснить, как влияет на результаты измерений величина выбранных для триангуляции треугольников. Каким образом мы могли бы это сделать? Вы сейчас находитесь в отставке, следовательно, не можете производить изменения — у вас нет для этого ни приборов, пи помощников. А коль скоро это так, то не существует ли какого-нибудь иного способа раздобыть все необходимое?

— Надеюсь, — вздохнул доктор Пункто, — что мои бывшие сотрудники, когда я расскажу им, в чем дело, охотно согласятся произвести нужные измерения.

— Прекрасно, — сказал я. — Буду ждать вас у себя дома вместе с результатами измерений. Там мы сможем подробно обсудить наши дальнейшие планы.

Мы расстались как лучшие друзья. Я был убежден, что господин Пункто исполнит все пунктуальнейшим образом и в кратчайший срок, и не ошибся.

18. НЕРАЗРЕШИМАЯ ЗАДАЧА.

Прошла целая неделя, прежде чем мой друг Пункто навестил меня, чтобы обсудить полученные им данные. За это время он успел построить множество больших и малых треугольников и с высокой точностью измерить их углы. Сумма углов у больших треугольников неизменно оказывалась больше 180°, причем с увеличением размеров треугольника невязка возрастала. У маленьких треугольников отклонение суммы их углов от 180° было столь незначительным, что обнаружить его не удалось.

Немало часов я провел, проверяя выкладки доктора Пункто, по не нашел ни одной ошибки.

— Отсюда следует, — констатировал я, — что собранные вами факты можно считать твердо установленными и теперь мы вправе перейти к следующему этапу.

— Боюсь, что в дальнейшем ничем не смогу быть вам полезным, — огорченно заметил доктор Пункто. — Все по-прежнему выглядит весьма странно, и мы не располагаем ни малейшим намеком на то, в каком направлении надлежит искать объяснение.

— Без вас мы не сможем продвинуться ни на шаг, — заверил я его. — Прежде всего факты, объяснение придет потом. Мы на правильном пути, и я не сомневаюсь в том, что в конце концов нам удастся найти истину.

Мы сидели до поздней ночи, перебирая всевозможные гипотезы, но безрезультатно. Случай был поистине удивительный! Мы условились, что до следующей встречи, назначенной через три дня, каждый из нас попытается самостоятельно обдумать факты, после чего мы обменяемся идеями. Даже в том случае, если они окажутся неудачными, ошибка одного вполне может навести другого на верную мысль. Мы сердечно распрощались и расстались в полной уверенности, что совместными усилиями найдем выход из лабиринта.

Излишне говорить о том, что все три дня я провел в напряженных размышлениях. Ежедневно, прежде чем заснуть, я подолгу обдумывал проблему в надежде увидеть во сне какую-то подсказку, которая бы помогла ее решить или хотя бы направила поиски решения по правильному пути. Но все было напрасно. Днем я пытался выстроить в логической последовательности все известные мне факты, но каждый раз заходил в тупик: логика была бессильна найти ответ на столь «нелогичный» вопрос. Погруженный в свои размышления, я забыл обо всем на свете. Перед моим мысленным взором мелькали разнообразнейшие треугольники: большие и маленькие, правильные и неправильные, тупоугольные и остроугольные. Каждый из них я обходил по периметру, измерял все углы и принимался за следующий.

Мои близкие, не желая мне мешать, и не пытались пробудить меня от грез наяву. Но порой мне случалось ловить на себе их удивленные взгляды. Я не слышал, когда ко мне обращались, и в ответ неизменно задавал один и тот же сакраментальный вопрос: «Не могли бы вы указать треугольник, у которого сумма углов больше 180°?».

На утро третьего дня (того самого, на который у меня была назначена встреча с моим другом Пункто) ко мне в кабинет заглянул мой внук.

— Дедушка, — сказал он, — не знаю, смогу ли я помочь тебе, но вчера ты все время спрашивал о треугольнике, сумма углов которого больше 180°.

— Да, — подтвердил я, — и мне хорошо известно, о чем ты сейчас думаешь. Ты, естественно, считаешь, что твой старый дедушка выжил из ума. Я и сам прекрасно знаю, что мой вопрос звучит бессмысленно, но это, поверь мне, далеко не так. Я пытаюсь найти ответ на один вопрос и не знаю толком, математический он или философский, а для того чтобы найти ответ, мне необходимо своим глазом увидеть треугольник, у которого сумма углов была бы больше 180°.

— Дедушка, — воскликнул мой внук, — я прекрасно понимаю, что какой бы обычный треугольник мы ни взяли, сумма его углов не будет отличаться от суммы углов любого другого обычного треугольника. Треугольник, который нужен тебе, должен быть необычным треугольником, ибо лишь у необычного треугольника может быть необычное свойство. Если ты разрешишь, я нарисую один такой треугольник.

Хотя я не возлагал особых надежд на помощь со стороны представителя младшего поколения, тем не менее мой утвердительный ответ на его просьбу был продиктован не только любовью к внуку, но и любопытством: мне не терпелось узнать, что за необычный треугольник выдумал мой внук. Мальчик был очень польщен, увидев, что дед проявляет к его открытию искренний интерес, и тотчас же принялся рисовать «необычную» фигуру.

— Дедушка, вот треугольник, у которого сумма углов больше двух прямых углов.

^{Треугольник, нарисованный моим внуком. Сумма углов такого треугольника больше 180°.}

— Да, но у твоего треугольника стороны не прямые, — возразил я.

— В этом и заключается мое открытие, — заявил юный геометр. — Нужно же было придумать нечто необычное для того, чтобы ответить на необычный вопрос.

— Что касается необычности, то тут мы квиты, — вынужден был признать я. — Но должен тебе сказать, что до сих пор мне никогда не приходилось видеть треугольники с кривыми сторонами.

— А ты в этом уверен? — спросил мальчуган.

Услышав вопрос внука, я даже рассердился. Мне ли не быть уверенным! Производя измерения на местности, мы даже не проводили стороны треугольников, а провешивали с помощью измерительных приборов прямые, вдоль которых свет распространялся от одного наблюдательного пункта к другому, а свет, как известно, распространяется вдоль прямых. На этом все и основано!

Разумеется, я не стал выказывать признаков недовольства, ибо меня очень обрадовало, что мой внук изъявил желание помочь мне. И хотя его «необычный треугольник» не позволил мне продвинуться ни на шаг дальше, он все же отвлек меня от безрадостных мыслей, от безнадежно запутанных рассуждений, в которых я беспомощно блуждал по замкнутому кругу, не видя выхода. Вечером придет мой друг. Мы обсудим с ним загадочную проблему, к которой я по-прежнему не знаю, как подступиться. Может быть, ему удалось придумать нечто новое?

19. НЕОБЫЧНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ.

Мои надежды на то, что господину Пункто удалось набрести на какую-нибудь удачную идею, оказались напрасными. По его словам, он все три дня провел в размышлениях над проблемой, но, насколько я понял из его объяснений, во всем, что касалось поиска решения, всецело положился на меня. Доктор Пункто считал, что я, внук знаменитого Квадрата, должен обладать незаурядными способностями и уметь решать самые необычные проблемы, в особенности те, перед которыми бессильна традиционная геометрия. Хотя столь высокое мнение о моих способностях не могло не польстить мне, я все же был несколько раздосадован тем, что доктор Пункто занимался проблемой, если можно так выразиться, «не в полную силу». Я высказал ему свое недовольство, но он со смехом упрекнул меня в том же, и мне не оставалось ничего другого, как признать, что не имею ни малейшего представления, в каком направлении надлежит продолжать поиски решения. Я не мог похвастаться ни тем, что мне известен правильный подход к решению проблемы, ни даже тем, что знаю, как хотя бы немного продвинуться к цели.

— О решении говорить преждевременно, — сказал мой гость. — Пути к нему мы выясним позже. Пока же нам требуются самые необычные идеи, которые позволят построить треугольники со свойствами, отличными от привычных нам свойств треугольников. В построении таких треугольников — один из возможных шагов на пути к решению интересующей нас проблемы. Если бы мне удалось придумать такую фигуру, что ее хотя бы с известной натяжкой можно было назвать треугольником и сумма ее углов при этом была бы больше 180°, то я считал бы выход из тупика, в котором мы находимся, найденным. Однако, как я ни старался, мне так и не удалось придумать фигуру, обладающую нужными свойствами.

— Да, — вынужден был признать я, — ваша точка зрения вполне приемлема. Но коль скоро все упирается в построение «треугольника» с нужными свойствами, то у меня для вас кое-что есть.

С этими словами я предъявил доктору Пункто треугольник с изогнутыми сторонами, который нарисовал мне мой внук.

Пункто внимательно выслушал меня, тщательно осмотрел треугольник с криволинейными сторонами и… не засмеялся! После длительного молчания он произнес:

— Может быть, это первый шаг к решению. Сумма углов данного треугольника действительно больше 180°. В этом смысле задача решена. Вопрос лишь в том, допустимо ли рассматривать треугольники с изогнутыми сторонами.

— Разумеется, недопустимо, — заметил я несколько раздраженно. — Ведь если я не ошибаюсь, свет распространяется вдоль прямых.

— Вы совершенно нравы, — невозмутимо ответил Пункто. — Найдено решение лишь частичной проблемы, но оно может оказаться ложным.

Мы еще долго, на протяжении нескольких часов, обсуждали проблему, но безрезультатно. Прощаясь со мной, доктор Пункто сказал:

— Попробуем кратко сформулировать, как нам представляется положение вещей в данный момент. Из наблюдений нам известно, что сумма углов треугольников, измеренных на местности, не равна 180°, а больше 180°, причем невязка возрастает с увеличением размеров треугольника. У треугольников больших размеров она больше, чем у треугольников меньших размеров. Это во-первых. Во-вторых, можно предполагать, причем без особой уверенности, что подобная невязка встречается у треугольников, стороны которых не прямолинейны.

— Таков печальный итог наших размышлений, — подтвердил я.

— Итог не окончательный, — оптимистически заметил доктор Пункто.

— Что нам делать дальше? — спросил я. — Снова три дня предаваться размышлениям в ожидании, что кому-нибудь из нас придет в голову еще одна удачная идея? Окажется ли она удачнее первой?

— Да, такая перспектива не слишком привлекательна, — согласился доктор Пункто. — По-видимому, нам лучше поговорить с другими людьми и посмотреть, как они будут реагировать на идею о криволинейных треугольниках.

— Не обратиться ли за советом к моему внуку? — саркастически произнес я. — Мне кажется, что это лучший способ беспредельно раздуть тщеславие мальчишки.

— Я с большей охотой послушал бы, — сказал мой друг, — как реагируют на интересующую нас проблему ученые мужи, в особенности математики. Нельзя ли заинтересовать их? Мы располагаем фактами, требуется найти их научное объяснение.

— Или опровергнуть эти факты, — добавил я.

— Думаю, что опровергнуть их невозможно, — возразил доктор Пункто, и я не мог с ним не согласиться, поскольку результаты измерений действительно были безупречны.

Нам казалось, что лучше всего привлечь к интересующей нас проблеме внимание членов физико-математического факультета нашего университета. Я вызвался разыскать математиков и физиков, которые бы выразили готовность ознакомиться с проблемой.

20. НА ФАКУЛЬТЕТЕ.

Вопреки ожиданиям я без труда справился со своей задачей. Я думал, что факультет поручит кому-нибудь из специалистов выслушать наши «свидетельские показания» по поводу необычайных событий, но все вышло иначе. Доктора Пункто и меня пригласили на собрание всего факультета, с тем чтобы мы могли изложить там свои взгляды.

В назначенное время мы в отличном расположении духа отправились на высокоторжественный форум, но, войдя в зал, почувствовали себя, как подсудимые перед началом разбирательства. Мы не могли отделаться от ощущения, что пригласили нас лишь для того, чтобы, пользуясь удобным случаем, пресечь распространяемую нами ересь, осудив ее в официальном решении общего собрания факультета. Это ощущение не покидало нас на протяжении всего заседания.

Сначала председатель предоставил слово доктору Пункто, назвав его «бывшим землемером». Доктор Пункто не без сарказма исправил ошибку председателя, сказав, что в настоящее время он имеет честь носить звание «бывшего главного землемера, экс-директора Центральной Тригонометрической службы». Председательствующий реагировал на это замечание лишь краткой фразой «Вам слово», после чего доктор Пункто спокойно, строго придерживаясь фактов, рассказал обо всем, что произошло. Он сообщил собравшимся, что, согласно проведенным под его руководством измерениям, сумма углов треугольника оказалась больше 180°, причем отклонение от 180° тем больше, чем крупнее размеры треугольника. Никогда ранее, подчеркнул он, такое отклонение не наблюдалось, поскольку в прежние времена измерения производились на маленьких треугольниках и упомянутое выше отклонение превышало ошибки измерений. Доктор Пункто заявил, что отбрасывать серию произведенных под его руководством измерений на том лишь основании, что они приводят к парадоксальному выводу, не следует, ибо, по его мнению, необходимо попытаться найти научное объяснение столь странному явлению.

После того как доктор Пункто ясно и понятно изложил все имевшиеся в нашем распоряжении факты, слово попросил ученый-математик по имени Эрго. Путем весьма длинных и сложных рассуждений он доказал, причем вполне правильно, что наука, вообще говоря, призвана заниматься поиском объяснений экспериментально наблюдаемых фактов, а факты, о которых упоминал в своем выступлении доктор Пункто, такого рода, что науке следует незамедлительно отказаться от их рассмотрения. Сумма углов любого треугольника равна 180°, или двум прямым углам. Это доказали еще в глубокой древности, поэтому каждому ясно, что сумма углов треугольника не может принимать другое значение. А коль скоро некая серия измерений приводит к противоречию с одним из основных принципов науки, то эта серия измерений ошибочна. Ученые не обязаны заниматься поиском ошибок. Это должны сделать сами наблюдатели, допустившие вопиющую небрежность! Факультет не должен заниматься столь недостойным делом. Принять участие в подобной затее означало бы нанести ущерб престижу факультета.

Затем слово взял ученый-физик профессор Суппосо. Мы сразу же почувствовали, что выступает человек совсем другого склада. Профессор Суппосо все свое выступление построил на том, что в естественных науках, и в частности в физике, нередко приходится иметь дело со странными на первый взгляд результатами, которые при ближайшем рассмотрении оказываются верными. По его мнению, задача физики в том и состоит, чтобы отыскивать факты, кажущиеся невероятными, и затем пытаться найти им объяснение. Факты, приведенные доктором Пункто, весьма необычны, продолжал свои рассуждения профессор Суппосо, ибо они затрагивают основы основ математики, но тем не менее мы должны отнестись к ним с величайшей благосклонностью. Нам следует задать себе вопрос: можем ли мы представить себе треугольник, у которого сумма углов была бы больше 180°? Никогда еще нам не доводилось видеть такой треугольник ни в действительности, ни в воображении. Следовательно, чтобы обладать столь необычайными свойствами, сами треугольники должны быть весьма необычными. Может ли кто-нибудь из присутствующих опрокинуть существующие многократно проверенные научные представления и указать нам или начертить такой треугольник? Если никто не в состоянии сделать это, то я считаю вопрос исчерпанным. Однако если кому-нибудь все же удастся построить такой треугольник, то я с радостью приму участие в дальнейшем обсуждении.

Ободренный выступлением профессора Суппосо, я попросил слово и, когда мне его предоставили, произнес следующую речь:

— Уважаемые господа, высокоученые члены прославленного факультета! Позвольте мне высказать одно-единственное замечание по поводу выступления предыдущего оратора. Я в состоянии начертить треугольник, обладающий требуемым свойством. Предыдущий оратор уже отметил, что этот треугольник должен быть странным, необычным. Вот я и намереваюсь продемонстрировать вам треугольник не с прямолинейными, а с криволинейными сторонами, у которого сумма углов больше 180°.

На какое-то мгновение в зале воцарилась тишина. Пользуясь паузой, я начертил криволинейный треугольник.

— Позволю себе заметить, — возразил господин Эрго, — что свет в нашем мире распространяется вдоль прямых и поэтому стороны треугольников, используемых при триангуляции, не могут быть искривленными.

Шум в зале мгновенно стих, когда слово вновь попросил Суппосо.

— Господин председатель, — сказал он, — я решительно не согласен с тем, что здесь только что утверждалось. Мы могли бы принять гипотезу о том, что свет распространяется не прямолинейно, а криволинейно, но, прежде чем совершить такой шаг, необходимо выяснить, не противоречит ли такая гипотеза другим явлениям. У меня подобная гипотеза вызывает возражение по совершенно иной причине. Рассмотрим любые два треугольника в триангуляционной сети, имеющие общую сторону, например треугольники ABC и BCD. Для того чтобы сумма углов треугольника ABC была больше 180°, сторона ВС должна быть изогнута наружу, то есть вправо. Но треугольник BCD должен обладать тем же свойством, что и треугольник ABC. Сумма углов этого треугольника также должна быть больше 180°, то есть сторона ВС должна быть изогнута влево. Ясно, что сторона ВС в одно и то же время не может быть изогнута и вправо, и влево. Следовательно, объяснение, предложенное нашим гостем, несостоятельно.

^{Сторона ВС не может в одно и то же время быть изогнутой вправо и влево.}

В ответ на это замечание я не мог возразить решительно ничего. Рассуждения Суппосо казались мне столь обоснованными, что я готов был отказаться от своей гипотезы. Больше сказать нам было нечего, ибо у моего друга Пункто также не осталось в запасе ни одного аргумента.

С притворным сочувствием и скрытой издевкой председательствующий подвел итог дискуссии:

— Вы видели, господа, что факультет не жалел ни сил, ни времени для рассмотрения вашей проблемы, но безрезультатно. Вам не остается ничего другого, как попытаться самим найти ошибки в произведенных вами измерениях. Ученые не могут тратить время на решение подобных вопросов. Факультет требует лишь, чтобы вы осознали свои заблуждения, не пытались за нашей спиной упрекать ученых в недостаточно доброжелательном отношении к вам и не выставляли нас в ложном свете. Если же вы не внемлете нашему дружескому предостережению, мы незамедлительно примем меры, дабы восстановить справедливость, и привлечем клеветников к ответу. Не смею вас больше задерживать, господа!

Ни один из нас не нашел, что ответить. Мы покинули зал и побрели к дому. На душе было скверно. Мы проиграли сражение. И все же нашим противникам не удалось убедить нас в том, что мы неправы. Наоборот, все факты были в нашу пользу, и науке рано или поздно придется найти им объяснение. Я пригласил доктора Пункто зайти ко мне, чтобы обсудить дальнейшие планы.

Войдя в мой кабинет, мы вновь почувствовали себя легко и непринужденно. Враждебный мир был где-то далеко за его стенами. Мы долго сидели, погруженные в свои мысли, пока доктор Пункто не нарушил молчания. В его словах снова прозвучал присущий ему неисчерпаемый оптимизм.

— Встреча с учеными, — заметил он, — оказалась все же небесполезной. Эрго, человек старой закалки, просто отбрасывает все, что ему непонятно, но Суппосо сказал гораздо больше, и кое над чем из его рассуждений нам следовало бы подумать. Суппосо хотел бы увидеть треугольник, обладающий необычными свойствами. В случае необходимости он готов даже довольствоваться треугольником с изогнутыми сторонами. Его не устраивает лишь направление, в котором изогнуты стороны треугольника, ибо оно приводит к противоречию. Я не знаю, каким образом мы сможем преодолеть эту трудность, поскольку рассуждения Суппосо мне кажутся безупречными. Если какая-то линия не может быть изогнута ни влево, ни вправо, то она вообще не может быть изогнута, поскольку другого направления, в котором она могла бы изогнуться, не существует.

— Ни влево, ни вправо, а другого направления не существует, — повторил я вслед за доктором Пункто. — Другого направления не существует… Впрочем постойте! Мы просто привыкли думать, что другого направления не существует. Его лишь нельзя наглядно представить себе, но оно существует. Это недоступное непосредственному созерцанию направление перпендикулярно нашему миру. Линии могут казаться нам прямыми, но в действительности быть незаметно для нашего глаза изогнутыми в третьем направлении! Так вполне может быть! А в нашем случае просто не может быть иначе!

— Я не вполне понял то, что вы сейчас сказали, — произнес доктор Пункто, — но если интуиция меня не обманывает, вы видите некое решение проблемы.

— «Вижу» — не то слово, — поправил я своего друга. — К сожалению, я не вижу решения, ибо мне не дано его видеть, но разумом понимаю, каким оно должно быть. Позвольте мне еще немного поразмыслить, а завтра мы продолжим разговор.

На этом мы расстались. Настроение у нас обоих было отличное.

21. СОН О ЦИРКУЛЬЛАНДИИ.

Быть может, ночь принесет окончательное решение или хотя бы направит мои мысли в нужную сторону? Ведь ночью во сне нам часто приходят в голову такие логические ходы, до которых мы никогда не додумались бы наяву!

Я возлагал на ночь большие надежды. Ошибиться было невозможно: истина где-то рядом. Правильное решение было теперь настолько близко, что мой разум мог совершить последний шаг и во сне. Я счел полезным еще раз мысленно перебрать основные пункты своих рассуждений. Итак, что мы имеем? Я должен воочию представить себе треугольник, у которого сумма углов больше 180°. Стороны такого треугольника не могут быть прямыми. Они должны быть изогнутыми, непременно изогнутыми, не влево и не вправо, но изогнутыми! Не представляю! Не могу представить! То, что не изогнуто ни вправо, ни влево, но все же изогнуто, мне просто не дано видеть. Стороны такого треугольника изогнуты в некоем невидимом направлении. Изогнуты в невидимом направлении! Как это? Можно ли мысленно представить себе направление, недоступное непосредственному созерцанию? Да, конечно! В нашем мире есть два направления, но Сфера спускается к нам по третьему, не видимому для нас, но вполне видимому для нее направлению, перпендикулярному нашему миру. Не могут ли стороны треугольника быть изогнутыми в третьем, не видимом для нас направлении?

Для нас, живущих в двумерной Флатландии, такое искривление было бы совсем незаметно. Это проще понять, рассмотрев мир одного измерения — Лайнландию. Может ли там существовать некое искривление, не видимое ее обитателям, но заметное для нас?

И тут я увидел перед собой Лайнландию, но не прямую, а изогнутую в виде огромной окружности! Собственно говоря, это была уже не Лайнландия, а Циркульландия! Взгляните! Ее обитатели движутся то в одну, то в другую сторону, но не в силах сойти со своей окружности. Сколько самоуверенности слышится в их жужжании. Ха, а вот и король!

— Сир! — обратился я к монарху. — Ваше величество! Выслушайте меня!

— Кого это я должен выслушивать? — возмутился король. — Я никого не вижу. Уж не того ли злого волшебника, который несколько лет назад поставил под угрозу самое существование моего государства, но успел вовремя скрыться? Пусть он лучше не попадается мне на глаза! Я ему покажу!

— Ваше величество! — произнес я. — Я то самое лицо, о котором вы говорите, но я не только не злой, по даже и не волшебник. Я пришел к вам из мира двух измерений.

— Нет, вы только послушайте, что, говорит этот призрак, дух или кто бы он там ни был! Мир двух измерений? Но ведь существует лишь один мир, и он имеет лишь одно измерение. Это мой мир, я правлю им как король и не потерплю возражений ни от моих подданных, ни от кого другого, будь он призрак, дух или волшебник!

^{Циркульландия.}

— Да послушайте же вы, могущественный владыка! — попытался я прервать короля.

— Вот это обращение по крайней мере учтиво, — откликнулся король. — Я господин и повелитель всего мира, и, естественно, мое могущество беспредельно. Что вам от меня нужно? Уж не хотите ли вы снова завести разговор о другом мире, откуда вы якобы явились? Пустая болтовня! Меня вы не проведете.

— Нет, на этот раз я хотел бы поговорить с вами о вашем собственном мире, — сказал я.

— Прекрасно, — обрадовался король. — Я постараюсь вам как можно понятнее рассказать, как выглядит мой мир. Мне ли не знать его! У вас, насколько я мог понять, совершенно превратные представления о моем мире.

— Слушаю вас, ваше величество.

— Все очень просто, — начал король и добавил менее любезно: — По крайней мере для того, у кого есть разум.

— Слушаю вас внимательно, — произнес я, делая вид, будто не заметил монаршей колкости.

— Мой мир, — начал король, — единственный и неповторимый, ибо другого просто нельзя себе представить. Где разместился бы другой мир? Для него просто не остается места…

— Где же в таком случае нахожусь я? — пришлось мне прервать королевскую речь. — Разве не вне вашего мира?

— Где вы и откуда появились, я не знаю, — сказал король. — Может быть, вы вообще не существуете и лишь снитесь мне.

— Разве вы забыли, как однажды я слегка дотронулся до ваших внутренностей? — спросил я. — Ведь коснуться их может лишь тот, кто приближается к вашему миру извне. Если угодно, я могу повторить.

— Глупости, — сердито заметил король. — У человека всегда может быть приступ колик. Из этого вовсе не следует, что кто-то непременно должен был дотронуться до его внутренностей извне, из другого мира. Чушь!

— Хорошо, не будем спорить. Расскажите мне лучше, какую форму имеет ваш мир.

— Форма! Форма! Какая бывает форма? Каждое существо может быть длиннее или короче. Как, по-вашему, существа разной длины имеют различную форму? Все существа, независимо от их размеров, находятся в бесконечно большом мире, ибо наш мир беспредельно велик. В обе стороны он простирается до бесконечности.

— Позвольте задать вам еще один вопрос, уважаемый король. Откуда вы знаете, что ваш мир бесконечно велик?

— Странный вопрос! А как может быть иначе? Коль скоро мир возник в одном месте, что может помешать ему распространяться дальше и дальше? Ведь прямую, сколько ни продолжай, всегда можно продолжить еще дальше, причем неограниченно далеко. Это и есть то, что принято называть бесконечностью.

— А каким образом вы умудряетесь получать сообщения от существ, находящихся от вас бесконечно далеко? Смогли бы вы получить хотя бы один сигнал, свидетельствующий о том, что и в бесконечности есть жизнь?

— Нет, разумеется, нет! Но поскольку у вас есть разум и вы наделены хотя бы некоторой способностью рассуждать логически, то вам все будет понятно. Хотя мир простирается до бесконечности, ниоткуда не следует, что и в бесконечности он обитаем. Даже если бы мы предположили, что на бесконечно большом удалении от нас обитают живые существа, то мы все равно не смогли бы заметить никаких признаков жизни, ибо испускаемые ими вопли дошли бы до нас через бесконечно большой промежуток времени. Кроме того, с увеличением расстояния громкость звука слегка ослабевает. Существует определенная граница, за которой мы перестаем слышать звук. Если вы наделены разумом, то сказанного мной достаточно для того, чтобы у вас создалось представление о том, как выглядит мир. Есть ли у вас еще вопросы ко мне, незнакомец?

— Вопросов больше нет, — ответил я, — зато мне хотелось бы кое-что вам сообщить. Во-первых, я хотел бы заметить, что ваш мир не прямой, а искривленный. Во-вторых, ваш мир не бесконечен, а конечен. По форме он совпадает с фигурой, которую мы, флатландцы, называем окружностью.

— Каким образом, — перебил меня король, — мир может не быть бесконечным? Даже если он ограничен, то должно же быть что-то и за границей мира?

— Ваш мир не бесконечен, — поучительно заметил я, — но он неограничен. Ваш мир образует замкнутую кривую, которая не имеет ни конца, ни начала. Если бы другие обитатели вашего мира не стояли у вас на пути и вы могли бы беспрепятственно двигаться в одном и том же направлении, то спустя некоторое время вы вернулись бы на исходное место.

— Не понимаю, как это может быть, — признался король.

— Здесь-то как раз все ясно, — возразил я, — впрочем, я вас не виню. Ваш мир конечен, поскольку представляет собой окружность — замкнутую кривую.

— Неужто мир искривлен? — спросил король. — Трудно в это поверить!

— Представить себе искривленный мир вы действительно не в силах. Ваш линейный мир искривлен в направлении, которое недоступно вашим ощущениям, ибо оно перпендикулярно вашему миру. Если бы кривизна была значительнее, а мир соответственно очень маленьким, то вы могли бы наблюдать замечательное явление, не уходя для этого далеко от своего «насиженного» места: звук следовал бы вдоль вашего мира, то есть распространялся бы вдоль кривой.

— Мне иногда кажется, что вы нарочно несете несусветную чушь, — сказал король. — Звук следовал бы вдоль нашего мира… А как ему еще следовать? Вы называете это «распространением вдоль кривой». Какая нелепость! Просто невероятно! Кроме того, я не понимаю, что означает слово «кривая». Любой мальчишка в Лайнландии объяснит вам, как происходит распространение звука в действительности.

— Звук в вашем мире распространяется не по кратчайшему пути, — попытался объяснить я. — Точнее говоря, путь, по которому он распространяется, является кратчайшим из возможных в вашем мире, но действительно кратчайший путь лежит за пределами вашего мира.

— Я снова вас не понимаю, — заявил король.

— А между тем это просто, — возразил я, — но не могу же я требовать от вас, чтобы вы поняли то, что не. можете себе представить. Не думаю, чтобы вы могли почерпнуть многое у меня, но я узнал от вас чрезвычайно много полезного.

— Вот уж чего никогда бы не сказал, судя по тому, что вы говорите, — не остался в долгу король.

— Вам этого не понять, — произнес я и исчез, или, лучше сказать, Циркульландия расплылась и скрылась во мраке ночи.

Я проснулся. Привидевшаяся мне во сне страна не давала покоя. Она была искривлена в направлении, которое обитатели одномерного мира не могли воспринимать, поскольку оно проходило перпендикулярно их миру.

Не так ли обстоит дело и с нашим двумерным миром? Может быть, стороны треугольников, которые кажутся нам прямыми, искривлены в третьем, не видимом для нас направлении? Такое искривление можно представить себе лишь мысленно, поскольку увидеть его своими глазами нам, флатландцам, не дано. Вот если бы попасть в третье измерение! Единственная возможность убедиться в искривленности треугольников — спросить об этом у Сферы, когда та навестит нас в следующий раз.

Я решил непременно это сделать.

22. ОТКРЫТИЯ СФЕРЫ.

Я еле дождался следующей встречи с доктором Пункто. Разумеется, он сразу понял причину моего хорошего настроения и спросил:

— Вам удалось найти решение?

— Нет, — ответил я, — кричать «Эврика!» еще рано, но я убежден, что мне удалось вплотную приблизиться к источнику наших затруднений. Странное явление, состоящее в том, что сумма углов треугольника больше 180°, можно, как я полагаю, объяснить, приняв следующее предложение. Стороны треугольника искривлены, но их кривизна незаметна. Подчеркиваю, незаметна для нас. Стороны треугольника искривлены в направлении, перпендикулярном нашему миру. Трехмерное существо может без труда это заметить. Нам, обитателям двумерного мира, сие не дано.

Затем я рассказал доктору Пункто о том, как во сне увидел Лайнландию, изогнутую в форме окружности, и как тамошний король не мог понять, что его мир искривлен.

— Вот если бы нам удалось разузнать об истинном положении вещей у какого-нибудь обитателя трехмерного мира, — мечтательно произнес доктор Пункто.

Это замечание навело меня на мысль пригласить моего друга к себе на встречу Нового года, где мы можем рассчитывать на свидание со Сферой.

Я посоветовался с женой, она не только не возражала, но и горячо одобрила мой план. Ведь встреча Нового года — праздник, который принято проводить в кругу семьи, предаваясь размышлениям о семейных радостях и невзгодах. Почему бы нам не пригласить на него нашего нового друга, чтобы не чувствовать себя духовными париями, изгнанными из научных кругов?

Старый год подходил к концу. Последние его недели показались мне месяцами, последние дни — неделями, но наконец наступил предновогодний вечер. Вся моя большая семья была в сборе: моя жена и я, дети и внуки. Пришел к нам и доктор Пункто. Его спокойная, уравновешенная натура, присущая ему непринужденная манера общения покорили всех, и мы чувствовали себя так, словно наша семья пополнилась еще одним членом.

Вечер прошел очень оживленно. Разумеется, я рассказал сказку, затем мы отведали окружностей, испеченных на масле. Время подошло к двенадцати, и мы принялись с нетерпением ожидать, когда пожалует Сфера. Для нашего гостя было непривычно созерцать ее появление: крохотная окружность раздувается, разрастается и наконец достигает максимальных размеров.

После обычного обмена приветствиями я позволил себе подчеркнуть, что нынешний визит Сферы мы ожидали с особым волнением, поскольку доктор Пункто и я столкнулись с важными проблемами, которые нам, по-видимому, удалось успешно решить. Однако подтверждение правильности наших предположений кем-нибудь из обитателей Трехмерия было бы чрезвычайно желательным.

Я начал свой рассказ. Сфера слушала меня с неослабным вниманием. Я упомянул о тех трудностях, с которыми столкнулся доктор Пункто при измерении углов треугольников. Чтобы подчеркнуть всю важность и необычность выводов, сделанных доктором Пункто из результатов наблюдений, я подробно остановился на злоключениях, выпавших на долю ученого. Затем я рассказал Сфере, какое объяснение придумали мы странному явлению, состоящему в том, что в нашем пространстве сумма углов треугольника оказалась больше 180°. Мы предположили, что стороны треугольника не прямолинейны, а искривлены, причем в направлении, перпендикулярном нашему пространству, в силу чего кривизна сторон незаметна наблюдателям-флатландцам.

Когда я закончил свой обзор, доктор Пункто счел необходимым сообщить нашему трехмерному гостю, что честь открытия столь необычайного решения всецело принадлежит мне. В свою очередь я воздал должное заслугам доктора Пункто. Именно он первым осознал, что обнаруженная невязка не принадлежит к числу случайных ошибок и имеет под собой геометрическую основу.

Нас очень интересовало, что скажет по поводу нашего сообщения Сфера. Довольно долго та молчала. Я понял, чем заняты мысли нашего гостя: он обдумывал, как в своих рассуждениях обойти ряд трудностей, которые для нас, двумерных существ, были значительно серьезнее, чем для обитателей трехмерного пространства. Когда Сфера начала свой рассказ, нам было необычайно приятно отметить, что она поняла и природу наших затруднений, и самый ход нашего решения.

— Более того, — заявила Сфера, — ваше решение абсолютно верно. Еще раз, находясь среди вас, я подумала о том, что настало время сообщить вам более подробные сведения о форме вашего пространства, но потом у меня возникли опасения: мне не хотелось без особой необходимости насильно перестраивать ваши основные геометрические представления. Теперь я могу рассказать вам, что ваш мир, двумерное пространство, не плоский, а искривленный. Я хотела бы также объяснить вам, что это означает. Внешне ваш мир выглядит не как ровная, а как изогнутая поверхность. К сожалению, ограниченность вашего двумерного восприятия не позволяет вам представить наглядно эту картину.

— Нам понятно, о чем вы говорите, — заверил я Сферу. — Обитателю Лайнландии неизвестно, имеет его мир форму прямой или кривой, потому что лайнландец лишен способности воспринимать направление, в котором искривлен его мир. Поэтому вполне может быть, что одномерная Лайнландия в действительности имеет форму окружности и, следовательно, обладает не бесконечной, а лишь конечной протяженностью, хотя и безгранична, то есть не имеет границ, или конечных точек.

— Совершенно верно, — обрадовалась Сфера. — Пользуясь случаем, замечу, что и ваш мир устроен аналогично: он не плоский, а искривленный. Вы живете не на бесконечно протяженной плоскости, а на поверхности большой сферы.

— Не могли бы вы рассказать об этом подробнее? — попросил доктор Пункто.

— Охотно, — согласилась Сфера и продолжала: — Вы знаете и понимаете, что окружность ограничивает некую часть двумерного пространства, а сама является одномерной кривой. Аналогично в Трехмерии сфера, трехмерное тело, ограничена двумерной поверхностью, которая так и называется — поверхность сферы.

— Аналогию можно продолжить, — добавил я. — Гиперсфера, четырехмерное тело, ограничена трехмерной гиперповерхностью.

— Вы, безусловно, правы, — согласилась Сфера, — хотя я не могу представить себе это наглядно так же, как вы — поверхность сферы.

— Итак, — вступил в беседу доктор Пункто, — если я правильно понял, наше пространство искривлено, всюду искривлено, хотя мы этого не замечаем?

— Совершенно верно, — подтвердила Сфера, — так же как искривлена всюду окружность, хотя обитающие на ней лайнландцы не ощущают искривленности своего пространства.

— Но мы же заметили кривизну своего пространства, — отважился заметить я.

— И да, и нет, — ответила Сфера, — Искривленности своего пространства вы бы никогда не заметили, да и не могли заметить. Вы обратили внимание лишь на одно из следствий, к которому приводит кривизна, но и то случайно. Поскольку ваше двумерное пространство искривлено и, следовательно, не является плоским, то сумма углов треугольника не равна 180°. Вы обратили внимание на это обстоятельство и сделали из него вывод, который я считаю необычайно остроумным. Однако, поскольку кривизна пространства недоступна непосредственному наблюдению, ваш вывод оставался не более чем смелой гипотезой. Обычный флатландец, даже если он сведущ в науках, не поймет и, следовательно, отвергнет ваш вывод. Боюсь, что если бы вы попробовали поделиться своими удивительными умозаключениями с соотечественниками, то встретили бы лишь язвительные насмешки. Ваши «сожители» по пространству усомнились бы в ваших умственных способностях. Может быть, некоторые из них и выразили бы желание выслушать вас, но стоило бы вам уйти, как за вашей спиной начались бы разговоры о старческой немощи или оскудении ваших умственных способностей.

— И все же я считаю необходимым выступить в защиту истины, — собравшись с духом, заявил я. — Не только потому, что каждый, кому случалось сделать открытие, испытывает непреодолимую потребность возвестить об этом миру. В данном случае такое выступление необходимо для того, чтобы смыть с доктора Пункто пятно незаслуженных обвинений. Сначала его подозревали в том, что он преднамеренно произвел ошибочные измерения. Все наши попытки опровергнуть это нелепое мнение привели лишь к тому, что доктора Пункто просто стали считать плохим землемером, который с помощью небылиц пытается оправдать себя. Не пощадила молва и меня. Считали, что, поддерживая дружеские отношения с «погибшим человеком», я рискую своей репутацией и делаю это лишь из рыцарских побуждений, поскольку никаких более основательных причин для столь странной дружбы не существует.

Чтобы сделать нашу гипотезу более понятной, — продолжал я, — мы воспользуемся аналогией с Циркульландией. На этой модели хорошо видна искривленность одномерного пространства, незаметная для его обитателей. Тому, кто живет в одномерном искривленном мире, невозможно понять, что его пространство искривлено в некоем недоступном его восприятию направлении. Наконец, мы сошлемся па «свидетельские показания» нашего гостя из Трехмерия, наблюдавшего искривленность Флатландии.

Тут я умолк, ибо почувствовал, что несколько увлекся. Никогда не смогу я рассказать где-нибудь, а тем более на общем собрании членов физико-математического факультета, о своих встречах со Сферой. Меня примут за сумасшедшего или подумают, будто я общаюсь с потусторонним миром, что почти равносильно сношениям с самим дьяволом!

^{Сумма углов любого треугольника на поверхности сферы всегда больше 180°. Каждый из углов при вершинах D и Е треугольника ADE равен 90°. Следовательно, сумма углов этого треугольника (180° + угол при вершине А) больше 180°. В треугольнике АБС все три угла равны 90°, поэтому их сумма равна 270°.}

Сфера внимательно выслушала меня. Свое мнение она формулировала кратко. Прежде всего она просила нас не разглашать того, что нам известно. Знакомить ученых Флатландии со столь необычными теориями Сфера считала весьма опасным. Они не воспримут столь смелые теории и лишь обвинят нас с доктором Пункто в безумии.

Вскоре Сфера распрощалась и исчезла, предоставив нам самим решать наши проблемы.

23. ТРУДНОСТИ.

После исчезновения Сферы мы сидели некоторое время молча. Каждый был занят своими мыслями. Но думали мы, по-видимому, об одном и том же, потому что вид у нас был одинаково мрачный. Причин для радости было мало: хотя теперь мы знали, что наши гипотезы имеют под собой прочную основу, рассчитывать на то, что нам удастся найти единомышленников, не приходилось. Мы твердо стояли на своем, были убеждены в своей правоте, но находились в полной изоляции, и это обстоятельство вряд ли могло служить утешением.

Первым правильность нашей точки зрения должен был бы признать физико-математический факультет, но ученые не разобрались, в чем истина, не приняли наших доводов. Убедят ли наши аргументы, даже подкрепленные сообщением Сферы, кого-нибудь другого? Чего мы достигнем, если попытаемся вопреки мнению факультета довести наши взгляды до всеобщего сведения? А если наши идеи получат у широкой публики более высокую оценку, чем у факультета? Нет, такое невозможно! Ведь против наших взглядов высказалось ученое общество, приговор которого принято считать беспристрастным. Какие бы аргументы мы ни приводили в подтверждение своей теории, к ним просто не будут прислушиваться.

Я решил спокойно все взвесить и не совершать необдуманных шагов.

— Должны же ученые мужи наконец понять, — сказал доктор Пункто, — что для объяснения необычных отклонений, обнаруженных при измерениях, необходимо выдвинуть какую-то гипотезу. Это единственно возможный подход. Нельзя же мириться с существованием необъяснимых явлений.

— Вполне согласен с вами, — ответил я, — но все не так просто, как кажется. Действительно, для объяснения странных явлений иногда приходится прибегать к странным гипотезам. Но если мы встанем на точку зрения ученых и взглянем на все со стороны, то так ли уж велика необходимость соглашаться с нашими весьма необычными выводами? Ведь до сих пор в правильность результатов измерений не верит никто, кроме нас. Невязки столь малы, что имеют доказательную силу лишь для того, кто достаточно долго занимался изучением результата измерения, и столь удивительны, что несведущему трудно устоять перед искушением и не приписать их ошибкам измерений.

— Сначала мы так и делали, — признался доктор Пункто, — по поскольку ошибки встречаются при любом измерении, то мы каждый раз настраивали свои приборы заново и в конце концов поняли, что невязки обусловлены не ошибками измерений.

— Правильно, — сказал я, — но попытайтесь заставить кого-нибудь затратить столько времени и энергии на нечто такое, что он считает совершенно бесполезным. Наука ищет объяснение твердо установленным фактам, но стремится достичь своей цели при помощи простейших гипотез. Разве не проще предположить, что двое каких-то чудаков заняли, мягко говоря, «необъективную позицию», чем соглашаться с гипотезами о структуре пространства, которые любому покажутся непонятными и странными? Нет, решительное неприятие подобных гипотез и есть та единственно научная (по крайней мере с точки зрения наших ученых мужей) позиция, которую могут занимать жрецы науки.

Доктор Пункто, мой собрат по науке и товарищ по несчастью, оценивал ситуацию так же, как и я. Мы поняли, что нам придется уступить. Моей жене, расчетливой, как все женщины, наша непосредственность была совершенно непонятна. Любая женщина, даже если она с сочувствием следит за тем, как ее муж преодолевает трудности и невзгоды, связанные с его умственной деятельностью, склонна рассматривать свойственное мужчинам стремление передать свои знания другим как своего рода навязчивую идею.

— Я бы на вашем месте бросила все это! — высказала свое мнение жена. — Пусть наукой занимаются другие, а не те, кому эти занятия не только не приносят никакой пользы, но доставляют одни лишь неприятности!

И хотя доктор Пункто и я расходились во мнениях с моей женой, все же мы не могли не признать, что в нашем положении благоразумнее всего последовать ее совету. Хотя бы на время!

— Если бы нашелся еще хоть кто-то, — мечтал доктор Пункто, — с научным складом ума, способный узреть истину, то нас по крайней мере было бы на одного больше.

— Ну, третьей является Сфера, — возразил я. — Но пока мы не можем просить ее объявиться открыто, ибо нас тотчас же обвинят в колдовстве и в связи с дьяволом.

— Мне бы очень хотелось задать Сфере один вопрос, — вступил в разговор мой сын, до того молча слушавший нашу беседу. — Искривлен ли трехмерный мир в направлении, перпендикулярном трехмерному пространству и, следовательно, недоступном непосредственному восприятию трехмерных существ?

— Очень хорошо, что ты не спросил об этом Сферу, — ответил я. — Она достаточно умна для того, чтобы наблюдать за тем, что происходит в нашем пространстве и недоступно нашему восприятию. Но достает ли ей ума понять, изогнуто ли ее собственное пространство в направлении, недоступном ее восприятию, мне не известно. И я боюсь, что подобным вопросом мы могли бы поставить Сферу в неловкое положение.

— Я просто не успел спросить у Сферы, она исчезла так неожиданно, — честно признался мой сын, — но мне все равно хотелось бы узнать правильный ответ на свой вопрос.

— Возможно, тебе удастся сделать это позднее. Сейчас нам не следует настраивать Сферу против себя. Мы еще нуждаемся в ее помощи. Очень нуждаемся.

Наша беседа закончилась далеко за полночь, почти под утро. Доктор Пункто отправился к себе домой, а мы разошлись по комнатам и легли спать. Однако прошло немало времени, прежде чем мне удалось заснуть.

24. КРАТЧАЙШИЙ ПУТЬ.

На следующее утро я вышел к своим домочадцам довольно поздно, и настроение у меня оставляло желать много лучшего. Зато мой внук был в превосходном расположении духа. Он играл в солдатики — фигурки, имевшие форму равнобедренных треугольников с очень острыми углами при вершине. Командиром отряда был равносторонний треугольник.

^{Мой внук выстроил своих солдатиков по кругу.}

Внук выстроил одиннадцать солдатиков во главе с командиром по кругу, командир подал команду: «Шагом марш!», и все войско начало маршировать. Сначала сдвинулся с места сам командир, за ним первый солдатик, потом — второй и так далее.

Не знаю, что овладело мною — любопытство или желание отвлечься от нескончаемых мыслей о проблемах пространства, по только я спросил у внука, почему его солдатики начинают маршировать не одновременно. Задавая вопрос, я рассчитывал услышать в ответ:.

— Потому, что нельзя передвинуть всех солдатиков сразу.

Каково же было мое изумление, когда внук дал совершенно иной ответ:

— Потому, что солдатики слышат команду не одновременно.

Такой ответ поразил меня. Мальчик полагал, что звук распространяется от источника — командира — по цепочке, от одного солдатика к другому. Подобные физические представления у ребенка его возраста были явлением совершенно необычным, но разве мой внук не происходил из рода математиков и физиков?

Я был очень доволен и хотел, чтобы внук развил свою мысль подробнее. Поэтому я спросил:

— А разве звук распространяется по окружности, вдоль которой выстроены солдатики, а не по прямой — от командира к каждому солдатику?

Малыш озадаченно помолчал — над дедушкиным вопросом стоило задуматься, — по быстро нашелся:

— Нет, звук распространяется вдоль пути, по которому идут солдаты. Внутри окружности ничего нет.

Разумеется, последнюю «гипотезу» мой внук принял лишь потому, что ему так захотелось. Он стремился к тому, чтобы все вокруг было устроено просто. Солдатики выстроены вдоль окружности, маршируют они тоже вдоль окружности. Почему же звук должен распространяться вдоль различных прямых, идущих от командира к солдатикам и проходящим внутри окружности? С точки зрения моего внука, такое предположение было неоправданно сложным.

Затем мои мысли приняли повое направление. В солдатиках, выстроенных по кругу, я вдруг увидел модель Циркульландии с ее королем, окруженным своими подданными. Окружность, на которой обитал король, была его пространством. Звук королевского голоса распространялся вдоль окружности, то есть не по кратчайшему пути, ибо кратчайший путь проходит за пределами Циркульландии! Я снова вспомнил свой сон. Король Циркульландии, естественно, не мог понять меня, ибо не знал иного пространства, кроме своего собственного. И то, что он меня не понял, еще не свидетельствует о его глупости. Просто король не мог представить себе то, что лежит вне его пространства. Для него звук распространялся по кратчайшему пути, который возможен в Циркульландии. В школе нас учили, что кратчайший путь между двумя точками — это прямая, но на практике мы не всегда понимаем под кратчайшим путем прямую.

Неожиданно я вспомнил один эпизод, происшедший со мной в юности. Как-то раз я поздно вернулся домой, и отец устроил мне за это нагоняй. Он спросил, шел ли я домой кратчайшим путем. Разумеется, мой путь был далек от кратчайшего, но признаваться в этом мне не хотелось. Лгать я считал ниже своего достоинства и, пытаясь придумать какую-нибудь отговорку, схитрить, сказал отцу:

— Разумеется, я возвращался домой не кратчайшим путем, потому что идти кратчайшим путем просто невозможно.

— Почему невозможно? — пожелал узнать мой отец.

— Потому, что кратчайший путь — это прямая, а она проходит через дома и другие препятствия.

Я уже неоднократно упоминал о том, что мы происходим из семьи, известной своими научными традициями, поэтому мой отец мог по достоинству оценить мое замечание.

Сейчас я снова задумался над тем, что же такое кратчайший путь. Предположим, что командир игрушечных солдатиков моего внука приказал своим подчиненным прибыть к нему кратчайшим путем. Как они должны поступить: идти к нему по дуге окружности или по прямой, соединяющей то место, где они находились в момент получения приказа, с тем местом, где находится командир, и проходящей внутри окружности?

Вполне может случиться, что командир только и следит за тем, как бы его подчиненные не нарушили строя и не сошли с окружности. Ему и в голову не придет, что солдат может приблизиться к нему по прямой. Не исключено также, что внутри окружности находится какое-то препятствие, например здание или запретная зона. В этом случае задача командира состоит в том, чтобы его подчиненные направлялись к нему не по пути, кратчайшему с точки зрения геометрии, а по практически наиболее короткому пути, то есть шли вдоль дуги окружности.

Аналогично обстоит дело и в Циркульландии. Король ничего не знает о «территории» внутри окружности. Для него не существует другой возможности, кроме как двигаться в своем собственном пространстве. О том, что возможен более короткий путь, пролегающий за пределами его пространства, король просто не знает. Может быть, до этого мог бы додуматься какой-нибудь особенно проницательный и хитроумный математик из Циркульландии, однако такому гению не удалось бы убедить «собратьев по пространству» в правильности своих выводов. Все, что принадлежит пространству, не может покинуть пределы пространства. Звук также не может выйти за пределы пространства. Следовательно, распространяясь в пространстве, звук должен как бы следовать за кривизной пространства. Странно, очень странно!

Я устал и почувствовал, что больше не в силах размышлять о кратчайших путях и тому подобных вопросах. Незаметно я уснул. Удивительно, но на этот раз мне приснилась не Лайнландия, и я, многомудрый флатландец, не спускался в одномерное пространство, чтобы просветить его обитателей и открыть им истину, известную мне до мельчайших подробностей, поскольку я своим глазом мог созерцать истинное положение вещей, недоступное непосредственному восприятию лайнландца. Нет, мне приснился совсем другой сон. Мне почудилось, будто я — Сфера, гиперокружность из трехмерного пространства, и наношу визит в свой собственный мир, в свою собственную Флатландию. Нет, не Флатландию, а Сферландию, ибо я отчетливо видел, что мир искривлен в направлении, ныне доступном моему созерцанию, направлении, которое ранее мне никогда не доводилось видеть. Теперь я мог рассматривать его сколько угодно, ибо я был Сферой, мудрой Сферой! Ничто в нашем двумерном пространстве не осталось сокрытым от меня. Впрочем, я постиг все без особого труда, ибо был теперь трехмерным существом.

А вот и мой дом! Я смотрел на него сверху, извне нашего пространства, откуда мне никогда не приходилось видеть его. Вон там моя жена. Дети! Внуки! Поистине поразительное зрелище! А вот и я сам, жалкий двумерный шестиугольник. Я всегда считал себя важной, представительной фигурой, но как убого я выгляжу в действительности, плоское двумерное существо.

Интересно, могу ли я приблизиться к самому себе? Могу ли я рассказать самому себе, как выглядит все, если взглянуть на наше пространство извне? Нет! Я бы ни за что не поверил, ибо слишком глуп! Нет, не глуп, а ограничен, ибо способен воспринимать лишь двумерные картины всего, что окружает меня.

Нет, не буду тревожить старого ученого! Ему и так хватает сложных проблем! Пусть спит спокойно! Лучше я рассмотрю как следует двумерный мир, мой собственный мир, мою искривленную Флатландию. Хотелось бы знать, смогу ли я, проснувшись у себя дома, там, внизу, припомнить вес, что мне довелось увидеть? Удивительно! Я вижу под собой весь город с его домами, улицами, деревьями. Отчетливо различаю движение на улицах. Вижу все рядом, совсем близко. Интересно, как такое может происходить во сне? Ведь мне хороню известно, что я сплю. Какой прекрасный сон! И какой странный!

Я посмотрел направо, потом налево, огляделся по сторонам. Мир, мой мир, простирался подо мной во все стороны, уходя в бесконечность. Впрочем, ведь это невозможно: наш мир не бесконечен. Он не простирается во все стороны неограниченно далеко. Наш мир изогнут, искривлен. Я могу обойти вокруг него, облететь вокруг моего мира, моей сферической Флатландии. Странно! С какой легкостью я представляю себе все это. Просто удивительно! Может быть, меня во сне вдохновила Сфера? Может быть, я смотрю на все глазами своего друга Сферы? Вполне возможно. Что сказать по этому поводу?

Да, у Сферы есть явное преимущество перед нами: она все видит. Хотя особого искусства для этого не требуется. То, что видит Сфера, я постигаю своим разумом, я, флатландец, хотя меня, живущего в сферической Флатландии, правильнее было бы называть сферландцем. Сфере не нужно напрягать свой разум или строить гипотезы: ей достаточно взглянуть на все со своей трехмерной точки зрения.

Интересно, как распространяется свет? Прямо? Вдоль прямых? Нет, конечно же, нет! Лучи света не могут выходить за пределы пространства, своего пространства. Значит, лучи света должны искривляться вслед за пространством, ибо они лежат в этом пространстве! Нам, обитателям Сферландии, лучи света кажутся прямолинейными. Мы полагаем, будто свет распространяется вдоль прямых. Лучи света действительно не искривлены относительно нашего пространства, а изгибаются вслед за ним. Они просто обязаны вести себя так. Но если взглянуть на Сферландию извне, то лучи света перестанут казаться прямыми, ибо в действительности они распространяются вдоль кратчайших из всех линии, какие только можно провести в нашем пространстве! То же самое можно сказать и о линиях, вдоль которых в Сферландии распространяется звук. Они также не являются прямыми. Но тогда… Хотя Сфера и уступает мне по уму, она все же должна понять, что ее пространство искривлено. Да, да! Ее трехмерное пространство искривлено в некоем невидимом для нее направлении, и лучи света в трехмерном пространстве также отличны от прямых. Свет в трехмерном пространстве распространяется вдоль кратчайших из линий, которые можно провести в этом пространстве. Лучи света должны быть изогнуты в невидимом для обитателей Трехмерия направлении так же, как изогнуто само трехмерное пространство.

— Сфера не может этого не понять. Если она все же не поймет, что ее пространство искривлено, то, значит, я гораздо умнее ее.

Последние слова я произнес громогласно. Я и сам услышал, но было поздно. Неожиданно до меня донесся голос, голос Сферы, с упреком произнесший:

— И ты, плоское двумерное существо, еще осмеливаешься думать, будто ты в чем-то превосходишь меня! Я трехмерна и смотрю на ваш мир сверху вниз. Неблагодарный хвастун! Отправляйся назад, в свой мирок! Одного взгляда на него было достаточно, чтобы я сразу все поняла. А ты еще осмеливаешься ругать меня и принимать за глупца, неспособного понять, что его мир искривлен! Нет, я не вижу кривизны своего мира но той простой причине, что ее не существует. Мой мир плоский. Плоский, понимаешь ли ты это? Ты живешь в искривленном мире, а не я. А теперь довольно, отправляйся к себе назад!

Я проснулся у себя в комнате. Что это было: сон или Сфера действительно вознесла меня в трехмерное пространство? Позволила ли она мне бросить взгляд на мой искривленный мир? Как мне ответить на этот вопрос? Если все это мне не приснилось, то просто ужасно! Я оскорбил Сферу, моего доброго друга и наставника, и она никогда больше не прибудет к нам с визитом под Новый год! Столь же решительно, как в свое время она порвала отношения с моим дедом, Сфера перестанет общаться со мной. Об этом лучше не думать!

ЧАСТЬ IV. РАСШИРЯЮЩИЕСЯ МИРЫ.

25. НОВЫЕ НАДЕЖДЫ.

Жизнь продолжала идти своим чередом. Мы были столь благоразумны, что избегали ввязываться в дискуссии с противниками наших убеждений. Мир не желал знать истину. К тому же затевать драку было преждевременным, ибо кое-что оставалось еще невыясненным. Может быть, когда-нибудь потом, много лет спустя! Должно же рано или поздно настать время, когда мир станет понятливее!

И все же на душе у нас (я имею в виду себя и моего друга Пункто) было тяжело, ибо всякое мыслящее существо, убедившись в истинности какого-нибудь факта, стремится сделать его достоянием другого. Нам оставалось лишь надеяться на будущее. Однако не очень-то приятно, когда каждый смотрит на тебя как на опасного маньяка.

Мы жили спокойно, но интерес к проблемам пространства был у нас в крови, и не случайно мы оказались в числе первых обитателей Сферландии, отправившихся на космическую станцию, сооруженную в верхних слоях атмосферы. Дело было новым, ибо при строительстве станции пришлось полностью отказаться от всех традиционных взглядов на возведение зданий. Как известно, наши дома остаются на своих местах благодаря действию слабой силы притяжения, которая всюду направлена к центру нашего круглого мира. Объяснить, каким образом дома не витают в атмосфере, а стоят неподвижно, не так-то просто. Кое-что на эту тему я уже говорил раньше. Однако никогда прежде не удавалось возводить здания на такой огромной высоте, где воздух столь разрежен. Затея стала возможной лишь благодаря одному техническому изобретению, сделанному совсем недавно.

Естественно, строители космической станции столкнулись, с двумя трудностями. Во-первых, все строительные материалы необходимо было доставить в точку, находящуюся на огромной высоте. Для забрасывания материалов была построена специальная катапульта, которая выстреливала все необходимое в нужном направлении и с надлежащей скоростью. Персонал, находившийся на строительной площадке, ловил прибывшие материалы, которые к тому времени двигались уже с небольшой скоростью. Наконец космическая станция была готова. И хотя пускали в нее далеко не всех желающих, при соответствующей заинтересованности все же можно было добиться разрешения и посетить уникальное сооружение. Нужно ли говорить, что, когда Пункто предложил мне взглянуть на космическую станцию, я тотчас же согласился. Моя жена выразила желание сопровождать нас, и в заранее назначенное время мы втроем оказались в космическом корабле, установленном на катапульте.

Космический корабль представлял собой комфортабельную кабину с двумя отсеками: один предназначался для мужчин, другой для женщин. В мужском отсеке было четыре места. Кроме Пункто и меня, в нем разместился и командир корабля. Во время полета ему не довелось что-либо делать. Однако на непредвиденный случай хорошо было иметь рядом опытного специалиста. Мы старались не думать о возможных происшествиях, зная, что пассажиры склонны преувеличивать страхи. В худшем случае нам грозило столкновение с каким-нибудь предметом, но, к счастью, вероятность такого столкновения чрезвычайно мала. Нельзя полностью исключить возможность столкновения со встречным космическим снарядом, например снарядом, выпущенным другой космической станцией, который отклонился от заданной траектории. Если бы где-нибудь внизу произошел взрыв, то обломки также могли бы взлететь в пространство, но для этого взрыв должен был быть необычайно мощным по сравнению с теми, которые обычно происходят в силу рокового стечения обстоятельств. Гораздо реальнее была возможность вылететь со старта со скоростью, которая больше или меньше расчетной. На мой вопрос о том, сколь вероятно подобное происшествие, командир корабля лаконично ответил, что инженеры все тщательно рассчитали и ошибка практически исключается.

Рядом с отсеком для мужчин располагался отсек для дам. Нетрудно понять, сколь разумна такая мера предосторожности: при отправлении космического корабля все, кто находится на его борту, испытывают сильный толчок и, не будь специального дамского отделения, присутствие женщин на борту космического корабля создавало бы серьезную угрозу для жизни остальных пассажиров и командира. Женщины с их остроконечными телами могли бы при внезапном толчке нанести своим соседям тяжелые увечья. Их отсек был настолько узким, что пассажирки не могли в нем повернуться. Кроме того, упругие стенки, ограждавшие пассажирскую кабину спереди и сзади, также смягчали толчки. В дамском отсеке можно было одновременно разместить целый «пучок» женщин.

^{Космический корабль с командиром и пассажирами на борту.}

Толчок при отправлении все пассажиры ощутили довольно явственно. Сила притяжения к центру Земли у нас не очень велика, поэтому отпадает необходимость придавать космическому кораблю большую начальную скорость. При отправлении мы изрядно волновались, ибо все, кто впервые отправляется в подобный рейс, всегда немного побаиваются, по сильные пружины, вмонтированные в стенки кабины, смягчили толчок. Перелет показался мне довольно продолжительным и скучным. В точно назначенный срок я увидел конечную станцию, а несколько мгновений спустя мы уже спокойно лежали в приемной сети. Полет окончился. Можно было выходить. Однако на столь большой высоте царил холод, а воздух был разрежен, поэтому нас через особый воздушный шлюз провели в теплое помещение, внутри которого поддерживалось нормальное давление. Здание космической станции было абсолютно герметичным. Оно состояло из двух отсеков, или ярусов. В нижнем отсеке находились различные помещения: читальный зал, конференц-зал и столовая, в верхнем — зал «наружных наблюдений», или, если можно так выразиться, «обсерватория». Она представляла собой огромное помещение, огороженное сверху «крышей» из какого-то прозрачного материала. Находясь в обсерватории, многочисленные экскурсанты могли одновременно любоваться фантастически красивым видом, открывавшимся перед ними.

^{Космическая станция (КЛ — приемная сеть, А — воздушный шлюз, Б — столовая, В — конференц-зал, Г — читальный зал, Д и Е — подсобные помещения, Ж — обсерватория).}

Мы долго стояли, охваченные восторгом при виде величественного зрелища. Здесь, на борту космической станции, невольно забываешь о всех мирских невзгодах, ибо мир лежит где-то далеко внизу! Взгляд устремляется в бездонные глубины Вселенной! Вселенной! Ход моих размышлений прервался. Бездонные глубины нашей Вселенной, нашего конечного пространства двух измерений, хотя и искривленного в невидимом для нас третьем направлении, но все же конечного!

Мы увидели множество светил, плававших в пространстве, миров, подобных нашему, или, если говорить возвышенным стилем, «Вселенных». Одни из них, находившиеся на сравнительно небольшом расстоянии, казались светящимися черточками, другие, расположенные дальше, — точками. Светила, отделенные от нас особенно большими расстояниями, были едва видны из-за сильного поглощения света в межзвездном пространстве.

Одна из дам спросила у экскурсовода, демонстрировавшего нам красоты Вселенной, обитаемы ли другие миры и как выглядят существа, живущие там. Он ответил ей кратко и по существу, что пока ничего не известно. Обсерватория для того и построена, чтобы попытаться ответить на эти вопросы. Ведутся тщательные наблюдения, и вполне возможно, что в ближайшие годы удастся получить какие-нибудь обнадеживающие результаты.

— Эту космическую станцию впоследствии можно было бы великолепно использовать как отправной пункт при посылке экспедиции на другие миры, — рассказала предположение моя жена.

— Ты совершенно права, — согласился я, — и, быть может, мы еще доживем до того времени, когда исследователи полетят на другие миры. Существующие ныне катапульты недостаточно мощны для того, чтобы можно было долететь даже до ближайшего из них.

Доктор Пункто не слышал, о чем мы говорили, поскольку был погружен в размышления. По-видимому, мысли его приняли совсем другое направление, ибо он неожиданно произнес:

— Поскольку пространство искривлено, то мы можем увидеть вдали самих себя, то есть свою собственную Вселенную.

— Где? В каком направлении? — спросила моя жена.

— Этого я не знаю, — сказал доктор Пункто. Может быть, один из тех далеких миров, кажущихся нам едва заметными точками, и есть та Вселенная, в которой мы обитаем.

— Неужели наш мир действительно виден? — усомнилась моя жена.

— Конечно, виден, — сказал я. — Ведь его линейные размеры не слишком велики, то есть наш мир не слишком велик.

— Звучит как шутка, хотя это и абсолютная истина, — подтвердил доктор Пункто. — Наш мир не слишком велик. Наш искривленный мир не бесконечен.

— Говорите, пожалуйста, тише, — взмолилась моя жена, — не то вас услышат и подумают, что мы не вполне нормальны.

Она испуганно оглянулась. На сей раз все обошлось благополучно! Нам приходилось быть осторожными. Желая отвлечь от нас внимание, я громко спросил:

— А как велики расстояния до других миров?

Экскурсовод, решивший, что вопрос обращен к нему, ответил:

— Пока неизвестно. Наша космическая станция произвела несколько измерений, но полученные результаты ненадежны, поскольку измеряемые расстояния чрезвычайно велики.

26. ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЙ.

Последнее замечание произвело на доктора Пункто сильное впечатление, ибо на обратном пути он только и говорил, что об измерении расстояний. Наш экскурсовод, возвращавшийся вместе с нами, не мог сообщить доктору Пункто ничего нового. Он не имел ни малейшего представления о том, как производится измерение расстояний.

— Мне непонятно, — сказал доктор Пункто, — как можно измерять расстояния до удаленных миров с неподвижной станции. Чтобы определить расстояние до какого-нибудь предмета, необходимо наблюдать его из двух точек, необходимо иметь базис. По длине базисного отрезка и двум углам, образуемым направлениями на интересующий нас предмет из концов отрезка, можно вычислить расстояние до предмета.

— Но ведь точно таким же способом можно измерить расстояние и до недоступного предмета, — заметил я.

— Разумеется, — согласился доктор Пункто. — Я хотел лишь сказать, что одной космической станции недостаточно для измерения расстояний до других миров.

— Почему? Ведь обсерватория на космической станции занимает обширное помещение, — вмешалась в разговор моя жена.

— Вы совершенно правы, — подтвердил доктор Пункто, — но по сравнению с чудовищными расстояниями, отделяющими нас от ближайших миров, размеры ее чрезвычайно малы.

^{Определение расстояний при помощи триангуляции (построения треугольников). (Длина базиса АВ известна. Углы при вершинах А и В доступны измерению. По стороне и двум примыкающим к ней углам нетрудно вычислить расстояние до светил С и D.).}

— А разве нельзя каким-нибудь другим способом измерять расстояния из одной точки? — задала, новый вопрос моя жена.

— Это невозможно, — тотчас же возразил я.

— Но ведь заранее известно, — продолжала настаивать она, — что более удаленные светила кажутся менее яркими, чем ближние, поскольку пространство заполнено веществом, поглощающим свет.

Замечание было вполне уместно, и я не мог не восхититься мудростью своей супруги. Мне пришлось признать ее правоту, но объяснить, что предлагаемый ею метод измерения расстояний дает весьма грубые результаты и единственным методом, позволяющим достичь точности, требуемой в научных исследованиях, остается метод измерения треугольников.

— Тогда необходимо построить вторую космическую станцию, — заявила моя половина.

— Вы совершенно правы, — согласился с ней доктор Пункто, — но до сих пор обходились измерениями, производимыми с одной космической станции, и предложение построить на небольшом удалении от первой вторую такую же станцию встретит сильные возражения.

— В таком случае не обязательно создавать вторую станцию столь же больших размеров, как и первую. Кстати сказать, на строительство второй станции и времени потребуется меньше, — заметила в ответ моя жена, и снова с ее доводами нельзя было не согласиться.

По возвращении о докторе Пункто не было ни слуху ни духу. Позднее мне стало ясно, почему он так таинственно исчез. В голове у моего друга созрел план проведения обширной серии новых измерений. В течение нескольких недель доктор Пункто ни разу не появился у нас, и мы оставались в неведении относительно обширных приготовлений, которые он тем временем проводил. Доктор Пункто не только пытался заинтересовать своим проектом различных представителей власти, но и попытался вступить в контакт с учеными физико-математического факультета. Он всюду встречал довольно любезный прием, а к предложенному им проекту специалисты отнеслись не только с живым интересом, но и с сочувствием. Проведение более тщательных и точных измерений расстояний между небесными телами, безусловно, входило в число задач, стоявших перед наукой, и факультет охотно одобрил проект доктора Пункто. Власти, сначала было возражавшие против якобы бесполезных расходов на строительство второй космической станции, в конце концов убедились, что речь идет о проекте, способном принести науке огромную пользу. Что же касается финансовых затрат, то проект предусматривал строительство второй космической станции лишь самой простейшей конструкции.

Прогрессивные методы, применявшиеся при строительстве большой космической станции, позволили значительно сократить предполагаемые расходы. Кроме того, систематические визиты заинтересованных лиц позволили собрать внушительную сумму. Появилась надежда, что в недалеком будущем добровольные пожертвования позволят выделить средства и на строительство малой обсерватории.

Убедившись в том, что затеянное им дело «на мази», доктор Пункто зашел к нам поделиться приятными новостями. Больше всего нас обрадовало сообщение о том, что ему снова поручено возглавить измерения.

Назначение на пост руководителя важнейших измерений состоялось только потому, что мой друг пользовался заслуженной репутацией самого дотошного и скрупулезного землемера во всей стране. Опасениями относительно того, что вновь повторится странный случай, когда лучший землемер пытался объяснить малые невязки в измерениях углов треугольников противоречащими здравому смыслу предположениями, на сей раз можно было пренебречь, поскольку речь шла лишь об измерении расстояний. Ведь у каждого треугольника теперь требовалось измерять лишь по два угла, поэтому можно было не опасаться, что третий угол в сумме с двумя измеренными даст величину, отличную от 180°

Превосходное настроение доктора Пункто говорило само за себя. Строительство его маленькой обсерватории шло полным ходом. Когда все было готово, моя жена и я стали первыми посетителями малой космической станции.

Так же как и ее предшественница — большая станция, малая обсерватория доктора Пункто состояла из двух отсеков. В нижнем размещались кабинет директора и комнаты сотрудников, в верхнем — наблюдательная площадка. При первом осмотре обсерватория вызвала у меня разочарование не только малыми размерами наблюдательной площадки, но и отсутствием прозрачного купола. Однако доктор Пункто объяснил, что измерения лучше производить на открытом воздухе, а не сквозь прозрачную стенку. Что же касается вычислений, то ими он занимался в своем кабинете, где имелось отопление и поддерживалось нормальное давление воздуха.

Доводы доктора Пункто мы сочли вполне разумными, но моя жена, ожидавшая увидеть изящный прозрачный купол, все же была несколько разочарована.

Посетили мы и другую станцию. Никакой связи между обоими наблюдательными постами не поддерживалось. Это создавало определённые неудобства, но специальное сообщение с помощью катапульты было трудно осуществимой задачей. Поэтому для того, чтобы попасть с одной обсерватории на другую, сначала приходилось спускаться вниз, а затем вновь подниматься наверх.

На главной станции был воздвигнут большой прозрачный купол, сквозь который ученые могли спокойно, не боясь праздных экскурсантов, производить наблюдения за светилами.

Так доктор Пункто приступил к своей новой работе. Вместе с помощниками он измерил расстояния до различных Вселенных и нанес все космическое пространство на карту. Мой друг воспрянул духом и словно переродился. Он с головой ушел в выполнение важной, общественно значимой работы, вновь получил возможность заниматься любимой профессией. Его прежние «ошибки» и «заблуждения» были преданы забвению. Доктор Пункто вновь обрел всеобщее уважение.

27. РАССТОЯНИЯ ВОЗРАСТАЮТ.

Первое время доктор Пункто заходил к нам довольно регулярно, но спустя несколько месяцев его визиты неожиданно прекратились. Я знал, что наш друг не болен, поскольку мне довелось несколько раз случайно встречать его, но он всегда очень спешил и поговорить нам было некогда. Чаще всего такая торопливость свойственна тем, кто либо сам занят срочной работой, либо отвечает за других исполнителей какого-нибудь экстренного задания, поэтому, приглашая доктора Пункто к нам в гости, я не проявлял особой настойчивости. Рано или поздно, надеялся я, ему самому захочется посидеть в тесном семейном кругу и обменяться самыми сокровенными мыслями. Доктор Пункто хорошо знал, что в нашем доме его всегда ожидает самый сердечный прием, и я спокойно ожидал, когда мой друг выберет удобное для себя время и навестит нас. Но однажды моя жена, вернувшись домой, рассказала, что повстречалась с доктором Пункто. Он плохо выглядел и был чем-то расстроен. Нужно ли говорить о том, что я решил, не мешкая, повидать своего друга и попытаться разузнать о его самочувствии и делах.

Подстроить «случайную» встречу было совсем не трудно. Я знал, в котором часу доктор Пункто каждое утро проходит по одной и той же улице. Признаться, я немного волновался, отправляясь на встречу со своим другом. Разумеется, увидев меня перед собой, он не мог продолжать свой путь и не ответить на мои вопросы (не долго раздумывая, я спросил его о первом, что пришло в голову):

— Как поживаете? Как дела?

Доктор Пункто хотел было ограничиться лаконичным «Все в порядке, но работы многовато» и продолжить свой путь, но я задал ему еще один вопрос:

— Не встретились ли вам какие-нибудь затруднения при обработке измерений?

Ответ доктора Пункто «Да, то есть я хочу сказать, нет» встревожил меня. Однако доктор спешил. Мы распрощались, и я долго смотрел ему вслед. Моя жена, несомненно, была права: с доктором Пункто что-то стряслось.

Дома мы долго обсуждали происшествие и строили различные догадки. Может быть, у доктора Пункто возникли какие-то трудности в руководстве персоналом? Может быть, снова всплыли старые обвинения, наносящие ущерб его достоинству? Но все это были не более чем предположения, ничего определенного мы не знали.

— Мы должны настоятельно просить его прийти к нам в гости, — высказала свое мнение жена.

— Но доктору Пункто хорошо известно, — возразил я, — что мы ему всегда рады и у нас в доме он может откровенно рассказать о любых своих затруднениях. Мне кажется, что он непременно придет к нам, как только почувствует, что самостоятельно не может решить проблему.

Моя жена все же считала, что следует пригласить доктора Пункто. Если он не пожелает воспользоваться нашим приглашением, то мы, разумеется, настаивать не станем. Но ведь вполне возможно, что нашему другу недостает лишь незначительного толчка извне, чтобы он смог решиться рассказать нам о своих неприятностях.

Однако я всегда считал неудобным предлагать непрошеную помощь и поэтому не соглашался без обиняков пригласить доктора Пункто прийти к нам. К счастью, моя жена оказалась более решительной. Встретив случайно доктора Пункто, она напрямик заявила ему:

— Господин Пункто, мы так давно не видели вас, что нам очень хотелось бы поговорить с вами у нас дома.

— У вас какие-нибудь неприятности? — спросил Пункто.

— Нет, мы просто обеспокоены, что они есть у вас, — ответила жена.

— Неужели это бросается в глаза? — с явным испугом отшатнулся доктор Пункто.

— Мы достаточно знаем друг друга, — успокоила его моя жена, — и вам известно, с каким интересом и участием неизменно относились к вам и к вашей работе у нас в семье. Не могли бы вы зайти к нам сегодня вечером? Никого из посторонних у нас не будет.

И, не дождавшись ответа, она ушла.

Нужно отдать должное моей жене: приглашение доктору Пункто было передано весьма тактично. Когда настал вечер и Пункто наконец пришел к нам, я приветствовал его самым сердечным образом:

— Мы очень рады снова видеть вас у себя. Вы знаете, сколь высоко мы всегда ценили ваши визиты и сколь охотно обсуждали с вами разнообразнейшие темы.

— Я никогда не сомневался в вашем дружеском расположении, — ответил доктор Пункто, — но боюсь, что как гость я сейчас мало приятен. Полгода все шло превосходно. Мы были веселы и жизнерадостны, но сейчас все резко изменилось. Боюсь, что мой приход омрачит ваше настроение.

— Уж не забыли ли вы, — напомнил я доктору Пункто, — что раньше мы имели обыкновение обсуждать вместе все трудные проблемы и не одну из них нам удалось довести до благополучного разрешения?

— Я помню, но, надеюсь, и вы не забыли, что однажды я навлек на вас неприятности, — возразил доктор Пункто. — Нас сочли безумцами, парой выживших из ума маньяков, которые вбили себе в голову нелепейшие идеи. Я не могу и не хочу навлекать на вас новые неприятности.

— Неужели положение столь серьезно? — воскликнул я, и по моему взгляду доктор Пункто понял, что я слушаю его с неподдельным участием.

— Очень серьезно. Я снова зашел в тупик, — печально признался мой друг.

— В таком случае мы приложим все силы, чтобы найти какой-нибудь выход, — предложил я.

— Мой муж и я не оставим вас в беде, — поддержала меня жена.

— Не сомневаюсь, что мог бы на вас положиться, — сказал доктор Пункто, — но прошу извинить мою настойчивость: мне не хотелось бы обсуждать эту проблему ни с кем. Я просто не знаю, с чего начать.

— Мой лучший друг, — попытался я возразить доктору, — вы нас серьезно обидите, если откажетесь от нашей помощи.

И доктор Пункто не устоял.

Наш гость принялся рассказывать в том, как он приступил к руководству измерениями. Исследователи сразу же столкнулись с двумя трудностями. Во-первых, измерения с обеих космических станций необходимо было проводить одновременно. Во-вторых, наблюдатели, находившиеся в различных обсерваториях, должны были визировать одно и то же небесное тело. Если наблюдатели направили бы свои инструменты на различные светила, то результат измерения был бы полностью ошибочным и указывал бы расстояние до несуществующего объекта.

После введения некоторых усовершенствований обе трудности были преодолены. Для проверки измерений директор время от времени приказывал повторять на выборку некоторые серии наблюдений, и совпадение результатов неизменно оказывалось превосходным.

Когда измерения были закончены, приступили к самой важной части работ. Были вычислены координаты множества миров, расположенных и сравнительно близко от нашего мира, и совсем далеко от него. Полученные данные позволили нанести все эти небесные тела на карту.

После нескольких недель напряженной работы директор предоставил всему персоналу двухнедельный отпуск и сам решил отдохнуть, с тем чтобы потом с новыми силами приняться за работу.

Вернувшись после отпуска, доктор Пункто для вящего спокойствия распорядился повторить несколько ранее произведенных измерений. Сотрудники космических станций заново измерили расстояния до нескольких светил, расположенных на различном удалении. Результаты измерений не совпали! Что же случилось? Сначала доктор Пункто решил, что разладились измерительные инструменты, но, сколько он их ни осматривал, никаких неисправностей обнаружить так и не удалось. Тогда доктор Пункто распорядился повторить все ранее проведенные измерения и тщательно сравнить все результаты. Все расстояния изменились! Они возросли, одни больше, другие меньше. В чем здесь дело? Как можно объяснить столь странное явление? Почему все измеренные расстояния не просто изменились, а изменились в одну и ту же сторону? Ясно, что доктор Пункто, по своему опыту знавший, как подозрительно относятся власти ко всякого рода непонятным явлениям, не без оснований опасался, что его вновь могут обвинить в неточных измерениях, небрежности и, быть может, даже в мошенничестве. Катастрофа неотвратимо надвигалась. Физико-математический факультет, осуществлявший контроль за производством наблюдений, потребовал от доктора Пункто подробный ответ о полученных результатах — ученых интересовали цифры. Все выплыло наружу, и заключение, к которому пришли специалисты, отнюдь не было благоприятным для доктора Пункто.

Большинство членов физико-математического факультета склонялись к тому, что доктора Пункто следовало бы уволить, но городские власти, не желая принимать опрометчивые решения, предоставили директору двух космических обсерваторий двухмесячный отпуск по болезни. Персоналу обсерваторий предложили временную работу в другом месте, чтобы в нужный момент возобновить измерения.

После двухмесячного отдыха доктор Пункто вновь приступил к работе, со страхом спрашивая себя, что покажут новые измерения. К величайшему огорчению, он вновь обнаружил, что все расстояния до небесных тел возросли еще больше. Создавалось впечатление, будто светила разбегаются во все стороны. Но правильно ли такое заключение? Во всяком случае, оно весьма странно.

Вот о каких трудностях поведал нам наш гость. Для непредвзятого исследователя обнаруженное явление представляло несомненный интерес, но для доктора Пункто события оборачивались иначе. Городские власти, поручившие ему проведение измерительных работ, прислушивались к мнению физико-математического факультета, а его членам, с недоверием относившимся к доктору Пункто, все происшедшее представлялось в ином свете.

28. В ПОИСКАХ ПЕРВОПРИЧИНЫ.

— Не могут расстояния увеличиваться просто так! Для этого должна быть какая-то причина! — последовала первая реакция с моей стороны.

— Ты слишком торопишься с выводами, — возразила моя жена.

— И все же я считаю, что какая-то причина непременно должна быть, — заявил я. — Примем это утверждение за исходный пункт наших рассуждений. Причина должна быть! Слишком мала вероятность того, чтобы все расстояния безо всякой причины вдруг начали возрастать. Когда стрелок целится в мишень, не все его выстрелы попадают точно в центр. Большая часть пуль отклоняется от центра, одни вправо, другие влево. Может случиться, что слева от центра мишени окажется больше попаданий, чем справа. И при очень большом числе выстрелов число попаданий слева от центра мишени не будет в точности равно числу попаданий справа, но разность между числом тех и других попаданий будет невелика. Если же окажется, что из сотни произведенных выстрелов ни один не попал в цель или нет ни одного отклонения вправо от центра мишени, а есть лишь отклонение влево, то каждый сразу поймет, в чем здесь дело: односторонние отклонения обусловлены какой-то причиной. При осмотре может выясниться, например, что оружие неисправно или что пули ветром сносило влево.

— Вы совершенно правы, — согласился со мной доктор Пункто. — Какая-то причина действительно должна быть, но какая?

— Может быть, небесные тела сносит ветром, дующим на нас откуда-нибудь сверху? — сказала моя жена.

— Это невозможно, — ответил доктор Пункто. — Чем выше мы поднимаемся, тем разреженней становится атмосфера. Межзвездное пространство следует считать лишенным воздуха, поэтому о дующем там ветре не может быть и речи.

— Я это хорошо понимаю, — согласилась моя супруга, — но просто не могу представить себе других причин.

— Мы также еще не обнаружили причины, успокоил я свою жену, — но она существует, должна существовать! Я убежден в этом и надеюсь, что доктор Пункто также разделяет мое мнение.

— Вполне, — подтвердил доктор Пункто. — Я не решился высказать это сам, но согласен с вами. Мне было трудно выдвигать какие-либо гипотезы из опасения, как бы вы не подумали, будто я ищу причину лишь для того, чтобы свалить на нее вину за плохие измерения.

— О плохих измерениях не может быть и речи, — заявил я. — Я хорошо знаю вас как дотошного наблюдателя и не сомневаюсь в точности произведенных вами измерений. Я убежден, что причину обнаруженного вами явления — разбегания миров — следует искать в природе вещей.

— Но мы не можем довольствоваться одной лишь ссылкой на природу вещей, — заметил Пункто. — Необходимо понять причину явления, а ни малейшего шанса найти ее я не вижу.

— Зачем заранее отчаиваться? — попытался я успокоить своего друга. — Необходимо сначала проанализировать все факты и попытаться установить причину. Мы не вправе оставлять надежду на успешный исход поиска, прежде чем будут испробованы все средства.

— Я давно размышляю над загадочной причиной разбегания небесных светил, — произнес упавшим голосом доктор Пункто, — но безрезультатно. Не всегда нам удается проникнуть в тайны природы.

— Мы должны приложить все усилия, чтобы раскрыть эту тайну. Во всяком случае, перед нами весьма интересная проблема, — было мое мнение.

Доктор Пункто глубоко вздохнул и сказал:

— Разумеется, я весьма признателен вам за вашу готовность помочь мне, но боюсь, что на этот раз нам не удастся добиться успеха. Мне кажется, что мы не сумеем разрешить загадку, которую задала нам природа.

— Не оставите же вы меня без помощи? А вместе мы могли бы поддерживать друг друга всеми возможными способами! — воскликнул я.

— Вы несколько извратили положение дел, — удивился Пункто. — Разве вы нуждаетесь в моей поддержке? Я попал в затруднительное положение, и я обращаюсь к вам за помощью.

— Не будем спорить. Объединим наши силы, — примирительно сказал я. — Как и в предыдущем случае, будем обсуждать все идеи и предположения. Совместными усилиями в подобных случаях удается продвинуться дальше, чем одному. Начнем завтра же. Решено?

— С удовольствием, — согласился доктор Пункто, — но… как начать? С чего вы. хотели бы начать?

— Прежде всего, — сказал я, — мне хотелось бы взглянуть на численные данные. Не для того, чтобы проверить их или искать возможные ошибки. Я хочу посмотреть, не удастся ли нам извлечь из них что-нибудь полезное. Может быть, эти данные подскажут нам какую-то идею.

Доктор Пункто нашел мое предложение разумным, и мы условились о том, что на следующее утро я загляну к нему, чтобы просмотреть выкладки и познакомиться с их результатами. Наш гость покинул нас лишь поздно ночью. Настроение его заметно улучшилось.

На следующее утро я сидел в рабочем кабинете доктора Пункто. Мой друг подробно объяснил мне, как производились измерения и как обрабатывались численные данные. Вскоре я с головой погрузился в проблему. Прошло несколько дней, прежде чем я стал свободно разбираться во всех ее тонкостях, но в конце концов мы с доктором Пункто могли свободно обсуждать проблему во всех ее подробностях.

Пункто считал, что обсуждать нам по сути дела нечего, поскольку все факты в равной мере известны и мне, и ему. В этом доктор Пункто, несомненно, был прав.

— Попытаемся выяснить, — предложил я, — сколь велики могут быть вариации в результатах измерений, для того чтобы, производя вычисления с измененными данными, мы могли получить один и тот же результат.

— Что вы имеете в виду, говоря об измененных данных? — переспросил доктор Пункто. — Изменить базис мы не можем. Для этого нам понадобилось бы испросить у городских властей средства на строительство новой обсерватории. Если учесть, что полученные результаты не внушают особого доверия, то особенно рассчитывать на их согласие не приходится.

— А нельзя ли придумать совершенно иной метод измерения расстояний от нашего мирка до небесных тел? — решился спросить я.

Вопрос казался мне совершенно излишним, я не возлагал на него никаких надежд, но когда занимаешься поиском истины, то не следует упускать ни одной возможности. Мой вопрос, строго говоря, был обращен не к доктору Пункто, а к нам обоим. Ни один из нас так и не смог на него ответить.

Направляясь к своему дому, я мысленно перебирал самые разнообразные способы измерения расстояний. Подлежащее измерению расстояние мы могли бы пройти, а затем оценить его величину по времени, в течение которого мы находились бы в пути, но в данном случае такой способ абсолютно неприменим. Можно было бы выпустить снаряд в сторону интересующего нас небесного тела и засечь время, которое пройдет от выстрела до попадания в цель. Хотя этот способ столь же мало пригоден, как и… Впрочем, над ним стоит подумать. Почему бы в самом деле не воспользоваться снарядом? Каким еще способом можно было бы измерять расстояния? Ответа на эти вопросы мне найти не удалось.

Всю ночь я не мог заснуть. Вновь ожили в моей памяти подробности наших прежних поисков. Я снова увидел перед собой Лайнландию, услышал разглагольствования ее короля о том, как он измеряет расстояние до своих подданных по времени, которое необходимо, чтобы услышать ответ на испущенный им вопль. От подданных, расположенных поблизости от короля, ответ приходил мгновенно, но, чтобы услышать ответный крик от тех, кто жил на значительном удалении, приходилось какое-то время ждать. По этой задержке король и судил о расстоянии, отделяющем его от того или иного из подданных. А нельзя ли и в нашем пространстве измерять расстояния при помощи звука? Нет, это невозможно: звук не мог бы распространяться в безвоздушном пространстве, отделяющем нас от других миров. А что если попытаться измерять расстояния при помощи света? Свет — вот ключ к решению! Свет позволит нам измерить расстояния до небесных тел! Но как узнать, сколько времени шел к нам луч света от какого-нибудь далекого светила? Ведь нам не известно, в какой момент времени луч света покинул это светило. Значит, и свет не подходит для измерения расстояний. Утомленный своими бесплодными размышлениями, я заснул.

При первой же встрече с доктором Пункто я рассказал ему о своих размышлениях. Расстояния можно было бы в принципе измерять при помощи звука и света, но, к сожалению, добавил я, оба способа непригодны.

— Кажется, что один из способов все же не безнадежен, — возразил доктор Пункто. — Мы не можем точно определить тот момент времени, когда посланный нами световой сигнал достигнет далекого небесного тела. Нам неизвестно также, когда был испущен световой сигнал, пришедший к нам от него. Но, быть может, нам удастся послать световой сигнал, который дойдет до конца и снова вернется к нам. Измерив время, которое потребуется свету, чтобы пройти путь туда и обратно, мы смогли бы вычислить расстояние. Именно так оценивал дальность король Лайнландии: он издавал звуковой сигнал, а его подданный, услышав призыв своего монарха, тотчас же посылал ответный сигнал.

Замечание доктора Пункто заставило меня задуматься.

— Все это хорошо, — заявил я, — но нет никого, кто мог бы принять наш сигнал и послать ответный. Может быть, другие светила и обитаемы, но нам пока не удалось установить с ними контакт и научить их сотрудничать с нами на благо науки.

Доктор Пункто рассмеялся.

— Рассчитывать на помощь обитателей других планет особо не приходится, — сказал он, — но мы можем послать световой сигнал, который отразится от другого мира и снова вернется к нам.

— Да, — иронически заметил я, — но не можем же мы для этого установить на далеких мирах зеркала, которые бы отражали посланные нами световые сигналы.

— Возможно, что для этой цели удастся использовать лучи, испущенные специально разработанным устройством, — принялся размышлять вслух доктор Пункто. — Возьмите, например, радарные лучи. Они отражаются от любого предмета и вполне подходят для нашей цели.

Идея доктора Пункто показалась нам удачной, и мы решили использовать новые лучи для измерения межзвездных расстояний. Несколько недель ушло на установку специальной аппаратуры на космических станциях, но, как только монтаж ее был закончен, мы сразу же приступили к измерениям. Каждое расстояние мы измеряли одновременно и старым, и новым способами, и всегда оказывалось, что оба способа приводят к одному и тому же результату. Для близлежащих объектов старый способ определения расстояний построением треугольника оказывался наиболее точным. Для удаленных, объектов к более точным результатам приводили радарные измерения, поскольку базисное расстояние становилось слишком малым. Но и в том, и в другом случае между результатами, полученными по старому и по новому способу, наблюдалось великолепное согласие. Итак, не оставалось никаких сомнений в том, что все небесные тела разбегаются от нас, причем с различными скоростями.

Однако нам не удалось продвинуться ни на шаг по пути к объяснению чудесного явления — разбегания миров. В надежности полученных доктором Пункто результатов сомневаться не приходилось. Следовательно, нам не оставалось ничего другого, как, опираясь на эти результаты, попытаться установить причину загадочного явления.

Я предложил составить список всех известных светил и рядом с каждым из них указать его «особые приметы» (свойства, позволяющие отличать его среди остальных светил) и скорость, с которой оно удаляется от нас.

Небесные светила не обладали каким-нибудь определенным цветом, а отличались множеством оттенков. Одни были красноватыми, другие — желтыми или голубоватыми. Были и светила промежуточных оттенков. Насколько можно было судить, цвет светила никак не связан со скоростью, с которой оно удаляется от нас.

Среди более удаленных светил известных, естественно, оказалось меньше, чем среди близлежащих, но не всегда светило, видимые размеры которого были больше, располагалось к нам ближе, чем светило с меньшими видимыми размерами. Зная расстояние, на котором находится от нас небесное тело, можно по видимой величине вычислить его истинную величину. В свою таблицу мы заносили истинную величину светил, но установить зависимость между этой характеристикой светил и скоростью, с которой они удаляются от нас, нам также не удалось.

Искомую зависимость мы обнаружили, лишь когда добрались до следующей характеристики небесных тел — расстояния, отделяющего их от нас. Все оказалось предельно просто и ясно: светила, расположенные на большом удалении от нас, двигались с большей скоростью, чем светила, расположенные на меньшем удалении, поэтому нам и казалось, что никакого разбегания не происходит. Скорость разбегания возрастала пропорционально увеличению расстояния от нас до светила. Итак, зависимость мы установили, но как ее объяснить?

Естественно напрашивалось предположение о том, что скорость света по мере удаления от источника падает. Но подобная гипотеза выдержала бы проверку лишь в том случае, если бы мы все расстояния измеряли по времени, которое требуется световому сигналу, чтобы дойти до интересующего нас тела и, отразившись от него, вернуться обратно. Однако измерение расстояний по методу построения треугольников приводило к тем же результатам. Следовательно, разбегание миров нельзя было приписать замедлению скорости света. Причина этого странного явления крылась в чем-то другом, и нам предстояло ее найти.

29. РАСШИРЯЮЩАЯСЯ ЦИРКУЛЬЛАНДИЯ.

Несколько дней я бился над проблемой и уже начал сомневаться в том, что мне удастся найти правильное решение. Однако я не утратил бодрости духа. По опыту мне хорошо было известно, что идея, дающая ключ к правильному решению, может осенить внезапно, в самый неожиданный момент, когда исчезает последняя надежда. Нужно лишь неотступно думать о проблеме, все время — в большей или меньшей степени — заниматься ею и не забывать о ней даже во сне.

Я не знал ни секунды покоя. Но все было напрасно. Причина разбегания далеких миров так и не прояснилась, но я не сдавался. Я не оставлял проблему в покое, и проблема не давала покоя мне. Однажды, вернувшись домой после небольшой прогулки по городу, я застал в гостиной внука, игравшего в солдатики. Он снова расставил их по кругу сравнительно небольшого диаметра. Солдатики расположились по окружности так тесно, что двигаться им было почти некуда. Внуку это мешало, и он расширил окружность, при этом расстояния между солдатиками увеличились.

— Что ты так смотришь, дедушка? — спросил мои внук.

— Размышляю над твоей игрой, малыш, — ответил я. — Почему ты увеличил окружность?

— Чтобы солдатикам было просторнее, — объяснил внук. — Чем больше окружность, тем больше пространство, а значит, и расстояние между солдатиками. Вот и все.

— Нет, не все, — возразил я. — Офицер, должно быть, заметит, что солдаты стали выполнять его приказы не так быстро, как раньше. Ведь теперь требуется больше времени, чтобы любой приказ, отданный офицером, успел дойти до солдат.

— Конечно, ведь солдаты теперь находятся на большем расстоянии от офицера, — согласился мой внук. — Чем дальше они расположены от офицера, тем больше проходит времени, прежде чем они услышат приказ.

Я стоял и молча смотрел на игрушечных солдатиков, я, старый математик. В ответе моего внука мне почудилось решение занимавшей меня проблемы! По крайней мере одно из возможных решений, а может быть, и единственное ее решение! Расстояния между солдатиками увеличились потому… потому… ах, да!., потому, что расширилась выстроенная из солдатиков окружность, то есть мир, в котором они обитали. Итак, их мир расширился. Расширился! Расширился?

Не слишком ли необычное направление приняли мои рассуждения? Может ли расширяться пространство? Может! Окружность, выстроенная из солдатиков, действительно расширилась. А что если способностью расширяться обладает лишь один тип миров — тип миров, имеющих форму окружности? Словно во сне, я прошел в свой кабинет и, утомленный прогулкой и нескончаемыми размышлениями, впал в забытье.

Мне снова привиделась Циркульландия. Передо мной были король и его подданные. Король казался озабоченным. Чем? Это мне было ясно. Он испустил свой призывный клич. Услышав голос короля, каждый из подданных должен немедленно отозваться. Сначала на призыв откликнутся ближайшие соседи короля, затем те, которые расположены дальше, и так далее. Король сделал все, как подобает властителю Циркульландии, более того, он издал не один, а три вопля, и что же? Ответы пришли с большим запозданием! Мне было понятно, почему так получилось. Я видел, что пространство, в котором обитал король, его владение, его пространство, имеющее форму окружности, расширяется. Расстояния между его подданными увеличиваются, и время, которое требуется звуку, чтобы дойти от короля до любого из подданных и вернуться обратно, с каждым разом возрастает. Король все дольше ждет ответа. Я видел, почему так происходит! Циркульландия расширялась, а король не мог этого понять! Он считал, что подданные пренебрежительно относятся к выполнению его приказов. Король Циркульландии должен был бы понять, что причина задержки ответов кроется в чем-то ином: слишком явная закономерность обнаруживается в запоздании, с которым звук достигает слуха суверена Циркульландии.

^{Расширяющаяся Циркульландия. Расстояния между предметами увеличились,}

Может быть, объяснить ему истинную причину «неповиновения» его подданных? Ох нет! Хватит с меня и прежних бесед с королем Циркульландии. Ведь он ни за что не поверит мне! Разумеется, винить его за это нельзя, поскольку он, будучи существом одномерным, просто не в силах понять меня. Как может подобное существо представить себе расширение окружности, если ему не известно, что такое окружность? Существо, обреченное всю свою жизнь двигаться лишь вдоль кривой, не может постичь, что такое кривизна, ибо восприятие кривизны доступно лишь существам, живущим по крайней мере в двумерном пространстве. Для короля Лайнландии или Циркульландии мои объяснения — слишком ученая материя.

Не знаю, когда я проснулся. Мой сон незаметно перешел в размышления наяву. Трудно сказать, дремал ли я или просто глубоко задумался. Перед моим мысленным взором неотступно стояла Циркульландия, расширяющаяся Циркульландия, а я снова вернулся в мой собственный мир, в мою Флатландию, в Флатландию, искривленную в невидимом мне направлении, в мою Сферландию. Здесь также расстояния увеличивались. А что если…? Вот именно! А что если и…?

30. РАСШИРЯЮЩАЯСЯ СФЕРЛАНДИЯ.

Итак, следующий шаг оказался весьма трудным. Трудным или лишь необычным? Впрочем, какая разница, если шаг сделан. В расширяющейся Циркульландии расстояния между предметами увеличивались. В расширяющейся Сферландии расстояния между различными мирами, которые находятся в ней, также должны возрастать. Мне захотелось обсудить эту идею с доктором Пункто. Интересно, что он скажет? Я выбежал из дому, чтобы встретиться со своим другом и сотрудником.

Мы подробно обсудили проблему. Доктор Пункто нашел мою идею весьма интересной, хотя и необычной. Да, идея была необычной, даже весьма необычной, но вся ее необычность обусловлена лишь нашей двумерностью. Расширяющаяся Циркульландия не вызывает у нас удивления, хотя королю Циркульландии, столь почитаемому за мудрость ее обитателями, не под силу представить себе кривизну пространства.

Пункто отправился проводить меня до дома. Мы не говорили более на интересующую нас тему. Обсуждать пока было нечего, нужно было как следует все обдумать.

Погруженные в размышления, мы шествовали рядом, не зная куда. Мы брели наугад, не замечая ничего вокруг. Так мы дошли до газового завода, и тут на глаза нам попалось газохранилище, которое как раз в это время наполняли. Наши газохранилища представляют собой упругие оболочки, выполненные в форме окружности. По мере наполнения газом оболочка раздувается. Мне неоднократно приходилось наблюдать, как это делается. В юности нас часто интересуют подобные вещи, хотя на старости лет они кажутся нам скучными. Без особого интереса я взглянул на оболочку и вдруг встрепенулся. На раздувающейся оболочке виднелись какие-то знаки, буквы. Вскоре их можно было различить. Надпись призывала: «Пользуйтесь газом для приготовления пищи». Сначала все буквы стояли вплотную одна к другой, но по мере того как оболочка раздувалась, промежутки между буквами все больше увеличивались.

— Видите вон там, — спросил я доктора Пункто, — расширяется оболочка газохранилища.

— Да, — ответил он, — и промежутки между буквами возрастают.

Значит, и он заметил то же самое.

— Представим себе, что мы следим за какой-нибудь одной буквой, — сказал я, — Расстояния, отделяющие ее от других букв, возрастают. Предположим, что на этой букве находится существо, способное воспринимать другие буквы. Оно заметит, что все буквы удаляются от него, прячем те буквы, которые расположены ближе, удаляются быстрее, а буквы, расположенные дальше, — медленнее.

— Понял! — воскликнул доктор Пункто. — Мы нашли то, что искали! Это и есть решение проблемы! Нечто подобное происходит и в нашей двумерной искривленной Флатландии, в нашей Сферландии. Наше пространство увеличивается, оно расширяется, и поэтому расстояния между всеми мирами увеличиваются, а нам кажется, будто эти миры удаляются от нас.

— Да, причем более далекие миры удаляются с большей, а расположенные ближе — с меньшей скоростью, — добавил я.

— Мы нашли решение, — воскликнул доктор Пункто, не в силах скрыть свою радость, но тотчас же с огорчением добавил: — Но наше решение ни за что не признают ученые.

Увы! Мой друг оказался прав! Когда через несколько дней его вызвали на факультет с отчетом о проделанных измерениях, он, естественно, не мог привести данных, которые были бы «лучше» прежних, и попытался объяснить односторонние изменения расстояний ссылкой на нашу гипотезу о расширяющемся пространстве. Доктора Пункто выслушали с холодным равнодушием. Ученые господа не скрывали, что считают подобные объяснения отговорками, которые доктор Пункто придумал специально для того, чтобы как-то выпутаться из затруднительного положения. Мой друг почувствовал тщетность всех своих попыток объяснить истинное положение вещей и не удивился, когда несколько дней спустя получил официальное уведомление об увольнении. Городские власти не могли более не считаться с мнением высокоученых господ из университета.

Это событие вызвало у нас чувство глубокой досады. Мы понимали, что нашли правильное решение проблемы, но были бессильны: ученый мир не мог его понять. Обсуждая сложившуюся ситуацию дома, я сказал: «Доктор Пункто гораздо умнее всех этих ученых господ из университета», а моя жена добавила: «И мой муж тоже». Столь лестное мнение было слабым утешением, в особенности для доктора Пункто, которому увольнение с поста директор космических обсерваторий нанесло весьма ощутимый удар. Свою вторую отставку он воспринял с покорностью. Мой друг решил, что это судьба, с которой, как известно, особенно не поспоришь.

31. ЧУДЕСА В ТРЕХМЕРИИ.

Для холостяка, у которого во всем мире не было никого из близких, дружба с моим семейством была весьма привлекательной, и доктор Пункто сам попросил разрешения провести новогодний вечер в нашем кругу.

Мы собрались в зале, сели в круг, я как глава семьи расположился в центре. Как и во все предыдущие встречи Нового года, мне пришлось рассказать сказку. Я делал, это на протяжении многих лет и всегда с неизменным удовольствием. Но тут выяснилось, что все известные сказки я уже рассказал, а новых сказок не было. Впрочем, как сказать! Мне пришло в голову, что я могу рассказать не новую сказку, а старую, лишь облачив ее в новый наряд, предложить вниманию присутствующих новое решение старой проблемы. И я начал рассказывать сказку о спящей красавице.

Мне предстояло поведать о том, что вокруг замка рос лес, ставший за сто лет абсолютно непроходимым, и объяснить, каким образом принц, не будучи Равнобедренным Треугольником с чрезвычайно острым углом при вершине, сумел тем не менее прорубить в этом лесу проход.

Придуманное мной решение этой старой загадки состояло… в расширении нашего пространства. Я рассуждал так: поскольку наше пространство расширилось, то расстояния между деревьями увеличились, а раз деревья расположились дальше друг от друга, то между ними появились просветы. Я сам был в восторге от своей выдумки, и меня очень разочаровало, что моих внуков предложенное мной решение старой загадки (каким образом принцу удалось проникнуть в замок, окруженный непроходимым лесом) не убедило. Они очень любили старый вариант сказки о спящей красавице и не терпели никаких отклонений от него. Я рассказал детям о том, что на расширяющейся окружности расстояния между всеми ее точками увеличиваются. Мой старший внук спросил: «Но ведь мы живем не на окружности?», после чего мне стало ясно, что он не допускает и мысли о расширяющемся двумерном пространстве. Если не считать доктора Пункто, то всем остальным мой рассказ также показался непонятным. Сказку о спящей красавице поняли лишь двое: сам рассказчик и его гость.

К счастью, всеобщее внимание привлекли поданные окружности на масле. Любимое блюдо создало подлинно предновогоднее настроение.

Когда дети отправились спать, взрослые остались, с нетерпением ожидая новогоднего визита Сферы, и Сфера не заставила себя долго ждать. С двенадцатым ударом часов она появилась в нашем пространстве. После взаимных приветствий завязался разговор на самые жгучие темы, после подробного рассказа о событиях минувшего года я спросил, что думает наша трехмерная гостья о найденном нами решении. К величайшему нашему удовлетворению, оказалось, что полученное нами решение правильно. Сфера поведала нам о том, что наше пространство представляет собой расширяющийся двумерный мир, то есть не окружность, а поверхность сферы все увеличивающегося радиуса.

Сфера, будучи трехмерным существом, могла непосредственно наблюдать расширение между всеми точками на поверхности нашей сферы. Наш гость из трехмерного пространства видел, как «разбегаются» друг от друга города и села на поверхности сферы, причем расстояния между населенными пунктами, расположенными дальше от нее, увеличивались быстрее, чем расстояния между населенными пунктами, расположенными ближе к ней.

Мы были очень довольны, но меня мучил еще один вопрос, который я непременно хотел, но опасался задать Сфере. Мой сын отважился спросить у Сферы о том, на что у меня не хватило духу: не существует ли аналогичного явления в трехмерном мире? К счастью, Сфера не рассердилась, а спокойно объяснила, что трехмерное пространство расширяется так же, как и наша Сферландия. В трехмерном мире существуют свои Вселенные, называемые туманностями, поскольку они находятся на столь больших расстояниях, что еле видны и имеют вид небольших пятнышек. Эти пятнышки удаляются одно от другого, причем так же, как у нас в Сферландии, скорость, с которой движется такое пятнышко, тем больше, чем больше расстояние до него.

Из объяснений нашего гостя мы поняли, что непрерывно расширяться может не только искривленный мир одного измерения — Циркульландия, но и искривленный мир двух измерений — Сферландии и даже мир трех измерений — искривленное Трехмерие. Понять, что трехмерный мир расширяется, Сфере было так же нелегко, как нам осмыслить расширение сферической поверхности, на которой мы живем.

Теперь мы твердо знали, что наш мир непрерывно расширяется, но, кроме нас, об этом не знала ни одна душа во всей Сферландии. Мы были одиноки, совсем одиноки!

32. НЕПОНЯТЫЕ И ОСМЕЯННЫЕ.

Мы чувствовали, что совершили открытие необычайной важности. Лишенные тщеславия, мы все же полагали, что наши заслуги непременно должны быть отмечены соплеменниками. Тем не менее доктор Пункто и я сходились на том, что время для этого еще не настало. Мир еще не созрел для восприятия новых идей. Нас не могут понять. Как нередко случается в истории, лишь позднее обитатели Сферландии поймут, что двоим из них — доктору Пункто и мне — удалось намного опередить свое время. Может быть, когда-нибудь нам соорудят памятник — такой же, как моему деду, которого стали почитать лишь много лет спустя после его смерти.

Нам казалось совершенно бессмысленным еще раз идти на поклон к ученым господам из университета и вновь представать перед широкой публикой в роли безумцев. Настанет время, и все поймут, что мы были правы и наш взгляд на вещи был единственно верным. Кто-нибудь другой заново обнаружит, что расстояния увеличиваются со временем, и примется искать объяснения столь странному явлению. При этом он сначала будет исходить из представления о плоском, не искривленном пространстве и, разумеется, никак не сможет объяснить, почему расстояния между точками все время увеличиваются. Но потом ему просто не останется ничего другого, как прийти к правильному объяснению. Тогда обитатели Сферландии поймут, что наше пространство искривлено и что это искривленное пространство расширяется.

Сколько времени потребуется, прежде чем новые идеи пробьют себе дорогу, мы не знали. Возможно, что мой внук доживет до того времени, когда его деда, которого при жизни считали безумцем, назовут «Открывателем Расширяющегося Искривленного Пространства». Но возможно и другое: понадобится много поколений, прежде чем обитатели Сферландии созреют для новых идей.

Жизнь продолжалась. Я приказал своей жене не сообщать о моих открытиях миру, который не желал ничего знать о них. В мои намерения отнюдь не входило подготавливать мир к восприятию моих идей. Он сам созреет для них, сам придет к ним. Придет, но позднее! Именно поэтому я изложил все свои открытия в этой книге.

Закончив рукопись, я переплел ее и отдал на хранение в городскую библиотеку. На обложку я наклеил этикетку, на которой написал: «Вскрыть после того, как получит признание теория расширяющегося мира».

До тех пор пока такую надпись будут считать безумной, моя рукопись будет спокойно лежать на полке, но, быть может, настанет время, когда взгляды на структуру пространства изменятся настолько, что библиотекарь, которому попадется в руки моя рукопись, раскроет ее. Я надеялся, что к тому времени ученые будут отличаться большей широтой взглядов, чем нынешние представители физико-математического факультета, и среди них найдутся лица, которые заинтересуются моей рукописью и приведенными в пей данными и посмертно опубликуют мой труд. Это непременно должно случиться.

Сферу мы больше не видели. Возможно, что она умерла. Надо думать, что в ночь под Новый год к концу века к нам в Сферландию прибудет официальный посол из Трехмерия. К сожалению, меня к тому времени уже не будет в живых.

Достигнув установленного возраста, я перестал зависеть от благорасположения городских властей. Доктор Пункто, напротив, еще молод, и безделье ему не по вкусу. Он долгое время оставался без работы, но потом ему помогли вновь устроиться. Разумеется, он никогда более не занимал руководящих постов в научных кругах. Ему не доверяли проведение измерений расстояний в космическом пространстве и не использовали в качестве землемера. Его назначили налоговым инспектором — должность довольно мелкая, но он и ей был чрезвычайно рад. Ведь это была работа, связанная с числами! Особой точности при этом не требовалось, а его причудливые идеи обратили на него внимание начальства и на этом посту.

Друзей у доктора Пункто было мало, и, разумеется, в приличные семьи его не приглашали. Однако у нас он всегда был желанным гостем и неизменно высказывал нам свою признательность за дружеский прием.

Примечания.

1.

Шестиугольник определяет конгруэнтные фигуры, считая первичным движение. При другом подходе мы называем конгруэнтными фигуры, совместимые не только при собственных движениях, но и при отражениях, и задаем их свойства аксиоматически. — Прим. ред.

2.

Искаженное «додекагон» — двенадцатиугольник, — Прим. перев.

3.

Гиперокружность (флатл.) — двумерная сфера в привычном для нас трехмерном пространстве. — Прим. перев.