Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра.

Книга, название которой подсказано книгой Вейля - это воспоминания и мысли геометра и математика Бориса Абрамовича Розенфельда, который интересовался вопросами истории науки и философии, побывал во многих странах и встречался со многими людьми. Книга состоит из 18 глав, первые 15 из которых являются воспоминаниями, в последних 3 главах изложены мысли геометра, историка и философа.

Розенфельд Борис Абрамович.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

В 1918 г. великий математик первой половины ХХ века Герман Вейль написал книгу " Пространство, время, материя " (Raum, Zeit, Materie). Эта книга, написанная в период триумфального шествия общей теории относительности, выдержала до 1923 г. 5 изданий и сыграла важную роль в истории геометрии и физики.

Моя книга, название которой подсказано книгой Вейля, носит совсем другой характер - это воспоминания и мысли геометра, который интересовался вопросами истории науки и философии, побывал во многих странах и встречался со многими учеными.

Книга состоит из 18 глав, первые 15 из которых являются моими воспоминаниями, в последних 3 главах изложены мысли геометра, историка и философа.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ВОСПОМИНАНИЯ.

Глава 1. КОРНИ. ПЕРВЫЕ ГОДЫ (1917-1921) Фамилия Розенфельдов.

Я не знаю имен моих предков дальше прадеда, которого звали Ицхак Розенфельд. Знаю только, что мои предки были "когенами", т.е. потомками первосвященников Иерусалимского храма.

Пройдя за почти две тысячи лет через Северную Африку, Испанию, Голландию, Германию и Польшу, они добрались до Белоруссии. По пути несколько раз меняли свой разговорный язык, говорили на языке окружающего населения в тех странах, где не были в изоляции, и сохраняя язык отцов и дедов в тех странах, где жили изолированно. В Белоруссии евреи говорили на " идиш " - диалекте немецкого языка с добавлением слов языка иврит (древне еврейского) и словянских слов. В качестве типичной фразы на идиш приведу те слова, которыми я приветствовал бабушку в дни еврейских праздников: "Бобе, гут йомтов", - здесь "бобе" происходит от русского слова "бабушка", "гут" - немецкое слово "добрый", "йомтов" - "праздник" на иврите.

Из Германии мои предки вывезли фамилию Розенфельд - "Поле роз". Такие цветистые фамилии в самой Германии бывали только у евреев, христиане имели такие фамилии только в Голландии и Прибалтике, где они писались в форме Roosenveld и Rosenfeldt. От голландских Розенфельдов произошла фамилия Рузвельта Roosevelt, поэтому Гитлер считал президента Рузвельта евреем и называл его "der Jude Rosenfeld ".

Витебск.

Родной город моего отца Витебск находится в Белоруссии при впадении речки Витьба в Западную Двину. Город впервые упоминался в 983 г. Он был центром Витебского княжества, которое перешло по наследству от последнего витебского князя к его зятю литовцу Ольгерду, и, когда Ольгерд стал великим князем литовским, было присоединено им к Литве. Впоследстии, после объединения Литвы с Польшей, Витебск вошел в состав Польши, а после первого раздела Польши - в состав Российской империи. Евреи поселилигь в Витебске, когда он принадлежал Польше.

Витебск стал центром губернии, в которую входил древний город Полоцк и город Двинск (Динабург) - ныне латвийский город Даугавпилс Дина - немецкое название Западной Двины, Даугава - ее латышское название.

Дедушка Шмуэл - Ноах.

Мой дед Шмуэль-Ноах бен Ицхак Розенфельд (1863-1923) родился в местечке Лиозно близ Витебска в небогатой и очень религиозной семье. В русских документах деда звали Шмуль-Неух и Самуил-Наум.

Своим учителем дедушка считал раввина из местечка Копысь, которого в семье называли "копишенер ребе". 16-ти лет дед окончил ешиву и получил право стать раввином. Но раввином он не стал : его глубокая религиозность и хорошее знание священных книг, которые в то время считались свидетельством высоких моральных качеств, привлекли внимание богатого витебского купца Боруха-Аарона Левьянта. Левьянт выдал за него свою единсевенную дочь Фриду-Алту (1863-1943). Меня назвали Борисом в честь ее отца. Левьянт помог молодоженам открыть ювелирный магазин, товары первоначально были получены в кредит благодаря высокой репутации деда.

Впоследствии деду и бабушке принадлежало несколько ювелирных магазинов на одной из главных улиц Витебска, и дедушка получил звание купца второй гильдии. Торговлю и хозяйство семьи вела бабушка, которая унаследовала у своего отца деловую хватку и предприимчивость, а дедушка читал священные книги и размышлял о них.

Через несколько лет семья стала богатой, ей принадлежали несколько ювелирных магазинов в Витебске, три из которых находились в том же доме, где жила семья. Дед получил звание купца второй гильдии.

Переезд деда в Витебск был, по-видимому, связан с тем, что в этом городе жил его однофамилец, возмижно, родственник Шмуэль (Шмуйла) Бенъямин Розенфельд (ум. ок. 1900), автор комментариев к Библии, изданных в Вильно в 1993 г. В Отделе рукописей Государственной Библиотеки им. Ленина в Москве я обнаружил два трактата Шмуйлы Розенфельда, написанные в 1860-х гг., в одном из которых перечисляются все птицы, упоминаемые в Библии, а в другом - все географические названия в Библии.

В первое время после установления советской власти в Витебске большевики не трогали моего деда, как они поступали с другими "буржуями", по-видимому по той причине, что одним из близких соратников Ленина был Лев Борисович Каменев, настоящая фамилия которого была Розенфельд.

Мой отец рассказывал мне, что вскоре после Октябрской революции дед получил богатую посылку из Москвы от Л.Б.Каменева, который, по- видимому, был внуком Шмуйлы Розенфельда и ошибочно отождествлял его с моим дедом. Дед отправил посылку обратно, после чего витебские большевики поняли, что у него нет никаких контактов с Кремлем. После этого чекисты забрали все товары из магазинов деда и все ценные вещи из его квартиры и арестовали бабушку. После возвращения бабушки она и дед переехали в Москву, где поселились в квартире их зятя Марка Шагала.

Дед и бабушка умерли в Москве, я хорошо помню их обоих. Во время войны бабушка была в эвакуации вместе с моей мамой в городе Кирове (Вятке), и умерла вскоре после возвращения в Москву.

Когда мы с отцом после войны посетили Витебск, дома, в котором жила семья моего отца, уже не было, на его месте был сквер. Младшая сестра моего отца Берта в книге "Горящие огни", воспоминании о своем детстве и юности, подробно описала этот дом. Дом был четырех этажный с внутренним двором. На первом этаже были три ювелирные магазина деда и бабушки, гостиница, с окнами выходившими во двор, кондитерская Жана- Альберта и несколько магазинов, принадлежавших разным хозяевам.

Дедушкина квартира находилась на втором этаже. В одной из комнат было несколько шкафов с книгами, религиозного содержания, написанными на иврите. Дед часто читал эти книги и размышлял над ними.

В семье было 10 человек. Магазины деда были разорены в 1918 г. чекистами, они забрали не только все товары, но также сейфы и даже столовое серебро, подняли паркет и продырявили стены в поисках спрятанных сокровищ, и продержали бабушкку несколько дней в тюрьме.

После разорения дед и бабушка переехали в Москву и поселились в квартире тети Берты в "доме со львами " на углу Садового кольца и Лихова переулка.

Дед умер в Москве в 1923 г., бабушка, которая была его сверстницей, пережила дедушку на 20 лет. Мы с отцом посещали бабушку каждый праздник, разговаривали мы с ней только на идиш.

Дядя Исаак Розенфельд.

Дед и бабушка имели 8 детей - 6 сыновей и 2 дочерей. Старший сын Исаак (1881-1978), унаследовал от своего отца любовь к философским размышлениям, но в отличие от него, вышел за пределы еврейской религиозной литературы и стал читать философские книги на русском и европейских языках. Дед сначала запрещал ему это и даже рвал его книги, но позже смирился и в 1903 г. разрешил Исааку учиться в немецкой Швейцарию. Исаак закончил философский факультет в Берне и в 1913 г. защитил диссертацию и получил звание доктора философии. Эту диссертацию прислала мне его дочь Белла. Она называлась "Двойная истина " и была посвящена истории развития идеи Аристотеля о различной природе "подлунного " и "надлунного " миров, т.е того, что происходит на Земле и в космическом пространстве. Древние называли первый из этих миров " миром физики ", а второй - "миром математики ". Они считали, что в последнем возможно только равномерное движение по идеальным линиям - прямым и окружностям. Поэтому знаменитый астрономический труд Птолемея назывался "Математическая система".

Исаак не смог найти работу по специальности философа и вновь обратился к еврейской религии. Переехав во французскую Швейцарию, он подружился с раввином, эмигрантом из Польши, и женился на его дочери Гинде. Семью надо было кормить и следовало приобрести другую специальность. Исаак окончил медицинский факультет университета в Лозанне, и в 1924 г. защитил докторскую диссертацию по практической медицине. Исаак и Гинда переехали в Париж, где Исаак работал врачем. В 1930 г. родилась их дочь Белла. Во время войны семья эвакуировалась в Швейцарию. Моя дочь Светлана посетила дядю Исаака незадолго до его смерти. Я попал в Париж только в 1989 г., когда не было в живых и Гинды. Я познакомился с Беллой, ее мужем Яшей Зельцером и их дочерьми Алиной и Розали. Белла работала переводчицей, Яша-фотографом, одна из дочерей - экономистом, а другая - учительницей французского языка. Недавно Алина с мужем и дочерью ездили в Москву и Витебск на празнование юбилея Марка Шагала.

Тетя Анна и Абрам Гинзбург.

Старшая сестра отца Анна Наумовна (1882-1946) и ее муж Абрам Моисеевич Гинзбург (1878-ок.1940), известный экономист и публицист, в молодости были активными социал демократами - меньшевиками. Абрам вел революционную пропаганду в рабочих кружках в Витебске. В одном из этих кружков он встретил Анну и привлек ее к революционной работе. В 1902 г. Анну и Абрама арестовали и выслали в Иркутск. Там они поженились, и в 1907 и 1909 гг. родились их сыновья Валентин и Леонид.

В 1910 г. семья вернулась в Европейскую Россию. В 1911 г. Абрам сдал экзамены за курс юридического факультета Петербургского университета. Гинзбург был автором многих статей и книг, главным образом по экономике. Свои публикации он подписывал псевдонимом Наумов - по отчеству своей жены.

В 1912 г. Гинзбурги переехали в Киев, где Абрам сотрудничал в газате "Киевская мысль ".

В 1914 г. на квартире Гинзбургов состоялась свадьба моих родителей.

После Февральской революции Гинзбург стал заместителем городского головы Киева. После установления советской власти в Киеве Гинзбург работал в Киевском Губсовнархозе и Губплане.

В 1922 г. семья переехала в Москву, где Гинзбург стал одним из руководящих работников Всесоюзного Совета Народного Хозяйства (ВСНХ).

Я хорошо помню первую московскую квартиру Гинзбургов в Шереметьевском переулке около Воздвиженки и их вторую квартиру на Мантулинской улице на Пресне.

А.М. Гинзбург был также профессором и заведующим кафедрой экономики промышленности Института Народного Хозяйства им. Плеханова. По материалам своих лекций в 1925 -1927 гг. он издал 2 тома книги "Экономика промышленности СССР ". А.М. Гинзбург активно учасствовал в разработки первого пятилетнего плана развития экономики СССР.

Сын Гинзбургов Валентин, как и отец, был экономистом, Леонид - инженером.

В 1931 г. А.М. Гинзбург являлся одним из главных обвиняемых на процессе "Союзного Бюро партии меньшевиков" и был приговорен к 10 годам заключения.

После ареста мужа тетя Анна работала гардеробщицей в университете. Валентин и Леонид участвовали в Великой Отечественной войне. Валентин - офицером, а Леонид - солдатом. Валентин вернулся с тяжелым ранением головы, а Леонид погиб.

Я часто беседовал с Валентином. Мы вместе ездели с ним в Ленинград на похороны дяди Якова.

Дядя Яков Розенфельд.

Второй сын моего деда Яков Самойлович (1883 - 1973). В отличие от своего старшего брата был сразу отпущен дедом за границу для учебы. Дядя Яков был студентом филосовского факультета в Женеве. где встречался с Плехановым, и примкнул к возглавляемой им социал- демократам - меньшевикам. Позднее Яков переехал в немецкий город Гессен, где учился на экономическом факльтете ыниверситета и участвовал в работе революционных кружков русских социал - демократов.

Вернувшись в Россию дядя Яков поселился в Петербурге и установил связи с социал - демократами этого города. Его дружба с переводчицей Зинаидой Арцыховской перешла во взаимную любовь, но жениться на ней он не мог. так как для этого надо было креститься, а этого его отец никогда бы не позволил.

Яков готовил пролетарского поэта Демьяна Бедного по программе гимназии, эти занятия перешли в долголетнюю дружбу.

В 1908 г. Я.С. Розенфельд поступил на службу в Совет съездов представителей промышленности и торговли, а в 1915 г. - в Военно- промышленный комитет Союза земств и городов, где заведовал отделом труда и металлургии. Служба в этом Союзе приравнивалась к военной службе, его сотрудники носили военную форму и их в шутку называли "земгусарами". Яков устроил в руководимый им отдел Демьяна Бедного и своего шурина Марка Шагала.

После революции Яков хотел жениться на Зинаиде Арцыховской, но его отец это не разрешил. Яков женился на преподавательнице английского языка Анне Марковне Биндерман.

С 1921 г. Я.С. Розенфельд читал лекции по экономике в различных учебных заведениях Петрограда, в 1926-1939 гг. был профессором Ленинградского политехнического института. В 1926 г. Яков начал читать лекции на экономическом факультете Ленинградского университета.

Я.С. Розенфельд автор книг по экономике, важнейшая из которых - "Промышленная политика СССР 1917-1925". Когда я приезжал в Ленинград, то часто останавливался у дяди Якова.

Летом 1941 г. Анна Марковна вместе с семьями других профессоров университета была эвакуирована в Саратов.

В блокадную зиму в Ленинграде о Якове заботилась и спасла его от смерти его первая жена Зина, отдавая ему часть своего пайка. Зина умерла этой же зимой, Яков похоронил ее на Пискаревском кладбище. Весной 1942 г. Яков был эвакуирован в Саратов.

Во время войны Яков изучал экономику союзников и в 1946 г. выпустил книгу " Промышленность Соединенных Штатов Америки и война". В 1947 г. во врямя "борьбы с космополитизмом" Я.С. Розенфельда за эту книгу обвиняли в " преклонении перед американским капиталом " и уволили из университета. Но ректор университета экономист Вознесенский, брат члена Политбюро ЦК ВКП(б), восстановил его на работе и назначил деканом экономического факультета.

В 1949 г. по "ленинградскому делу" обоих братьев Вознесенских растреляли, а Якова арестовали, и он находиля 6 лет в лагере ГУЛАГа в Караганде.

После возвращения в Ленинград Яков вышел на пенсию, но продолжал руководить аспирантами, участвовал в выпуске книги "История машиностроения в СССР " (1961 г.). После смерти Анны Марковны Яков жил в семье ее племянницы.

Другие братья отца.

В Ленинграде жили также братья отца Аарон (1884-1940) с женой Розой и Израиль (1886-1942) с женой Геней. Аарон, который при жизни своего отца выполнял его торговые поручения, занимался торговлей, а Израиль, которого его отец посылал в Бельгию изучать ювелирное дело, служил в одной из ленинградских торговых организаций. Дочь Розы Лиля в возрасте 13 лет умерла от менингита, от этого несчастия ее родители не смогли оправиться до конца своей жизни. Аарон Израиль с женами часто приезжали в Москву и бывали у нас.

Внучатная племянница тети Розы Валя Борок и ее муж Яша Житомирский были математиками, студентами Г.Е. Шилова в Киеве и его аспирантами в Москве. С Яшей я несколь лет работал в Коломне. Они стали докторами наук и профессорами в Харькове - Валя в университете, а Яша - в техническом институте.

Брат отца Мендель (1888-1933) жил в Москве и часто бывал у нас. Он экстерном окончил гимназию и стал врачем. Его жена Сарра работала фармацевтом, их дочь Рая Липович - медсестрой.

Тетя Берта и Марк Шагал.

Младшая сестра отца Берта (1890 -1944) была женой знаменитого художника Марка Шагала (1887-1985), который также родился в Витебске. Берта окончила витебскую гимназию и училась в Москве на Высших Женских Курсах, где изучала историю и философию.

Настоящее имя Шагала было Мордухай - Моисей. " Марк" - традиционный перевод имени Мордухай. Замечу, что фамилия предков Карла Маркса была Мардахай. Когда отец Карла Маркса крестился, он "перевел" свою фамилию словом Магх. Когда Шагал жил в Москве я называл его "дядя Моисей". Отец Шагала Хацкель (Захар ) был приказчиком в лавке торговца селедкой.

Марк Шагал учился живописи сначала в Витебске у Ю. Пена, а потом в Петербурге у Н. Рериха, Л. Бакста и М. Добужинского, затем он совершенствовал свое искисство в музеях и на выставках художников Парижа.

В 1914 г. Шагал возвратился в Россию, в 1915 г. женился на Берте Розенфельд, которую с этого времени называли Беллой. Шагал с женой уехали в Петроград, где Шагал служил в Военно-промышленном комитете. В 1916 г. у них родилась дочь Ида, названная в честь матери Марка.

В 1918 г. семья Шагалов находилась в Москве и меня годовалого ребенка привезли на празнование 2-летия Идочки. В том же году нарком просвещение А.В. Луначарский назначил Марка Шагала комиссаром по делам искусств Витебской губернии. Шагал вспоминал, что тогда он ходил в галифе и кожанке. Он организовал в Витебске Народную Художественную школу и для преподавания в ней пригласил М. Добужинского, К. Малевича и других художников. В Художественной школе учились около 500 юношей и девушек разных классов, разных дарований и разных художественных направлений. Школа участвовала в украшении города к советским праздникам.

В 1920 г. Шагал и Малевич разошлись во взглядах на принципы преподавания живописи и Шагал переехал в Москву. В Москве Шагал иллюстрировал художественные журналы, оформлял спектакли и расписал стены в Еврейском Камерном театре. В 1921-1922 гг. преподавал рисование в подмосковной Малаховке в трудовой колонии для детей - жертв еврейских погромов.

Мы часто бывали у Шагалов в их московской квартире, туда переехали из Витебска мои дедушка и бабушка. На всех картинах Шагала, написанных в Витебске, Петрограде и Москве, изображен его родной город. На многих картинах изображены сам Шагал и Белла, летящая над городом.

В 1922 г. Шагал организовал выставку своих картин в Каунасе - тогдашней столице Литвы. Из Каунаса Шагалы уехали в Берлин, а затем в Париж, где жили до воины.

Во время войны немцы арестовали Шагала, но благодаря присуждению ему в США престижной премии Карнеги, он был освобожден и смог уехать с семьей в США.

В США Шагал и его дочь Ида, которая стала искусствоведом, активно помогали С.Н. Михоэлсу в сборе средств в помощь Красной Армии.

В 1944 г. Белла тяжело заболела, и Шагал отвез ее в госпиталь. Госпиталь оказался католическим и отказался принять еврейку. Шагал не владел английским языком, и не смог убедить врачей принять ее. Лишенная медицинской помощи Белла умерла у ворот госпиталя. После смерти жены Шагал писал своему другу П. Эттингеру: "... Я потерял... ту, кто была смысл моей жизни, моя вдохновительница. Насколько раньше моя жизнь была "легка"...теперь полна трагедий ".

Белла сыграла огромную роль в формировании мировоззрения Шагала. После поездки Шагалов в Вильно в 1930 г. Белла написала на идиш книгу воспоминаний о своем детстве и юности "Горящие огни".

После войны Шагал с дочерью вернулись во Францию. Ида много раз приезжала в Москву и бывала у нас. Я посетил Иду, тяжело больную, в Париже в 1989 г. Она умерла в 1995 г.

В течение многих лет имя Шагала на его родине было почти неизвестно. В 1973 г. была устроена выставка картин Шагала в Москве в Третьяковской галерее.

С 1991 г. в Витебске ежегодно проводятся Международные Шагаловские дни. В 1992 г. в Витебске были открыты памятник Марку Шагалу, мемориальная доска и музейная экспозиция в доме, где он жил.

В 1994 г. в Москве впервые вышел русский текст книги Шагала " Моя жизнь " с авторскими иллюстрациями. Эта книга была написана Шагалом по-русски и издана в Париже в 1931 г. во французском переводе Беллы Шагал.

Мой отец.

Мой отец Абрам Самойлович, (1892-1980) был самым младшим ребенком в семье Розенфельдов, родился в Витебске. Когда отцу было 8 лет, дед отправил его учиться в город Скопин Рязанской губернии. К этому времени дед уже понял необходимость русского образования для своих детей, но поступить мальчику-еврею в Витебскую гимназию было трудно из-за процентной нормы и большего конкурса. В Скопине жил знзкомый деда еврей- часовщик к нему и поехал Абраша. Отец рассказывал, как ему было трудно в первые годы в русской школе, пока он не научился выговаривать раскатистое русское " р ". После учебы в реальном училище отец прекрасно говорил по-русски.

Реальные училища отличались от гимназий тем, что в них не изучали латынь и греческий язык. После окончания реального училища ни принимали в университет, поступить можно было только в технический или коммерческий институт. Как и его старшие братья отец любил философию и экономику. Иногда в шутку он называл себя " величайшим философом XX столетия ". Он был способен и к математике, стиль мышления которой сродни стилю мышления философии и экономики, но учитель математики отбил у него интерес к этой науке. Я не сомневаюсь, что если бы отец окончил гимназию и университет, то стал бы известным математиком. Отец сочувствовал социал-демократическому движению в котором участвовали брат Яков и сестра Анна. Отец рассказывал мне, что когда учитель физики говорил об эксплуатации какого-нибудь прибора, он всегда добавлял: "это не та экплуатация, о которой Вы, Розенфельд, думаете".

Отец поступил в Киевский коммерческий институт и окончил его в 1915 г. В институте было два факультета - экономический и технологический. Отец по семейной традиции поступил на экономический факультет, и хотя он скоро понял, что ему больше по душе технологический факультет, дающий права инженера, он окончил экономический факультет и получил звание кандидата экономических наук. Это звание было равносильно не ученой степени кандидата наук в советское время, а диплому с отличием. Из профессоров института отец вспоминал механика Николая Борисовича Делане, отца известного математика.

Однажды в институт пришла девушка с курсов медсестер одолжить денег у какого-нибудь обеспеченного студента. Ей указали на Абрашу Розенфельда. Так познакомились мои родители. Они понравились друг другу и стали встречаться. После поездок к родителям в Витебск и Лодзь, они поженились в апреле 1914 г.

После окончания института отец получил право жить вне "черты оседлости". В 1916 г. отец и мать переехали в Петроград, где отец работал экономистом, а мать - медсестрой. В августе 1917 г. родился я, а в октябре семья переехала в Москву, где в то время находились родители матери.

Отец был очень умным и осторожным человеком. Он не поддерживал отношения со своими родственниками, которые жили во Франции, и потребовал от матери, чтобы она не переписывалась со своими родственниками, которые живут за границей. Так отец уберег нашу семью от многих неприятностей. В Москве отец работал инженером - экономистом в различных учреждениях лесной промышленности - в Совете лесных трестов и в Народном комиссариате, а затем в Министерстве лесной промышленности.

В августе 1941 г. отец отправил маму и бабушку в г. Киров, куда было эвакуировано министерство, а накануне 16 октября уехал туда и сам. Отец, мать и бабушка вернулись в Москву весной 1943 г.

В министерстве отец в основном занимался разработкой стандартов на изделия лесной и бумажной промышленности и согласованием их с производителями. Отец выпустил совместно с Клименко в 1950 г.

Многокрасочный альбом "Пороки древесины". Отец вышел на пенсию сразу по достижении пенсионного возраста. После смерти мамы отец жил в моей семье.

Левьянты.

Отец моей бабушки Борух - Аарон Левьянт, как указывает его фамилия, происходил из левиев - потомков священников древней Палестины.

Его внучка, двоюродная сестра моего отца, Соня Левьянт, была лучшим зубным врачом города Ярославля. Я радовался, когда она приезжала к нам в Москву, рассказывала интересные истории и задавала задачи и загадки. Ее сын Борис был врачем - судебным экспертом в Костроме, а сын Бориса и его жены Сони, Иосиф окончил Костромской педагогический институт и стал учителем математики. Когда Борис был болен и обычные врачи не могли ему помочь, Иосиф нашел в деревне под Костромой удачливую народную целительницу. Отца его она не спасла, но вылечила самого Иосифа от нескольких болезней. Его визиты к ней закончились тем, что он на ней женился и стал помогать ей вести хозяйство и дела. Теперь Иосиф и его жена живут в Ярославле и успешно занимаются профессией целителя.

Симон и Берта Есельсоны.

Родители моей матери Симон Исаакович и Берта Львовна Есельсоны жили в Москве. Симон Есельсон был коммивояжером. В семье Есельсонов было 8 детей - 4 сына и 4 дочери.

В 1893 г. семью выселили из Москвы в "черту оседлости". Есельсоны поселились в польском городе Лодзь. Во время I Мировой войны, когда Лодзь была оккупирована немцами, Есельсоны снова жили в Москве. После революции и гражданской войны Есельсоны вернулись в Лодзь, где Симон Есельсон умер в 1938 г. Берта Львовна умерла в Варшавском гетто в 1941г.

Моя мать.

Моя мать Мария Семеновна (Муся Симоновна) (1890-1969) была старшей дочерью в семье Есельсонов родилась в Москве. Ей было 3 года, когда семья переехала в Лодзь. Мыся окончила лодзинскую гимназию, а затем училась в Киеве на курсах медсестер. В Киеве мама познакомилась с моим отцом и вышла за него замуж.

Моя мама в 1921 г. окончила медицинский факультет Московского университета и стала хирургом. С 1921 по 1941 г. она работала челюстно- лицевым хирургом в Лечебно-протезном институте. Я часто бывал у нее на работе в Теплом переулке.

Мама была активным деятелем Красного креста и носила военную форму с рюмочками в петлицах, она занималась обучением населения защите от отравляющих веществ. Была активной общественницей, один раз ее избрали депутатом Районного совета. Она писала научные статьи по своей специальности и готовилась к защите кандидатской диссертации. Ее общественная и научная деятельность прекратились в 1937 г. после ареста ее брата Юзека.

В 1941-1943 гг. мама была в эвакуации в г. Кирове, где также работала хирургом.

После возвращения из эвакуации мама заведовала отделением в Челюстно-лицевом госпиталяе, который был создан в Москве во время войны. За хорошую работу в течение более 30 лет маму наградили орденом Ленина. Она продолжала работать и после того, как получила право на пенсию.

Дядя Исаак Есельсон.

Старший брат матери Исаак жил в Москве. В 1919 г., когда мама болела тифом, я жил в семье у дяди Исаака на 1-й Брестской улице. Хорошо помню его, тетю Сарру и их сыновей - моего сверстника Мулю и старшего Изю. Во время НЭПа дядя Исаак был преуспевающим предпринимателем. В 1928 г. он с семьей переехал в Бухарест, где умер от рака незадолго до войны. Муля погиб в горах Румынии в альпинистском походе. Изя уехал в Израиль, где его внук занимал высокую правительственную должность.

Другой брат матери Ефим переехал в Бухарест из Лодзи, а затем эмигрировал в Израиль.

Тетя Цеся.

В Москве жила сестра мамы Цецилия (Цеся) Олитская. Она была скульптором и музыкантом. Ходила в альпинистские походы. Хорошо помню ее квартиру на Петровке, где она жила со своим мужем Самсоном, детей у них не было. Когда я был ребенком Цеся часто приходила к нам и читала мне детские книжки, а когда я болел не отходила от меня. Позже она также была близким человеком для меня и для моей семьи, она очень любила моих детей. Цеся умерла в 1961 г.

Урны с пеплом праха Цеси и моих родителей находятся в одной ячейке колумбария Московского крематория в Донском монастыре.

Тетя Хеля и дядя Веня.

Две другие сестры мамы Хелена (Хеля) Виндзберг и Долли Вейланд до войны жили в Лодзи. Муж Хели Вениамин, хирург, в первый день войны переехал с семьей в г. Острог на границе СССР, и 17 сентября 1939 г. после "освобождения" Западной Украины Красной Армией, Виндзберги стали гражданами СССР. В 1941 г. они эвакуировались в Среднюю Азию. Я впервые встретился с дядяей Веней в Ташкенте в ноябре 1941 г. Он был военным хирургом Красной Армии в чине майора, тетя Хеля тоже служила в армии зубным врачем. Я увидел тетю Хелю в 1944 г., когда служил в армии.

После войны Виндзберги вернулись в Польшу, а потом переехали в Израиль. Их сын Леня в Советском Союзе был студентом - Сталинским стипендиатом, в Израиле он женился на итальянской еврейке, которая во время войны выжила в немецком концлагере. У них было два сына, которых воспитывали дедушка и бабушка, Леня погиб в автомобильной катастрофе, когда его дети были маленькими. Сыновья Лени стали программистами.

Долли и ее муж Игнац остались в Лодзи и погибли в Варшавском гетто.

Дядя Юзек и тетя Лида.

Я уже упоминал брата матери Юзека. Дядя Юзек (1903-1938) 14- летним мальчишкой во время Октябрьской революции бегал в Москве с Таганки, где жила наша семья, в Молочную кухню на Арбатской площади за молоком для меня. Впоследствии в этой молочной кухне мы брали молоко для наших детей.

После окончания гражданской войны в России Юзек вместе со своими родителями, братьями и сестрами вернулся в Лодзь, где окончил школу. В Лодзи Юзек женился на студентке медицинского факультета Лиде Баневур (1905-1939).

Тетя Лида часто рассказывала мне о своем отце Борисе Залмановиче Баневуре. Он был социал - демократом и при царе его сослали в Восточную Сибирь, куда к нему приехала жена и где родились Лида и ее старший брат Виталий (1902-1922). После Февральской революции семья Баневура переехала во Владивосток, чтобы возвратиться в Польшу морским путем.

Во время японской оккупации Владивостока Виталий Баневур был активным комсомольцем - подпольщиком, секретарем Владивостокского горкома комсомола и членом бюро Приморского обкома комсомола.

В 1921г. Виталий был делегатом III съезда комсомола в Москве, на котором выступал Ленин. В 1922 г. Банивур во время партизанских боев попал в плен к белогвардейцам и был замучен ими.

На могиле Виталия Баневура под Уссурийском поставлен памятник на котором написано "Виталий Баневур 1902-1922 Герой комсомолец, Патриот Родины. Воин революции".

Когда я приезжал в Уссурийск мне показали памятник на могиле Виталия Баневура и я поклонился брату моей тети Лиды.

Виталий Баневур был прообразом героя романа Нагишкина "Сердце Бонивура".

Несомненно, что под влиянием рассказов Лиды о ее брате Виталии, Юзек стал убежденным коммунистом. Его посылали организовывать забастовки польских шахтеров в Бельгийском городе Боринаже, много лет Юзек и Лида прожил в Париже и Берлине. В 1928 г. в Берлине родилась их дочь Ирена. Юзек с семьей приехал в Москву в 1933 г. В Москве Юзек был студентом Коммунистического Университета Национальных Меньшинств Запада.

После окончания (КУНМЗ) Юзек был послан в Польшу, где стал секретарем подпольного Верхне-Силезского обкома Коммунистической партии. Партийная кличка Юзека была Збышек, поэтому ему подготовили документы на имя Леопольда Викторовича Збышевского и это стало его новым именем, отчеством и фамилией.

Когда Юзек работал за границей, Лида работала врачем в Москве, а Ирена училась в школе - интернате для детей работников Коминтерна в городе Иваново.

В 1937 г. Юзек, находясь за границей, узнал, что его друг Моисей Лурье является одним из обвиняемых на процессе троцкистов и ему инкриминируется подготовка покушения на Сталина. Считая это обвинение "нелепостью", Юзек примчался в Москву спасать друга. Спасти друга не удалось, а Юзек был арестован и осужден на 5 лет лагерей ГУЛАГа за "контрреволюционную троцкистскую деятельность", хотя в то время за это расстреливали. Юзек смог прожить в Калымском лагере только один год.

После ареста Юзека Лида жила с Иреной в г. Озеры Московской области, где работала врачем, тетя Лида умерла от болезни сердца.

После смерти матери Ирена жила у Цеси. Во время войны они эвакуировались в киргизский город Нарын, где тогда жила тетя Хеля.

Вернувшись в Москву, Ирена училась в Медучилище, работала медсестрой в родильном доме, училась в Мединституте, а после его окончания работала врачем, она стала очень хорошим диагностом.

После XX съезда КПСС Юзек был посмертно реабилитирован и Ирена получила комнату на Ленинском проспекте недалеко от нас. Она вышла замуж. Ее муж Володя Щеблецов тоже был врач, он происходил из того же местечка Копысь, где когда-то жил учитель моего деда.

Ирена унаследовала от матери болезнь сердца и понилала, что при таком состоянии здоровья она не может иметь детей. В это время уже научились делать операции на открытом сердце, и Ирена решилась на такую операцию не по жизненным показателям, а для того, чтобы иметь ребенка. Своего сына она назвала Виктором в ознаменование своей победы и в память о своем дяде Виталии Баневуре. Ирена была очень близким человеком для всей моей семьи. Мы часто беседовали и советывались с ней - Ира была очень умная и обладала большим чувством юмора. Многие ее "хохмы" запомнились нам на всю жизнь, например, о надписях на бане "По случаю обратно нет воды бань закрыт", "В случае пожара голым личностям выход через парк" и т.д.

Когда у Ирены начались боли в сердце, она не решилась на вторую операцию и умерла в 1976 г. в возрасте 48 лет.

Дядя Дадек Есельсон.

Самый младший брат мамы Давид (Дадек) (1909 -2005) еще в детстве учился играть на скрипке в школе при Московской консерватории.

В 1938 г. окончил Варшавскую консерваторию. В 1939 г. его оркестр приехал в Нью Йорк на Международную выставку. В это время начилась война. Польша была оккупирована немцами и возвращаться туда было равносильно гибели, музыканты евреи хотели остаться в Америке. Им помог знаменитый пианист Артур Рубинштейн, уроженец Лодзи.

С тех пор Дадек жил в США, где он принял имя Тед Ноэлл. В последние годы он жил в Лос Анджелесе. Я впервые увидел Дадека в1988 г. когда гостил у дочери в Пасадине. С тех пор мы регулярно переписывались.

Фингеры.

Девичья фамилия моей бабушки Берты Львовны была Фингер. Ее мать, моя прабабушка, которую мы называли бабушкой Меней, и также ее братья и сестры жили в Москве.

Наиболее близка была к нам сверстница моей матери, ее тетя Софья Львовна Фингер. Она была врачем и жила с моей прабабушкой Меней в той квартире, в которой раньше жил дядя Исаак Есельсон. Моя прабабушка умерла в 1939 г.

В школьные и студенческие годы я дружил с моими троюродными братьями и сестрой - Авой (Авраамом), Вовой (Вульфом) и Мусей (Сусанной) Фингерами, которые, как и я, учились в МЭИ.

Петроград, 1917.

Я родился 30 августа 1917 г. в Петрограде, как в то время назывался Санкт Петербург.

Этот город, основанный Петром I, был назван им не в свою честь, как это делали советские вожди, а в честь Святого Петра, его небесного покровителя. В 1914 г. немецкое названиние города было заменено русским, пушкинским. В "Медном всаднике" поэт писал:

" Над омраченным Петроградом дышал ноябрь осенним хладом".

Родильный дом, в котором я родился, находился в Чернышевом переулке (улица Ломоносова), рядом с мостом через Фонтанку.

Мои родители не были религиозными, но на 8-й день после моего рождения совершили надо мной традиционный обряд и дали мне имя в честь моего прадеда Боруха Левьянта.

В гражданских документах меня именовали Борисом. При обряде наречения имени роль моей "крестной матери" играла близкая подруга моей мамы Эня Лискиер. Ее муж врач Мориц впоследствии занимал крупные посты в Ленинграде, был наркомом (министром) здравоохранения Карельской автономной республики. Эня умерла в 1919 г., Мориц был арестован в 1938 г. и расстрелян. Их сын Ося, мой друг, окончил Технологический институт и стал химиком. Он погиб на войне.

В сентябре 1917 г. атмосфера в Петрограде накалялась - фронт быстро приближался к городу. В октябре 1917 г. папа и мама решили переехать в Москву, где находились родители мамы, ее братья и сестры, переехавшие из Лодзи.

Первые годы в Москве.

Наша первая московская квартира находилась на Таганке.

Вторая - в Камергерском переулке (проезд Художественного театра), в доме на углу с Тверской. Хотя мне шел только 3-й год, но я помню, что на стене этой квартиты висела фотография Льва Толстого на пашне.

С лета 1920 г. мы жили один год в комнате на Остоженке. В 1921 г. переехали на Арбат.

Глава 2. АРБАТ ( 1921 - 1932) Арбат - "мое отечество".

В 1921 г. наша семья поселилась в квартире на Кривоарбатском переулке между Арбатом и Пречистенкой.

Арбат - одна из радиальных улиц Москвы, соединяющая Арбатскую площадь на Бульварном кольце (" кольце А") со Смоленской площадью на Садовом кольце ("кольце Б"). Через Арбат проходит радиус, соединяющий центр Москвы с дорогой на Смоленск. Название Арбат происходит от арабского слова "арбад" - "постоялые дворы", большое количество которых находилось на этой улице.

Я прожил на Арбате 45 лет - с 1921 по 1966 год. Здесь прошли мои детство и юность, мои школьные, студенческие и аспиранские годы, сюда я возвращался из эвакуации, из армии, из Баку. Здесь я жил с родителями и женой, здесь родились мои дети, здесь я жил, когда работал в подмосковных и московских институтах.

Как и Булат Окуджава, я могу сказать:

Ты течешь, как река. Странное название!

И прозрачен асфальт, как в реке вода.

Ах Арбат, мой Арбат, ты - мое призвание.

Ты - и радость моя, и моя беда.

От любови твоей вовсе не излечишься,

Сорок тысяч других мостовых любя.

Ах Арбат, мой Арбат, ты - мое отечество,

Никогда до конца не пройти тебя!

Окуджава жил на Арбате в доме 43 между Кривоарбатским и Плотниковым переулками. В этом доме, находилась семейная столовая "Сыты". Это было во времена НЭПа - новой экономической политики, которая сменила военный коммунизм времен гражданской войны.

В настоящее время Окуджаве поставлен памятник в начале Плотникова переулка на том месте, где раньше находилась церковь "Николы во Плотниках".

В переулках между Арбатом и Пречистенкой было большое число дворянских усадеб и особняков. Впоследствии в этих переулках стали появляться многоэтажные "доходные дома".

Между Арбатом и Пречистинкой параллельно Арбату проходит переулок Сивцев- Вражек, нзвание которого происходит от находившегося здесь оврага, по которому протекала речка Сивка, которая впадала в Москва-реку. В этом переулке находится дом-музей А.И. Герцена, в котором жили его родители и прошли его молодые годы. В этом же переулке жили многие писатели XIX и начала XX века от Аксакова до Булгакова. В то время магазинов тут не было.

Кривоарбатский переулок одним концом упирался в Арбат, а другим - в Плотников переулок.

В доме 2, на углу Арбата, за глухой стеной находился Ревтрибунал.

Наш дом 9 и соседский 11 были пятиэтажными "доходными домами", построенными незадолго до революции, и тогда в каждой квартире жила одна семья. После революции хозяин этих домов Желябужский уехал за границу, а квартиры стали коммунальными. В нашем доме 9 нечетные квартиры выходили в переулок, а четные - в высокий "ящик" двора. Наша квартира 14 была на 2 этаже, в наши окна никогда не попадал прямой солнечный свет, а лишь лучи, отраженные от окон противоположной стороны дома. В нашей квартире были 4 комнаты, мы занимали 2 средние.

Во время моего детства по Арбату шли трамваи двух линий: 4 - от Сокольников до Брянского (Киевского) вокзала и Дорогомилова и 17 - от Виндавского (Рижского) вокзала до Новодевичьего монастыря.

В 1924 г. по Арбату пустили автобус N 2 (N 1 ходил по Тверской), а в 1934 г. - троллейбус тоже N 2. Впоследствии трамвайные линии с Арбата сняли. Во времена Сталина Арбат был правительственной трассой, по которой Сталин ездил из Кремля на дачу. Поэт Б.А. Слуцкий писал:

Однажды я шел Арбатом,

Бог ехал в пяти машинах.

От страха почти горбата

В своих пальтишках мышиных

С ним рядом тряслася охрана.

И было и позно и рано.

В 80-х годах Арбат сделали пешеходной улицей с фонарями посередине.

Напротив Кривоарбатского переулка на Арбате находилась III Студия Художественного театра, возглавляемая Е.Б. Вахтанговым, которая впоследствии превратилась в Театр им. Вахтангова.

На Арбате была еще одна церковь - на углу Серебряного переулка против аптеки.

На Арбате в доме 25, над аптекой, жил великий математик Н.Н. Лузин.

В доме 35 на углу Арбата и Кривоарбатского переулка жили будущий президент Академии наук СССР и теоретик космонавтики М.В. Келдыш, его два брата и сестра.

В доме 51 - самом высоком 8-этажном доме на Арбате - жили "дети Арбата". Все они, а также автор "Детей Арбата" А.Н. Рыбаков, братья и сестра Келдыши учились в той же 7 школе Фрунзенского района, что и я. Против школы, на месте школьной плащадки был построен своеобразный дом - студия архитектора Константина Мельникова, соорудившего хрустальный саркофаг Ленина в мавзолее.

Детский сад.

В детские годы у меня была няня-француженка, которая пыталась учить меня французскому языку. Но то ли я оказался плохим учеником, то ли она учила меня плохо, но кроме нескольких французских слов я ничего не усвоил.

В 1923 г. я с родителями побывал на Всесоюзной Сельскохозяйственной выставке, которая находилась на месте будущего Центрального Парка Культуры и Отдыха (ЦПКО).

В том же году меня отдали в частный детский сад на Большой Молчановке - улице по другую сторону Арбата, которая впоследствии вошла в состав Нового Арбата. Здесь я встретился с Сережей Пакшвером, Жозей Шухгалтером и Эллой Шур, которые жили в доме "Детей Арбата". Позже я учился вместе с ними в 7-ой школе. В этот же детский сад ходила и младшая сестра Сережи Ира, впоследствии ставшая женой известного математика Е.Б. Дынкина. В детском саду мы играли, пели и рисовали. Помню, как мы после смерти Ленина написали большой плакат: "Ленин умер в понедельник 21 января 1924 г. в 6 часов 50 минут вечера".

7-я школа.

7-я школа, в которой я учился с 1924 по 1931 г., находилась в Кривоарбатском переулке, почти рядом с моим домом До революции в этом здании была женская Хвостовская гимназия. Я знал двух выпускниц этой школы - Надежду Давыдовну Вольпин - мать А.С. Есенина -Вольпина и Людмилу Всеволодовну Келдыш - сестру академика М.В. Келдыша, жену академика П.С. Новикова и мать академика С.П. Новикова.

Хвостовская гимназия отличалась либерализмом, поэтому после революции Нарком просвещения А.В. Луначарский назначил заведующей этой школой ее бывшую владелицу Хвостову. Шефом этой школы была Центральная комиссия по улучшению быта ученых - ЦЕКУБУ. В школе в основном учились дети интеллигенции, преподавали многие учителя, работавшие еще в гимнации, и многие ученики были настроены антисоветски.

Учителем обществоведения у нас был молодой историк Георгий Андреевич Новицкий, который вел научную работу в Историческом музее, а впоследствии стал профессором исторического факультета Московского университета и почетным доктором нескольких зарубежных университетов. Он жил рядом в доме 11 и мы с ним часто беседовали. Он рассказывал мне, что преподавать обществоведение, которым в то время была заменена история, было очень трудно. Работать ему стало легче, когда в школу пришли братья Келдыши, которые были настроены просоветски.

Мой класс.

Меня приняли в школу в 1924 г., когда мне было 7 лет, и я был на год моложе своих соклассников. Почти весь год я проболел стригущим лишаем и на следующий год пошел в 1-й класс, но через неделю меня перевели во 2-й класс и я оказался снова со своими друзьями.

В классе учились несколько дочерей профессоров - медиков: Лиля Тарасевич, Оля Бокасова, Оля Журавлева и сын писателя Федора Гладкова Боря.

Впоследствии ученик этого класса Коля Шереметевский, который учился вместе со мной в МЭИ, стал академиком, Марина Панченкова стала профессором исторического факультета МГУ, Дима Бибиков - профессором биологом, Игорь Рожков - профессором химиком.

Учительница немецкого языка Альма Юльевна Островская учила меня 6 лет - со 2-го по 7-й класс, ее уроки я запомнил на всю жизнь. Впоследствии она заведовала кафедрой в МГУ.

Учительница русского языка и литературы Надежда Петровна Юргина вела занятия очень интересно, ставила перед нами философские вопросы. Под ее руководством мы готовили спектакли для школьных вечеров, ездили на загородные экскурсии и наш класс был очень дружным.

Учитель биологии Василий Григорьевич Колесов увлекательно рассказывал о ботанике, зоологии, генетике и о многом другом.

Учителя физики и химии вызвали у меня огромный интерес к молекулам, атомам и электронам и я в то время решил стать химиком.

Лучшим учеником в нашем классе был Сережа Пакшвер, с которым я вместе ходил в детский сад. После окончания 7 школы он учился в школе фабрично-заводского ученичества (ФЗУ), был рабочим на заводе и заочно учился в Московском Высшем Техническом Училище (МВТУ), воевал, попал в окружение и погиб.

Татьяна Юльевна Айхенвальд.

Исключительное влияние на меня оказала учительница математикии Татьяна Юльевна Айхенвальд (1900 - 1963), она была первым математиком с которым я встретился. Я учился у нее в 5 и 6 классах.

Т. Ю. Айхенвальд была дочерью известного литературного критика Юлия Исаевича Айхенвальда (1872 - 1928). Племянник Татьяны Юльевны Юрий Айхенвальд писал, что его дед был сыном раввина И в гостинице на Лубянке Без раздумья и до конца Отдал сердце русской дворянке И крестился ради венца.

За книгу "Вожди и ведомые"Ю. И. Айхенвальд в 1922 г. был выслан из Советской России вместе с большой группой философов, литераторов и ученых. Он погиб в Берлине - попал под трамвай. Мы выражали учительнице наши соболезнования.

Татьяна Юльевна была ученицей великого математика Николая Николаевича Лузина и активной участницей созданной им "Лузитании". В школе Татьяна Юльевна очень внимательно относилась к своим ученикам. Узнав, что я коллекционирую алфавиты, она переписала для меня индийский алфавит "деванагари".

Впоследствии Татьяна Юльевна преподавала высшую математику в Военно-химической академии. Дальнейшая ее судьба была трагичной: в 1937 г. арестовали и расстреляли ее мужа, военного химика. Ее сослали в Караганду, где она несколько лет работала учительницей в селе Колхозное и преподавала математику, физику, химию, литературу, историю и географию.

После ее возвращения друзья - математики Вячеслав Васильевич Степанов и его жена Юлия Антоновна Рожанская выхлопотали Татьяне Юльевне московскую прописку и квартиру.

Братья Татьяны Юльевны филосов Александр, любимый ученик Бухарина и учитель литературы Борис были арестованы. Александр был расстрелян в 1941 г. при приближении немцев к Орлу, Борис погиб в Калымском лагере ГУЛАГа.

Юрий Есенин.

В 7-м классе у нас появился Юрий Есенин - Изряднов (1915- 1937), старший сын Сергея Есенина. Юрий жил со своей матерью машинисткой А. Р. Изрядновой в Сивцев-Вражске. Друг Юрия поэт Евгений Долматовский учился на класс старше нас. В своей книге "Было" Долматовский вспоминал, как Юрий привел его к В. Э. Мейерхольду, в семье которого воспитывались двое других детей Есенина Татьяна и Константин и там Долматовский читал свои стихи В.В. Маяковскому, который весьма иронически их комментировал.

В 1937 г. Ю. Есенин служил в армии, вел себя крайне "вольно", за что был арестован и расстрелян.

От семилетки до вуза.

В первые годы советской власти бытовало мнение, что руководитель производства мог не иметь высшее образование, но должен быть представителем рабочего класса. Таким был начальник моего отца в Совете Лесных Трестов - "выдвиженец" Желанов. Позже пришли к выводу, что начальники должны иметь высшее образование. Но в высшие учебные заведения принимали только рабочих или крестьян. Поэтому, тот кто оканчивал семилетнюю среднюю школу, должен был пройти учебы в ФЗУ и стать рабочим, а после нескольких лет работы окончить рабочий факультет (рабфак) при одном из вузов, что давало право поступить в вуз.

Поэтому после окончания 7-го класса мы все шли на Биржу труда, которая направляла ребят, которым было 15 лет или больше, в различные ФЗУ. В 1931 г. мне было только 14 лет и я должен был один год заниматься дома.

Пишу стихи и рассказы.

Еще до школы я сочинял стихи и очень этим гордился. Из моих ранних стихов я помню одно:

Киска крутится и вертится всегда,

А машинки у ней нету никогда,

А все потому, что она жива,

И у нее, как у человека есть душа.

Из моих школьных стихов мне запомнилось такое:

Солнце - это маленький мальчик,

Кудрявый и голубоглазый.

Все всегда его любят,

Но никто на него не смотрит.

Когда Солнце гуляет с няней

По широкому голубому бульвару

Детки, играющие в песочек,

Убегают и не играют с ним.

Тогда Солнцу становится очень скучно,

Оно начинает горько плакать,

Слезы катятся по его щекам,

Оно топает ножками в голубой песок.

Тогда люди вспоминают о Солнце,

Просят его не капризничать,

Называют ласковыми именами,

Обещают сделать все, что оно захочет.

Тогда Солнце перестает плакать,

Сверкать глазками и топать ножками.

И люди снова забывают о Солнце

И о своих обещаниях.

А вечером Солнце спать ложится,

И нянечка проветривает

Его голубую комнату,

Наполненную красным воздухом.

И без Солнца становится совсем темно,

Только звезды играют в песочек.

Солнце спит в своей красной комнате

И видит голубые сны.

Приведу более позднее стихотворение также о Солнце:

Жил монах Джордано Бруно

В городе Флоренции.

Продавал он, парень умный,

Людям индульгенции

Но однажды ночью линной,

Сговорившись с девочкой,

Вышел наш Джордано Бруно

На бульвар,

Одев очки.

Но девченка обманула,

Было все напрасно ждано.

"Я тебя убью, Лаура"-

Кулаки сжимал Джордано.

Ночь меж тем была прелестна

Звездной россыпью - ручьем.

Видом этим интересным

Был Джордано увлечен.

Позабыл он о Лауре

И об обещаньи данном,

Хоровод небесный бурей

Пронесся в душе Джордано.

Что такое эти звезды,

Что такое этот свет?

И нужней ему, чем воздух

Стал на тот вопрос ответ.

К службе божьей обленился,

Как свеча Джордано тает,

Он над книгами склонился,

И читат, и читает.

Напролет читает ночи

Он Коперника из Польши,

Похудел, сверкают очи,

Знаний хочет больше, больше.

Наконец достигнут роздых

У заветного конца:

Вдалеке предметы - звезды,

А вблизи они - солнца.

Подойди к звезде мельчайшей,

Она солнцем станет вдруг,

Отойди опять подальше,

Станет точкой светлый круг.

Он на площадь выбегает,

Убежденьем одержим.

Тут жандарм его хватает.

И судить отвозит в Рим.

Вот костер уже разложен,

Но у Бруно гордость льва,

И живым он будет сожжен

За свои слова.

Девятсот уж двадцать восемь –

Годы номер издали.

Мал я, но как Бруно злостен –

Солнце мало издали.

Попробовал я писать и прозу. В 7-м классе мой соклассник Сережа Пасхин показал мне номер детского журнала " Мурзилка" со своим рассказом "Зерно". Я решил, что могу написать не хуже и отправил в тот же журнал рассказ " Наши Эдисоны ", про девочку - изобретательницу летающих моделей самолета. Рассказ появился в декабрьском N журнала "Мурзилка" за 1931 г. под названием "Изобретательница" и был подписан "Деткор Борис Розенфельд." Свой первый заработок - ганорар в 20 руб. - я весь истратил в филателистическом магазине на коллекционные марки.

Летние каникулы в 7-ой школе.

Хотя я родился на берегу моря, впервые я увидел море только летом 1924 г., когда мама и Цеся взяли меня с собой в Анапу. Второй раз я увидел море, уже не Черное, а Азовское - в Ейске в 1928 г.

В остальные годы во время летних каникул я жил на даче, в пансионатах или в пионерских лагерях под Москвой. Хорошо помню дачу в Филях летом 1926 г., где мы жили вместе с семьей друга мамы профессора - стоматолога Абрама Ефимовича Верлоцкого. С его сыном Ефимом, который впоследствии стал художником, и сейчас живет в Израиле, я дружу и он присылает мне письма, рисунки и художественные вырезки.

Пионерские лагеря 1930 и 1931 гг. проходили во время коллективизации. Я, как и большинство ребят, не понимали этой трагедии крестьянства нашей страны.

В пионерском лагере я познакомился с сыном медсестры Муней (Наумом) Виленкиным, который был младше меня на 3 года и учился в нашей школе. Впоследствии Муня стал профессором математики. Он умер в 1992 г.

Год без школы.

В 1931-1932 гг. школ - десятилеток еще не было. Я взял справку с места жительства, что мне 16 лет и записался в Библиотеку им. Ленина, где читал главным образом стихи и книги по истории. Тогда же я прочел "Золотой осел" Апулея и "Декамерон" Боккачио, которые произвели на меня сильное впечатление. С учительницей я продолжал заниматься немецким языком.

В феврале 1932 г. мама получила для меня путевку на полтора месяца во Всесоюзный пионерский лагерь "Артек" в Крыму. В Симферополь я приехал поездом, и впервые увидел надписи на крымско-татарском языке латинскими буквами. На высоком здании республиканской газеты "Красный Крым" огромными буквами было написано QьZьL ЦьКьМ (Кызыл Кырым). В Артек нас привезли автобусом.

Лагерь находился на Южном берегу Крыма между Гурзуфом и горой Аю-Даг (Медведь гора), похожей на спящего медведя. Лагерь был создан в 1925 г. Российским Обществом Красного Креста и тогда ребята жили в палатках. В лагерной песне мы пели: Лагерь наш устроил РОК, Комсомол ему помог. Наш Артек, наш Артек, Не забудем тебя ввек.

Теперь лагерь состоял из благоустроенных новых домов. В нем жили дети из разных городов нашей страны, впоследствии стали приезжать пионеры и из других стран.

Лагерь был санаторный, многие поправили свое здоровье.

Когда я приехал домой, я написал несколько рассказов о нашей лагерной жизни. Они были напечатаны в журнале "Дружные ребята".

Летом 1932 г. я почти каждый день бывал в Центральном Парке Культуры и Отдыха. Там в кружке я изучал международный язык эсперанто. Этот язык, изобретенный белостокским врачем Людвиком Заменгофом, - искусственный язык, созданный преимущественно на основе латинского и французского языков, и в меньшей степени - немецкого языка. В небольшой степени были использованы также греческий и русский языки.

Эсперанто исключительно регулярный язык с очень экономной лексикой и простой грамматикой. Все имена существительные оканчиваются на "о", прилагательные - на "а", наречие - на "е". Глаголы настоящего, прошедшего и будущего времени оканчиваются на "is", "as" и "os". Из двух противоположных прилагательных "отрицательное" отличается от "положительного" приставкой "mal", например: новый - nova, старый (о вещах) - malnova, молодой -juna, старый (о людях) - maljuna. Я овладел эсперанто за 2 недели. Впоследствии этот язык очень помог мне при изучении французского и английского языков.

На эсперанто выходили газеты, где можно было прочитать адреса тех, кто хотел переписываться на этом языке. Я отправил несколько писем в Германию, Францию и Испанию и получил на них ответы. Это было для меня очень радостно.

Я не умел плавать и с завистью смотрел на тех, кто плавал. Этим летом я разработал систему обучения плаванью и на водной станции на Москва-реке научился плавать - сначала "по-собачьи", а потом саженками и брассом. После этого стал учиться прыгать в воду: сначала с края бассейна, а затем - с вышек. Свои впечатления о прыжке с 10-и метровой вышки я описал в стихитворении, которое приведу в Главе 4.

Глава 3. ТВЕРСКАЯ (1932 - 1935) Тверская - "главная улица Москвы".

Тверская улица, с 1932 г. по 1990 г., называвшаяся улицей Горького, - главная улица Москвы, идущая от центра Москвы к выезду из нее на Тверь и С. Петербург. Эта улица проходит через площади Тверкую, Пушкина, Маяковского и Белорусского вокзала, где стоят памятники основателю Москвы Юрию Долгорукому, Пушкину, Маяковскому и Горькому. Когда в Москве появились автобусы и троллейбусы, по Тверской были пущены их маршруты N 1.

В мои школьные годы на Тверской находились редакция газеты "Известия", Наркомлес, где работал мой отец.

25-я школа.

25-я школа Октябрьского района, в которой я учился с 1932 по 1935 гг., находилась в Старопименовском переулке - одном из переулков, соединяющих Тверскую и Малую Дмитровку. Переулок был назван по церкви Св. Пимена, известной под названием "Старый Пимен".

25-я школа была одной из первых московских школ, преобразованных в десятилетки. 8-е классы открылись в этой школе в 1932 г. Мой отец узнал об этом, так как Наркомлес, как и "Известия", были шефами этой школы, и меня приняли в 8-й класс.

До революции школа была мужской гимназией Креймана. Здание в Старопименовском переулке была выстроено в 1912 г., до этого гимназия Креймона, в которой учился поэт В.Я. Брюсов, находилась в другом месте.

После революции в здании на Старопименовском некоторое время находилась польская школа, в которой училась наша соседка С.А. Куницкая. Школа в которой я учился была создана в 1925 г.

25-я школа незадолго до того, как я в нее поступил, заняла первое место в соревновании школ Москвы и получила звание "образцовой школы".

Ученики нашей школы часто приветствовали различные съезды и конференции, проходившие в Москве. Эти выступления тщательно готовились и репетировались.

Успехами школа была обязана заведующему учебной части замечательному педагогу Александру Семеновичу Толстову и директору школы Нине Иосафовне Грозе.

Вскоре в эту школу стали посылать своих детей руководители партии и правительства, лидеры зарубежнык коммунистических партий. Когда я учился в 10 -м классе, в 7 классе учился сын И.В. Сталина - Василий, а в 3 классе - дочка Светлана. Светлана Молотова училась несколькими классами моложе. Я несколько раз видел Василия Сталина - рыжего хулиганистого мальчика, не отличавшегося успехами в учебе. Светлана, напротив, была примерной ученицей. После 7-го класса Василий перешел в авиационную спецшколу, проявил себя на войне храбрым командиром, а в последние годы жизни своего отца был генералом авиации. Еще при жизни отца Василий много пил, а после его смерти окончательно спился Я видел его могилу на кладбище в Казани, он умер в возрасте 42 лет.

Светлана окончила исторический факультет Московского университета, защитила кандидатскую диссертацию, была женой выпускника нашей школы Григория Морозова, который впоследствии стал ученым-международником. Светлана имела от него сына. Сталин несмотря на это развел ее с Морозовым и выдал ее за сына члена Полетбюро ЦКВКП(б) Юрия Жданова от которого она имела дочь.

После смерти Сталина Светлана вышла замуж за индийского коммуниста, который вскоре умер, и эмигрировала из СССР.

В 1937 г. после того, как Толстов сообщил одной из учениц темы выпускных сочинений, разразился скандал и Толстов был уволен из школы. В 1939 г., после ареста мужа Грозы, авиационного генерала, ее тоже уволили.

Среди учеников школы было много таких, родители которых в 1937­1939 гг. были арестованы. Этих детей переводили в новую школу в соседнем Дегтярном переулке, и в 25-ой школе в каждом классе оставались две группы.

В начале войны в здание школы попала бомба. При ремонте здание надстроили - из 3-х этажного сделали 5-и этажным. Во время войны школа стала школой для девочек.

Днем встречи выпускников шлочы был назначен Международный женский день - 8 марта.

В нашей школе было много хороших учителей. Особо сильное влияние на меня оказала учительница литературы Анна Алексеевна Яснопольская, которая замечательно читала нам стихи поэтов "Серебряного века русской литературы".

"Так окрыленно, так напевно Читает Анна Алексевна" - говорили про нее.

Очень интересно вел уроки политэкономии Матвей Яковлевич Жибков. Я и многие другие ребята приходили к нему консультироваться, будучи уже студентами. М.Я. Жибков погиб на войне.

Мы многим обязаны Ольге Симоновне Половчанской. До сих пор помним немецкие стихи и биографии Гете, Шиллера и Гейне, которые мы заучивали наизусть.

Учитель физкультуры Ефим Михайлович Новиков особое внимание на уроках уделял ребятам "неспортивным", таким как я. Он заставлял нас стараться и отмечал наши малейшие успехи, и в четверти я получал отметку 4 и очень этому радовался.

В 1936 г. в школу был приглашен замечательный математик Юлий Осипович Гурвиц, автор учебника по которому я учился. Гурвиц стал преемником Толстого на посту завуча школы.

В 1997 г. американский историк Ларри Холмс, который изучал историю образования в Советском Союзе, опубликовал книгу о 25 школе под названием "Сталинская Школа" и подарил мне и моей жене, которая также училась в этой школе, экземпляр своей книги.

В нашем классе учились внучки двух известных писателей Глеба Успенского - Елена и Семена Юшкевича- Сусанна, и дочери писателей - Нина Зозуля и Вика Бройде, дочь и племянница братьев-композиторов Наташа Крейн. О моих ближайших друзьях Володе Некриче, Стасе Людкевиче и Борисе Заходере я расскажу более подробно ниже.

В параллельной группе учился сын писателя Огнева Сева Розанов. Там же учился Борис Моралев, который в 1960 г., когда я приезжал в Ашхабад, был вторым секретарем ЦК КП Туркменистана. В той же группе учился Костя Мухин - руководитель школьной бригады Маяковского. Эта бригада устраивала походы в Политехнический музей на вечера, посвященные поэту. В другой параллельной группе учились Даня Проэктор, будущий доктор военных наук, автор книги "Агрессия и катастрофа" и Ваня Соловьев, бас нашего замечательного школьного хора мальчиков.

Моложе нас на год учились будущие профессор биологии Ольга Сазонова, артист Валерий Токарев и скульптор Володя Цигаль, автор памятника Мусе Джалилю в Казани.

На два года моложе меня учились моя будущая жена Люси Давыдова, будущий академик математик Лев Овсянников, будущие профессора метеоролог Борис Гинзбург, математик Анатолий Ермаков-Мышкис, историк Александр Некрич, специалист по классической филологии Виктор Ярхо, а также адвокат-правозащитник Дина Каминская и писательница Юдифь Капусто.

В трех старших классах детей высокого начальства не было.

Из младших ребят я хорошо помню Сережу Геца, (Сергея Львова), автора многих пьес и Сережу Войта - выпускника Мехмата, крупного океанолога.

Интернациональный сектор.

Володя Некрич, сын журналиста-международника и Стась Людкевич, сын польского писателя, часто выступали с докладами на темы международной жизни, выпускали бюллетень, организовывали выставки. Я переписывался на языке эсперанто с людми из разных стран. Полученные мною письма и фотографии я давал на эти выставки и наши ребята их видели. Так в нашей школе появился "Интернациональный сектор". Когда я получил письмо из Марокко, мы сочинили совместную статью " Один день в Марокко", и вместе с переводом письма она была напечатана в "Вечерней Москве". Письма на эсперанто стали приходить в адрес школы.

В школу часто приезжали иностранные гости. Георгий Димитров, руководитель III Интернационала, стал почетным пионером нашей школы. Помню приезд в школу французского премьер-министра Эррио и польского посла Лукасевича, который беседовал со мной по-русски.

Володя Некрич окончил географический факультет Московского университета, в музее этого факультета я видел письма с фронта, написанные им незадолго до гибели.

Стась Людкевич учился на историческом факультете Московского университета. После ареста родителей его тоже арестовали и он провел несколько лет в лагерях ГУЛАГа. Я встретился с ним и с его матерью в 1965 г. в Варшаве, он был журналистом. Стась и его друг Стефан Кленович, который тоже учился в Москве и был школьным другом моей жены, подарили нам книгу о своих отцах, польских коммунистах, растрелянных в СССР в 1937 г.

Борис Заходер.

В 8-м и 9-м классах я дружил с Борисом Заходером, который уже в школе сочинял стихи. Когда я сказал ему, что внутри моей фамилии спрятано слово Senf - "горчица", он моментально разразился эпиграммой:

Какою едкою начинкой

Полна фамилия твоя,

Как под прелестною травинкой

Сокрыта вредная змея.

Кругом чудесные цветочки,

Поля полны пахучих трав,

И в этой милой оболочке-

Гнуснейшая из всех приправ.

Борис Заходер сначала учился на биологическом факультете Московского университета, а затем - в литературном институте им. Горького. Он стал известным поэтом, автором книг для детей. Широко популярны его строчки.

Наши предки, ваши предки.

На одной качались ветке.

А теперь сидим мы в клетке.

Справедливо ль это, детки?

Хорошо известны его переводы с английского "Винни-пух" и "Мэри Поппинс".

Встретившись с Заходером в 60-ые годы, я обратил внимание, что он часто употребляет слово "тривиально", которым обычно пользуются математики. Когда я спросил его, откуда он взял это слово, он ответил: "Моя дача в Комаровке под Болшевым находится рядом с дачей математиков П.С. Александрова и А.Н. Колмогорова. На моей даче есть телефон, а у них нет, поэтому они часто приходят ко мне звонить по телефону".

В стихотворении Заходера "Заходеры" поэт писал, что, листая телефонные книги многих больших городов, он нигде не нашел своих однофамильцев. Однако, если бы он посмотрел каталог московской библиотеки им. Ленина он нашел бы в нем востоковеда Владимира Николаевича Заходера, автора книги Об арабском географе Ибн Фодлане.

Борис Заходер умер 7 ноября 2000 г.

Типы, темпераменты и группы крови.

В 25-й школе я учился на 5 по всем предметам, по физкультуре имел 4 и очень ей гордился. Кроме школьных предметов интересовался многими вопросами: от эсперанто я перешел к французскому и английскому, читал стихи многих поэтов и сам писал стихи, читал философские и исторические книги, размышлял о биологии и антропологии.

Эти размышления привели меня к подразделению людей на 4-типа человеческой натуры - "Бойцы","храбрецы","дельцы" и "творцы": храбрецы обладают способностью доводить начатое дело до конца, дельцы - способностью обобщать, бойцы не обладают ни одной из этих способностей, а творцы обладают обеими.

Эти 4 типа связаны с 4 темпераментами людей: флегматическим, меланхолическим, сангвиническим и холерическим. Флегматики обладают медленной восприимчивостью и слабой активностью, меланхолики - медленной восприимчивостью и сильной активностью, сангвитики - быстрой восприимчивостью и слабой активностью, холерики - быстрой восприимчивостью и сильной активностью.

Понятие о темпераментах было введено в древности. Величайший античный врач Гиппократ связывал темпераменты с 4-мя "соками" человеческого организма: влажной и холодной флегмой (слизью), сухой и холодной черной желчью, влажной и горячей кровью, сухой и горячей желчью От греческих и латинских названий этих "соков" и происходит название темтераментов.

Типы и темпераментры напоминали мне 4 группы крови. В крови 2-й группы имеется агглютинин А, в крови 3-й группы- агглютинин В, в крови 1-й группы нет ни того, ни другого, в крови 4-й гриппы имеются оба агглютинина.

Сходство 4 типов и 4 темпераментов с 4 группами кровии представлялось мне результатом их глубокой внутренней связи. Я считал, что все люди !-й группы крови - "бойцы" и флегматики, все люду 2-й группы - "храбрецы" и меланхолики, все люди 3-ей группы крови - "дельцы" и сангвиники, все люди 4-й группы - "творцы" и холерики.

Никаких серьезных доказательств этих утверждений я не имел. Я считал своего отца "дельцом", свою мать - "храбрецом", а себя, конечно, "творцом". Поэтому я предполагал, что у моей матери кровь 2-й группы, у отца кровь 3-ей группы, а у меня кровь 4-ой группы. Я попросил маму определить в ее институте мою группу крови, и, ко всеобщему удивлению, она оказалась 4-й группой, самой редкой. Моей радости и гордости не было конца.

Впоследствии оказалось, что у моей матери действительно 2-я группа крови, а у отца - не 3-я, а та же 4-я, что у меня.. В дальнейшем я убедился, что мои рассуждения о связи типов человеческой натуры с группами крови построены на песке, однако понятие о типах человеческой натуры представляется мне полезным и сейчас.

"Христос" Н.А. Морозова.

В 10 классе я обнаружил в библиотеке многотомное сочинение Николая Морозова "Христос". Николай Александрович Морозов родился в 1854 г., он был сыном либерального помещика. С гимназических лет Морозов занялся революционной деятельностью, был членом I Интернационала и "Народной Воли".

Морозов провел 25 лет в одиночном заключении, в том числе 20 лет в Шлиссельбургской крепости. Он изучил 11 языков и многие науки, особенно глубоко астрономию, химию и историю.

Морозов писал, что в начале в тюрьме ему давали читать только Библию. Последней книгой Нового Завета является "Откровение Святого Иоанна Богослова"- "Апокалипсис". Эта книга была предметом размышления многих ученых в том числе Ньютона. В этой книге говорится о грозе и буре, о "животных наполненных глазами спереди и сзади" и о четырех всадниках на четырех конях - белом, рыжем, вороном и бледном. Морозов понял, что "животные наполненные глазами"- это созвездия, имеющие форму животных, а "кони" - это планеты, причем "рыжий конь" - красная планета Марс, "белый конь" - Юпитер, "бледный конь" - Сатурн, "вороной конь" - Меркурий. По положению планет в созвездиях Морозов вычислил дату видения Иоанна Богослова, это оказалось 29 октября 395 г., а не первый век, как считалось обычно.

После освобождения из Шлиссельбурга в 1905 г. Морозов написал свое толкование на "Апокалипсис" под названием "Откровение в грозе и буре", где истолковывал все детали видения автора "Апокалипсиса". Книга вышла в 1907 г.

В 1914 г. Морозов выпустил книгу "Пророки", где давал астрономическое истолкование всех библейских книг о пророках. И здесь даты, установленные Морозовым, оказались более поздними, чем общепринятые.

В последующие годы Морозов занялся пересмотром всей древней истории в соответствии с описаниями и изображениями звездного неба в древних книгах и храмах. Он пришел к выводу, что события, обычно относимые к древней истории, на самом деле происходили значительно позже.

Многотомный "Христос" содержит изложение результатов исследований Морозова. 7 томов этого труда вышли в 1924-1932 гг., под видом антирелигиозной литературы, а 8-й том не был издан.

Название" Христос" объясняется тем, что по мнению Морозова выдающаяся личность, лежащаяся в основе легенд о Христе, - один из древних царей, известных в истории под разными именами. Его мумия сохранилась как мумия фараона Рамзеса II. Одна из его ипостасей - Св. Василий Великий, автор одной из первых энциклопедий, называвшейся "Шестоднев"- "Hexaemeron", где различные науки изложены в соответствии с 6-ю днями творения мира.

С 1918 г. и до конца жизни Морозов был директором Естественно - научного института им. П.Ф. Лесгафта в Ленинграде. В 1932 г. выдающийся ученый - энциклопедист был избран почетным академиком Академии наук СССР. В 1945 г. при организации Института истории естествознания Морозов был назначен членом ученого совета института. Морозов умер в 1946 г. в возрасте 92-х лет.

В течение долгого времени я находился под влиянием труда Морозова "Христос" и излечился от этой "болезни", лишь обнаружив в "Памятниках минувших поколений" среднеазиатского ученого X-XI вв. ал-Бируни списки древних царей и императоров с указанием времен их царствования. Даты ал-Бируни, совпадают с общепринятыми датами, а не с датами Морозова. Морозов считал, что арабские рукописи, хранящиеся в библиотеках Европы, - подделки европейцев. На самом же деле масса арабских рукописей хранится в библиотеках стран Востока и они не могут быть подделками европейцев.

"Быть может, эти электроны...".

Сильное впечатление произвел на меня рассказ некоего С. Голуба "Тайна микрокосма", напечатанный в журнале "Вокруг света", который я регулярно читал в школьные годы. В этом рассказе говорится об ученом, который смог получить увеличенное до огромных размеров изображение электрона, и оказалось, что электрон - это планета похожая на Землю. Позже я узнал, что ту же мысль изложил В. Я. Брюсов в 1924 г. в стихотворении "Мир электрона":

Быть может, эти электроны -

Миры, где пять материков.

Искусства, знанья, войны, троны.

И память сорока веков.

Еще, быть может, каждый атом -

Вселенная, где сто планет.

Где все, что здесь в размере сжатом.

А также то, чего здесь нет.

Ясно, что и Брюсова и Голуба вдохновила планетарная модель атома Нильса Бора.

Размышляя над этой идеей, я пришел к выводу, что в мире имеется огромная "прогрессия", состоящая из вложенных друг в друга "солнечных систем". Поэтому я назвал звенья этой цепи "прогрессорами". Но как вписать в эту цепь живые организмы? Я дал этому такое об'яснение: когда Земля была расплавленной массой, она содержала огненные прогрессоры, а когда она остыла, материя сохранила тенденцию к образованию "солнечных систем", но в условиях остывшей Земли эти системы стали кристаллами и живыми существами.

Для изучения этого вопроса необходима "синтетическая наука", охватывающая астрономию, физику, химию, кристаллографию и биологию. Поэтому я заинтересовался книгой А.А. Богданова "Тектология - всеобщая организационная наука".

Я написал заметку о "теории прогрессора" и статью о неоходимости создания синтетической науки. Заметку я вручил академику А.Ф. Иоффе во время его лекции в Политехническом музее, а статью отдал в философский журнал "Под знаменем марксизма". Академик не реагировал на мою заметку, а в редакции журнала мне сказали, что никакой синтетической науки я не создал. Но я ведь и не пытался ее создавать, а лишь говорил о необходимости создания такой науки.

Я понял, что с моим багажем знаний ничего научного создать нельзя, и я должен прежде всего серьезно изучить математику, без которой нельзя понять современную физику.

В романе Б. Левина "Юноша" я прочел, что его герой "самостоятельно, без помощи учителя, по учебнику Грэнвиля и Поссэ, изучил высшую математику". Я решил последовать примеру этого юноши и в 9-м классе проштудировал "Курс математического анализа" Грэнвиля и Лузина - обработку Н.Н. Лузиным учебника Грэнвиля, в 10-м классе - "Курс векторного анализа" Н.Н. Кочина. Конечно, многое в этих книгах ускользало от моего внимания, но некоторую основу для изучения этих дисциплин я получил.

Комсомол.

Комсомол - Коммунистический Союз молодежи - был массовой организацией молодежи, охватывающий всех молодых людей. Тот, кто не был комсомольцем, считался политически неблагонадежным. Мои соклассники по 7-й школе были приняты в комсомол в 7-м классе, а мне тогда еще не было 14 лет и меня не стали даже обсуждать. Несколько раз я пытался поступить в комсомол в 25-й школе, но комсомольское бюро школы отказывало мне, считая меня индивидуалистом. В 10-м классе я активно занимался общественной работой, помогал отстающим ребятам и в декабре 1934 г. меня, наконец, приняли в комсомол.

Я был назначен редактором школьной стенной газеты, она называлась "Мы идем в строю".

Незадолго до конца учебного года к нам в школу пришел известный детский писатель Лев Кассиль, сотрудник газеты "Известиия". Он предложил свою помощь в выпуске последнего номера нашей стенгазеты. Этот номер стенгазеты был напечатан в "Известиях" 30 мая 1935 г. В этот день отмечался первый выпуск десятых классов и десятилетие нашей школы.

Каникулы в 25-й школе.

Август 1932 г. я провел в пионерском лагере "Известия", где познакомился со своими будущими школьными товарищами Стасем Людкевичем, Наташей Крейн, Яном Гуревичем и другими. У нас были очень хорошие пионерские вожатые Фатя (Самарий) Гурарий и Коля Максимов, которые потом стали известными фотокорреспондентами "Известий".

В 1933 и 1934 гг. я проводил лето в Ленинграде. Останавливался у дяди Якова, осматривал город и его музеи, а на один летний месяц Мориц Лискиер устраивал меня в дом отдыха в Сестрорецке, который тогда находился у самой границы Финляндии.

После школы я хотел пойти учиться на физический факультет Московского университета. Отец был категорически против этого. "Есть ли гарантия, -говорил он мне,- что ты будешь профессором? Такой гарантии нет. Скорее всего ты будешь школьным учителем физики, а это очень неблагодарная профессия. То ли дело инженер ! Это великолепная, очень уважаемая профессия". Отец просил дядю Якова уговорить меня пойти учиться в технический институт. Яков устроил мне встречу с молодым ленинградским физиком- кандидатом наук. Физик сказал, что в электротехническом институте физики и математеки будет не меньше, чем на физическом факультете университета. Их доводы убедили меня и я решил стать инженером- электротехником и поступить в Московский Энергетический институт (МЭИ), тем более, что электрические машины - моторы и генераторы -казались мне типичными "прогрессорами".

В январе 1935 г. я получил путевку в подмосковный зимний дом отдыха, где познакомился со студентами-математиками Рязанского пединститута и с преподавателями механико- математического факультета Московского университета.

Особенно сильное впечатление произвел на меня профессор механики Андрей Петрович Минаков - человек исключительных артистических способностей, охотно выступавший на вечерах самодеятельности. Позже я узнал, что при создании Московского Художественного театра Станиславский приглашал его в труппу театра, но при условии бросить механику. Это условие Минаков не принял.

В июне 1935 г. после окончания школы я находился в доме отдыха Известий, где познакомился со многими интересными людьми.

В июле я готовился к вступительным экзаменам в МЭИ, а в августе сдавал их и был принят в этот институт.

Глава 4. МЭИ (1935-1940) Московский Энергетический Институт.

Московский Энергетический Институт (МЭИ) был создан электротехником Карлом Адольфовичем Кругом и инженером и математиком Яном Николаевичем Шпильрейном на основе электротехнического факультета МВТУ - Московского Высшего Технического Училища и одного из факультетов Института Народного Хозяйства им. Г.В. Плеханова. Поэтому часть зданий МЭИ во время моей учебы в нем находилась рядом с МВТУ, а одно здание было на Строченовском переулке рядом с Институтом им. Плеханова. Институту принадлежало также здание на Гороховской улице против Института физкультуры им. Лесгафта.

МВТУ, носившее имя Н.Э. Баумана, и здание дирекции МЭИ находились на 2-й Бауманской улице(параллельной ул. Баумана - бывшей Немецкой). 2-я Бауманская раньше называлась "Коровий брод". На другой стороне улицы находилась Военная Академия Химической Защиты имени К.Е. Ворошилова, организованная на основе химического факультета МВТУ. МЭИ в те времена носил имя В.М. Молотова и в одном из стихотворений той поры я писал:

Ветер листья тащит с ветел, Снег порхает, бел и светел. Этой зимней молодости Хороши ласки. У Коровьего брода - Институты в два ряда - Бауманский, Молотовский, Ворошиловский. Вслед за ветром лезет холод, Бесперчаточных не холит, Это он на окнах вышил Мать - и - мачехи. Я - в улыбке во весь рот: Там, где шли коровы вброд, Обучают людей высшей Математике.

Учебные корпуса были рядом со зданием дирекции, на Кукуевском переулке, где когда-то находилась Немецкая слобода.

В один и тот же день приходилось переезжать с Кукуевского переулка на Строченовский и обратно.

В МЭИ в те времена были Электромеханический факультет, готовивший инженеров по электрическим машинам и аппаратам,

Электроэнергетический, готовивший инженеров для электростанций, Электротранспортный, Электрофизический, готовящий радиоинженеров и инженеров по вакуумным приборам (впоследствии этот факультет стал называться Спецфаком) и Теплоэнергетический факультет. Первые два года все студенты занимались на Общетехническом факультете.

Директором института в те годы был инженер И.И. Дудкин. При нем началось строительство новых зданий МЭИ в Лефортове, но оно шло очень медленно. Оно было завершено в годы войны, когда институт возглавила жена Г.М. Малинкова Валерия Алексеевна Голубцова.

Приемные экзамены я сдавал на Строченовском переулке. Сдал их неважно, но меня приняли по моим школьным отметкам. Со следующего года с такими школьными отметками принимали в институт без вступительных экзаменов, а через несколько лет в школах за такие отметки стали давать выпускникам золотую медаль.

Из 25-й школы в МЭИ вместе со мной были приняты еще 13 человек, в том числе из нашей группы Ян Гуревич, который потом перешел в военную академию и стал кадровым военным, Христина Зайдель и Игорь Митин, а из параллельной группы - Лена Ермакова-Мышкис. Со мной учились мой товарищ по 7-й школе Коля Шереметевский, будущий академик, и Леон Биберман, впоследствии профессор физики в МЭИ и член-корреспондент Академии наук СССР.

Ян Николаевич Шпильрейн.

Математику у нас читал Ян Николаевич Шпильрейн (1887-1938), член- корреспондент АН СССР. Он изучал математику в Париже и Сорбонне, а электротехнику в Высшей Технической школе в Карлсруэ. В Германии он издал учебник векторного исчисления, содержащий изложение векторного и тензорного анализа и их приложений к физике и технике. Многие результаты, изложенные в этой книге, были разработаны самим Яном Николаевичем.

Я.Н. Шпильрейн с 1921 г. работал профессором Электротехнического факультета МВТУ, где позже был деканом.

Я.Н. Шпильрейн в 1925 и 1936 гг. издал учебники векторного исчисления для инженеров-электриков и физиков. Ян Никилаевич был энтузиастом внедрения векторов в геометрию, механику, физику и технику. Студенты любили Яна Николаевича и называли его в своем кругу "Шпильвектор".

В 1938 г. после того, как его братья, биолог и психолог, были арестованы и расстреляны, Я.Н. Шпильрейна тоже арестовали, он умер в заключении.

Александр Петрович Котельников.

Теоретическую механику нам читал Александр Петрович Котельников, сын Петра Ивановича Котельникова и отец Владимира Александровича Котельникова. П.И. Котельников был сотрудником Н.И. Лобачевского в Казанском университете, одним из первых, кто понял значение открытия Лобачевского и публично выступил с его оценкой. В.А. Котельников был академиком, известным радиотехником.

А.П. Котельников в своей магистерской диссертации основал "винтовое исчисление" - обобщение векторного исчисления, имеющее важные приложения к механике и линейчатой геометрии евклидова пространства. В докторской диссертации он построил аналоги этого исчисления для неевклидовых пространств Лобачевского и Римана. Определенные Котельниковым винты неевклидова пространства Лобачевского можно определить как векторы 3-мерного комплексного евклидова пространства, т.е. пространства, координаты точек которого - комплексные числа, винты неевклидова пространства Римана - как векторы 3-мерного двойного евклидова пространства, т.е. пространства, координаты точек которого - двойные числа a+be, где e2 = +1, а винты евклидова пространства - как векторы 3-мерного дуального евклидова пространства, т.е. пространства координаты точек которого - дуальные числа a+be, где e2 = 0.

Позже, в связи с вопросами теории относительности, А. П. Котельников разработал геометрию галилеева пространства.

Упражнения по теоретической механике у нас вел Р.С. Шафаревич, отец академика И.Р. Шафаревича.

Черчение и начертательная геометрия.

На верхнем этаже под самой крышей находился очень светлый зал, в котором стояли чертежные столы, на которых на листах ватмана мы работали многие часы. Теоретическую основу черчения составляла начертательная геометрия, которую нам читал Н.Н. Брызгалов. Кафедрой начертательной геометрии и черчения заведовал профессор Глазунов.

Другие профессора МЭИ.

Физику нам читал Юлий Борисович Барац, прекрасный физик. В 1937г. он был арестован и объявлен "врагом народа". Ta же судьба постигла нашего профессора политэкономии Габора Фаркаша, венгерского коммуниста.

Теорию машин и механизмов нам читал С.И. Артоболевский, брат академика И.И. Артоболевского. Сопротивление материалов - профессор Г.С. Проктор, известный специалист по теории упругости. Упражнения по этому предмету вели будущие академики А.Ю. Ишлинский и Ю.Н. Работнов.

Теоретические основы электротехники в МЭИ читали К.А. Круг и его ученики. Теорию электрических машин я слушал у профессоров Бориса Петровича Апарова и Евгения Васильевича Нитусова.

Литературный кружок МЭИ.

На 1-м курсе я проводил много времени в институтском литературном кружке, которым руководили студент Электрофизического факультета Валерий Мазлах и поэт Александр Раскин. Кружок работал при редакции институтской многотиражки "Энергетик", редактором которой был студент Миша Чиликин, впоследствии ректор МЭИ.

Из участников кружка стал извесным поэтом Василий Захарченко. Защитив диссертацию на степень кандидата технических наук, он многие годы был редактором журнала "Техника молодежи". Поэт и изобретатель Владимир Орлов также стал кандидатом технических наук и много лет был научным обозревателем газеты "Правда".

Однажды я показал Орлову четверостишье В час, когда знамя взвивается Сталина, Образ коммунизма пред нами привстал Нежно кладу на весов я хрусталины хрустящее имя Христа.

Володя тотчас же ответил мне эпиграммой Я Ваши стихи прочитал, и сразу мне сделалось весело, Когда миллиграммы Христа Сто тонного Сталина взвесили. Что ж, измерять людей по весу, В этом, конечно, Вы сильны, Но все же скажу: Вы повеса, И даже больше - Висельник.

Но меня не убили (никто не донес), и я дожил до таких времен, когда "веса" Христа и Сталина стали совсем другими.

Анатолий Нетушил и мой сокурсник Леон Биберман стали профессорами МЭИ.

В Литературном кружке участвовали две второкурсницы, писавшие стихи, - Таня Нефедова и Вера Гладышева. Особенно я подружился с Таней, мы часто ходили с ней на концерты. Вера сочиняла едкие эпиграммы на преподавателей, особенно на декана. Впоследствии обеих девушек исключили из института - Веру за неуспеваемость, а у Тани - расстреляли брата. Таня окончила институт в Сибири, а вернувшись в Москву, стала кандидатом наук и работала в научно-исследовательском институте. Вера стала поэтессой, автором многих песен и стихотнорных реклам.

В гостях у нашего литературного кружка была поэтесса Маргарита Алигер. Когда в Москву приезжал живший тогда за границей Илья Эренбург, мы были у него в гостинице "Метрополь" и читали ему свои стихи.

Петр Евгеньевич Дюбюк.

В кружке участвовал преподаватель математики Петр Евгеньевич Дюбюк, впоследствии профессор и заведующий кафедрой математики в Московском институте радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА), который первоначально был заочным отделением МЭИ. Некоторое время я занимался в группе, где Дюбюк вел упражнения по математике. Мне хорошо запомнились его слова: "Постепенно водоизменяя правила игры, можно крокет превратить в футбол".

Дюбюк организовал при Литературном кружке Фельетонную бригаду (ФеБ), фельетоны которой печатались в "Энергетике". Мой первый фельетон - о летнем лагере МЭИ - назывался "А лагерком, а лагерь", - это название было связано с французской пословицей A la guerre comme a la guerre - На войне - как на войне. Петр Евгеньевич познакомил меня с поэтическим творчеством Омара Хайяма. Особенно запомнилось мне четверостишье.

Когда бываю трезв, нет радости ни в чем,

Когда бываю пьян, темнится ум вином.

Но между трезвостью и хмелем есть мгновенье,

Которое люблю, за то, что жизнь - лишь в нем.

"Любовь студента".

В "Энергетике" в 1936 и 1937 гг. были напечатаны два мои стихотворения, которым редакция дала заголовки "Любовь первокурсника" и "Любовь второкурсника". На самом деле первое из этих стихотворений было началом стихотворения "Перспектива", а второе называлось "Векторный анализ". Приведу полный текст этих стихотворений:

Перспектива.

Мы шли и ветер нас освистывал,

Свистал издевочные трели.

Мы шли, мы шли с тобой, мы шли с тобой.

В глаза друг другу мы смотрели.

Пусть где-то ветер воет арии,

Ревет мотив безлюдный, волчий.

Мы - глаза серые и карие,

Мы разговариваем молча.

Мы говорим: люблю, люблю тебя,

Мне девятнадцать, тебе двадцать.

И сердце рвется тигра лютее,

И просто некуда деваться.

Трамвай проносит взгляды беглые,

Проходят люди, будто нет нас.

А мы идем в туманы белые,

Как будто знаем их заветность.

И щеки пятнами румянятся,

И в даль открыты горизонты.

И института словно манит нас

Широкоплечий мокрый контур.

Мы там не каждый день обедали,

Протесты стягивая в ремень,

Но беды не были нам бедами:

Мы были веселы в то время.

А в вечера, когда за Кочиным

Мы засидимся и устанем,

Наш путь нам кажется законченным,

И предаемся мы мечтаньям:

Как мир тряхнем, что брал нас за уши,

Как перестроим всю науку.

И всесто книжек ускользающих

Берем тогда друг друга руки.

И верим: путь пройдем начертанный

В таком вот вечере красивом.

Из глаз друг друга радость черпаем

И для работы новой силы.

И в Института зданье нашего

Мы входим радостно, как в зори.

В те времена наш мозг вынашивал

Основы будущих теорий.

И снова ветер перелистывал

Бессонной осени минуты.

Мы снова улицей той шли с тобой.

Мы шли к тому же Институту.

Все так же мелкими побегами

На стеклах холод ставил стрелы,

И так же все трамваи бегали

И люди мимо нас смотрели.

Мы не одни. Нас улей, стая ли?

Лучи над улицей висели,

И мы совсем, совсем растаяли

Средь наших спутников веселья.

Нет никакой меж нами разницы,

Сейчас начнем играть и бегать.

Лишь нам с тобою жизнь-проказница

Сыпнула на головы снега.

На голове моей окалинка,

Как на сгоревшем метеоре.

Знать слишком слабый, слишком маленький

Я для огня своих теорий.

И ты, моя подруга верная,

Подруга отдыха и дела,

Пройдя пространства многомерные

И ты прядинкой поседела.

За то ж, что огненными иглами

Сжигала нас теорий лава,

Задач поставленных достигли мы

И победили мы со славой.

Перенеся невзгоды столькие,

Добились счастья мы с тобою:

Попало дело в руки стойкие,

Не пропадет оно без боя.

Учеников глаза восторжены,

В почтенье взгляды их одеты.

А мы в ответ, ответим что же мы?

Мы рассмеемся лишь, как дети.

Вступаем в Института здание

Как штаб мы в занятую крепость.

В тот год в последний бой шло знание,

Чтоб разгадать вселенной ребус.

И снова мы на той же улице

Осенним ветерком поддуты.

И в перспективе все сутулятся

Спина и плечи Института.

Не двое нас, не группка малая:

От края улицы до края

Идут вперед знамена алые

На солнце золотом играя.

Все, что тогда в трамвае ехали,

Все, что бродили по асфальту-

Теперь все тут, в веселье, в смехе ли,

И все забыли про печаль ту.

И пусть средь вас, косынки красные,

Седые волосы белеют:

Открытье наше нынче празднуют

Его почетным юбилеем.

А солнцу только бы колоть еще,

Но не нужна его уж ретушь.

Проносят яркие полотнища:

Мои с тобой несут портреты.

Хоть и сравниться с солнцем где уж им,

Девченки пляшут, приседая.

И улыбаешься ты девушкам,

Смешная девочка седая.

Меня ж в веселье этом нет уже,

Дожить, сгоревший, не сумел я.

За то, блестя под солнца ретушью,

С портретов всех смеюсь я смело.

Пусть этот смех тебя порадует.

Я снова жив, цвети и смейся.

Тебе на площади парад дают,

Салют держа, красноармейцы.

Один лишь юноша не выдержал,

И вдруг, обняв свою подругу,

Он из толпы, ты это видела,

Ее увлек, держа под руку.

Увел, где ветер им насвистывал,

Где люди их не замечали.

Они, как мы когда то шли с тобой,

Ушли туда и там мечтали.

И он сказал: люблю. Люблю тебя.

Обоим нам с тобой по двадцать.

И сердце рвется тигра лютее.

И просто некуда деваться.

И он сказал: чего там празднуют.

Чего там чествуют героев.

Что ерунда нам эта праздная.

Вот мы теорию построим!

И он сказал: трудиться будем мы.

Откроем фактов много разных,

И будет день любой нам буденный

Как этот вот веселый праздник.

И, оглянувшись лишь, одни ль они,

Припал к лица ее овалу.

И так они до обессиленья,

Как мы когда то, целовались.

"Мне девятнадцать, тебе двадцать", "Глаза серые и карие" - Это, конечно, я и Таня. "Перестроим всю науку", "Разгодать вселенной ребус" - это о "синтетической науке" о которой я мечтал еще в школе. Когда я писал это стихотворение, я не думал, что в моей старости не будет ни красноармейцев, ни торжественных красных знамен. Не было ни "штаба в занятой крепости", ни юбилейного парада. Но все таки кое что было сделано, кое что достигнуто.

Векторный анализ.

Молодой человек, не в Москве ли вы?

Или вы в полях немаксвеллевых?

Иль в мечты вихревой вашей поле

Кое с кем заигрались в диполи?

До чего хорошо весной на полях,

Когда каждая травинка - вектор,

Когда солнца источник

Каждый листочек

Лучом проницает сверху.

У меня же сессия, сессия утром,

Не до весны мне с ее перламутром.

Потребует строгий наш математик

Поля векторов, а не мать-и-мачех.

И вот я - в поле из знаков и цифр,

Вникаю в анализа хитрый шифр,

Тонкие скаляры, толстые векторы,

Змеи интегралов, очковые некоторые,

Роты и дивы, наблы и комецы

И прочие тоже рады знакомиться.

Эх, наблочка, куда котишься,

Ко мне в ротор попадешь, не воротишься.

И все ж устаю, и из знаков чащи

Девичий контур - все чаще и чаще.

И вместо интегралов рисую локоны,

К которым приколот источник - цветок.

В тетради по анализу - лирические окна?

Но ротор иначе ведь curl - завиток.

Когда ж до вихрей в голове я устану,

Сменяет их поле воды из под крана,

Горячую голову чуть освежу,

И снова сижу.

И в этот вот час, когда все в беспорядке,

И больше всего ералаш - в голове,

Слышу я голос пленительно сладкий,

Любимая девушка входит ко мне.

Забыв про тетради, смотрю ей в рот,

Где жемчуг зубов чудесней всех див,

Боря, а что такое rot, Боря, а что такое div?

А дальше что было, - совсем испугаешься:

Докажи, говорит, теорему Гаусса.

Сквозь лба я поверхность весь потом истекся:

Докажи, говорит, теорему Стокса,

Да нет теоремы такой, говорю.

Забыл я ее, и щеками горю.

И что ты пристала, пошла бы в читалку,

Зубрила бы там свою начерталку.

Послушай, прочти, чего хочешь ты ради,

Три только строчки из этой тетради.

В тетради же было:

Источник и сток,

Действительно, Гаусс, действительно, Стокс,

А краска все гуще, а стыд все сильнее.

Садись, говорю, признаюсь, проиграл,

Так слушай, начнем: что такое линейный Интеграл.

На ногу ногу доцент положил,

На край отодвинул портфель,

Подумал недвижно, потом ожил:

Иди, отвечай, Розенфельд.

И вот я стою на дрожащей доске,

Всего я себя выгнул.

И сердце застыло в смертельной тоске:

Неужто же я прыгну?

Внизу гладка и маняща вода,

Бассейн окаймлен буями.

Неужто сейчас я спрыгну туда,

Чувствами столкнут буйными?

Доцент и девушка снизу смотрят.

Нагнулся. Руки вперед. Повис.

И роторы, роторы, роторы, роторы,

Внизу и вверху и во мне их свист,

И все теоремы я выложил четко,

И круглая набла легла мне в зачетку,

За нею грибок чудодейственный - комец,

И в шапочке острой за ним незнакомец.

Эх, наблочка, куда котишься?

Мне в зачетку попадешь, не воротишься!

И только я вышел, я встретил подругу,

С улыбкой она протянула мне руку.

Улыбкою счастья я девушку встретил,

И нас целовало солнце.

И ветренный, векторный встретил нас ветер,

Потягиваясь спросонца.

И всем был готов рассказать я прохожим

О сессии этой вести,

И были вдвоем мы под небом погожим

До самого вечера вместе.

Мы на лодочке катались,

Грел нас ветер озорной

Токовали про анализ векторной и тензорной.

Векторный анализ - теория векторного поля, описывающего электромагнитное поле в электродинамике, и поле скоростей жидкости в гидродинамик. Эта теория была основана Кларком Максвеллем. rot и div - знаки ротора (вихря) и дивергенции (расходимости) векторного поля. Набла- знак, имеющий вид треугольника, комец - знак, имеющий вид буквы Т. Доцент поставил в зачетную книжку автора: ОТЛ. (отлично)..

Стихотворение подверглось разгромной критике в журнале "Советское студенчество". Особенно раздражали критика строки "Эх, наблочка, куда котишься", пародирующие популярную песню "Яблочко".

Тензорный анализ.

На 1-м курсе, кроме стихов, я много занимался физикой. Но серьезных книг по современной физике я не мог понимать, так как не знал тензорного анализа. Некоторые элементы этой дисциплины я знал из книг Кочина и Шпильрейна, но для теории относительности этого было недостаточно.

В феврале 1936 г. я былм на концерте в здании Московского университете. Концерт проходил в большой аудитории на 2-м этаже. В перерыве я поднялся 3-й этаж, чтобы посмотреть, как выглядит Механико- математический факультет. В коридоре Мехмата я увидел доску с объявлениями и среди них такое:"25 февраля доцент Г.М. Шапиро в такой- то аудитории в 6.00 начнет чтение курса Тензорного анализа".

Конечно, 25 февраля я был в этой аудитории. В 6 часов занятий в МЭИ уже не было. В аудитории было несколько студентов IV курса, из которых я запомнил Владимира Гуля, впоследствии автора книги о геометрии Лобачевского, и Абрама Зельманова, впоследствии известного астронома, специалиста по космологии, основанной на общей теории относительности.

Генрих Михайлович Шапиро был учеником В.Ф. Кагана. Он работал доцентом на Мехмате и профессором в одном из педагогических институтов Москвы, где читал курс высшей алгебры. В его учебнике по этому курсу я прочел чрезвычайно удивившие меня сведения о том, что Омар Хайям, до сих пор известный мне только как поэт, был автором трактата о кубических уравнениях. Я регулярно слушал лекции Генрих.

Михайловича и в основном понимал их. В июне мы сдали экзамен, студентам университета отметки поставили в зачетные книжки, а мне Генрих Михайлович выдал справку, что "студент 1-го курса МЭИ Б.А. Розенфельд сдал курс тензорного анализа с оценкой отлично". В 1941 г. Шапиро воевал западнее Москвы, был демобилизован по состоянию здоровья. Уехал в Куйбышев (Самару), где была его семья, преподавал там. Он умер в 1942 г. в возрасте 39 лет.

Решающий шаг.

Опыт с курсом тензорного анализа мне понравился и я решил, что таким же образом смогу сдать все курсы Мехмата. Но на Мехмате во вторую смену, когда я был свободен от занятий в МЭИ, учились только студенты э3-го, 4-го и 5-го курсов. Я спросил у Шпильрейна, какие книги мне следует изучить, чтобы понимать лекции на 3-м курсе. Он посоветовал мне изучить дифференциальное и интегральное исчисления по Э. Гурса в объеме трех полутомов "Курса анализа" и аналитическую геометрию в объеме двух томов Дж. Сальмона. Эти книги имелись в русских переводах. По- видимому, по оригиналу Гурса и по французскому переводу Сальмона сам Шпильрейн учился в Сорбонне. Впоследствии в университете мне сказали, что математический анализ следовало учить не по Гурса, а по Валле- Пуссену. В книгах Сальмона совсем не было векторов, роль которых играл почти забытый ныне метод сокращенных обозначений, но более новых учебников тогда не было.

Июль 1936 г, я провел в летнем лагере МЭИ, описанном в моем фельетоне в "Энергетике", а в августе я прилежно изучал в библиотеке им. Ленина книги, рекомендованные Шпильрейном. Там я познакомился с Додиком Шклярским, который в 1936 г. поступил на Мехмат, а впоследствии был известным организатором школьных математических кружков. Додик погиб на войне. После войны первой книгой серии "Библиотека математического кружка" был сборник задач, составленный Д. Шклярским, Н. Ченцовым и И. Ягломом.

Перед решительным шагом начала систематических занятий на Мехмате я решил "сфотографироваться" - написал свой "Автопортрет" - цикл из 6 небольших стихотворений.

Волосы.

От судьбы получил я пеньковую петлю.

На голову мою беспутную,

Но она не прошла через голову отпетую.

И так и осталась спутанной.

И вот она - почерневший фитиль керосинки.

Поверх ее лица пылающего и угреватенького.

И вот она - завитые проволочные волосинки.

Прибора электронагревательного.

И ею греемый кипит мой мозг,

Сплавляет все мысли в целеустремленное, единое.

Не боишься обжечь коленок мост,

Можешь найти и золу сединок.

И только, когда устанет ладонь,

Кудряшки мои бравши,

Удивишься: ведь я совсем молодой,

По сути дела, барашек.

Очки.

От судьбы получил я терновый венец,

Глубоко нахлобученный на уши.

И блестят в опьяняющем красном вине

Его когти, виски мне сжимающие.

Жестокие иглы глазам грозят,

Вонзаются в нервы, упорны.

И ясно-ясно видят глаза,

Шипами теми пришпорены.

И всех оттолкнул тех игл синий блеск,

Как реквием, сыгранный соло.

Лишь стал кто ближе и в душу влез,

Узнал: человек я веселый.

Губы.

От судьбы получил я удар по лицу

За избыток любовного зуда,

И круглые губы хрупко несут

Отсутствие главного зуба.

Левая щека неподвижно мне вправлена,

И губы направо улыбку обращают:

Как будто: пожалуйте за левой и правую,

Как будто: я вас прощаю.

Светится фиолетовый штемпель отверженного.

Различимы следы, пальцами впечатанные.

С такими губами, судьба моя отвешена,

Мне никогда не целоваться с девчатами.

Кода же я все таки поцелую тебя,

Подавивши улыбки змея,

Ты скажешь, терпкое счастье терпя,

Что целовать я умею.

Скулы.

От судьбы получил я два граненных алмаза,

Каждый из них - с кулак,

И в поте, лицо что забрызгал - замазал,

Любая - алмаз - скула.

Люблю я сжимать челюстей угол,

Так, что зубам хоть дробиться.

Если покрепче сдавить уголь,

Можно алмаза добиться.

Вся жизнь для меня - для зубов гранит,

Я слова не знаю "долго".

И так мои скулы смогла отгранить.

Лишь мертвая хватка бульдога.

Как алмазом упорством своим я блистаю,

И потом на скулах горд.

Одна ты лишь знаешь, моя дорогая,

Что я не со всеми тверд.

Нос.

От судьбы получил я бокал с вином,

К самому поднесенный носу.

И все запахи мира - в свете ином,

Все они винный приносят.

И всеми запахами оттого я пьян,

В каждом встречном я вижу братца,

В мозгу моем зреет за планом план,

И за все мне хочется браться.

И носом вперед бросался я с вышек,

Листал им ученых тома.

И солнца зной с него кожу выжег,

Мороз превратил в томат.

И чтоб подчеркнуть, как я многогранен,

Мой нос не прямой, а граненно курносый.

Одна ты лишь знаешь запретные страны

Для моего любопытного носа.

Овал лица.

От судьбы получил я золотую медаль,

Ей от счастья весь мир заполнен.

И кто лицо мое увидал,

Тот его на всю жизнь запомнил.

Оно - как солнце во время полдня,

Как луна в своем полнолунии.

Как они, на мир я глаза свои поднял

Голубые, ясные, юные.

Искристость правды глаза стерегут,

Полноценен медали чекан,

И только намечен зазубристый гурт

По круглым моим щекам.

С такими глазами недоверие что мне

К продажного металла искре!

Одна лишь ты, дорогая, запомнила

Часы, когда был я неискренен.

4-е и 5-е из этих стихотворений воспевают те самые способность к доведению начатого дела до конца и способность к обобщениям, которые характеризуют типы "храбрецов", "дельцов" и "творцов", определенные мной еще в школьные годы.

Вячеслав Васильевич Степанов.

С 1 сентября 1936 г. я стал каждый день после занятий в МЭИ ездить на занятия 3-го курса Мехмата. В те времена на Мехмат вход был свободный.

Курс "Теории функций комплексного переменного" (ТФКП) читал Иван Иванович Привалов. Только что вышел его учебник по этому курсу и свои лекции он читал в точности по этой книге.

На 3-м курсе читалась 2-я часть курса "Интегрирование дифференциальных уравнений" (Индифур). Курс читал тот самый Вячеслав Васильевич Степанов, который был редактором русского перевода книги Гурса.

В.В. Степанов был учеником Н.Н. Лузина. Племянник Т.Ю. Айхенвальд поэт Юрий Айхенвальд писал мне, что тетя Таня часто вспоминала "Славочку Степанова" и его жену Юлию Антоновну Рожанскую, свою лучшую подругу и тоже ученицу Лузина.

Учебник В.В. Степанова по его курсу Индифура в то время был только в виде литографированного издания заочного отделения университета, но Вячислав Васильевич не пересказывал учебник, а вел живую беседу со студентами, перемежая ее шутками и поговорками "как говорят у нас в Смоленске".

Когда я рассказал Вячеславу Васильевичу, что хочу одновременно учиться в МЭИ и в МГУ, это ему понравилось и он пообещал мне, если я успешно сдам Индифур, принять у меня экзамен по математическому анализу за два первые курса по Валле - Пуссену. Я сдал эти курсы в начале 1937 г.

В.В. Степанов сыграл решающую роль в том, что мне удалось стать математиком. В разное время Вячеслав Васильевич был деканом Мехмата и директором Научно-исследовательского института математики и механики (НИИММ) при этом факультете. Впоследствии он был избран членом- корреспондентом Академии наук СССР. В.В. Степанов был широко образованным математиком, он слушал все доклады на заседаниях Московского Математического Общества и активно участвовал в их обсуждении.

Вячеслав Васильевич Степанов умер в 1950 г. в возрасте 61 года.

Вольнослушатель университета.

К марту 1937 г. я сдал экзамены по 11 университетским предметам. Кроме тензорного анализа, Индифура и математического анализа за 1 й и 2-й курсы я сдал аналитическую геометрию, статику, кинематику, динамику, гидродинамику, теорию упругости и вариационное исчисление. По всем этим предметам я получил отметки "отлично", написанные на отдельных бумажках. С этими бумажками я пришел к директору МЭИ И.И. Дудкину, сказал ему, что хочу быть инженером-электриком, хорошо знающим математику, и просил его ходатайствовать перед директором Московского университета А.С. Бутягиным, чтобы меня приняли в МГУ. Я хотел быть одновременно студентом МЭИ и МГУ. Дудкин написал письмо Бутягину с такой просьбой.

Когда я пришел к Бутягину с этим письмом, он сказал мне, что быть одновременно студентом двух вузов нельзя, но на мою просьбу выдать мне зачетную книжку, сказал, что это можно. Вызвал своего секретаря и велел ему выписать мне зачетную книжку и написать на ней "Вольнослушатель по специальному разрешению директора". В деканате Мехмата в эту книжку переписали отметки всех сданных мной экзаменов и поставили печать.. Отметки по всем следующим экзаменам ставили уже в эту зачетную книжку.

Позже, когда в МГУ появился экстернат, я был зачислен студентом- экстерном.

Исключение из комсомола.

В 1937 году Сталин объявил, что по мере построения социализма классовая борьба в стране обостряется, что страна кишит замаскированными шпионами и диверсантами - агентами иностранных разведок и "врагами народа". По стране прокатилась волна многодневных партийных и комсомольских собраний, на которых "разоблачали врагов народа", за этим обычно следовали аресты.

Такое комсомольское собрание МЭИ проходило в июне 1937 г. в Лефортовском парке. На собрании один из выступающих сообщил, что я был на квартире у "врага народа" Бараца. Меня тут же вызвали на трибуну. Я сказал, что действительно был у профессора физики Ю.Б. Бараца, он позвал меня для обсуждения темы моей научной работы. Мои объяснения собрание не удовлетворили. Было принято решение исключить меня из комсомола за "связь с врагом народа", у меня отобрали комсомольский билет и я ушел с собрания. Несколько дней я думал, что меня арестуют.

Осенью я начал заниматься на Электромеханическом факультете. Из "военного потока", где готовили офицеров запаса, меня перевели на "гражданский поток". После занятий в МЭИ я каждый день ездил на Мехмат. Поэтому я не мельтешил перед глазами "стукачей", по-видимому, это и спасло меня от дальнейших неприятностей.

Студенческие каникулы.

Я уже писал, что летом 1936 года один месяц я провел в студенческом лагере МЭИ. Таким же образом я поступал в течение и трех последующих лет. Летом 1938 г. после студенческого лагеря я совершил туристскую поездку в Грузию. Перед этим я выучил грузинский алфавит, некоторые принципы грамматики и небольшое количество грузинских слов. Мы приехали поездом во Владикавказ, проехали автобусом по Военно- Грузинской дороге с остановкой у горы Казбек и побывали в Тбилиси, Гори и Батуми.

Из Батуми пароходом я отправился в Новороссийск, по дороге выходил на берег в Гаграх и Сочи. Из Новороссийска я доехал поездом до Ростова и осмотрел Ростов и Таганрог.

Производственная практика.

Первую производственную практику в МЭИ я проходил на 4-м курсе в Москве на Трансформаторном заводе комбината "Электрозавод". Мы работали в Техническом отделе Трансформаторного завода, и учились рассчитывать трансформаторы - аппараты, изменяющие напряжение электрического тока. Руководил Техническим отделом замечательный инженер Моисей Эммануилович Манькин.

Вторую практику в МЭИ я проходил на 5-м курсе в Харькове, на Харьковском Электромеханическом заводе (ХЭМЗ). Здесь мы изучали производство электрических моторов и генераторов. Практикой руководил кандидат технических наук Вадим Трапезников, который впоследствии стал академиком АН СССР. Я впервые попал на Украину - единственную республику СССР, где все вывески были написаны только на языке республики. Это не очень затрудняло нас, так как украинский язык достаточно близок к русскому. В то же время украинской речи в городе почти не было слышно, говорили, как правило, по-русски. В Харькове я посетил двоюродного брата мамы дядю Матвея Есельсона, который часто приезжал к нам.

Во время практики на ХЭМЗе я был уже аспирантом МГУ и понял, что совмещать аспирантуру с учебой в МЭИ нельзя. Поэтому я попросил дирекцию МЭИ предоставить мне отпус до оканчания аспирантуры в МГУ.

Глава 5. МЕХМАТ (1936 -1941) Механико - математический факультет МГУ.

Механико-математический факультет Московского университета выделился из Физико-математического факультета, который первоначально готовил специалистов по всем естественным и точным наукам, вплоть до химии и биологии (в этом названии слово "физика" понималось в широком античном смысле, от греческого слова physis - "priroda"). Из этого факультета выделялись также химический, биологический, геологический и географический факультеты.

Дмитрий Федорович Егоров и Николай Николаевич Лузин.

В начале 20-х годов во главе математиков Московского университета стояли декан факультета и председатель Московского Математического Общества Дмитрий Федорович Егоров (1869-1931) и его ученик, Николай Николаевич Лузин (1883-1950).

Д.Ф. Егоров был учеником Болеслава Корнелиевича Млодзиевского (1858-1923) и большинство его работ относились к дифференциальной геометрии. В то же время он заинтересовался популярной в то время в Западной Европе математикой, основанной на теории множеств, и доказал важную теорему, которая послужила исходным пунктом развития Московской теоретико- множественной школы Н.Н. Лузина. Егоров был избран почетным академиком Академии наук СССР, а Лузин - действительным членом этой академии. В то время, когда я учился на Мехмате, большинство его профессоров были учениками Егорова и Лузина.

Д.Ф. Егоров был глубоко религиозным человеком, в 1931 г. его обвинили в антисоветской деятельности и выслали в Казань, где вскоре Егоров заболел и умер. В Казани я видел могилу Д.Ф. Егорова рядом с могилой Н.И. Лобачевского.

Президентом Московского математического общества в 1931 г. стал, коммунист Э.Я. Кольман. Математиков, которые протестовали против изгнания Егорова, подвергли репрессиям.

В 1936 г. была развернута шумная кампания против Н.Н. Лузина, в результате чего ему пришлось уйти из МГУ, и он работал в Институте машиноведения Академии наук. Я видел Лузина всего один раз в жизни - в 1945 г. на праздновании юбилея Академии наук.

Павел Сергеевич Александров и Андрей Николаевич Колмогоров.

Когда я учился на Мехмате, наиболее авторитетными математиками там были ученики Н.Н. Лузина Павел Сергеевич Александров (1896-1982) и Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987). В 20-х годах они получили стипендию Рокфеллера и стажировались в лучших университетах Западной Европы. Александров стал одним из лучших топологов того времени, а Колмогоров, сделавший важные открытия во многих областях математики, преобразовал в духе теоретико-множественной школы Лузина теорию вероятностей, которая до этого находилась как бы в стороне от главных направлений математики.

Александров был избран членом-корреспондентом АН СССР в 1929 г. и академиком в 1953 г., Колмогоров был академиком с 1939 г.

Инициатором кампания 1936 г. против Лузина был П.С. Александров, значительную помощь ему в этом оказал Э.Я. Кольман, который в то время заведовал Отделом науки Московского горкома партии.

В 1938 г. вышла книга Кольмана "Предмет и метод современной математики", где я увидел большое число неряшлевых математилеских формулировок и был поражен, прочитав хвалебное предсловие Александрова и Колмагорова к этой книге Кольмана. Долг платежом красен !

Попытка исключения Лузина из Академии наук не удалась, так какбольшинство академиков встало на его защиту.

Александров заведовал кафедрой высшей геометрии Мехмата, а Колмогоров -кафедрой теории вероятностей.

Я слушал курс Колмагорова по теории вероятностей и сдавал ему экзамен по этому курсу. Я изучал теорию функций действтельного переменного (ТФДП) по книге Александрова и Колмагорова, и слушал многие их спецкурсы и доклады, оба они представляли мои работы в журналы Академии наук.

Курс ТФДП нам очень темпераментно читала ученица Лузина Нина Карловна Бари (1901-1961).

Иван Георгиевич Петровский.

Курсы по дифференциальным уравнениям, кроме В.В. Степанова, читал Иван Георгиевич Петровский (1901-1973), который впоследствии был деканом Мехмата, академиком и ректором МГУ. Иван Георгиевич также представлял мои работы в журналы Академии наук.

Курсы по дифференциальным уравнениям читал также Виктор Владимирович Немыцкий(1900 -1967), муж Н.К. Бари.

Отто Юльевич Шмидт и Александр Геннадиевич Курош.

Кафедрой высшей алгебры заведовал академик Отто Юльевич Шмидт (1891-1956), очень разносторонний ученый. Практическую работу по руководству кафедрой проводил Александр Геннадиевич Курош (1908-1971 В молодости Курош активно протестовал против травли Д.Ф. Егорова и был за это исключен из комсомола. Я сдавал Курошу экзамен по высшей алгебре и участвовал в одном из его семинаров. После войны Курош возглавил кафедру. Его книга "Теория групп" переведена на многие языки.

Лев Семенович Понтрягин.

Ученик П.С. Александрова Лев Семенович Понтрягин (1908-1988) читал многие спецкурсы по топологии и по созданной им теории топологических групп. Я слушал некоторые курсы и часто беседовал с Понтрягиным. Он настойчиво советовал мне бросить МЭИ: только при этом условии, по его мнению, я смог бы стать хорошим математиком. Потеряв зрение в детстве, Понтрягин тем не менее сумел стать первоклассным ученым. Он был избран членом-корреспондентом АН СССР в 1939 г. и академиком - в1958 г. Его книга "Непрерывные группы" выдержала многие издания на разных языках.

Софья Александровна Яновская.

Я слушал также лекции Софьи Александровны Яновской (1896-1966) по истории математики и математической логике.

Софья Александровна была участницей гражданской войны на юге Украины. Белогвардейцы расстреливали ее на высоком берегу реки, так она была маленьгого роста и в высокой шляпе, то пули попали в шляпу, она упала в реку, переплыла ее, до вечера пряталась в камышах и спаслась.

После окончания Института красной профессуры, Софья Александровна работала на Мехмате и заведовала кафедрой истории математики. Я часто советовался с Софьей Александровной по философским вопросам.

Николай Николаевич Бухгольц и Александр Иванович Некрасов.

Теоретическую механику (статику, кинематику и динамику) и теорую упругости я сдавал Николаю Николаевичу Бухгольцу, а гидродинамику - Александру Ивановичу Некрасову. Сведения по теории упругости и гидродинамике, полученные мною на Мехмате, я с успехом использовал при сдаче в МЭИ курсов Сопротивление материалов и Теоретических основ элктротехники.

Н.Н. Бухгольц жил в Кривоарбатском переулке и мы часто беседовали.

Веньямин Федорович Каган.

На Мехмате существовал семинар по векторному и тензорному анализу, организованный и руководимый Веньямином Федоровичем Каганом (1869­1953). Как любитель векторов и тензоров я, естественно, стал посещать прежде всего спецкурсы и семинары В.Ф. Кагана и его учеников, а затем и его "большой семинар". Со школой В.Ф. Кагана связана вся моя дальнейшая деятельность в области математики.

В.Ф. Каган в течение многих лет работал в Одесском университете, там он в 1900 г. выпустил учебник геометрии Лобачевского, а в 1905-1907 гг. - двухтомную монографию "Основания геометрии", которую защитил как магистерскую диссертацию. В этой книге изложена его знаменитая аксиоматика евклидова пространства, основанная на понятии расстояния между точками. Руководимое им научное издательство "Маthеsis" издало в предреволюционные годы много русских переводов новых иностранных книг по математике. Поэтому при организации в 1922 г. Государственного издательста СССР В.Ф. Каган был приглашен в Москву для руководства математической редакцией этого издательства.

С этого времени он работал в МГУ, где организовал две новые кафедры: кафедру дифференциальной геометрии на Мехмате и кафедру математики на Физфаке. До войны В.Ф. Каган заведовал обеими этими кафедрами, а первой из них - до конца своих дней.

Еще в Одессе В.Ф. Каган написал книгу по общей теории относительности и начал заниматься тензорной дифференциальной геометрией. В Москве он организовал новую научную школу, разрабатывающую эту область геометрии. В 1933 г. под его редакцией начали выходить "Труды семинара по векторному и тензорному анализу при МГУ".

В 1934 г. в Моске проходила, организонанная В.Ф. Каганом, Международная конференция по тензорной дифференциальной геометрии.

В 30-е годы В.Ф. Каган создал теорию субпроективных пространств - римановых пространств, являющихся ближайшими обобщениями пространств постоянной кривизны, т.е. неевклидовых пространств. В последние годы своей жизни он написал две монографии "Основы теории поверхностей в тензорном изложении" и "Основания геометрии", значительно отличающуюся от одноименной книги, написанной Каганом полувеком ранее.

Я часто беседовал с В.Ф. Каганом и его внуками - ныне известными учеными - механиком Григорием Исааковичем Баренблатом и математиком Яковым Григорьевичем Синаем.

Александр Петрович Норден.

Моим первым научным руководителем по геометрии был Александр Петрович Норден (1904-1993), в то время доцент кафедры В.Ф. Кагана на Физфаке. На Мехмате Норден вел семинар и читал спецкурс "Геометрия линейчатого пространства", в котором изучалась геометрия многообразий прямых линий трехмерных неевклидовых пространств Лобачевского и Римана. Здесь я снова встретился с интерпретациями А.П. Котельникова и с другими интерпретациями этих многообразий, но теперь, прослушав курс оснований геометрии В.Ф. Кагана и спецкурс А.П. Нордена, я уже хорошо разбирался в неевклидовых геометриях - фактически вся тематика обеих моих диссертаций выросла из этого курса А.П. Нордена. А.П. Норден был великолепным научным руководителем и за свою долгую жизнь воспитал очень много геометров.

А.П.Норден был потомком "арапа Петра Великого" А.П. Ганнибала, одна из дочерей которого была выдана замуж за шведского барона Августа Нордена. Ближайшие предки А.П. Нордена были помещиками Саратовской губернии, поэтому Нордена не принимали в университет, и приняли только после того, как он поработал два года рабичим на одном из заводов Саратова.

В 1937 г. А.П. Норден защитил докторскую диссертацию. В то время он постоянно жил в подмосковном дачном поселке Плющево.

Во время войны Норден работал профессором Военного института транспорта в Новосибирске, а в 1945 г. после смерти П.А.Широкова был приглашен заведовать кафедрой геометрии Казанского университета. В Казани Норден создал мощную геометрическую школу и прожил там до конца жизни. Норден был автором многих монографий и учебников по геометрии, он распространил тензорную дифференциальную геометрию на проективно-дифференциальную и конформно-дифференциальную геометрии.

Петр Константинович Рашевский.

Моим руководителем в аспирантуре был Петр Константинович Рашевский (1907-1983), который считался наиболее сильным из учеников Ф. Кагана. П.К. Рашевский уже в 1934 г., за три года до защиты докторской диссертации, стал профессором Мехмата. После смерти Кагана Рашевский являлся редактором "Трудов семинара по векторному и тензорному анализу" и возглавлял кафедру дифференциальной геометрии после П. Финикова.

Рашевский был автором многих книг по геометрии. Свою книгу "Тензорный анализ и римонова геометрия" он позднее дополнил главами по теории относительности.

Главной своей задачей Рашевский считал создание на основе тензорного анализа нового математического аппарата квантовой физики, и потратил на это лучшие годы своей жизни. Но когда работа была закончена и опубликована в виде большой статьи в "Успехах математических наук", физики сказали, что новый математический аппарат им не нужен, их вполне устраивает тот, который у них есть. Это был такой удар, от которого Рашевский не смог оправитьсядо конца своей жизни.

П.К. Рашевский интересовался также конечными геометриями, и его ученик Гонин создал в Перми конечно-геометрическую школу, одна из участний которой Алла Ефимовна Малых стала доктором физ.-мат. наук.

Яков Семенович Дубнов.

Курс дифференциальной геметрии я сдавал Якову Семеновичу Дубнову (1887-1957), самому близкому ученику В.Ф. Кагана, учившемуся у него еще в Одессе. Яков Семенович был сыном известного историка Семена Марковича Дубнова (1860-1941), автора "Истории еврейского народа", который жил до войны в Риге и был убит там нацистами.

Лекции Я.С. Дубнова и его книга "Основы векторного исчисления" были образцовыми в методическом отношении. Мне очень нравилась его теория тензоров с векторными компонентами и тензорная теория прямолинейных конгруэнций.

Из других учеников Кагана упомяну Виктора Владимировича Вагнера (1908-1981), возглавлявшего геометрическую школу в Саратове, и Абрама Мироновича Лопшица (1897-1984), работавшего в Москве и Ярославле.

Сергей Павлович Фиников.

Единственным геометром на кафедре В.Ф. Кагана не принадлежавшим к его школе был Сергей Павлович Фиников (1883-1964). С.П.Фиников был учеником Д.Ф.Егорова; остальные геометры - ученики Егорова - С.В.Бахвалов, С.С.Бюшгенс и С.Д.Россинский работали на кафедре П.С.Александрова. Во время травли Д.Ф.Егорова Фиников активно защищал его и был уволен из МГУ. Много лет он работал в Московском институте инженеров связи и в педагогических институтах. Когда я учился на Мехмате, Фиников снова работал на этом факультете, но на кафедре Кагана, хотя и был признанным главой школы "классической дифференциальной геометрии".

В 1925 -1926 гг. Фиников находился в длительной командировке во Франции и Италии, познакомился со многими математиками. Особенно тесная дружба связывала Финикова с Эли Картаном. Фиников освоил метод внешних форм Картана и его метод подвижного репера и позже создал огромную школу дифференциальных геометров, работающих этими методами.

Фиников возглавлял другую дифференциально - геометрическую школу, но он очень хорошо относился ко мне. Я участвовал в работе его семинаров и часто беседовал с ним.

После смерти Кагана Фиников возглавлял кафедру дифференциальной геометрии МГУ.

Борис Николаевич Делоне.

Аналитическую геометрию я сдавал Борису Николаевичу Делоне (1890­1980), который читал этот предмет в одном потоке (в другом его читал С.С.Бюшгенс). Б.Н.Делоне, специалист по теории чисел, пришел к геометрии через геометрию чисел и кристаллографию, в которой он сделал важные открытия. Его курс аналитической геометрии, в отличие от старомодного курса Бюшгенса, был в векторном изложении и в значительной степени основывался на аффинных преобразованиях. Лекции Делоне были очень живые, аффинные преобразования он иллюстрировал растяжениями кошечек, формулу двойного векторного произведения [a[bc]]=b.ac-c.ab называл "бац минус цаб".

Семья Делоне происходила от французского офицера, попавшего в русский плен во время Отечественной войны 1812 г. Дядя этого офицера де Лоне - камендант Бастилии, был растерзан восставшим народом во время Великой французской революции. Пленный офицер женился на дворянке Тухачевской, родственнице будущего маршала, и остался в России.

Отец Б.Н.Делоне был профессором механики в Киеве. Борис Николаевич окончил Киевский университет и, написав солидную работу по теории чисел, приехал в Петроград, где стал профессором университета, а затем членом-корреспондентом Академии наук СССР. Делоне переехал в Москву в 1934 г. вместе с Академией наук.

Учеником Бориса Николаевича был академик Александр Данилович Алаксандров, основатель третьей, самой солидной, дифференциально- геометрической школы в России.

Б.Н.Делоне был страстным альпинистом, автором книги "Путеводитель по горам Западного Кавказа".

Первая научная работа.

Проективную геометрию я слушал и сдавал Нилу Александровичу Глаголеву (1888-1945). Ему же я сдавал по его книге начертательную геометрию, которая почти ничего общего не имела с одноименным курсом, который я изучал в МЭИ.

В 1938 г., изучая в МЭИ теорию асинхронного двигателя, я познакомился с "круговой диаграммой" асинхронного двигателя. Если в синхронном двигателе его вращающаяся часть (ротор) движется с той же угловой скоростью, что и вращающееся электромагнитное поле машины, то в асинхронном двигателе скорость ротора отстает от скорости поля. Разность между этими угловыми скоростями, деленная на скорость поля, называется "скольжением" асинхронного двигателя. В электротехнике синусоидальные токи i = Isin (wt-a) изображаются комплексными числами с модулем I и аргументом a и соответственными векторами на плоскости комплексного переменного. В случае асинхронного двигателя векторы, изображающие токи в машине при различных скольжениях, имеют общее начало, а концы - на некотором круге. Этот круг и называется "круговой диаграммой асинхронного двигателя". Каждая точка круговой диаграммы соответствует определенному скольжению s, и таким образом на круговой диаграмме возникает "шкала скольжений".

В том же году при изучении проективной геометрии на Мехмате я познакомился с понятием проективной шкалы на коническом сечениии, в частности, на круге. В работе "Математическая теория круговой диаграммы" я доказал, что шкала скольжений на круговой диаграмме асинхронного двигателя является проективной шкалой и поэтому на ней, как на всякой проективной шкале, можно с помощью простых геометрических построений производить сложение, вычитание, умножение и деление скольжений. В случае, если на некотором участке круговой диаграммы целочисленные значения s скольжений расположены слишком густо, их можно умножить на 10, и полученные значения 10s будут расположены более удобно.

Когда я показал эту работу профессору МЭИ Б.П.Апарову, большому любителю математики, он сказал - "это - новенькое". Тогда я отнес статью в журнал "Электричество", где ее напечатали в N4 за 1940 г.

В 1939 г., под руководством А.П.Нордена на основе его курса "Геометрия линейчатого пространства", я написал свою первую чисто геометрическую работу. Норден в своем курсе рассматривал многообразия прямых линий трехмерных неевклидовых пространств Лобачевского и Римана. Мне Норден посоветовал рассмотреть более подробно неевклидово пространстно Римана - эллиптическое пространство. Норден показал, что прямые этого пространства можно изобразить точками 4-мерной квадрики (поверхности второго порядка) в 5-мерном эллиптическом пространсте. При этом линии, 2-мерные и 3-мерные поверхности на квадрике изображают, соответственно, линейчатые поверхности, конгруэнции и комплексы прямых. Я доказал, что геодезические (кратчайшие) линии на квадрике изображают винтовые поверхности (геликоиды) и нашел много свойств квадрики, соответствующих свойствам линейчатых поверхностей, конгруэнций и комплексов прямых. Работа под названием "Теория конгруэнций и комплексов прямых в эллиптическом пространстве" была представлена А.Н.Колмогоровым в "Известия Академии наук СССР" и напечатана в N 5 математической серии этого журнала за 1941 г.

В том же 1939 г., прочитав только что вышедший русский перевод книги "Высшая геометрия" Феликса Клейна, я написал аналогичную статью о многообразии сфер того же пространства, также изображаемых точками квадрики в 5-мерном пространстве. Работа была напечатана в "Ученых записках МГУ" в 1944 г.

Весной 1939 г. на Мехмате состоялся конкурс студенческих научных работ. Я объединил все три мои работы под общим заголовком "Некоторые задачи чистой и прикладной геометрии" и подал на конкурс. Рецензентом работы был П.К.Рашевский. Мне свое мнение о работе он выразил словом "Начудил!", но дал хороший отзыв. Работа получила вторую премию, которую я разделил с моим сокурсником С.В.Фоминым. Первую премию получил третьекурсник Н. А.Леднев за работу по теории полей классов.

Государственные экзамены.

В июне 1939 г. наш курс Мехмата сдавал государственные экзамены. К этому времени я уже был оформлен как студент-экстерн. Я принес из МЭИ справки о сданных мной общественно-политических дисциплинах, физкультуре и военной подготовке. В МГУ мне перезачли эти предметы и допустили к государственным экзаменам.

Мы сдавали три экзамена: математический анализ с Индифуром, основания геометрии, и спецкур, в качестве которого я выбрал проективную геометрию. Анализ я сдавал академику Сергею Львовичу Соболеву. Мне "попались" неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Я рассказал, как такие уравнения с синусоидальной правой частью решают электротехникии с помощью "векторных диаграмм". С.Л.Соболев остался очень доволен. Курс "Основания геометрии", включающий геометрию Лобачевского, я сдавал В.Ф.Кагану, проективную геометрию - Н.А.Глаголеву. По всем трем госэкзаменам я получил отличные отметки. В моей зачетной книжке все отметки были отличные и мне выдали "Диплом с отличием".

Аспирантура.

Кафедра В.Ф.Кагана рекомендовала меня в аспирантуру. Против этого возражали общественные организации, так как я был в 1937 г. исключен из комсомола. Но В.В.Степанов, который в это время был директором Научно-исследовательского института математики и механики, при котором находилась аспирантура Мехмата, настоял на моем принятии в аспирантуру.

Приемные экзамены я сдал благополучно. Моим руководителем был назначен П.К.Рашевский. Вместе со мной в аспирантуру были приняты мои сокурсники: ученик Колмогорова Сергей Васильевич Фомин (1917-1985), алгебраист Олег Николаевич Головин (1916-1989), геометр Моисей Ильич Песин (1913-1941). На курс старше в аспирантуре учился Георгий Евгеньевич Шилов (1917-1972). На курс моложе - Владимир Абрамович Рохлин (1919-1984).

1 сентября 1939 г. началась II Мировая война. В связи с этим Верховный Совет СССР отменил отсрочки от призыва в армию для студентов и аспирантов. Поэтому наиболее авторитетные профессора Мехмата обратились к Наркому Обороны К.Е.Ворошилову с просьбой предоставить, в порядке исключения, отсрочки от призыва до окончания аспирантуры нескольким наиболее перспективным аспирантам, в число которых был включе и я. Мы получили такие отсрочки за подписью Щаденко - заместителя Ворошилова.

В аспирантуре я сдавал 4 экзамена комиссиям: по алгебре, топологии, функциональному анализу и непрерывным группам, и 4 отчета руководителю по различным разделам геометрии.

Для одного из отчетов Рашевский предложил мне изучить "Лекции по дифференциальной геометрии" Луиджи Бьянки на итальянском языке, которого я не знал. Он уверил меня, что я все пойму по формулам, и он оказался прав.

На экзамене по алгебре Курош попросил меня привести пример некоммутативного поля, и когда я не смог ответить, он сказал: "Ну, с кватернионами Вам никогда не придется иметь дело". Но я всю жизнь работал с кватернионами.

В аспирантуре я написал еще несколько статей, развивающих идеи моих первых геометрических работ. В часности, в работе 1941 г. я ввел инвариантную метрику в многообразие m-мерных плоскостей n-мерного эллиптического пространства и доказал, что роль геодезических линий в этом многообразии играют "m-геликоиды" - обобщения обычных геликоидов. Рашевский относился к этим работам скептически и считал, что кандидатскую диссертацию по этой тематике мне не написать. Он рекомендовал мне развивать идеи его докторской диссертации о полиметрической геометрии.

На самом деле, моя кандидатская и докторская диссертации выросли из моих первых работ, написанных под руководством А.П.Нордена, а докторскую диссертацию П.К.Рашевского я прочитал, уже будучи доктором наук.

В школе я учил немецкий язык, в МЭИ - английский, на Мехмате сдал немецкий, в аспирантуре я учил французский, а кроме того - итальянский, латинский, древнегреческий и чешский.

Латинский язык я изучал на Истфаке в группе, которую вел Николай Иванович Скаткин. О нем я слышал еще в 25-й школе от его дочери Ляли, которая училась на класс моложе меня. Я встретился с Николаем Ивановичем на 3 курсе МЭИ, он читал нам курс Основ марксизма ленинизма. Он поражал меня своей эрудицией в вопросах древней истории и религий. Впоследствии он преподавал латынь на Истфаке. Латынь он преподавал великолепно, до сих пор помню стихотворение Горация "Exegi monumentum", под влиянием которого было написано стихотворение А.С.Пушкина "Я памятник себе воздвиг нерукотворный".

От занятий древнегреческим языком под руководством проф. Гракова в моей памяти сохранились печальное стихотворение Сафо и веселое стихотворение Анакреона.

Латынь и древнегреческий язык оказались для меня весьма полезными позднее, когда я занялся историей математики.

Я давно хотел познакомиться с каким нибудь западно-европейским славянским языком. Польский я слышал дома - на нем говорили мама и тетя Цеся. В университете я узнал, что на Истфаке изучают чешский язык. Я пришел к ним на занятие. Преподавательница Юлия Конова сказала, что они занимаются уже второй год. Но я попросил проверить меня на каком нибудь тексте. Мне дали статью, которая начиналась словами: Feudalna zaostalost Rakovske. Я бодро стал переводить: Феодальная отсталость Раковской... Раковска-это наверное какая нибудь область Чехословакии. Оказалось, что Rakovska - чешское название Австрии. Преподавательница посмеялась, но в группу меня приняла. Мы целый год читали роман Ивана Ольбрахта "Никола Шугай". Из тех, кто занимался со мной я помню Надю Ратнер, которая стала известным словяноведом.

Однажды на Истфаке я прочел объявление, что в ближайшее воскресенье состоится выезд желающих студентов на археологические раскопки в Московскую область. В указанный день я явился на сборный пункт. Раскопками руководил заведующий кафедрой археологии профессор Артемий Владимирович Арцыховский, племянник первой жены дяди Якова. Мы подошли к древнему захоронению и Арцыховский указал нам направление в котором следует копать. Мы нашли скелет древнего вятича.

Я много раз подавал заявление в МГК ВЛКСМ с просьбой восстановить меня в комсомоле и после того, как мне это разрешили, в 1940 г. меня приняли в комсомол снова в комсомольскую организацию Мехмата, и назначили редактором стенгазеты "Искусство".

Геленджик.

Летом 1940 г. я отдыхал в санатории МГУ в Геленджике на берегу Черного моря между Новороссийском и Туапсе. Здесь я познакомился со многими интересными людьми, из которых упомяну студентку Физфака Ирину Ракобольскую. Во время войны она была летчицей, заслужила звание Героя Советского Союза, а после войны была много лет проректором МГУ по Заочныму отделению.

В Геленджике я научинся хорошо плавать на спине и несколько раз, удивляя моих товарищей, плавал на спине по прямой линии к островку, находящемуся в полукилометре от берега.

Харьков и Киев.

Я уже писал, что в конце 1939 г. проходил производственную практику в Харькове. Я несколько раз посещал математический факультет университета и познакомился с харьковскими математиками - геометрами Дмитрием Матвеевичем Синцовым и Яковом Павловичем Бланком, алгебраистом Антоном Казимировичем Сушкевичем и специалистами по функциональному анализу Наумом Ильичем Ахиезером и Борисом Моисеевичем Левитаном. На лекции Ахиезера и познакомился со студентами Марком Роговым и Григорием Ястребинецким. В январе 1940 г. я присутствовал на защите докторской диссертации Левитана.

В том же месяце я съездил в Киев и осмотрел город, где познакомились и поженились мои родители. Теперь здесь жила тилько одна семья моих родственников - дядя Меер Фингер с женой, дочерью Шивой, ее мужем и сыном Леней. В 1941 г. Меер и его больная жена, не смогли эвакуироваться и погибли в Бабьем яре. Семья Шивы эвакуировалась в Среднюю Азию. Леня погиб на фронте. Шива и ее муж после войны жили в Черновцах.

В Киеве я познакомился с молодым математиком Сашей Товбиным. До сих пор помню четверостишье, которое он любил повторять : Саади и Хафиз, Низами и Хайям Давно погребены и отданы червям, Давно могилы их распаханы под пашни, Но строки гениев звучат и ныне нам.

Все четверо упомянутые гении - поэты, писавшие на персидском языке. Относительно могилы Хайяма Саша ошибся, она сохранилась. Когда я написал книгу о Хайяме, я поместил там фотографию этой могилы. Саша Товбин погиб на войне.

Глава 6. ЭЛЕКТРОЗАВОД (1941) Электротехническая крепость.

22 июня 1941 года началась Великая Отечественная война. К этому времени все мои аспирантские экзамены были сданы. Решив, что в условиях войны я должен приносить пользу Родине, я приехал на Электрозавод, где проходил производственную практику и попросил принять меня инженером в Технический отдел трансформаторного завода. Так как у меня был диплом МГУ, я окончил четыре с половиной курса МЭИ, и начальник Технического отдела М.Э.Манькин помнил меня, я был принят на работу.

Электрозавод был эвакуирован в 1915 г. из Риги, где он назывался VEF - Valts Elektro - Fabrika (Государственный Электрозавод); в Риге ВЭФ также был восстановлен.

Московский Электрозавод расположен в здании с зубчатыми стенами, имеющем вид крепости.

В комбинате "Электрозавод" кроме Трансформаторного завода имелись Электроламповый завод и другие заводы, выпускающие различные электрические аппараты.

Проходя между заводами этого комбината, я сочинил четверостишье За стеной заводскою стучат станки без устали, За стеной дрожание громов грозовых. И повез прозрачные "яблоки индустрии" Тяжело вздыхающий потный грузовик.

"Между Сциллой и Харибдой".

Работая на заводе, я не мог дежурить в университете, как это делали другие аспиранты и меня отчислили из аспирантуры.

Вскоре все аспиранты вступили в Народное ополчение и их отправились на фронт. Когда в октябре 1941 г. немцы прорвали фронт под Вязьмой, полк, где были наши аспиранты, попал в окружение. Успели только вывезти Бориса Шабата, который вступил в ополчение, хотя у него была ампутирована ступня одной ноги. Те, которые были посильнее, выбрались из окружения сами, остальные ополченцы попали в плен к немцам. Володя Рохлин, родившийся в Баку, выдал себя за мусульманина-азербайджанца и осталса жив, остальные евреи, в том числе Мося Песин, были расстреляны. Такая же судьба ожидала бы и меня, если бы я не стал инженером Электрозавода. Таким образом, если от смерти в сталинских лагерях меня спас Мехмат, то от смерти в гитлеровском плену меня спас МЭИ. Так мое двойное образование позволило мне уцелеть между сталинской Сциллой и гитлеровской Харибдой, между которыми оказалось мое поколение.

В Техническом отделе завода я конструировал трансформаторы не очень долго: вскоре нас послали рыть укрытия от вражеских бомб на территории Электрозавода.

Противотанковые рвы.

В конце августа нас послали рыть противотанковые рвы западнее Можайска. Мы работали в районе деревни Глазово с 25 августа до 7 октября 1941г.Впоследствии за это я получил медаль "За оборону Москвы".

Когда немцы прорвали фронт под Вязьмой и стали стремительно приближаться к Москве, нас провели пешим порядком в обход Можайска и 14 октября мы прибыли на станцию Дорохово, откуда в товарных вагонах добрались до Голицына и 15 октября электричкой приехали в Москву.

Отца я застал дома, но он в этот же день уезжал с Наркомлесом в Киров.

16 октября 1941 г.

На следующий день утром 16 октября я приехал на завод.

В Москве творилось нечто невообразимое. В учреждениях жгли бумаги, на заводах рассчитывали работников и выдавали им заработную плату. Рекомендовали как можно скорее покинуть Москву, говорили какие дороги еще свободны. Все выглядело так, как будто Москву могли взять немцы. Кто отдал такие распоряжения? Думаю, что бывший в то время секретарь Московского комитета партии А.С.Щербаков.

На заводе меня рассчитали и я решил ехать в Ташкент - место эвакуации Московского университета. Собрал рюкзак, одел зимнее польто и сверху дождевик и поехал на Казанский вокзал. Там сел на электричку и доехал до станции Быково. Оттуда пешком вдоль железной дороги дошел до Раменского, там сел в товарный поезд, идущий в направлении Ташкента.

Похоже, что немцы не знали действительного положения в Москве 16 октября 1941 г. Свои переживания я выразил в стихотворении "16 октября":

Казалось мир охрип от воя,

Проклятья смертные оря.

Нет, не забуду ни за что я

Шестнадцатое октября.

Во всем как будто видно мире,

Как в капле давешней одной,

Что нет порядка в этой шири,

Покинул нас Отец родной.

Бежали люди, как от газов,

Боясь невидимых врагов.

От истерических приказов.

Едва не лопнул Щербаков.

И тучи шли бумаги жженной,

И рвами был весь мир изрыт,

Своих мужей теряли жены,

И дети плакали навзрыд.

Одни, вцепившись в чемоданы,

Неслись без цели, без дорог.

Другие рвались в рестораны,

Наесть котлет пытаясь впрок.

Тогда казалось, что безбожный

Пришел к концу весь белый свет.

И было все тревогой ложной,

И кто за это даст ответ?

Дорога до Ташкента.

Во всех вагонах товарных поездов ехали люди с рюкзаками, мешками, чемоданами. Они ехали на восток, подальше от немцев. Около поездов на одной из станций, я увидел около поезда тетю Цесю и дочь дяди Юзека Иру, они ехали в Кзыл-Орду, где в то время находились тетя Хеля и дядя Веня, и дали мне их адрес. 20 октября я прибыл в Куйбышев (Самару). Там надо было купить билет на пассажирский поезд до Ташкента. В очереди за билетом я простоял несчолько дней. От Куйбышева до Ташкента я ехал в вагоне пригородной электрички, и приехал в Ташкент 1 ноября.

19 октября в Москве было введено осадное положение. 6 ноября на станции метро Маяковская Сталин выступил на заседании Московского совета с докладом о 24 годовщине Октябрьской революции. 7 ноября на Красной площади состоялся военный парад, участники которого ушли на фронт.

6 декабря под Москвой началось наступление Красной армии. Немцев отогнали от Москвы.

Глава 7. ТАШКЕНТ И АШХАБАД (1941-1943) Ташкент.

Студенты и преподаватели Московского университета собирались в помещении Среднеазиатского университета в центре Ташкента. В сквере перед зданием университета стоял монумент Сталина, который при Хрущеве был заменен памятником Карлу Марксу, а после распада Советского Союза - памятником эмиру Тимуру,

Меня поселили на кафедре почвоведения САГУ, которая стала общежитием аспирантов МГУ.

Так как после поступления на завод я был отчислен из аспирантуры, то Ташкенте меня сначала не хотели принимать в общежитие аспирантов, но В.В.Степанов, который здесь был деканом Мехмата, добился моего восстановления в аспирантуре. П.К.Рашевский в это время был в эвакуации в Томске, из геометров в Ташкенте были только В.Ф.Каган и Я.С.Дубнов, моим руководителем назначили В.Ф.Кагана,

Я написал дяде Вене в Кзыл-Орду, что нахожусь в Ташкенте и сообщил свой адрес. Вскоре дядя Веня нашел меня - так мы познакомились.

Я с интересом читал вывески на узбекском языке. Незадолго до войны этот язык перевели с латинского алфавита на русский, в основном надписи были написаны русскими буквами, но кое где встречаись и латинские буквы.

Узбекский язык принадлежит к семье тюркских языков, в нем имеется три диалекта - "карлукский"- близкий туркменскому, "кипчакский"- близкий к казахскому, и "чагатайский" - язык с тюркскими корнями и с таджикской фонетикой. Это язык потомков первоначального оседлого населения Средней Азии - таджиков, усвоивших язык завоевателей - кочевников, но сохранивших свою фонетику. Латинскими буквами узбеки писали на карлуксом диалекте, при переходе на русский алфавит они стали писать на чагатайском диалекте.

Я купил учебник узбекского языка и принялся изучать его.

Я часто гулял по Ташкенту вместе с первокурсником Аликом Вольпиным - сыном С.А.Есенина. Алик читал мне стихи своего отца, которые в то время были запрещены.

Мы с Аликом посетили урок узбекского языка в САГУ, где учился сын Б.Л.Пастернака Женя.

7 ноября в Ташкенте состоялись военный парад и демонстрация, в которой я участвовал.

В конце ноября нам объявили, что местом эвакуации МГУ будет не Ташкент, а Ашхабад и 1 декабря мы специальным поездом переехали в Ашхабад.

Ашхабад, столица Туркмении, находится недалеко от границы Ирана, и поэтому долгое время был закрытым городом, однако в условиях войны ограничения на въезд в него были сняты. В Ашхабаде нас разместили в нескольких школах, а занятия МГУ проходили в помещении Ашхабадского педагогического института в саду Кеши. Кеши - пригород Ашхабада и профессора Мехмата читали лекции в здании, стоящем рядом с шоссе, ведущим в город. По этому шоссе туркмены ездили из своих аулов в Ашхабад.

Однажды, подходя к этому дому, я увидел огромную толпу туркмен в халатах и папахах. Оказывается, в это время читал лекцию профессор Дмитрий Евгеньевич Меньшов, обладающий исключительно громким голосом. Окна были окрыты и его голос был хорошо слышен на шоссе. Туркмены решили, что голос принадлежит какому-то злому духу, и столпились у здания.

Ашхабад в то время был застроен одноэтажными зданиями из необожженной глины, летом люди спали не в домах, а в садах, где их кровати стояли все лето. Дождей практически не бывало.

Первое время в столовых города можно было пообедать, постепенно продукты исчезали и в столовой пединститута выдавали лишь "затируху".

Проблему питания мы решали с помощью черепах, которые в большом количестве водились в полупустынной степи, окружающей город. Черепаха оставляет на песке след, идя по которому ее можно найти в траве или кустах. Ранним утром в апреле, пока не начиналась убийственная ашхабадская жара, мы ходили за черепахами и обычно приносили полные мешки черепах. Эти мешки лежали у нас под кроватями и, так как черепахи там все время двигались, мешки "танцевали". Самки были значительно крупнее самцов, в каждой из них находилось несколько черепашьих яиц. Прежде всего мы жарили яичницу и черепашью печенку, остальное мясо надо было варить часа четыре, тогда оно становилось похожим на куриное.

3 мая произошел трагический случай. К этому времени жара стала нестерпимой уже и в утренние часы. Студентка Мехмата Адель Гельфанд, сестра профессора И.М.Гельфанда, отправилась за черепахами со своим другом.. Почувствовав себя плохо, она попросила его принести ей воды. С большим трудом он выпросил в ближайшем доме стакан воды, но найти Делю в однообразной степи не смог. Мы все безуспешно искали Делю. Ее труп нашли только на третий день с помощью авиации. Врачи сказали, что она погибла от солнечного удара в первый же день. Оказалось, что в этот день от солнечного удара погибло много эвакуированных, не знакомых с ашхабадской коварной жарой.

В древности на месте Туркмении находилась Парфия. Парфяне были родственны армянам. Пушкин писал о парфянах: "Узнают парфян кичливых по высоким клобукам". Столица Парфии Ниса находилась недалеко от нынешнего Ашхабада. Древняя Ниса, как и средневековая Наса, были уничтожены землетрясениями,

Туркмены - потомки кочевников, пришедших из глубин Азии. Они унаследовали от парфян любовь к высоким папахам. Из туркменских племен наиболее известны ахал-теке, живущие в районе Ашхабада, мерв- теке, живущие в районе города Мары (Мерва) и иомуды, живущие в районе Красноводска.

Туркмения была завоевана русскими в 80-х годах XIX века. Завоеватели высадились в Красноводске и двинулись на восток, ведя за собой железную дорогу. После победы над ахал-теке под Геок-тепе генерал Гродеков отправился в Петербург за разрешением построить столицу завоеванного края около богатого водой аула Багир, но когда Гродеков вернулся город уже был построен около аула Ашхабад, где было мало воды и получил название этого аула. В городе жили русские и армяне, которые пришли с завоевателями.

Когда я жил в Ашхабаде в нем кроме руссих и армян жили также туркмены и азербайджанцы, Вывески на улицах были на туркменском и русском языках, на этих же языках выходили газеты. Учу арабский и персидский.

В Ашхабаде я купил учебник туркменского языка и посещал уроки этого языка в пединституте.

Более серьезно я занялся в Ашхабаде арабским и персидским языками. В числе преподавателей Московского университета в Ашхабаде оказался арабист Юлий Александрович Анцисс, который объявил курс арабского языка. Записался на этот курс я один, и мы регулярно занимались до конца учебного года. Я освоил арабский алфавит, в котором каждая буква имеет несколько вариантов. Арабский язык отличается от европейских языков тем, что: 1) слова имеют "трехбуквенные корни", состоящие из трех согласных звуков, 2) основным в языке является не существительное или прилагательное, а глагол, 3) глаголы имеют 10 "пород" аналогичных нашим залогам.

По своей регулярности этот язык напоминал мне эсперанто. Этими же свойствами обладает и родственный арабскому иврит. Мы с Анциссом читали арабские мудрые изречения - "хикмы ", которые я называл "хохмами". Эти занятия заложили хорошую основу для более углубленного изучения арабского языка в будущем. Горячо одобрял мои занятия арабским языком Я.С.Дубнов, говоря, что имеются важные арабские математические рукописи, которые следует прочитать.

В это же время профессор Ашхабадского пединститута Александр Петрович Поцелуевский, замечательный иранист и тюрколог, организовал для преподавателей МГУ кружок персидского языка (фарси). В кружке занимались профессор Истфака Игорь Михайлович Рейснер, индолог Осипов, один биолог и я - математик.

И.М.Рейснер, младший брат Ларисы Рейснер, уже встречался с фарси, когда вместе с ней и ее мужем Ф.Раскольниковым он участвовал в знаменитой мисси в Кабул. Игорь Михайлович рассказывал, что писатель Лев Никулин, также ездивший в Кабул с ними, писал о Раскольникове : Он был изрядным дипломатом, Каких немало на Руси, И заменял протяжным матом Основы языка фарси.

Поцелуевский научил нас читать, писать и разговаривать по-персидски. Персидский язык - индоевропейский, в нем встречаются слова похожие на русские, немецкие и английские. В Ашхабаде было много персов - потомков сектантов, эмигрировавших из Ирана в XIX веке. Я часто упражнялся в персидском языке, беседуя с ними. Я перевел понравившееся мне стихотворение Хафиза, которое мы читали на кружке: Ты душе наносишь раны, Ты ж их лечишь, мой палач. До чего ж ты, друг мой, странный, Ты - мой враг, и ты - мой врач Если ты прильнешь любовно, Пьешь ты душу, как вампир. Если ты уйдешь безмолвно, От тоски весь меркнет мир. Я бессилен и безволен, Ты - все мысли и мечты. Я тобой смертельно болен, Жизнь мне - ты, и смерть мне - ты. Нас любовь связала страстью, Чтоб нестись по жизни вскачь. Ты - любовь, и ты - несчастье, Ты - мой враг, и ты - мой врач.

Уроки персидского языка также очень пригодились мне впоследствии.

Кандидатская диссертация.

В основном в первой половине 1942 года я работал над своей кандидатской диссертацией. Из Москвы прибыли книги Кабинета математики и механики МГУ и были созданы все условия для успешных занятий. Я получил много интересных результатов, некоторые из которых оказалась известными. К таким "открытиям" относились многомерные обобщения кватернионов, которые я назвал альтернионами и которые оказались "числами Клиффорда"; впрочем термин "альтернионы" я предпочитаю и сейчас.

Диссертация представляла собой обобщение моих 2 геометрических работ 1939 года и состояла из двух частей - большей, о многообразиях m- мерных плоскостей n-мерных пространств, и меньшей - о многообразиях сфер. Весной 1942 года я принял решение защищать в качестве кандидатской диссертации только вторую, меньшую ее часть, а первую, большую - приберечь для докторской диссертации. Кандидатскую диссертацию мне перепечатали на страницах из тетрадей.

В.Ф.Каган, который в молодости защитил в качестве магистерской диссертации огромный труд, вполне заслуживавший докторской степени, согласился со мной.

Защита была назначена на 23 июля 1942 года. В газете "Туркменская искра" было помещено объявление: "Государственный университет объявляет о защите Б.А.Розенфельдом диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на тему "Геометрия многообразия шаров" с такими-то оппонентами, в таком-то помещении, в такое-то время". Название университета, по-видимому, являлось военной тайной. Аналогичное объявление было помещено на туркментском языке в газете "Совет Туркменистаны", но в нем название диссертации было передано туркменскими словами означающими "Геометрия разнообразных шаров".

Защита прошла успешно. Оппонентами были В.Ф.Каган, одновременно формально считавшийся моим руководителем, и Я.С.Дубнов. В городе была ужасная жара. Праздновали мы эту защиту в небольшой компании аспирантов в нашем общежитии. Из-за жары мы были в одних трусах.

На следующий день университет уехал на новое, не столь жаркое место - в Свердловск (Екатеринбург).

Меня оставили в Ашхабаде и дали направление в Ашхабадский пединститут.

Харьковский Гидрометинститут.

Работать в Ашхабадском пединституте я не хотел, так как боялся, что оттуда не смогу вернуться в Москву. Когда в пединституте поняли, что я не собираюсь там работать долго, они отказались от моей кандидатуры. Я хотел устроиться в институт, который вернется в Европейскую часть страны. Таким институтом я посчитал Харьковский Гидрометеорологический институт. Я поговорил с директором института Давидом Исааковичем Гринвальдом и заведующим кафедрой математики Сергеем Сергеевичем Моденовым, ранее работавшим в МГУ, и в августе 1942 г. я был принят в Гидрометинститут, исполняющим обязанности доцента.

Я вел упражнения по общему курсу высшей математики на первых двух курсах и читал курс теории вероятностей на 3-м курсе. Это была моя первая преподавательская работа.

Институт был подчинен Главному управлению Гидрометслужбы Красной Армии, выпускники института работали военными метеорологами и гидрологами. Студентов не брали в армию, преподаватели и студенты получали по карточкам 800 грамм хлеба в день, значительно больше чем в других институтах. На 3-м и 4-м курсах было несколько студентов, перешедших из МГУ, откуда студентов в армию брали. Среди них был третьекурсник Лева Гутман, выпускник 25-й школы, впоследствии ставший доктором наук.

После отъезда МГУ в Свердловск, мне дали отдельную комнатку с земляным полом. Сюда мне прислали из дома несколь важных математических книг и словарей, и я начал работать над докторской диссертацией.

Сандыкачи.

В октябре 1942 г. студентов и преподавателей института отправили на дровозаготовки в совхоз Сандыкачи на берегу реки Мургаб недалеко от города Иолотань. В Средней Азии леса - большая редкость, деревья растут только по берегам рек. Река Мургаб, название которой связано с древней Маргианой, берет начало в отрогах Памира и, постепенно, разбирается на арыки и теряется в песках. В районе Иолотани это - широкая река с быстрым течением и очень холодной водой. Купаясь в Мургабе, я застудил уши и всю дальнейшую жизнь помню об этом.

Студенты валили вековые деревья, а туркмены нагружали их на верблюдов и везли к станции железной дороги, чтобы отправить в Ашхабад.

На дровозаготовках в свободное время студентки - украинки пели украинские песни, которые мне очень нравились.

Одной из этих девушек Лиде Кравченко я посвятил стихотворение:

Вы скажите, делать что мне, Не любим когда я ей. Говорит, что есть достойней, Выше ростом и умней. В детстве как-то я навздорил, И сказала мама мне: Подрастешь, и станешь, Боря, Выше ростом и умней. Небольшого нужно чуда, Чтоб понравился я ей: Подрасти б только, и буду Выше ростом и умней. Одного лишь я не знаю: Буду ль думать я о ней, Если стану, как желаю, Выше ростом и умней.

На дровозаготовках я отрастил себе бороду, которую сбрил после возвращения в Ашхабад.

Литературный кружок ХГМИ.

Алик Вольпин уехал в Свердловск, но его мама Надежда Давыдовна, приехавшая к нему, осталась в Ашхабаде. Она просила меня организовать в Гидрометинституте литературный кружок, и стала его руководителем. Я многому научился на занятиях этого кружка.

В частности она разъяснила мне, что в русском языке гласные звуки перед мягкими согласными произносятся иначе чем перед твердыми, например, "а" в словах "спать" и "спад" и "о" в словах "кровь" и "кров". Этот факт отсутствующий в других славянских языках и напоминающий "сингармонизм "в тюрских и угрофинских языках, несомненно, объясняется тем, что многие русские являются потомками угрофинов или тюрков.

Когда я сказал Надежде Давыдовне Надоел мне стиль корнейчуковский, Мне куда милей Корней Чуковский,

Она разъяснила мне, что первоначально Чуковский носил фамилию своей матери Корнейчуков. Фамилия отца Чуковского была Левинсон, как рассказал мне Володя Рохлин, мать которого была племянницей отца Чуковского, Володя был удивительно похож на знаминитого писателя.

Зимние экзамены.

В декабре 1942 г. Высшая Аттестационная Комиссия утвердила меня в ученой степени кандидата физико-математических наук.

В январе 1943 в институте состоялись экзамены, которые я принимал впервые в жизни. Заведующий кафедрой Моденов, задавал вопросы студентам в непривычной для них форме и ставил отметки "неуд" почти всем. Я старался подражать более опытному - Моденову.

Разразился скандал и нас с Моденовым уволили из института, а кафедрой математики стал заведовать механик.

Когда я осознал, что произошло, я попросил принять меня обратно, меня приняли в институт на условиях почасовой оплаты, что было значительно меньше моей прежней зарплаты.

Впоследствии Моденов, вернувшись в Москву, и работая на Мехмате, нашел применение своим "экзаминационным способностям", ставя "неуды"почти всем евреям, которые пытались поступить на Мехмат. Из еврейских детей администрация формировала специальные группы, которые посылала на расправу к этому палачу.

Ашхабадские напасти.

Кроме убийственной летней жары, другой ашхабадской напастью была "пендинка" - язвочки от укусов комаров, которые могли обезобразить человека на всю жизнь.

В феврале 1943 г. в Ашхабаде несколько дней подряд шел дождь, что было чрезвычайной редкостью. Многие ашхабадские дома, построенные из необожженной глины "поползли" и стали разваливаться. Погибло несколько человек.

Гораздо более опасными были землетрясения. На месте обширной площади перед республиканской библиотекой был православный собор, который обвалился во время землетрясения в 1928 г. Я уже упоминал. что находившиеся в этом районе города Ниса и Наса были разрушены землетрясениями.

Особенно трагическим было ашхабадское землетрясение 1948 г., которое почти полностью разрушило город. Те, которые пережили это землетрясение, называли его "кровавым адом". При этом землетрясении погиб А.П.Поцелуевской, который учил меня персидскому языку, его жена и старший сын.

"Седлай коня, взнуздай коня".

Я был знаком с редактором газеты "Совет Туркменистаны" Мэ'ти Косаевым. Он знал, что я пишу стихи, и попросил меня перевести с туркменского стихотворение местного поэта для сборника, который Косаев готовил к печати. Он дал мне подстрочный перевод. Я перевел это стихотворение под названием "Туркменистан милый мой" и оно было напечатано в сборнике. К сожалению сборник у меня не сохранился, помню только первые слова: "Седлай коня, взнуздай коня!".

"Души моей тоска".

Приведу еще одно стихотворение написанное мной в Ашхабаде.

Под московским небом светлокрасным

Разговор бесцельный мы вели.

Были губы ваши так прекрасны,

А слова обидные так злы.

Дождик лил, холодный и противный,

По асфальту мокрому скользя.

Оглядев знакомую картину,

Понял я, что дальше так нельзя.

Из-за туч еще грозились беды,

Мир привычный таял на глазах.

Я сказал тогда себе: уеду

И накинул на плечи рюкзак.

Я уеду, чтобы вас не видеть,

Я уеду, чтобы вас забыть,

Чтоб любовь гремящей далью выбить,

Чтобы чувство временем забить.

Я пройду под небом Туркестана,

Я пройду по знойному песку,

И под солнцем, жгущим неустанно,

Я сожгу души моей тоску.

И, быть может, отразившись в Вахше,

Встретив эхо Гималайских гор,

Я забуду очи злые ваши,

Ваших губ презрительный укор.

И в стране огромной и просторной,

Где леса и люди так редки,

Вспоминаю вечер этот вздорный

На углу асфальтовой реки.

Вспоминаю я не спор бесцельный

И не ваши гордые уста

Вспоминаю улиц строй бесценный

И трезвон трамваев по мостам.

Понял я, но слишком только поздно,

Что важнее девушки одной

Город, где впервые жизнь я познал,

Незабвенный город мой родной.

Плавал я в холодных здешних реках,

На языках странных говорил,

Угощал Восток меня чуреком

И вино некрепкое дарил.

Но в ветвях тропического сада

И в просторах выжженной земли

Вижу все высокие фасады,

Площадей гремящие углы.

Если еду на верблюде важном,

Об одном я думаю с тоской:

Так троллейбус новый двухэтажный

Вез меня по улице Тверской.

А когда в недвижный жар полдневный

Крик осла терзает здесь базар,

Вспоминаю снова север нервный,

И такси московских тормоза.

Верю я, мечта моя свершится,

Верю я, не вечен мой полон.

Я вернусь в любимую столицу

Под родной гремучий небосклон.

Буду я бродить, как угорелый,

Чтоб во все кварталы мне поспеть,

Буду плакать: здание сгорело,

Новостройкам новым песни петь,

Я дойду до самых стен кремлевских,

Отражусь в Москва-реки глади,

Площадей звенящих отголоски

Отзовутся праздником в груди.

И когда почувствую опять я,

Что кругом - родимая Москва,

Упадет злосчастное заклятье

И сгорит души моей тоска.

Возвращение в Москву.

Но для того, чтобы попасть в Москву, был необходим вызов. И тут меня выручила моя "палочка-выручалочка" - МЭИ. Я написал в МЭИ, что окончил четыре с половиной курса и хочу закончить институт. Мне прислали вызов и в мае 1943 г. я уехал в Москву. Я надеялся работать на кафедре математики МЭИ и одновременно учиться на последнем курсе, а в дальнейшем решать математические задачи, связанные с электротехникой.

Глава 8. МВТУ (1943-1944) Работа в Москве.

Я приехал в Москву в мае 1943 г. Мои родители уже вернулись из Кирова.

МЭИ находился в новом здании в Лефортове. Я оформился в качестве студента 5-го курса Электромеханического факультета и пришел на кафедру математики с просьбой принять меня преподавателем. Заведующий кафедрой профессор Бессонов обещал принять меня на кафедру. Однако через несколько дней заведующим кафедрой стал профессор Виктор Иосифович Левин. Он, по-видимому, решил, что ему не нужен математик, разбирающийся в электротехнике, и отказал мне.

Надо было искать другую работу. На кафедре математики МЭИ мне сказали, что в МВТУ имеются вакансии на кафедре математики и дали номер телефона заведующего кафедрой А.П.Юшкевича. Я позвонил и он попросил меня приехать к нему. Я произвел на него хорошее впечатление и был принят на кафедру ассистентом Так как главной моей целью в это время было завершение докторской диссертации, от плана окончания МЭИ пришлось отказаться.

В это время Виктор Владимирович Немыцкий пригласил меня на кафедру математики Московского Авиационного Технологического Института (МАТИ), которой он руководил и я один семестр работал в двух институтах, но в конце концов предпочел остаться в МВТУ.

МВТУ находился в том здании на 2-й Бауманской (Коровьем Броде), мимо которого я проходил каждый день, когда учился на младших курсах МЭИ.

В МВТУ мне поручили вести упражнения по математике в нескольких группах 1-го курса. В одной из этих групп учился внук В.Ф.Кагана Гриша Баренблатт.

На кафедре теоретической механики МВТУ работал А.П.Котельников, лекции которого я слушал в МЭИ. Мы обычно беседовали с ним в комнате преподавателей.

В начале 1944 г. Александр Петрович умер, я присутствовал на панихиде.

Адольф Павлович Юшкевич.

Заведующий кафедрой математики МВТУ Адольф Павлович Юшкевич (1906-1993) родился в Одессе в семье известного философа Павла Соломоновича Юшкевича (1873-1945), по образованию математика. А.П.Котельников в своей "Проективной теории векторов" упоминал работу П.С.Юшкевича по механике в пространстве Лобачевского, которую П.С.Юшкевич написал будучи в ссылке. Детство А.П.Юшкевич провел во Франции, где его отец был в эмиграции. П.С.Юшкевич был социал - демократом - меньшевиком. Он выпустил "Очерки по философии марксизма", которые В.И.Ленин сурово критиковал в книге "Материализм и эмпириокритицизм". На эту критику П.С.Юшкевич ответил книгой "Столпы философской ортодоксии".

П.С.Юшкевич перевел на русский язык много важных математических трудов, изданных издательством "Mathesis" в виде 10 выпусков серии "Новые идеи в математике".

После революции семья Юшчевичей вернулась в Одессу, где одно время учительницей Адольфа Павловича была С.А.Яновская. Вскоре Юшкевичи переехали в Москву. Здесь П.С.Юшкевич работал в Институте Маркса и Энгельса, а после того, как его уволили из этого института, больше не работал ни в каком учреждении, а занимался переводами классических трудов философов и математиков. К этой работе он привлек и сына.

А.П.Юшкевич окончил Мехмат в 1930 г. и специализировался по истории математики. Он надеялся поступить в аспирантуру к С.А.Яновской, но она не решилась принять его, и Адольф Павлович начал заниматься самостоятельно. Он стал известным историком математики и в 1934 г. получил степень кандидата наук без защиты диссертации. В 1940 г. он защитил докторскую диссертацию по циклу работ по истории математики в России. Работал он на кафедре математики МВТУ, с 1940 г. - профессором, а с 1941 г. - заведующим кафедрой.

В дальнейшем, когда я занялся историей математики, я работал в постоянном контакте с А.П.Юшкевичем.

Израиль Моисеевич Гельфанд.

В 1943 г. я предпринял попытку поступить в докторантуру Института математики Академии наук. Дифференциальных геометров в Институте математики не было и я надеялся стать докторантом Л.С.Понтрягина. Понтрягин, ознакомившись с моей работой, разъяснил мне, что я совершенно неправильно представляю себе задачи докторантуры. Докторантура, сказал он мне, - это не аспирантура для докторов, она готовит не просто докторов наук, а первоклассных математиков, "таких, как Христианович, а не таких, как Пискунов". По вопросу о целях докторантуры Понтрягин, несомненно, был прав.

В Институте математики я встретил Израиля Моисеевича Гельфанда, гениального математика, впоследствии академика, пользующегося заслуженной мировой славой. И.М.Гельфанд родился в 1913 г. близ Одессы. Он был принят А.Н.Колмогоровым в аспирантуру, хотя не имел высшего образования. Меня познакомил с ним, когда он был молодым доцентом, Г.Е.Шилов. Я часто бывал в университетском клубе на музыкальных вечерах, которые организовывал Шилов. На этих вечерах всегда участвовали И.М.Гельфанд и его будущая жена Зоря Яковлевна Шапиро.

Родители И.М.Гельфанда находились в эвакуации в Ашхабаде с Мехматом. Отец работал главным бухгалтером МГУ. После гибели сестры Адели Израиль Моисеевич приехал и забрал родителей в Казань, куда был эвакуирован Институт математики Академии наук. Этот институт вернулся в Москву в 1943 г.

Встретив меня в Институте, Израиль Моисеевич пригласил в свой кабинет и предложил мне, как геометру, разбирающемуся в симметрических пространстах Картана, изучать вместе с ним статью Картана "Об определении полной ортогональной системы функций на компактном римановом симметрическом пространстве". Я несколько раз приезжал к И.М.Гельфанду и мы читали эту статью, но я в то время не понимал, для чего Гельфанду понадобилась эта статья, и после нескольких занятий прекратил их.

Теперь я понимаю, что изучение этой статьи было началом подготовки одного из самых замечательных открытий Гельфанда - теории унитарных представлений некомпактных простых групп Ли, которое он сделал вместе с Марком Ароновичем Наймарком и Марком Иосифовичем Граевым. Это открытие независимо от Гельфанда, было позднее сделано учеником великого физика Резерфорда Хариш-Чандрой. Тот факт, что это открытие было сделано физиком объясняется тем, что эта теория очень важна для квантовой физики, и прежде всего эта теория была создана для группы Лоренца. Эта теория связана с геометрией не только симметрических, но и параболических пространств. Многие ученики И.М.Гельфанда, в том числе Г.Е.Шилов, М.А.Наймарк и М.И.Граев, стали первоклассными математиками. Впоследствии я горько раскаивался в своем легкомысленном отношении к предложению И.М.Гельфанда.

Братья Ягломы.

Как-то, когда я еще был аспирантом, П.К.Рашевский познакомил меня с двумя братьями-близнецами студентом Мехмата Исей (Исааком) и студентом Физфака Кикой (Акивой) Ягломами.

Братья родились в Харькове в 1920 г. Ися был геометр, ученик В.Ф.Кагана, и мы скоро подружились. Во время войны братья были эвакуированы в Свердловск, и работали там в ленинградской Главной Геофизической Обсерватории. Когда в Свердловск прибыл из Ашхабада Московский университет, братья снова стали его студентами. Оба слушали лекции и на Мехмате и на Физфаке. Ися окончил Мехмат, а Кика - оба факультета. Когда МГУ вернулся в Москву, Ися стал аспирантом Кагана по дифференциальной геометрии, а Кика - аспирантом Колмогорова по теории турбулентности.

В Москве я снова встретился с братьями Ягломами. Особенно я подружился с Исей - геометром, тематика исследований которого была близка к моей.

Глава 9. АРМИЯ (1944 - 1945) Мобилизация.

Отсрочка от призыва в армию, полученная мной в 1939 г., действовала и во время войны до лета 1942 г. После защиты диссертации я явился в военкомат, прошел медицинское освидетельствование, и получил "белый билет" - освобождение от военной службы - по зрению. Через год меня снова вызвали в военкомат и признали "ограниченно годным". В МВТУ по моей должности мне полагалась "броня" от военной службы, и из института послали такое ходатайство в Министерство Обороны, но получили отказ, после чего послали повторное ходатайство.

В марте 1944 г. проводилась очередная мобилизация в армию. Я снова проходил медицинскую комиссию и меня признали годным к строевой службе и мобилизовали в армию. "Броня" пришла через 6 дней после моей мобилизации и была уже недействительна.

Запасной полк.

Меня направили в запасной самоходно -артиллерийский полк, где я должен был пройти военное обучение. Полк был расположен в подмосковном городке Ивантеевка, в котором находились три текстильные фабрики. Ехать в этот город из Москвы надо было электричкой до Мытищ, а оттуда по узкоколейке поездом.

В самоходной артиллерии, как в обычной артиллерии, роты называлиь батареями, а батальоны - дивизионами. Так как я окончил четыре с половиной курса МЭИ, меня зачислили в одну из батарей дивизиона, в котором готовили радистов.

Азбука Морзе.

Нас учили вести радиопередачи и принимать их как открытым текстом, так и азбукой Морзе с помощь "специального ключа". Я быстро освоил азбуку Морзе и передачу этой азбукой. Но в восприятии этой передачи на слух я сильно отставал от своих товарищей.

Азбука Морзе была придумана для английского языка. Одной точкой и одним тере в этой азбуке обозначаются буквы е и t, наиболее часто встречающися в английских текстах, двумя знаками обозначаются буквы, следующие по встречаемости : двумя точками обозначается буква i, двумя тире - буква m, точкой и тире - а, тире и точкой - n, и т.д.

Поэтому азбуку Морзе можно использовать при расшифровке английских текстов, зашифрованных какими нибудь знаками: при достаточной длине текста наиболее часто встречающиеся в нем знаки обозначают буквы e и t, и т.д.

В случае других языков с латинским алфавитом буквы этих языков принято обозначать теми же знаками Морзе, что и в английском языке, а в случае русского языка - знаками Морзе, изображающими латинские буквы, которыми принято транскрибировать русские буквы.

Владимир Шредель и Алексей Фатьянов.

В моей батарее служили также кинорежисер Владимир Шредель и известный поэт - песенник Алексей Фатьянов, автор песен "Соловьи, соловьи" и "На солнечной поляночке". Я подружился с ними и они рассказали мне много интересного о жизни поэтов и артистов. Наша тройка организовывала в дивизионе вечера самодеятельности.

Шредель привозил нам из Москвы кинофильмы, режисерами которых был он и его друзья.

Преподавание элактротехники и радиотехники.

Офицера, который преподавал нам электротехнику и радиотехнику, куда-то перевели, и так как другого офицера, который мог бы преподавать эти предметы, не было, преподавание поручили мне.

Я знакомил моих слушателей с такими основными понятиями электротехники как электрический ток и напряжение, омическое сопротивление, конденсаторы и катушки самоиндукции, и электромагнитное поле, с понятием электромагнитного колебательного контура, радиоволн и с принципами устройств радиостанций батальена (РБ).

"Гимн радистов".

Я сочинил гимн радистов, который можно было петь на мотив известной песни "Артиллеристы, точней прицел... ".

Если в воздухе мчат самолеты,

Если путь их просторен и чист,

Это значит, что рядом с пилотом

Неустанный радист

Вперед, радисты, даешь волну,

За мир и счастье ведем войну.

Чтоб уничтожить гитлеровцев мразь

Мы обеспечим сталинскую связь !

Если танки, завалы ломая

Окружают врага с трех сторон,

Это значит - танкист не снимает.

С головы шлемофон.

Вперед, радисты, даешь волну...

Если бьет супостата пехота,

Горада забирая в борьбе,

Это значит сказалась работа

Наших славных РБ

Вперед, радисты, даешь волну...

Мы идем через бури и беды,

Передатчик неся на плече.

Скоро громкое слово ПОБЕДА

Отобьем на ключе !

Вперед, радисты, даешь волну...

Прилагательное "сталинский" в то время применялось ко всему лучшему, что создавал советский народ. Солдаты нашего дивизиона охотно пели мою песню.

Размышления о гармонических колебаниях.

Знакомство с электромагнитным колебательном контуром, полученное мной в МЭИ и с теорией дифференциальных уравнений, которую я изучал на Мехмате, позволило мне пересмотреть мои взгляды на "прогрессоры", o которых я размышлял в школьные годы.

Движение элктрического тока в колебательном контуре определяется тем же дифференциальным уравнением, что и движение в механическом осцилляторе.

Простейшим механическим осциллятором является упругая пружина с массивным шариком на конце. При отсутствии шарика пружина при ее растяжении или сжатии возвращается в первоначальное положение, при наличии же шарика растянутая пружина после возвращения в первоначальное положение не останавливается, но продолжает сжиматься, а сжатая пружина после возвращения в первоначальное положение продолжает растягиваться и, таким образом, шарик совершает гармоническое колебание затухающее вследствие сопротивления воздуха. Это гармоническое колебание определяется упругостью пружины и инерцией шарика.

Аналогичный процесс происходит в электромагнитном колебательном контуре, состоящим из конденсатора и катушки самоиндукции. При отсутствии катушки самоиндукции конденсатор, одна обкладка которого заряжена положительным электричеством, а другая - отрицательным, разряжается, а при наличии катушки самоиндукции конденсатор перезаряжается, т.е. та его обкладка, которая была положительной становится отрицательной, и наоборот, при этом ток в контуре начинает идти в опратном направлении и совершает гармонические колебания.

Эти гармонические колебания определяются электроемкостью конденсатора и индуктивностью катушки самоиндукции. Если же в электромагнитном колебательном контуре имеется также омическое сопротивление, то гармонические колебания в этом контуре затухают.

Пружина и конденсатор способны накоплять потенциальную механическую или электромагнитную энергию, поэтому их можно назвать "коллекторами" явлений, в которых совершаются гармонические колебания.

Потенциальная энергия, накопленная в "коллекторе" превращается в кинетическую, но массивный шарик и катушка самоиндукции возвращают ее обратно в "коллектор", поэтому массивный шарик и катушку самоиндукции можно назвать "рефлекторами" явлений, в которых совершаются гармонические колебания.

Я пришел к выводу, что "прогрессоры" следует называть "гармоническими явлениями", и что они состоят из "коллекторов" и "рефлекторов".

Так как атомы, несомненно, являются "прогрессорами", это относится и к атомам. Обычно считается, что простейший атом - атом водорода - состоит из тяжелого положительно заряженного протона и легкого отрицательного заряженного электрона. Но протон можно рассматривать как соединение тяжелого нейтрона не имеющего заряда, и положительно заряженного позитрона, масса которого равна массе электрона. Электрон и позитрон образуют так называемый "позитроний". Позитроний можно рассматривать как элементарный конденсатор. Позитроний неустойчив, так как входящие в его состав позитрон и электрон притягиваются друг к другу и "аннигилируются", т.е. превращаются в два фотона - световые частицы. Однако соединение позитрония с тяжелым нейтроном образует атом водорода, обладающий исключительной устойчивостью. Очевидно, что позитроний является "коллектором" атома водорода, а нейтрон - его "рефлектором".

Вступление в партию.

Летом 1944 г. меня, как активного комсомольца, приняли кандидатом в члены партии. Рекомендации мне дали комсомольская организация полка и два солдата - члены партии.

В это время я был редактором дивизионной стеной газеты. В газете помещались воспоминания сержантов о боевых эпизодах, в которых они участвовали.

Визиты родных и друзей.

По воскресеньям к нам приезжали родные и друзья из Москвы. Ко мне приезжали родители и тетя Хеля, оказавшаяся этим летом в Москве, а ткже братья Ягломы и другие московские друзья.

Отдельный дивизион.

В конце 1944 г. меня перевели в формирующийся самоходно- артиллерийский полк, который направлялся на фронт. Формировка проходила в Отдельном дивизионе, который располагался на дачах Совнаркома около поселка Пушкино. В этом полку я должен был занимать должность писаря, но в последний момент меня заменили другим солдатом.

Я остался на формировке в Отдельном дивизионе. Как кандидата в члены партии, меня назначили лектором политчасти дивизиона и поселили в землянке политчасти вместе с ее начальником-лейтенантом. Я выступал с докладами и лекциями о международном положении, о военных действиях в Германии, а затем и на Дальнем Востоке. Лекции проводились не только в дивизионе, но и среди окрестного населения.

Мне было присвоено звание сначала младшего, а затем старшего сержанта. В августе 1945 г. меня приняли в члены партии.

Эли Картан.

Незадолго до мобилизации я сдал в журнал Известия Академии наук СССР статью "Поверхности в симметрических пространствах". А.Н.Колмогоров, которого я просил представить эту статью в журнал, поручил прочитать ее Анатолию Ивановичу Мальцеву (1909-1967), будущему академику. В то время А.И.Мальцев работал в пединституте в Иваново и в Институте математики Академии наук в Москве, где он и жил в своем кабинете. Когда я приезжал из армии в Москву, то обычно звонил ему по телефону и он часто приглашал меня в институт для разговора.

Однажды он сказал мне, что в конце мая состоится празднование 220- летия Академии наук СССР, на которое приедут несколько французских ученых, в том числе Эли Картан. А.И. Мальцев спросил меня, знаком ли я с С.П.Финиковым, который мог бы представить меня Картану, Я ответил, что знаком. Мне удалось приехать в Москву в день празднования.

Торжество состоялось в помещении ректората МГУ. Я немного запоздал, и когда вошел в зал, на трибуне стоял незнаконый мне человек и говорил по-французски с невероятным "нижегородским" акцентом. Я подумал, что это не может быть академик Лузин, так как он жил во Франции и должен хорошо говорить по-французски. Но это, к моему удивлению, оказался именно Н.Н.Лузин.

В перерыве я попросил С.П.Финикова представить меня Картану. Фиников выполнил мою просьбу и я договорился с Картаном о встрече в гостинице "Москва", где он остановился.

Когда я рассказал Картану о своих результатах и планах, он подарил мне свою визитную карточку с надписью: "Я очень заинтересовался работами г. Розенфельда". Во время этого разговора я был в форме сержанта, и Картану наша встреча, несомненно, напомнила его встречу с Софусом Ли в Париже в 1892 г., когда Картан был сержантом французской армии.

Эли Картан (1869-1951) - один из крупнейших математиков первой половины ХХ века. Он был сыном деревенского кузнеца, за свои исключительные способности еще в детстве получил стипендии, которые позволили ему учиться в коллеже в Вьенне и в лицеях в Гренобле и Париже.

В 1891 г. Картан окончил Высшую Нормальную школу в Париже. Это было высшее педагогическое учебное заведение. Отслужив полтора года в армии, Картан получил стипендию фонда Пеко, которая позволила ему написать докторскую диссертацию. Он защитил докторскую диссертацию "О структуре конечных непрерывных групп преобразований" в Парижском университете в 1894 г. После защиты и нескольких лет работы в Монпелье, Лионе и Нанси, Картан с 1912 г. работал в Парижском университете, с 1914 г. - профессором, с 1924 г. - заведующим кафедрой высшей геометрии. В 1931 г. Картан был избран академиком.

Работы Картана относятся к теории групп Ли (которые в XIX веке называли "конечными непрерывными группами"), теории алгебр, теории дифференциальных уравнений, геометрии симметрических пространств, дифференциальной геометрии, и, в частности, геометрии пространств аффинной, проективной и конформной связности.

Я побывал в 1989 г. в квартире Картана, адрес которой был указан на его визитной карточке (бульвар Журдена, 95). Тогда в этой квартире жил сын Картана Анри (р. 1904), один из крупнейших математиков ХХ века. Анри Картан и четыре его друга перед войной организовали группу, которая под псевдонимом "Никола Бурбаки" создала знаменитую математическую энциклопедию "Элементы математики".

Глава 10. СНОВА МВТУ (1945 - 1947) Демобилизация.

В октября 1945 г. меня демобилизовали из армии, как сержанта, имеющего высшее образование. Я пришел на кафедру математики МВТУ, откуда был мобилизован в армию. Вакансии у них не было. Но меня взяли ассистентом на полставки и дали мне продовольственную карточку научного работника. Я заканчивал докторскую диссертацию, и такая ситуация меня вполне устраивала.

Мне сказали, что пока я был в армии, несколько старых членов кафедры защитили кандидатские диссертации, и они должны получить звание доцента в первую очередь, поэтому в ближайшее время получить звание доцента в МВТУ я не смогу. Мне не поручали читать лекций, я только вел упражнения. Но я решил не искать места доцента, остаться в МВТУ и работать над докторской диссертацией.

Женитьба.

В апреле 1946 г. я женился. Моя жена Люси Львовна Давыдова училась в той же 25-й школе, что и я, на два класса моложе меня. После длительного перерыва мы встретились на традиционном вечере выпускников школы 8 марта 1945 г., куда я пришел еще в форме сержанта. За это время из девочки в синей пионерской форме она превратилась в симпатичную высокую румяную девушку. Люся окончила Институт Тонкой Химической Технологии по специальности химия каучука и резины и работала инженером во Всесоюзном Институте Авиационных Материалов.

Люси Львовна родилась в 1919 г. в Полтаве. Ее родители были сверстниками моей матери. Отец Люси Лев Маркович был секретарем писателя Владимира Короленко. Лев Маркович умер от болезни сердца в 1924 г., вскоре после переезда семьи в Москву. Мать Юдифь Исааковна была зубным врачом, она работала в железнодорожной поликлинике вместе с тетей братьев Ягломов. Младшая сестра Люси Ася тоже училась в 25-й школе. Дядя Люси Григорий Маркович Давыдов был экономистом- кандидатом наук и работал в Киеве в Академии наук Украины. Мать отца Люси и его три сестры жили в Москве.

Выяснилось, что я знаю Люсиного двоюродного брата Семена Абрамовича Гуревича, учителя литературы школы подшефной газеты "Правда".

Свадьба наша состоялась 7 апреля 1946 г., в тот самый день, когда мои родители отмечали 32-летие своей свадьбы.

Мы поселились вместе с моими родителями на Кривоарбатском переулке. Родители относились к Люсе как к родной дочери.

Мы живем с Люсей больше 60 лет. Она преданная мне жена, мой хороший, умным друг и помощник.

1 мая 1947 г. родилась наша первая дочь Светлана,

3 ноября 1951 г. родилась дочь Юлия, названная в честь матери Люси, которая умерла в 1949 г. После рождения Светы Люся ушла с работы и пошла на работу снова, только после того, как Юля пошла в школу.

Сейчас у нас четыре внучки, один внук, один правнук и одна правнучка.

Дом отдыха в Широком.

Летом 1946 г. я впервые после 1940 г. был в доме отдыха в селе Широкое, находящемся между Москвой и Ленинградом. В этом доме отдыха я познакомился со многими интересными людьми.

С молодым физиком я обсуждал возможность применения альтернионов к квантовой физике. Впоследствии оказалось, что альтернионы используются в квантовой физике, но совсем иначе чем мы предполагали.

С молодым лингвистом мы обсуждали вопросы лингвистики. Он мне сказал по секрету, что считает Н.Я.Марра шарлотаном, хотя в то время в лингвистике авторитет Марра был непререкаем.

Я познакомился также с Красарой Котельниковой, женой младшего сына А.П.Котельникова.

Работа над докторской диссертацией.

Первоначально я предполагал завершить диссертацию в 1947 году, но жена уговорила меня закончить эту работу на год раньше. Уже весной 1946 г. многие геометры говорили мне, что результатов для докторской диссертации достаточно, но П.К.Рашевский считал, что нужно решить еще несколько задач дифференциальной геометрии. Наконец, осенью 1946 г. эти задачи были решены, я перепечатал диссертацию и в октябре сдал ее в Ученый совет Мехмата.

Диссертацию приняли к защите и назначили оппонентами П.К.Рашевского, С.П. Финикова и В.В.Вагнера. Я очень боялся отзыва Финикова, который отрицательно относился к школе В.Ф.Кагана. Я опасался, что В.В.Вагнер, который живет в Саратове и часто болеет не сможет приехать на защиту и просил назначить мне 4-го оппонента - москвича. Моим 4-м оппонентом назначили Б.Н.Делоне. Я отнес экземпляры диссертации московским оппонентам, один экземпляр послал Вагнеру по почте.

Осенью 1946 года на заседании Семинара по векторному и тензорному анализу при МГУ П.К.Рашевский познакомил меня с заведующим кафедрой геометрии Азербайджанского университета Максудом Алиевичем Джавадовым, у которого он был руководителем кандидатской диссертации. М.А.Джавадов пригласил меня переехать в Баку и работать на его кафедре.

Глава 11. ЛУБЯНКА Военное учреждение.

В январе 1947 г. в МВТУ проходило сокращение штатов, я лишился работы, и стал подумывать о переезде в Баку, но неожиданно получил приглашение на работу в военное учреждение в Москве. Туда приглашали математиков для прикладной математической работы. Руководству понравилась, что я имею техническое образование и у меня готова докторская диссертация по математике. Меня приняли на работу, присвоили мне звание старшего лейтенанта и дали хорошую зарплату.

Учреждение находилось на улице Дзержинского (Большой Лубянке) недалеко от бульварного кольца в помещении бывшей гостиницы "Селект". Несомненно это была та самая "гостиница на Лубянке", где Ю.И.Айхенвальд "отдал сердце русской дворянке".

Поставленные передо мной задачи относились к теории кодирования, и ни геометрия, ни другие известные мне математические дисциплины, были не применимы для решения поставленных передо мной задач.Для решения этих задач были необходимы комбинаторный анализ и теория конечных групп и конечных геометрий, которыми я в то время не владел.

Математики военного учреждения.

Во время войны в этом учраждении работал мой товарищ Сергей Васильевич Фомин. В нашем подразделении имелось несколько его работ. Впоследствии С.В.Фомин опубликовал небольшую книжку "Системы счисления", в которой изложил несколько задач теории кодированоя.

Вместе со мной работали алгебраист Олег Николаевич Головин и ученик А.Н.Колмогорова доктор физико - математических наук Иван Яковлевич Верченко.

Впоследствии здесь работали алгебраист Александр Илларионович Узков и историк математики Константин Алексеевич Рыбников. За успешное решение поставленных задач А.И, Узков получил Сталинскую премию. К.А.Рыбников стал известным специалистом по комбинаторному анализу.

Новый вариант диссертации.

Каждый день после возвращения с работы я спал полтора часа, а затем со свежими силами принимался за работу над книгой по теме моей диссертации. За это время я получил много новых результатов, относящихся к образам симметрии.

С октября, когда я подал диссертацич в Ученый совет Мехмата, прошло около полугода и я начал беспокоиться, что никто из оппонентов не читал моей диссертации. Но в конце марта П.К.Рашевский сказал, что обнаружил в моей диссертации ошибку.

Мне уже давно хотелось переделать диссертацию - включить в нее новые интересные результаты и выбросить малоценные.

Наиболее важным из новых результатов было доказательство, что в многообразие 0-пар (точка + гиперплоскость) вещественного n-мерного проективного пространства можно ввести инвариантную метрику, в которой это многообразие становится изометричным n-мерному эрмитову неевкликову пространству, координаты точек которого являются двойными числами.

1 апреля я приступил к переделке диссертации и договорился, что текст мне перепечатают на работе. 15 мая новые перепечатанные и переплетенные экземпляры диссертации я разнес оппонентам.

Издательство иностранной литературы.

После защиты кандидатской диссертации И.М.Яглом работал в 1946 - 1948 гг. в математической редакции Издательства иностранной литературы. По его инициативе издательство решило выпустить русский перевод 2-го тома "Введения в новые методы дифференциальной геометрии" Я.А.Схоутена и Д.Я.Стройка. Эту книгу переводили я и Ися, она вышла из печати в 1948 г. (Перевод 1-го тома был выпущен до войны).

Издательство опубликовало также сборник переводов статей Э.Картана под названием " Геометрия групп Ли и симметрические пространства". Отобрал статьи для сборника, редактировал их и писал примечания П.К.Рашевский, переводил статьи я.

В этой книге была моя статья "Симметрические пространства и их геометрические приложения". В этой статье я доказал, что симметрические пространства Картана допускают интерпретации в виде многообразий образов симметрии неевклидовых и симплектических пространств и что в многообразие прямых (2n + 1) -мерного сиплектического пространства можно ввести инвариантную метрику, в которой это многообразие становится изометричным n-мерному эрмитову неевкликову пространству, координаты точек которого - псевдокватернионы a +bi +ce +df, где i2= -1, e2 = +1, ie = -ei = f. В этой работе я называл некомпактные вещественные неевклидовы пространства, не являющиеся пространствами Лобачевского, псевдоэллиптическими пространствами.

Дальнейшая научная деятельность И.М. и А.М. Ягломов.

После Издательства иностранная литература И.М.Яглом работал доцентом Мехмата МГУ, Орехово - Зуевского пединститута, МГПИ и другух вузов. А.М. Яглом после защиты кандидатской диссертации работал в институте Физики Земли Академии наук СССР.

И.М.Яглом был инициатором целого направления в неевклидовой геометрии - геометрии пространств с вырожденной метрикой. Он написал также книгу о конечной геометрии и ее применении к теории кодирования. Впоследствии оба брата Ягломы стали докторами физико-математических наук и авторами многих книг, в том числе - из серии "Библиотека математического кружка".

И.М.Яглом бый известным правозащитником, он умер в 1988 г.

А.М.Яглом живет в настоящее время в США.

Летние отпуска.

Летний отпуск 1948 г. я использовал для работы над сборником статей Картана.

Отпуска 1947 и 1949 гг. я провел в санаториях в Ялте и в Гагре.

Я знакомился с природой Крыма и Абхазии, много плавал в теплом море.

В санаториях я познакомился со многими интересными людьми.

Врач оториноларинголог научил меня как уберечь при купании уши от попадания в них воды.

В Ялте я посетил дом - музей Чехова, где в то время жила его сестра.

Моя семья летом в эти годы жила на даче под Москвой.

Макс Айзикович Акивис.

В 1947 и 1948 годах я читал на Мехмате спецкурс по моей диссертации и по книге, которую я тогда писал. Слушали меня несколько студентов 4-го и 5-го курсов, в том числе будущие профессора Макс Айзикович Акивис и Анатолий Михайлович Васильев. Особенно я подружился впоследствии с М.А.Акивисом.

М.А.Акивис родился в Новосибирске в 1923 г. Я познакомился с ним в 1941 г., когда он поступал на Мехмат, мы были вместе в Ашхабаде. Там его мобилизовали в армию. Макс вернулся из армии с орденом Красной Звезды.

На Мехмате он стал учеником С.П.Финикова. На 5-м курсе компанию студентов, в которую входил Макс, обвинили в том, что они "противопоставляют себя комсомолу" и пятерых из этих студентов, в том числе и Макса, исключили из университета. Макс работал на заводе пару лет, затем получил разрешение и сдал госэкзамены, после чего несколько лет преподавал математику в Туле. Впоследствии его приняли ассистентом на кафедру математики Института стали и сплавов в Москве, на этой кафедре он проработал много лет доцентом и профессором. Хотя Макс не был формально аспирантом, С.П.Фиников, который ценил его очень высоко, систематически занимался с ним по воскресеньям. Макс успешно защитил кандидатскую и докторскую диссертации и стал одним из наиболее авторитетных дифференциальных геометров.

В настоящее время М.А.Акивис работает в Израиле.

Защита докторской диссертации.

Моя докторская диссертация называлась "Теория семейств подпространств". Подпространствами n-мерных евклидова и неевклидовых пространств я называл m-мерные плоскости этих пространств, подпространствами n-мерного конфомного пространства - m-мерные сферы этого пространства, а подпространствами m-мерного проективного пространства называл "m-пары", т.е. пары, состоящие из m-мерной и (n- т-1)-мерных плоскостей.

Я доказал, что m-пары проективного пространства изображаются m- мерными плоскостями эрмитова неевклидова пространства над алгеброй двойных чисел. По существу, все мои подпространства являлись образами симметрии соответственных пространств.

Все мои результаты легко обобщались на семейства любых образов симметрии. Особенно подробно я рассматривал семейства подпространств, которые я называл конгруэнциями и псевдоконгруэнциями. Для этих семейств я строил тензорную дифференциально-геометрическую теорию, аналогичную тензорной теории поверхностей.

С.П.Финикову моя диссертация очень понравилась, в особенности доказательство того, что определенные им пары прямолинейных конгруэнций 3-мерного проективного пространства, которые он назвал "парами Т", при интерпретации Плюккера изображаются фокальными псевдоконгруэнциями прямых 5-мерного пространства, а преобразования Каллапсо изображаются в этой интерпретации преобразованиями Лапласа.

П.К.Рашевский и Б.Н. Делоне также дали положительные отзывы. Прислал положительный отзыв и В.В.Вагнер.

Делоне несколько раз беседовал со мной о диссертации. Когда я пришел к нему в первый раз, он показал мне диплом доктора наук и сказал: "Это вы получите после защиты." Затем показал аттестат профессора и сказал: "Это вы получите немного позже". Затем он показал мне билет члена-корреспондента Академии наук СССР и сказал: "Это вы вряд ли получите". Затем Делоне показал мне свою книгу "Путеводитель по горам Западного Кавказа" и сказал: "А этим я горжусь больше всего".

Защита моей диссертации состоялась 10 декабря 1947 г. на заседании Ученого Совета Мехмата и прошла успешно.

После защиты мы устроили два банкета - один для математиков, другой для родственников.

5 января 1948 г. моя защита была утверждена на Ученом совете МГУ, а 20 марта ее утвердила Высшая Аттестационная Комиссия. Быстрое утверждение защиты во всех инстанциях объясняется положительными отзывами на диссертацию геометров двух разных дифференциально - геометрических школ.

Результаты диссертации были опубликованы в 4-х статьях в журнале "Математический сборник". Одна из этих статей была напечатана на английском языке в сборнике переводов Американского Математического Общества.

После защиты и утверждения в степени доктора наук я принялся бомбардировать мое военное начальство заявлениями об освобождении меня от работы. Летом 1950 г., когда наше учреждение было передано ЦК ВКП (б), меня, наконец, уволили "по собственному желанию".

Последние стихи.

Я все больше и больше вовлекался в научную работу и творческой энергии для сочинения стихов оставалось все меньше. Приведу мои два последние стихотворения.

Свинец.

Свинец когда-то был ураном,

Кипел, пенился и шипел.

И я когда-то утром рано

Был молодым и песни пел.

О смерти мысль была мне странной,

Весь мир был счастьем без конца.

И вот от бурного урана

Комок холодного свинца.

Но жизнь не лучше и не хуже.

Не все ль равно - свинец, уран.

Приносят смерть одну и ту же

И 200 тонн и 9 грамм.

Совет.

Если ты во что не веришь,

"Это так" тверди почаще.

Оглянуться не успеешь –

Станет правда настоящей.

Если ты чего боишься,

Сделай вид нарочно храбрый.

Даже сам ты удивишься:

Станешь храбрым и взаправду.

Если в драке дело плохо,

Притворись, что ты сильнее,

И противника любого

Без ошибки одолеешь.

Если милая разлюбит,

Сделай вид, что ты смеешься.

И тоска тебя не сгубит,

И скорей к любви вернешься.

Глава 12. БАКУ (1950-1955) Азербайджан.

Баку, столица Азербайджанаской республики, находится на Апшеронском полуострове на западном берегу Каспийского моря. Рядом на полуострове - знаменитые нефтяные месторождения. Полуостров покрыт лесом нефтяных вышек. "Если нефть - королева, то Баку - ее трон" - говорили о Баку. Нефть добывают и со дна моря около Баку.

В "Географии" Клавдия Птолемея территорию, на которой ныне находится Азербайджанская республика, называлась Алванией, а народ этой страны, родственный скифам, - алванами. Армяне, которые заменяли греческий звук "л" гортанным звуком "г", называли этот народ "агванами". Алваны были христианами, я видел в Бакинском музее надгробные плиты алванских епископов.

В Х1 веке Алвания была завоевана тюркскими кочевниками. Смешавшись с алванами, завоеватели образовали новый народ, который говорил на тюркском языке и принял религию ислама. Сами они называли себя мусульманами, а свой язык - мусульманским языком. Русские называли этот народ "закавказскими татарами".

Тюркские кочевники завоевали также находящуюся южнее Алвании Атропатену, народ которой был родственен персам. В результате здесь также образовался мусульманский народ, говорящий на тюркском языке. Слово "Азербайджан" произошло от названия Атропатены и вскоре распространилось и на бывшую Алванию. Этому способствовало и то, что на Апшероне в месте выхода природного горючего газа находилось святилище огнепоклонников -зороастрийцев, а слово "азер" по-персидски означает "огонь".

Азербайджанский университет.

После увольнения из военного учреждения, я послал телеграмму М.А.Джавадову, и он попросил меня приехать для переговоров. Я прилетел в Баку. Джавадов в то время был проректором университета по учебной работе. Он оформил меня на должность профессора кафедры геометрии, которой он руководил.

Мне выдали справку о том, что я - профессор АГУ и нахожусь в трудовом отпуске, и я поехал на Рижское взморье, где отдыхала моя семья.

1 сентября я приступил к работе в АГУ.

Азербайджанский университет в мое время находился на одной из главных улиц Баку - Коммунистической, в настоящее время эта улица называется Проспектом независимости.

Первые дни я жил в гостинице "Интурист", затем снял комнату недалеко от университета. Вскоре ко мне приехали жена и дочь Света.

Мне поручили чтение лекций по геометрии в русском секторе и руководство курсовыми работами пяти студентов 5-го курса и восьми студентов 3-го курса русского сектора и четырех студентов 4-го курса азербайджанского сектора.

Студентам асербайджанского сектора я читал курс неевклидовой геометрии на русском языке. Джавадов сидел рядом со мной и отвечал на вопросы студентов по-азербайджански.

В то время на физико-математическом факультете АГУ было три доктора наук: Заид Исмаилович Халилов, который был директором Института физики и математики Академии наук Азербайджана, Ашраф Искандерович Гусейнов и Ибрагим Ибишевич Ибрагимов.

Наиболее выдающимся из них был Халилов, он написал первый в СССР учебник функционального анализа на русском языке. Позже все трое стали академиками Академии наук Азербайджана, а З.И.Халилов с 1962 г. был президентом этой Академии.

Максуд Алиевич Джавадов.

Заведующий кафедрой геометрии М.А.Джавадов родился в 1902 г. в селении Басхал в очень бедной семье. В 1927 г. он окончил Азербайджанский педагогический институт, в 1930 г. окончил Азербайджанский университет. С 1930 г. преподавал в вузах г. Баку, с 1934 г. работал в Азербайджанском университете. В своей кандидатской диссертации он применял полиметрическую геометрию Рашевского для решения некоторых геометрических задач.

Большое влияние на Джавадова оказал математик Ярослав Борисович Лопатинский (1906-1981), который в то время работал в Баку.

М.А. Джавадов был очень способный, умный и тактичный человек, это позволило ему стать заведующим кафедрой и проректором АГУ.

Максуд Алиевич был большим моим другом и часто выручал меня в трудных ситуациях.

Я посоветывал М.А.Джавадову избрать темой докторской диссертации геометрию пространств над алгебрами, в частности, над алгебрами матриц. Он построил геометрии афинных, проективных и неевклидовых пространств такого типа и нашел интересные интерпретации этих пространств.

Особенно важна его геометрическая интерпретация спинорных представлений групп движения вещественных пространств. Она отличается от известной интерпретации Картана тем, что основана на преобразованиях точек абсолютов, а интерпретация Картана основана на преобразованиях плоских образующих максимальной размерности абсолютов.

В 1957 г. М.А.Джавадов защитил докторскую диссерацию в Казанском университете, а в 1962 г. был избран членом-корреспондентом Академии наук Азербайджана. М.А.Джавадов умер в 1972 г.

Ашот Тигранович Григорьян.

Джавадов и Гусейнов жили рядом со мной. Однажды Гусейнов пригласил меня к себе на обед и познакомил с находящимся у него москвичом. Гостя звали Ашот Тигранович Григорьян, он родился в Нагорном Карабахе в 1910 г. и учился в школе в Баку. Позднее мы работали вместе с ним в Москве и он рассказывал мне, что пришел из своей деревни учиться в Баку босиком и явился в армянскую школу. Дело было во время НЭПа, и ученики этой школы, дети богатых бакинских армян, высмеяли голодранца. Тогда Ашот пошел к редактору армянской газеты Исаю Довлатову, и тот приказал директору школы обуть и принять мальчика. Ашот с блеском окончил эту школу и поступил на Мехмат Московского университета. После окончания МГУ его назначили наркомом (министром) просвещения Азербайджана. На этом посту он пробыл недолго, так как попытался заменить бездеятельных азербайджанских начальников на их деятельных заместителей - русских и армян. Это не понравилось Председателю Совнаркома, которым тогда был тесть Гусейнова Буньят-заде, и Ашоту Тиграновичу пришлось вернуться в Москву.

В Москве Григорьян преподавал механику на Мехмате, защитил кандидатскую диссертацию по механике, работал в секторе нерусских школ Наркомпроса и в комиссии по переводу письменности народов СССР с латинского алфавита на русский. Во время войны А.Т.Григорьян работал в штабе маршала Рокоссовского и в штабе авиации. В 1950 г. А.Т.Григорьян был помощником министра Высшего образования СССР. Впоследствии он стал известным историком нуки, доктором наук, академиком Международной Академии истории науки и Президентом Международного Союза истории и философии науки.

Ашот Тигранович Григорьян умер в 1997 г.

История математики.

В 1951 г. Высшая Аттестационная Комиссия утвердила меня в звании профессора.

В том же году, после отъезда из Баку лектора по курсу Истории математики, Джавадов предложил мне читать этот курс. После некоторых колебаний я согласился и стал читать курс по книге В.П.Шереметевсого.

Вскоре я обнаружил, что великий математик и астроном ХIII века Насир ад-Дин ат-Туси работал в городе Мараге в Южном Азербайджане. Я спросил, изучает ли кто-нибудь в Баку творчество этого ученого. Мне ответили, что этим здесь никто не занимается. Но это окзалось не так. Через некоторое время ко мне обратился преподаватель алгебры Рустам Султанов, работающий над статьей "Насирэддин Туси о постулате параллельности", и попросил меня помочь ему разобраться в вопросах теории параллельных линий, которой занимался ат-Туси в своем "Изложении Евклида". Сочинение ат-Туси представляло собой изложение "Начал" Евклида с большим количеством комментариев и добавлений и, в частности, ат-Туси пытался доказать V постулата Евклида (постулат параллельности) на основании некоторого другого постулата, который ат-Туси считал более простым и очевидным.

Книга ат-Туси была написана на арабском языке. Султанов перевел на русский язык текст, относящийся к V постулату, и попытался в своей статье разъяснить этот текст.

Попытки доказательства V постулата Евклида привели к открытию геометрии Лобачевского, в которой выполняются все аксиомы геометрии Евклида, кроме этого постулата. Поэтому мне было нетрудно исправить статью Султанова и ответить на его вопросы.

Вскоре выяснилось, что в Институте физики и математики Академии наук Азербайджана работает астроном Габиб Джафарович Мамедбейли.

Изучая историю астрономии, он узнал, что в ХIII веке в Южном Азербайджане, в городе Мараге - столице монгольского завоевателя Персии и Ирака Хулагу-хана, который был внуком Чингиз-хана и, двоюродным братом завоевателя Руси Батыя, была огромная астрономическая обсерватория, созданная и руководимая Насир ад-Дином ат-Туси.

Мамедбейли стал изучать творчество ат-Туси. Он нашел иранского азербайджанца Хасана Зарине-зада, который знал арабский язык и мог переводить арабский текст на азербайджанский язык, записывая свой перевод арабскими буквами, как это принято в Иранском Азербайджане. Мамедбейли переписывал его перевод русскими буквами и переводил с азербайджанского на русский язык.

Когда меня познакомили с Мамедбейли, я стал участвовать в изучении математического творчества ат-Туси. Работу над "Изложением Евклида" Мамедбейли так и не довел до конца.

Иначе обстояло дело с другим математическим сочинением ат-Туси "Трактатом о полном четырехстороннике", посвященным сферической тригонометрии. Мамедбейли привез из Ленинграда фотокопию 4-х глав французского перевода этого трактата и фотокопию всех 5-и глав его арабского текста. Французский текст ему перевели на русский язык, а недостающую главу Зарине-зад перевел на азербайджанский язык Этот перевод Мамедбейли переписал русскими буквами и предложил мне перевести его на русский язык. Моих знаний восточных языков было достаточно для этого. Я исправил перевод с французского, а также написал комментарии ко всей книге. Подготовленный таким образом русский перевод "Трактата о полном четырехстороннике" был отправлен в Москву на рецензирование. Рецензия была положительной, и книга вышла в Баку в 1952 г.

В январе 1951 г., находясь в Москве, я встретил в университете А.П.Юшкевича и рассказал ему об изучении в Баку творчества Насир ад- Дина ат-Туси. Юшкевич живо заинтересовался этим и предложил мне сделать доклад в МГУ на семинаре по истории математики, которым руководил он вместе с С.А. Яновской.

Доклад вызвал общий интерес и А.П.Юшкевич предложил мне подготовить текст этого доклада для сборника "Историко-математические исследования" (ИМИ).

Этот сборник был основан в 1948 г. Юшкевичем и Главным редактором издательства физико-математической литературы Г.Ф.Рыбкиным.

Статья "О математических работах Насир ад-Дина ат-Туси" появилась в IV выпуске ИМИ в конце 1951 г. Это была моя первая работа по истории математики.

Омар Хайям и Джемшид ал-Каши.

А.П.Юшкевич обратил мое внимание на то, что, как видно из статьи американского историка математики Д.Ю.Смита "Евклид, Омар Хайям и Саккери", теорией параллельных линий занимался и Омар Хайям. Я прочел эту статью и, вернувшись в Баку, зашел в Институт истории Академии наук, чтобы уточнить арабское название трактата Хайяма, упоминаемого Смитом. Меня подвели к старику, хорошо владеющему арабским языком. По-русски старик не говорил, но, увидев написанное мной название трактата, сразу понял, что меня интересует, встал и вышел со мной на улицу. Мы прошли пару кварталов и вошли в Отдел рукописей Академии наук Азербайджана. Старик сказал несколько слов заведующему Отделом Рукописей Мамедаге Султанову и тот через несколько минут вынес мне напечатанный в Тегеране в 1939 г. полный текст трактата Хайяма. Текст был издан иранским революционером Таги Эрани, который, будучи в эмиграции в Европе, переписал текст трактата с рукописи, хранящейся в библиотеке Лейденского университета.

Я переписал текст трактата с этого издания, которое Мамедага Султанов купил в Иране, когда был там во время войны. Я попросил Зарине- зада перевести трактат на французский язык. Зарине-зад в то время еще не говорил по-русски, и мы общались по-французски.

Я перевел трактат с французского на русский язык и написал статью об этом трактате, но Мамедбейли потребовал, чтобы статья была совместной с ним, и стал производить в ней изменения, с которыми я был не согласен. Статья не была напечатана.

В конце 1951 г. в Баку состоялась Всесоюзная конференция, посвященная 750-летию со дня рождения Насир ад-Дина ат-Туси. На конференцию приехал Президент Академии наук Армении астроном В. А. Амбарцумян, из Тбилиси - математик Г.С.Чогошвили, из Москвы П.Юшкевич. Снимал конференцию для кинохроники мой армейский друг Шредель.. На конференции с докладом об архитектуре Марагинской обсерватории выступил бакинский историк архитектуры Леонид Семенович Бретаницкий, с которым мы впоследствии подружились. Я сделал доклад о математических работах ат-Туси.

Я показал Юшкевичу мой перевод трактата Хайяма и рассказал о ситуации со статьей. Юшкевич посоветовал мне изучить арабский язык, что даст возможность проводить исследование самостоятельно.

Я взял в библиотеке АГУ учебник Х.К.Баранова и попросил Зарине- зада заниматься со мной арабским языком, чтобы овладеть правильным произношением.

В библиотеке оказалось издание алгебраического трактата Хайяма и издание его трактата об определении количеств золота и серебра в сплаве с помощью взвешивания в воздухе и в воде. Зарине-зад помог мне перевести все три трактата, эти переводы с комментариями были опубликованы в VI выпуске ИМИ в 1953 г.

В Баку я перевел также с арабского и персидского пять философских трактатов Хайяма и его трактат "Науруз-наме" о календарных реформах и новогодних церемониях в древнем Иране. Эти переводы вместе с переводами, изданными в 1953 г. и с их арабскими и персидскими текстами были изданы в Москве в 1962 г. отдельной книгой.

Следующей моей работой по истории математики был перевод математических трактатов самаркандского ученого ХV века Джемшида ал­Каши, который был директором знаменитой обсерватории Улугбека.

Эти переводы с комментариями были опубликованы в VII выпуске ИМИ в 1954 г., и вместе с арабскими текстами - отдельной книгой в 1956 г.

В сочинении ал-Каши "Ключ арифметики", которое я переводил, в главе "Об измерении" имелся раздел об измерении арок, куполов и "сталактитовых поверхностей", применяемых мусульманскими архитекторами. Я не мог понять этой главы, и Л.С.Бретаницкий разъяснил мне ее, а позже мы опубликовали совместную статью об этой главе в сборнике "Искусство Азербайджана".

Каникулы в АГУ.

Весь 1950-1951 учебный год мы с женой и Светой провели в Баку. Летом 1951 г. решили поехать в Абхазию на берег Черного моря.

В Тбилиси мы остановились у профессора Георгия Северьяновича Чогошвили, ученика П.С.Александрова. Я знал Чогошвили еще в Москве, когда он был докторантом. Чогошвили был известный тополог, вскоре он стал академиком Академии наук Грузии. Его жена Мзия Константиновна Андроникашвили - известный востоковед, член-корреспондент Академии наук Грузии. Чогошвили показывал нам Тбилиси и познакомил с некоторыми грузинскими математиками. Из Тбилиси мы поехали в абхазский город Гудауту, где уже находились наши московские друзья.

В следующие годы, когда наша младшая дочь Юля была маленькой, мы проводили лето на даче под Москвой, только летом 1953 г. съездили с женой на две недели в Ленинград.

Январские каникулы я обычно проводил в Москве.

В январе 1952 г., в Москве проходила экономическая дискуссия, жена Григория Давыдова, театральный критик, которая была в то время в Москве, пригласила меня в театр и познакомила там с другом своего мужа, экономистом Алексеем Матвеевичем Румянцевым. В то время он был доцентом одного из украинских вузов. Сразу же после экономической дискуссии его избрали академиком Академии наук СССР и назначили директором одного из московских академических институтов. Причина такого быстрого научного роста была ясна из то, что после дискуссии Румянцев часто выступал с докладами о сформулированных во время этой дискуссии "основном законе социализма" и "основном законе капитализма". Эти "законы", приписываемые Сталину, по-видимому, были придуманы Румянцевым, и так понравились Сталину, что он поднял их автора на недосягаемую высоту.

В настоящее время над этими "законами" смеются, так как "максимальное удовлетворение потребностей человека" характерно в большей степени для капитализма чем для социализма, а "постоянное снижение жизненного уровня населения из-за милитаризации страны" характерно в большей степени для социализма, чем для капитализма.

Летом 1954 г. я присутствовал в Москве на защите докторской диссертации К.А.Рыбникова на тему "Математические рукописи Маркса". Рыбников был аспирантом С.А Яновской по истории математики, а в начале 50-х годов он работал в упоминавшемся мной научном учреждении при ЦК партии и имел доступ к фотокопиям математических рукописей Маркса, которые хранились в Институте Маркса-Энгельса-Ленина. К.А.Рыбников вместе с С.А.Яновской изучали эти фотокопии. Математические рукописи Маркса в основном представляли собой его конспекты учебников математического анализа, опубликованных в первой половине XIX века. После защиты диссертации Рыбников стал профессором Мехмата и членом парткома МГУ. Он ликвидировал кафедру Истории математики, которой заведовала С.А.Яновская, создал вместо этой кафедры Кабинет истории и методологии математики и маханики и возглавил его. С.А. Яновская перешла на кафедру Математической логики. Так ученик "отблагодарил" своего учителя.

В том же 1954 г. я получил приглашение заведовать кафедрой математики Педагогического института в Загорске в 60 км. от Москвы. Этот институт, находящийся в здании Московской духовной академии в Троице- Сергиевской лавре, был под угрозой закрытия и остро нуждался в профессоре - заведующем кафедрой математики. Я съездил в Загорск и договорился о работе с ректором и проректом института.

Казань.

В Казань, город, где Лобачевский создал неевклидову геометрию, я впервые попал в 1952 году, когда там отмечалось 125-летие открытия Лобачевского.

Заведующий кафедрой геометрии А.П.Норден познакомил меня с ректором Казанского университета астрономом Дмитрием Яковлевичем Мартыновым, геометрами Борисом Лукичем Лаптевым, Александром Петровичем Широковым и другими геометрами. Он показал мне Казанский Кремль и могилу Н.И.Лобачевского на Арском кладбище.

Я познакомился также с Главным редактором издательства физико- математической литературы и одним из редакторов ИМИ Георгием Федоровичем Рыбкиным.

На конференции я сделал доклад о своих работах, который был напечатан в сборнике трудов конференции.

В 1954 г. я летал в Казань вместе с М.А.Джавадовым на конференцию, посвященную 150-летию Казанского университета. Там Джавадов сделал доклад по теме своей диссертации и договорился о ее защите.

А.П.Широков прислал мне много материалов об учебе и работе А.П. Котельникова в Казани, которые я использовал в статье о Котельникове в ИМИ и в книге, написанной мной совместно с Б.Л.Лаптевым и с киевскими механиками Т.В.Путятой и Б.Н.Фрадлиным. Книга вышла в 1968 г.

Впоследствии Б.Л.Лаптев и А.П.Широков защитили докторские диссертации и стали профессорами. В течение многих лет Б.Л.Лаптев был директором Научно-исследовательского института математики и механики им. Н.Г.Чеботарева в Казани, а А.П.Широков возглавлял кафедру геометрии Казанского университета.

Залман Алтерович Скопец.

На обеих конференциях в Казани я встречал Залмана Алтеровича Скопеца, заведующего кафедрой геометрии Ярославского пединститута. Меня незадолго до этого познакомил с ним в Москве П.К.Рашевский. После встречи в Казани мы со Скопецом подружились.

З.А.Скопец родился в 1917 г. в местечке Краславе в той части Витебской губернии, которая впоследствии вошла в состав Латвии. Скопец окончил математический факультет Рижского университета. Он рассказывал мне, что лекции по геометрии в этом университете читали западно­европейские профессора на немецком и французском языках. Скопец знал русский язык и читал "Проективную геометрию"Н.А.Глаголева. После окончания университета Скопец служил в латвийской армии и был демобилизован после присоединения Латвии к СССР.

Когда началась война и немцы приближались к Риге, Скопец бежал без документов вглубь СССР и остановился в одном селе Ярославской области, где стал преподавать математику в школе. Он рассказывал, что школьники не могли выговорить его имени и отчества, и называли его "Залп Артиллерич". Коллеги посоветовали ему выбрать более привычное для окружающих имя и отчество, и его стали называть "Захар Александрович".

Через некоторое время Скопец съездил в Московский университет, где его проэкзаменовали и дали справку о том, что он имеет высшее образование. Скопец стал преподавать в Ярославском пединституте. Он защитил в Москве кандидатскую диссертацию по геометрии.

Скопец был великолепным знатоком алгебраической, проективной, нееклидовой и начертательной геометрии и большим мастером решения сложных геометрических задач. Скопец стал заведовать кафедрой геометрии Ярославского Пединститута и руководить отделом задач в журнале "Математика в школе".

В Казани Скопец рассказал о предложенной им новой интерпретации геометрии Лобачевского и поздравил Казанский университет с 150-летием от имени его "старшего брата" Ярославского пединститута - Демидовского лицея, который был основан в 1803 г.

В 1952 г. мы с З.А.Скопецом опубликовали совместную статью "Квадратичные кремоновы преобразования на плоскости и комплексные числа". В этой статье З.А.Скопец определил инверсии относительно конических сечений как такие преобразования плоскости, при которых всякая точка Х плоскости переходит в точку Х' пересечения поляры точки Х относительно конического сечения с диаметром этого конического сечения, проходящим через точку Х. Он доказал, что квадратичные кремоновы преобразования на проективной плоскости являются произведениями проективных преобразований на инверсии относительно конических сечений, а я выразил инверсии относительно окружностей на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях и относительно циклов на изотропной плоскости с помощью однотипных функций комплексного, двойного и дуального переменных.

Впоследствии З.А.Скопец защитил докторскую диссертацию, стал профессором, автором многих учебников и воспитал большое количество учеников - геметров и методистов. З.А.Скопец умер в 1984 г.

Особые группы Ли классов F и Е.

Основателю теории групп Ли Софусу Ли были известны 4 бесконечные серии вещественных простых групп Ли, которые в настоящее время обозначаются А, C, D - группы коллинеаций n-мерных проективных пространств, группы движений 2-n мерных эллиптических пространств, группы симплектических преобразований (2n + 1) -мерных симплектических пространств и группы движений (2n + 1) - мерных эллиптических пространств. Группы первой и третьей из этих серий некомпактны, группы второй и четвертой из этих серий компактны. Э.Штуди и Г.Г.Фубини установили, что компактными группами класса А являются группы движений n-мерных комплексных эрмитовых эллиптических пространств, К.Шевалле установил, что компактными группами класса C являются группы движений n-мерных кватернионных эрмитовых эллиптических пространств.

В.Киллинг и Э.Картан установили, что кроме бесконечных серий групп Ли имеются 5 классов особых простых групп Ли, которые в настоящее время обозначаются G, F, E, E и Е. Э. Картан доказал, что компактная группа класса G является группой автоморфизмов алтернативного тела октонионов a + bi + cj + dk + el + fp + gq + hr, где i2 = j2 = l2= -1, ij = -ji =k, kl = -lk = r, lj = -jl = q, il = - li = p, jp = - pj = r.

Ганс Фрейденталь в 1951 г. доказал, что компактная группа класса F является группой движений октонионной эрмитовой эллиптической плоскости, а одна из некомпактных групп класса Е является группой коллинеаций октонионной проективной плоскости.

В 1954 г. я опубликовал в "Докладах Академии наук Азербайджанской ССР" заметку, в которой, применяя тот же прием, что и в моей докторской диссертации, доказал, что некомпактная группа класса Е, рассматривавшаяся Фрейденталем, является группой движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр октонионов и двойных чисел, откуда следует, что компактная группа класса Е является группой движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр октонионов и комплексных чисел. Академиков математиков в Баку в то время еще не было и эта заметка была представлена в Доклады академиком - механиком И.Г.Есьманом.

"Неевклидовы геометрии".

В Баку я закончил писать свою первую книгу. Начал писать ее я еще в Ашхабаде, писал ее, работая в военном учреждении, много работал над ней в Баку. С одним из предварительных вариантов я пришел в издательство физико-математической литературы, называвшееся тогда Государственным издательством технико-теоретической литературы (ГИТТЛ), тогда оно находилось еще в Орликовом переулке. Я показал книгу Д.А. Райкову, заведующему математической редакцией, он и предложил мне назвать книгу "Нееклидовы геометрии".

Дмитрий Абрамович Райков (1905-1981) был замечательный математик и редактор. Б.Н.Делоне рассказывал мне, что редактируя его курс аналитической геометрии, Райков сделал так много улучшений и вставок, что стал соавтором этой книги.

Я сдал мою рукопись в издательство, и через некоторое время получил ее с замечаниями рецензента. По стилю замечаний я узнал, что их писал Николай Владимирович Ефимов (1910-1982), прекрасный геометр, впоследствии член-корреспондент Академии наук СССР и декан Мехмата.

Я внес требуемые исправления и просил Ефимова быть редактором книги. Ефимов отказался, так как был сильно загружен.

Но в это время я получил письмо от Дмитрия Ивановича Перепелкина (1900-1954), который тогда заведовал кафедрой геометрии в Пединституте имени Ленина (МГПИ). Он узнал от И.М.Яглома о том, что я пишу книгу, и обратился ко мне с каким-то вопросом. Я попросил его быть редактором моей книги, и он согласился. Перепелкину моя книга очень понравилась, он написал положительный отзыв, и Г.Ф.Рыбкин, на которого я произвел хорошее впечатление в Казани, подписал со мной договор. Перепелкин написал мне огромное количество замечаний и советов, иногда даже предлагал другие, более простые, доказательства. Дмитрий Иванович в это время был тяжело болен и не дожил до выхода книги в 1955 г.

Важными ступенями на пути создания этой книги были моя докторская диссертация 1947 г., статья 1949 г. в сборнике статей Картана и статья 1952 г. в сборнике "125 лет геометрии Лобачевского".

Книга "Неевклидовы геометрии" состоит из 7 глав: 1)"Евклидовы пространства", 2)"Неевклидовы пространства как сферы с отождествленными диаметрально противоположными точками", 3)"Неевклидовы пространства как метризованные проективные пространства", 4)"Неевклидовы пространства как метризованные конформные пространства", 5)"Спинорные представления движений неевклидовых пространств", 6)"Неевклидовы пространства над алгебрами" 7)"Неевклидовы пространства как римановы пространства постоянной кривизны. Геометрия простых групп Ли как неевклидова геометрия".

В этой книге термин "евклидовы пространства" я применял и к евклидовым и к псевдоевклидовым пространствам, а термин "неевклидовы пространства" - к эллиптическим пространствам, в том числе к неевклидову пространству Римана и к гиперболическим пространствам, в том числе к неевклидову пространству Лобачевского, и к тем пространствам, которые я в статье 1949 г. называл псевдоэллиптическими.

В 1-й главе, кроме геометрии евклидоных и псевдоевклидовых простраств, кратко описаны важнейшие доказательства постулата параллельности Евклида. Во 2-й - 4-й главах изложены сферические, проективные и конформные интерпетации вещественных неевклидовых геометрий. В 5-й главе изложены алгебры комплексных чисел и кватернионов и их аналоги и интерпретации Картана и Джавадова спинорных представлений движений вещественных неевклидовых геометрий. В 6-й главе изложены эрмитовы неевклидовы геометрии над алгебрами комплексных чисел и кватернионов и над аналогами этих алгебр и интерпретации вещественных проективных и симплектических геометрий с помощью этих эрмитовых пространств. В этой же главе изложена теория Джавадова пространств над алгебрами матриц и их интерпретаций в вещественных пространствах. В 7-й главе изложены алгебра октонионов и интерпретации особых простых групп Ли классов F и Е в виде эрмитовых эллиптических плоскостей над алгебрами. В этой же главе книги были даны также определения римановых и псевдоримановых пространств и пространств аффинной связности. Здесь же было показано, что вещественные неевклидовы пространства являются римановыми и псевдоримановыми пространствами постоянной кривизны, определены обобщения пространств постоянной кривизны - симметрических римановых и псевдоримановых пространств и пространств аффинной связности и, в частности, инвариантных метрик и аффинных связностей в группах Ли, и указаны применения этих пространств к геометрии образов симметрии.

Книга вышла в 1955 году и была посвящена памяти В.Ф.Кагана.

Бакинские ученики.

В Баку в то время принимали в аспирантуру только студентов- азербайджанцев. Поэтому из пятерки, прикрепленных ко мне пятикурсников кандидатами наук никто не стал. Но я с удовольствием вспоминаю старательных студенток Славу Цилевич и Раю Козубову, курсовые работы которых я впоследстии продолжил в своих исследованиях.

На следующем курсе группа математиков была только на азербайджанском секторе. Ко мне были прикреплены 4 студента. Именно им я читал лекции с помощью Джавадова. Назим Аббасов и Санубар Касымова стали моими аспирантами. Они защитили кандидатские диссертации по геометрии и работали доцентами АГУ. Аббасов впоследствии защитил докторскую диссертацию в Тбилиси и стал профессором. После смерти Джавадова Аббасов возглавил кафедру геометрии АГУ.

На следующем курсе, окончившем АГУ в 1953 г., ко мне были прикреплены 8 студентов. В 1953 г. в "Докладах Академии наук Азербайджана" появилась совместная статья Юрия Домшлака, Аркадия Левинова и Владимира Семянистого о числовых инвариантах и геометрических характеристиках образов симметрии различных пространств. Впоследствии Домшлак стал специалистом по теории дифференциальных уравнений, защитил кандидатскую и докторскую диссертации, работал в Институте математики Академии наук Азербайджана.

В 1991 году, когда из Баку стали изгонять армян. Домшлак со своей женой-армянкой уехал в Израиль и стал профессором университета в Беэр- Шеве. Левинов поступил в аспирантуру по геометрии в Москве, но защитил диссертацию не по математике, а по психологии, и также уехал в Израиль. Семянистый защитил кандидатскую диссертацию по функциональному анализу в МГУ, работал со мной в Коломне. Он умер в 1984 г. после тяжелой болезни, не закончив докторскую диссертацию.

Изя Белкин стал кандидатом технических наук, сейчас профессор университета в Беэр-Шеве. Юрий Эстрин защитил диссертацию по физике, работал в Москве. Маша Горбунова защитила диссертацию по геометрии, работала со своим мужем Семянистым в Коломне.

Из прикрепленных ко мне студентов курса, окончившего АГУ в 1955г., Гюллю Кулиева была моей аспиранткой по истории математики и стала доцентом АГУ, Саша Дадаян защитил кандидатскую диссертацию по геометрии под руковоством И.М.Яглома и стал профессором Пединститута в Минске. Там же работала кандидат экономических наук Саша Новикова. Был аспирантом-геометром в МГПИ Саша Островский, он стал специалистом по компьютерам и работает в Хьюстоне в США.

Из следующих выпусков стали моими аспирантами по геометрии и работают доцентами Люда Карпова в Москве и Илья Горжалцан в Саранске.

Под моим руководством написал кандидатскую диссертацию по истории математики преподаватель Касумханов. Он стал доцентом и читал курс истории математики в АГУ.

В Баку я занилался также с грузинским геометром Н.А.Габададзе.Он написал и защитил кандидатскую диссерацию по линейчатой геометрии.

Мои бакинские квартиры.

Я уже упоминал о моей первой комнате в Баку. Я снимал ее недалеко от университета у бывшей певицы Тамары Алиевны Рзаевой. Впоследствии я снимал комнату у оперной певицы-профессора консерватории Нины Ринальдовны Валацци. Ее сын Ринальд Караев был физиком и впоследствии стал доктором наук, мы часто беседовали с ним.

В 1953 г. я получил ордер на жилплощадь в новом Доме науки на берегу Каспийского моря. Квартиры в этом доме были 7-комнатные, их обычно делили на две семьи. Окончательным распределением квартир руководил новый проректор АГУ по науке Ширали Мамедов. Мамедов выбрал своим соседом меня и дал мне 2-е комнаты. Одна - была прекрасным кабинетом, а в другой была стеклянная стена. Я поселился в кабинете, а вторую комнату пока отдал Мамедову Когда моя жена приехала в Баку и увидела мою новую квартиру, мы решили, что жить в ней с двумя детьми мы не сможем, и надо возвращаться в Москву.

Последний семестр.

В конце лета 1954 года, приехав в Баку, я сообщил, что меня назначают заведующим кафедрой математики в Загорске и я хочу туда уехать. Начались длительные переговоры: Джавадов и декан факультета настаивали на том, чтобы меня не отпускать, а Мамедов, рассчитывавший после моего отъезда получить всю квартиру, и его друг ректор университета, хотели, чтобы меня немедленно отпустили. Договорились, что я проработаю в АГУ до января, выполню свою годовую нагрузку, напишу отзывы о диссертациях Джавадова и Касумханова и закончу руководство курсовыми работами студентов.

Руководство Загорского Пединститута согласилось подождать меня.

Я выполнил все мои обязательства к началу января 1955 года и распрощался с Баку.

Глава 13. ЗАГОРСК И КОЛОМНА (1955-1964) Загорск.

Загорском с 1919 по 1991 г. назывался Сергиев посад, город возникший около Троице-Сергиевской лавры - монастыря основанного в XIV в. Святым Сергием Радонежским. Сергий Радонежский похоронен в главном соборе лавры. В лавре похоронен Борис Годунов. За стенами лавры Петр I спасался во время стрелецкого бунта.

В начале XIX в. в лавру была переведена из Москвы Славяно-Греко- Латинская академия, в которой учился Ломоносов. Она была переименована в Московскую Духовную академию. В 1920-х годах академия была закрыта и в ее помещении открыли двухгодичный Учительский институт, преобразованный в 1953 г. в четырехгодичный Педагогический институт. Во время войны Московская Духовная академия была вновь открыта, но так как ее помещение было занято Учительским институтом, занятия академии проходили в бывшей трапезной. В это же время в лавре была открыта семинария, готовящая провославных священников.

Священники могли получить приход только будучи женатыми, поэтому многие выпускники семинарии женились на студентках Учительского института. "Здесь готовят батюшек, а здесь - матушек", - говорили тогда.

После войны Русская Православная Церковь потребовала освободить помещение академии, и в 1950 г. Учительскому институту было предложено в течение 5 лет построить новое учебное здание и общежития за пределами лавры. Были выделены средства для этого струительства.

Загорский пединститут.

Когда я работал в Загорском пединституте, он еще находился в помещении Духовной академии. В институте уже были два курса, но еще работал и выпускной курс Учительского института. Я был назначен председателем Государственной экзаменационной комиссии Учительского института. Мы экзаменовали выпускников-заочников, которые были учителями московских школ, но не имели высшего образования.

Кафедрой математики в Учительском институте в течение многих лет заведовал Я.С.Дубнов, но после его отъезда на кафедре остались только кандидаты наук. Один из них имел звание профессора, это был Серапион Петрович Слугинов. Ему в это время исполнилось 75 лет и я организовал торжество, посвященное юбилею Слугинова и сделал доклад о его работах и жизненном пути. Публикаций у Слугинова было немного, но мы воздали должное его опыту и трудолюбию.

Из членов кафедры я знал раньше только Александра Яковлевича Маргулиса, известного методиста. Его сын Гриша впоследствии стал крупным математиком, получил Филдсовскую премию, в настоящее время он профессор Йэльского университета в США.

Загорский пединстит не получил необходимое в Московской области специальное разрешение на строительство учебного здания. За 5 лет было построенно только общежитие. Поэтому летом 1955 г. было принято решение о закрытии пединститута.

В Московской области кроме Загорского имелись еще два пединститута - в Коломне и Орехово-Зуеве. Было решено студентов физико-математического факультета Загорского института перевести в Орехово-Зуево, а студентов факультета языка и литературы - в Коломну. Из студентов-математиков в Коломну перешла только Наташа Пецко, мать которой жила недалеко от Коломны.

Меня пригласили на кафедру математики Коломенского пединститута.

Коломна.

Коломна - город в 100 км южнее Москвы при впадении Москва-реки в Оку. Коломна впервые упоминается в Х1 веке, на несколько десятков лет раньше Москвы. В Коломне Дмитрий Донской собирал свое войско для Куликовской битвы. В Маринкиной башне Коломенского Кремля была заточена Марина Мнишек - жена Лжедмитрия. В Коломне имеется несколько заводов, самый крупный из которых - Коломзавод, изготовляющий паровозы и тепловозы. Этот завод был построен одновременно с Московско-Рязанской железной дорогой, проходящей через Коломну.

Коломенский пединститут.

Коломенский пединститут, как и Загорский, был в 1953 г. преобразован из Учительского института. В этом институте были такие же два факультета, как и в Загорском. Впоследствии к ним добавили технический факультет, готовящий учителей труда, которые могли работать и инженерами.

Институт был раньше расположен в бывшем школьном здании недалеко от Москва-реки. Позднее для института было построено здание на берегу Оки.

Кафедрой математики заведовал алгебраист, ученик А.Г.Куроша, Петр Абрамович Гольберг. Преподаватели, приезжающие из Москвы, ночевали в общежитии.

Мне поручили читать лекции по всем геометрическим дисциплинам - по аналитической, элементарной, дифференциальной, проективной, начертательной геометрии и основаниям геометрии. Я читал также лекции по истории математики. В 1961 г., когда Гольберг перешел на работу в Москву, меня назначили заведующим кафедрой. С 1960 г. в институте появилась аспирантура.

Александр Иванович Горшков.

Из преподавателей других кафедр Коломенского пединститута отмечу доцента кафедры русского языка Александра Ивановича Горшкова, впоследствии известного лингвиста.

Горшков подарил мне свою книгу "Старославянский язык", из которой я узнал, что в этом языке слова мужского рода имели окончания -ос, -ус, и -ис, которые впоследствии потеряли согласный звук "с" и превратились в неопределенные гласные звуки, которые обозначались буквами ъ и ь. В дальнейшем эти гласные звуки также исчезли и буквы ъ и ь стали обозначать только твердость или мягкость предшествующего согласного звука.

"Многомерные пространства".

Начав работу над шестью геометрическими курсами для пединститутов, я решил написать серию учебников по всем этим курсам. Эти учебники я договорился писать вместе с И.М.Ягломом и З.А.Скопецом. Первой из этих книг была "Аналитическая геометрия", написанная мной и И.М.Ягломом. Мы включили в эту книгу много новинок : применение линейных операторов при изложении аффинных преобразований и движений и теории линий и поверхностей второго порядка. Мы рассматривали также уравнения тел и плоских фигур, например, квадрата и куба. Рецензент книги А.П.Норден дал отрицательный отзыв: по его мнению книга перегружена новшествами и такой курс невозможно прочитать за то время, которое отводится на него в пединститутах. Он советовал убрать новшества. Я на это не согласился: без наших новшеств книга превратится в обычный учебник по аналитической геометрии.

Я избрал другой путь: решил выбросить из книги обычную аналитическую геометрию на плоскости и в пространстве, оставить применение линейных операторов, и излагать геометрию в n-мерном пространстве. К многомерной аналитической геометрии я решил добавить многомерное обобщение теории многогранников, изучаемой в курсе элементарной геометрии, многомерное обобщение теории скользящих векторов, изучаемых в статике, многомерную проективную, конформную и дифференциальную геометрию, а также многомерную псевдоевклидову геометрию, являющуюся обобщением теории пространства - времени специальной теории относительности и многомерную псевдоконформную геометрию, тесно связанную с псевдоевклидовой геометрией.

Написанную книгу я назвал "Многомерные пространства". Она состоит из 12 глав: 1) Векторы и аффинные операции над ними, 2) Метрические операции над векторами, 3) Прямые и плоскости, 4) Движения и аффинные преобразования, 5) Многогранники, 6) Сферы, 7) Квадрики, 8) Скользящие векторы, 9) Проективные преобразования, 10) Дифференцирование векторов, 11) Комформные преобразования, 12) Пространство и время.

А.П.Норден дал положительный отзыв. Книга вышла в издательстве "Наука" в 1966 году.

Особые группы Ли классов Е и Е.

Во время работы в Коломне я продолжал размышлять о геометрических интерпретациях особых простых групп Ли. В 1956 г. Я опубликовал в "Докладах Академии наук СССР" заметку, в которой высказал предположение, что компактные особые простые гуппы Ли классо Е и Е являются группами движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр октонионов и кватернионов и двух алгебр октонионов. Это предположение, являющееся обобщением геометрической интерпретации компактной особой простой группы Ли класса Е, которую я доказал в 1954 г., было основано на установленном Э.Картаном факте, что среди симметрических пространств, группами движений которых являются компактные простые особые группы Ли классов Е и Е, имеются пространства размерности 64 и 128.

Моя заметка была представлена в Доклады Академии наук СССР". академиком И.Г.Петровским на основании положительного отзыва Е.Б.Дынкина.

Мое предположение было доказано Э.Б.Винбергом в 1964 г. в докладе "Конструкция особых простых алгебр Ли" на Семинаре по векторному и тензорному анализу при МГУ.

Более подробное изложение результатов моих заметок 1954 и 1956 гг. я опубликовал в статье "Простые группы Ли и неевклидовы геометрии" в "Ученых записках Коломенского педагогического института". Заметку в "Докладах" и статью в "Ученых записках" я послал в Утрехт Гансу Фрейденталю, которому я в 1955 г. прислал мою книгу "Неевклидовы геометрии" и с которым после этого переписывался по-русски.

В 1959 г. Фрейденталь организовал в Утрехте Международный коллоквиум "Алгебраические и топологические основания геометрии" и пригласил меня на этот коллоквиум. Приехать я не смог, и просил Фрейденталя перевести мою статью с некоторыми добавлениями на немецкий язык.

На коллоквиуме Фрейденталь выступил с докладом "О теории Розенфельдовских эллиптических плоскостей". Этот доклад и немецкий перевод моей статьи были опубликованы в 1962 г. в материалах коллоквиума.

Фрейденталь включил свой доклад о моих эллиптических плоскостях в составленный им сборник наиболее важных статей о расширении понятия пространства, озаглавленный "Теория пространства ". Сборник был опубликован в 1978 г.

Фрейденталь предложил несколько интересных геометрических интерпретаций особых простых групп Ли, некоторые из которых он объединил в "магический квадрат Фрейденталя".

Впоследствии я рассмотрел геометрические интерпретации всех некомпактных особых простых групп Ли, аналогичные моим интерпретациям компактных особых простых групп Ли.

В 50-х годах я еще не умел записывать в явном виде движения эрмитовых неевклидовых плоскостей, группы которых являются особыми простыми группами Ли, я научился делать это значительно позже.

В докладе, представленном на Утрехтский коллоквиум, я рассматривал также геометрические образы пространств с простыми фундаментальными группами и параболическими стационарными подгруппами. Эти образы играют важную роль в теории унитарных представлений некомпактных простых групп Ли и во многих других случаях. Первоначально я называл их "образами простоты и полупростоты" и в 1963 г. посвятил им статью в "Трудах семинара по векторному и тензорному анализу при МГУ". В настоящее время многообразия этих образов называются "параболическими пространствами" и "флаговыми многообразиями".

Статьи и книги по истории математики.

Работая в Коломне, я продолжал изучать труды математиков средневекового Востока. Я уже упоминал вышедшие в это время сборники моих переводов трактатов Хайяма и ал-Каши с их арабскими и персидскими текстами.

В нескольких выпусках ИМИ я опубликовал русские переводы доказательств V постулата Евклида в трактатах Ибн ал-Хайсама и Леви бен Гершона, Насир ад-Дина ат-Туси, ал-Абхари и Сабита ибн-Корры, а также трактата Улугбека о вычислении синуса одного градуса.

В это же время я начал перевод фундаментального труда ал-Бируни "Канон Мас'уда по астрономии и звездам" и опубликовал переводы имеющихся там звездного каталога и раздела о квадратичном интерполировании. Я опубликовал также несколько более мелких сочинений ал-Бируни. В 1959 г. я редактировал книгу Э. Кольмана "История математики в древности" и книгу А.П.Юшкевича "История математики в средние века".В том же году мы с А.П.Юшкевичем подписали с Учпедгизом договор на книгу "История математики для педагогических институтов". Мы обсудили план этой книги и я написал ее проект. Однако в это время Юшкевич был очень занят и не смог заняться этой книгой, и ее не удалось закончить. Подготовленный мной материал я впоследствии использовал в других своих публикациях.

Математические съезды.

В 1956 и в 1961 гг. в Москве и Ленинграде состоялись III и IV съезды метематиков СССР. На Московском съезде я сделал доклад об истории интерпретаций пространства Лобачевского. На этом съезде я познакомился с немецким геометром Вильгельмом Бляшке (1885-1962) и итальянским геометром Бениамино Сегре (1903-1977).

После конгресса Бляшке и Сегре прислали мне свои книги и статьи.

Я познакомился также с китайским математиком Хуа Логэном (1910­1985), доклад которого в Московском Математуческом обществе я слушал в 1950 г. Теперь Хуа Логэн был директором Института математики Академии наук Китайской Народной Республики. Мы обсудили его статьи о геометрии прямоугольных матриц и договорились написать совместную статью о применении геометрии прямоугольных матриц к вещественным проективной и неевклидовой геометриям. Эта статья была написана и опубликована по-русски в Казани и в Пекине в 1957 г., и по-китайски в Пекине в 1958 г. После этих публикаций мы в течение многих лет переписывались с Хуа Логэном. Он прислал мне свою книгу "Геометрия классических групп".

На Ленинградском съезде на секции истории математики я выступил с докладом "Об исследованиях по истории математики средних веков", написанным мной совместно с В.П.Зубовым и А.П.Юшкевичем.

На секции геометрии я сделал доклад о вырожденных неевклидовых геометриях. После этого доклада специалист по начертательной геометрии И.И.Котов сказал мне: "Ваши новые геометрии значительно расширили поле наших исследований ".

На этом съезде было много моих аспирантов, которые рассказывали о своих работах. На съезде я беседовал с американским математиком Натаном Джекобсоном.

Ленинград.

В 1957 г. в Ленинграде состоялась конференция, посвященная 250- летию со дня рождения великого математика Леонарда Эйлера (1707­1783). Я выступил с докладом о геометрических работах Эйлера. На конференции было много математиков и историков математики из СССР и Германии. Мы осмотрели дома в которых Эйлер жил в С.Петербурге, и могилу Эйлера на кладбище Александро-Невской лавры, рядом с могилой М.В.Ломоносова. Могила Эйлера была перенесена туда с ликвидированного лютеранского кладбища.

Приезжая в Ленинград, я всегда заходил в Ленинградское отделение Института востоковедения Акадении наук СССР, и часто выступал там с докладами о развитии математики и астрономии на средневековом Востоке. В этом институте я беседовал с академиками Владимиром Семеновичем Голенищевым и Иосифом Абгаровичем Орбели. В.С.Голенищев, открывший и издавший "Московский математический папирус", хранящийся в Музее изобразительных исскуств в Москве, рассказал мне, что древние египтяне клали математические папирусы в захоронения любителей математики. И.А.Орбели, долгое время бывший директором Эрмитажа, пригласил меня в гости и познакомил со своей женой и сыном - школьником.

Средняя Азия.

В 1957 и 1958 годах я побывал в столицах Узбекистана, Туркменистана и Таджикистана - Ташкенте, Ашхабаде и Душанбе, который тогда назывался Сталинабадом. В Ташкенте я останавливался у ученика Я.С.Дубнова Мардана Аюбовича Сабирова (1906-1994), который тогда заведовал кафедрой геометрии в университете.

Он познакомил меня с математиками академиком Сагды Хасановичем Сираждиновым, профессором Николаем Павловичем Романовым и с историком математики Галиной Павловной Матвиевской.

Сираждинов (1921-1988), ученик В.И.Романовского и А.Н.Колмогорова, был крупным специалистом по теории вероятностей, он любил и историю математики. Романов (1910-1971), специалист по терии чисел и ТФКП, питомец Томского университета, защищая в Москве кандидатскую диссертацию, получил степень доктора.

Матвиевская окончила Ленинградский университет и аспирантуру Ленинградского отделения Института истории естествознания и техники (ИИЕТ) по истории теории чисел. В Ташкенте она работала в Институте математики Академии наук Узбекистана. Матвиевская овладела арабским языком и изучала историю математики в Средней Азии. Она составила описание математических рукописей Института востоковедения Академии наук Узбекистана - богатейшего собрания восточных рукописей. Я посоветовал Матвиевской заняться изучением расширения понятия о числе на средневековом Востоке и дал ей некоторые имевшиеся у меня издания и фотокопии арабских рукописей. Впоследствии Матвиевская стала доктором физико-математических наук и академиком АН Узбекистана и академиком Международной Академии истории науки.

В Ашхабаде в Управлении гидрометслужбы я встретил нескольких бывших моих студентов. После землетрясения 1948 г, Ашхабад был отстроен заново. Мои бывшие студенты во время этой трагедии находились в Одессе, куда переехал Гидрометинститут, многие из них потеряли в Ашхабаде своих родных.

В Душанбе я встретился с Самуилом Борисовичем Морочником (1910­1981), он был философом, а его жена Мира Марковна Явич - специалистом по персидской и таджикской литературе. М.М.Явич подготовила несколько сборников русских переводов четверостиший Хайяма, а С.Б.Морочник написал вступительные статьи к этим сборникам, а затем написал книгу о философских взглядах Хайяма.

Когда я стал изучать научное творчество Хайяма, я установил контакт с Морочником, и мы написали книгу "Омар Хайям - поэт, мыслитель, ученый" В приложении к этой книге были помещены мои переводы философских трактатов Хайяма. Книга вышла в Душанбе в 1957 г.

Морочник познакомил меня с таджикским академиком А.М.Богоутдиновым и психологом М.Г.Ярошевским. С Ярошевским я впоследствии работал в Москве. В Душанбе я познакомился с Гадойбоем Собировым и другими молодыми таджикскими историками математики.

Я посетил также Самарканд, Бухару и Хиву.

Украина и Молдавия.

Летом 1959 г. я совершил поездку по Украине и Молдавии. В Киеве я посетил заведующего кафедрой геометрии Киевского университета Бориса Яковлевича Букреева, которому в том году исполнялось 100 лет. "Переводчиком" при нашей беседе была его 75-летняя дочь. Борис Яковлевич поделился со мной воспоминаниями о своей молодости.

Во Львове я встретился с бакинским математиком Меджидом Латифовичем Расуловым и его учителем Я.Б.Лопатинским.

Я с большим интересом осмотрел Львов, очень красивый город, входивший до 1918 г. в состав Австро-Венгрии, а в 1918 -1939 гг. в состав Польши.

В Кишиневе, столице Молдавской республики, я беседовал с учеником А.Д.Александрова Александром Михайловичем Заморзаевым -Орлеанским, впоследствии создавшим большую школу кристаллографов.

Я посетил также Черновцы, осмотрел этот город, входивший до 1918 г в состав Австро-Венгрии, а в 1918 - 1940 гг. в состав Румынии. Я сделал в университете доклад о своих работах.

В 1962 г. в Киеве состоялась 1-я Всесоюзная геометрическая конференция, организованная новым заведующим кафедры геометрии университета Н.И.Кованцовым. В конференции участвовали многие студенты и аспиранты Коломенского пединстута.

Вырожденные неевклидовы геометрии.

После смерти Д.И.Перепелкина я руководил его аспиранткой Ираидой Железиной. Тема ее диссертации была подсказана Перепелкину И.М.Ягломом, работавшим в Орехово-Зуевском пединституте на кафедре, которой заведовала жена Перепелкина Анастасия Николаевна и часто бывавшим в их доме.

И.М.Яглом много раз советовал мне изучать вырожденные неевклидовы геометрии. Он убедил Перепелкина в важности статьи Дункана Соммервилля "Классификация проективных метрик". Перепелкин поручил Железиной изучение геометрий, кратко описанных в статье Соммервилля, и перевел для нее эту статью на русский язык.

После смерти Перепелкина руководство диссертацией Железиной было поручено мне. Мы с Железиной ограничились рассмотрением трехмерных пространств, в которых роль абсолюта играет пара вещественных или мнимо сопряженных плоскостей и пара вещественных или мнимо сопряженных точек на линии их пересечения. В своей диссертации Железина показала, что многообразия прямых линий этих пространств допускают интерпретации в виде комплексной и двойной евклидовых плоскостей и в виде двойной псевдоевклидовой плоскости. Эти интерпретации можно получить предельными переходами из интерпретаций А. П. Котельникова.

Железина защитила диссертацию в МГПИ и много лет работала доцентом в разных институтах. Она умерла в 1996 г.

На III съезде математиков СССР после моего доклада об интерпретациях геометрии Лобачевского, ко мне подошла аспирантка из Кирова Тамара Чахленкова и сказала, что тема ее диссертации - как раз интерпретации геометрии Лобачевского, и спросила мое мнение о диссертабельности этой темы. Я ответил, что написать диссертацию по этой теме совершенно невозможно. Тогда она попросила меня дать ей другую тему и быть ее руководителем. Я ответил согласием, и, вернувшись в Киров, Чахленкова провела через Ученый совет своего института решение о замене ее руководителя, и приехала ко мне в Москву. Я поручил ей изучение n- мерных вырожденных неевклидовых геометрий, частными случаями которых при n = 3 являются геометрии, изучавшиеся Железиной. Абсолюты этих геометрий состоят из вещественного или мнимого конуса второго порядка с плоской вершиной и из вещественной или мнимой квадрики в этой плоской вершине. Если плоская вершина конуса - гиперплоскость, то пространство - евклидово или псевдоевклидово вместе с его абсолютом, а если вершина конуса - точка, то пространство - коевклидово или копсевдоевклидово, т.е.соответствует евклидову или псевдоевклидову по принципу двойственности проективной геометрии.

Позже обнаружилось, что пространство, изучавшееся Железиной в случае мнимого абсолюта определил в 1911 г. Бляшке и назвал его "квазиэллиптическим". Поэтому пространства Чахленковой называются "квазиэллиптическими" и "квазипсевдоэллиптическими".

Чахленкова защитила диссертацию в МГПИ, работала доцентом сначала в Мурманском, а затем в Тамбовском пединститутах.

В Черновцах я познакомился с преподавательницей университета Евгенией Ясинской, которая попросила дать ей тему научной работы. Я предложил ей изучить геометрию самых общих просранств, определенных Соммервиллем. Ясинская защитила кандидатскую диссертацию в МГПИ и много лет работала доцентон в Черновецком университете.

Мы с И.М.Ягломом написали обзорную статью "Проективные метрики" о вырожденных неевклидовых пространствах и использовали результаты диссертации Ясинской, которую включили в число авторов статьи. Статья была напечатана в "Успехах математических наук" в 1964 г.

Пространства, абсолюты которых состоят из гиперплоскости с евклидовой геометрией, совпадают с галилеевыми пространствами, определенными А.П.Котельниковым, а пространства, получаемые из галлилеевых заменой евклидовой геометрии псевдоевклидовой, называются псевдогаллилеевыми. Если заменить в определении галлилеевых и псевдогаллилеевых пространств евклидовы и псевдоевклидовы геометрии коевклидовыми или копсевдоевклидовыми геометриями, мы получим изотропные и псевдоизотропные пространства. Галлилеева плоскость совпадает с изотропной плоскостью, абсолют этой плоскости - прямая линия с одной точкой на ней. Упоминавшиеся выше циклы изотропной плоскости являются коническими сечениями, которые касаются прямой абсолюта в его точке.

4-мерное изотропное пространство образует геометрическую интерпретацию многообразия событий (точек в определенные моменты времени) классической механики Галлилея - Ньютона., этим объясняется термин "галлилеево пространство".

Владимир Абрамович Рохлин.

В 1958 -1960 гг. на кафедре математики Коломенского пединститута работали мои товарищи по аспирантуре МГУ Владимир Абрамович Рохлин и его жена Анна Александровна Гуревич.

В.А.Рохлин родился в 1919 г. в Баку. Его отец был социал-демократом - меньшевиком. После установления советской власти в Баку он был председателем Бакинского совета. По линии матери Рохлин являлся родственником Левинсона - отца Корнея Чуковского. Рохлин был на два года моложе своих одноклассников в школе и однокурсников в университете. В начале войны Рохлин пошел в Народное ополчение, попал в окружение. Он был ранен и прятался в сарае у крестьянки. Оправившись, он попытался перейти линию фронта и попал в плен к немцам. В плену он выдавал себя за азербайджанца и это спасло ему жизнь. Он бежал из лагеря три раза, но снова попадал в руки немцев.

Когда Красная армия подходила к лагерю, где находился Рохлин, военнопленные перебили деревянными и железными прутьями охрану лагеря и освободились. Рохлин попал в действующую армию, участвовал во взятии Берлина.

После окончания войны он проходил "спецпроверку" в советском лагере. Ему удалось сообщить об этом в Москву. А.Н.Колмогоров и Л.С.Понтрягин обратились к министру госбезопасности с просьбой ускорить проверку. Их просьбу выполнили и после проверки Рохлин был откомандирован в распоряжение Академии наук СССР. В Москве Рохлин снова стал аспирантом Понтрягина, а после защиты кандидатской диссертации в 1947 г. работал в Математическом институте Академии наук СССР, откуда был уволен как еврей. Но даже в этих условия Рохлин стал выдающимся топологом и защитил докторскую диссертацию. Он работал в Лесотехническом институте под Москвой, в Архангельском лесотехническом институте и в Ивановском пединституте, а затем перешел в Коломну. Рохлин способствовал значительному повышению уровня преподавания в Коломенском пединституте.

В 1960 г. А.Д.Александров пригласил В.А.Рохлина на должность профессора Ленинградского университета, где Рохлин работал до своей смерти в 1984 г.

Сын В.А.Рохлина Володя - ныне профессор Йэльского университета в США.

Коломенские ученики - геометры.

Моими первыми коломенскими аспирантками были три выпускницы 1958 г.: Наташа Пецко, которая училась у меня в Загорске, Люда Румянцева и Тамара Климанова.

Румянцевой я поручил изучение симпектической кватернионной геометрии, группа симплектических преобразований которой является одной из некомпактных простых групп Ли класса D. На эту тему она написала кандидатскую диссертацию.

С Климановой и Пецко я изучал теорию скользящих векторов в многомерных евклидовых и квазиэллиптических пространствах, и в r- квазиэллиптических пространствах, получаемых предельными переходами из квазиэллиптических.Нашу совместную статью мы назвали "Проективная теория векторов" - так же, как статья А.П.Котельникова, в которой эта проблема была решена для 3-мерных неевклидовых пространств.

В качестве темы диссертации я предложил Пецко "Комплексную линейчатую геометрию", обобщающую содержание одноименной книги Д.Н. Зейлигера.

Климанова изучала геометрию комплексных и кватернионных вырожденных эрмитовых неевклидовых пространств.

Все трое защитили кандидатские диссертации в МГПИ и много лет работали доцентами в Коломенском пединституте.

В 1959 г. в аспирантуру Коломенского пединститута были приняты Лариса Пучкова по геометрии и Светлана Краснова по истории математики. Пучковой я дал тему по дифференциальной геометрии вырожденных неевклидовых пространств. Она защитила диссертацию в Томском университете и работала доцентом во Владимире.

В 1960 г. в аспирантуру были приняты Людмила Птицына и моя бакинская студентка Людмила Карпова. Птицына написала диссертацию о вырожденных симплектических пространствах, защитила ее в Тарту и работала доцентом в Технологическом институте в С.Петербурге. Карпова написала диссертацию об образах симметрии вырожденных неевклидовых пространств, защитила ее в МГПИ и работает доцентом в Московском государственном университете сервиса.

В 1961 г. в аспирантуру приняли Людмилу Выжгину, Ларису Маркину и Тамару Назарову. Выжгина защитила диссертацию в Московском Областном пединституте (МОПИ) о геометрии над наиболее общими коммутативными алгебрами и работает в Коломне. Маркина защитила в Казани диссертацию о геометрии эрмитовых неевклидовых просранств над алгеброй дуальных чисел и работала сначалав в Грузии и в Коломне. Назарова защитила в Томске диссертацию по дифференциальной геометрии образов симметрии и работала в Томбове и Коломне.

В 1962 г. в аспирантуру приняли Людмилу Львову. Она защитила в Томске диссертацию о теории прямолинейных конгруэнций в трехмерных вырожденных неевклидовых пространствах и работала в Барнауле.

Я занимался также с преподавателями кафедры, не имеющими ученых степеней. Ирине Николаевне Семеновой я рекомендовал исследовать вырожденные проективные пространства. Она защитила в МОПИ и много лет работала доцентом в Коломне.

Михаил Замаховский.

Когда я работал в Коломне я часто катался на лодке по Москва-реке. Однажды на лодочной станции я познакомился с молодым лодочником. Мы разговорились. Юноша окончил базовую школу пединститута, но подавать документы в институт он побоялся и поступил в речной техникум. Я убедил его, что он делает ошибку и что надо обязательно поступить в пединститут. В этом же году Миша Замаховский поступил в институт, учился он очень хорошо, и еще студентом начал заниматься научной работой. Замаховский защитил в 1972 г. в Тбилиси кандидатскую диссертацию "Квазипростые алгебры и их геометрические приложения". Он работал доцентом в Борисоглепском и Рязанском пединститутах, в течение многих лет - доцентом в Коломенском пединституте, был деканом факультета. В настоящее время он заведует кафедрой алгебры, геометрии и методики преподавания математики в Коломенском Пединституте.

Замаховский являлся оппонентом на многих защитах кандидатских диссертаций. Он - автор большего количества научных статей. В настоящее время Михаил Петрович Замаховский пишет докторскую диссертацию.

Бакинские ученики в Коломне.

Работая в Коломне я руководил также моими бакинскими аспирантами.

В 1959 г. Назим Аббасов защитил в Баку диссертацию "Спинорные представления движений квазинеевклидовых простраств". Аббасов в 1962 - 1963 гг. опубликовал статьи о бикомплексных и бикватернионных эрмитовых эллиптических простраствах.

Санубар Касымова защитила диссертацию в Баку о вырожденных неевклидовых и симплектических простраствах над алгеброй вещественных матриц, она много лет работает в АГУ.

Ученики по истории математики.

Я уже упоминал мою коломенскую аспирантку Светлану Краснову. Она освоила арабский язык, и я поручил ей перевести трактаты ал-Бузджани, ал-Кухи и Ибн Синана о геометрических построениях. Ее переводы были опубликованы, она защитила в ИИЕТ диссертацию о геометрических построениях на Средневековом Востоке. На защите она демонстрировала, изготовленную по ее указаниям модель "совершенного циркуля" ал-Кухи для вычерчивания конических сечений. С.А.Краснова много лет работает доцентом Коломенского пединститута.

В это же время я руководил диссертацией сотрудницы Института этнографии Академии наук СССР Миры Михайловны Рожанской. Рожанская окончила Истфак и Мехмат МГУ. На работе ей поручили изучать математические и астрономические труды ал-Бируни и она овладела арабским языком. Мы стали с ней переводить "Канон Масуда по астрономии и звездам". Этот перевод явился основой Ташкентского издания 1973 - 1975 гг. "Канона Мас'уда" ал-Бируни. Рожанская защитила в ИИЕТ кандидатскую диссертацию и перешла на работу в этот институт. Впоследствии Рожанская стала известным историком науки, доктором исторических наук и была избрана академиком Международной Академии истории науки.

Во время работы в Коломне я руководил кандидатской диссертацией преподавателя Казахского пединститута Ауданбека Кубесова. Я предложил ему изучать изложения Насир ад-Дина ат-Туси трудов Архимеда. Кандидатскую диссертацию он также защитил в ИИЕТ. В дальнейшем Кубесов успешно изучал математические, астрономические и педагогические труды уроженца казахских степей ал-Фараби. Защитил докторскую диссертацию и работает профессором университета Алматы.

Моя бакинская аспирантка Гюллю Кулиева защитила в Баку в 1967 г. кандидатскую диссертацию "Основные понятия математики в трудах предшественников Насир ад-Дина ат-Туси". Она работает доцентом в АГУ.

Владимир Ильич Семянистый.

В 1961 г. на кафедру математики Коломенского пединститута были приняты мои бакинские ученики Владимир Ильич Семянистый - доцентом и его жена Мария Исааковна Горбунова - старшим преподавателем. Оба они читали курсы по математическому анализу.

Семянистый родился в 1925 г., его отец был доцентом Бакинского нефтяного института. Володя был старше своих сокурсников, так как он отслужил в армии. После окончания АГУ Семянистый и его жена работали в Грозном. Володя закончил заочную аспирантуру в МГУ в 1960 г. под руководством П.К.Рашевского. Я познакомил Семянистого с М.И.Граевым, который увлек его идеями интегральной геометрии в смысле И.М.Гельфанда. Эта тематика относилась больше к функциональному анализу, чем к геометрии, но Рашевский одобрил ее и Семянистый защитил диссертацию по этой тематике.

Я дал Горбуновой тему по неевклидовой геометрии - об обобщениях орисфер в псевдоэллиптических просранствах. Она написала диссертацию под руководством А.С.Солодовникова, защитила ее и стала доцентом. Семянистый руководил в пединституте несколькими аспирантами по функциональному анализу - Львом Шибасовым, Евгением Петровым и Виталием Черновым. Они защитили диссертации и работали доцентами в Коломне.

После моего перехода на работу в Москву кафедра математики в Коломне была разделена на две, и Семянистый стал заведовать одной из кафедр. На свою кафедру он пригласил на полставки М.И.Граева. Семянистый работал над докторской диссертацией. Он умер в 1984 г.

Револьт Иванович Пименов.

Во время одной из моих поездок в Ленинград геометр Виктор Абрамович Залгаллер попросил меня прочитать геометрическую работу, которую прислал в Ленинград Револьт Пименов, осужденный на 10 лет лагерей Гулага за правозащитную деятельность. Тема работы Пименова была далека от тематики ленинградских геометров, но оказалась близка к моей тематике: Пименов самостоятельно пришел к вырожденным неевклидовым геометриям. Я дал положительный отзыв на его работу. Ректор ЛГУ А.Д.Александров поручился за Пименова перед М.В.Келдышем и Келдыш ходатайствовал перед КГБ. Пименов был освобожден после 6 лет лагерей.

Я пригласил Р.И.Пименова в Коломну сделать доклад о его работах. На этом докладе присутствовал И.М.Яглом. Мы сравнили результаты Пименова с нашими результатами и дали ему ряд советов по его работе. Пименов был принят на работу в Ленинградское отделение Математического института Академии наук СССР, защитил кандидатскую, а через несколько лет и докторскую диссертации.

Вскоре после последней защиты Пименова снова арестовали за правозащитную деятельность и сослали в Сыктывкар, где он стал работать в Коми филиале Академии наук.

Пименов написал несколько книг по вырожденным нееклидовым геометриям и их обобщениям и приложениям к физике. Во время перестройки его докторская диссертация была, наконец, утверждена ВАКом. Пименов был избран в Верховый совет России. Последний раз я видел его на геометрической конференции в Кишиневе в 1989 г. Пименов умер в 1990 г.

Круиз по Дунаю.

Летом 1960 г. я впервые выехал за границу - в круиз по Дунаю. Мы поездом доехали до Праги, оттуда поездом же до Братиславы, там сели на пароход и поехали сначала вверх по Дунаю до Вены, а затем вниз по Дунаю до болгарского города Лом, с остановками в Будапеште и Белграде. Из Лома мы проехали автобусами по местам боев Русско-Турецкой войны, а затем в Софию, румынский город Крайова и Бухарест, откуда поездом вернулись в Москву.

В нашей группе был математик Юрий Очан, который учился в МГУ на год старше меня, а в то время работал в МГПИ, геолог Протодьяконов и много других интересных людей. В Праге я посетил Э.Я.Кольмана, геометров Пала Саса в Будапеште, Бояна Петканчина в Софии и Костаке Телемана в Бухаресте. Телеман дал мне оттиск своей рецензии на мою книгу "Неевклидовы геометрии".

Конгресс востоковедов.

Вернувшись в Москву из путешествия по Дунаю, я попал на XXV Международный конгресс востоковедов, который проходил в новом здании Московского университета. Мы с А.П.Юшкевичем представили на этот конгресс доклад " Предыстория неевклидовой геометрии на средневековом Востоке".

На конгрессе я встретился с профессором Кембриджского университета Владимиром Минорским (1871-1966), автором многих исследований по истории науки средневекового Востока, с которым я ранее в течение нескольких лет переписывался.

На этом конгрессе я познакомился с иранскими литературоведами Саидом Нафиси и Моджтабой Минови, которые были известны своими исследованиями трудов Омара Хайяма.

Минови доказал, что рукописи четверостиший Хайяма, недавно изданные А.Арберри, Р.Алиевым и Н.Османовым, - искусная подделка.

На конгрессе было сделано много интересных докладов, из которых отмечу доклады Л.С.Бретаницкого об архитектуре средневекового Востока и М.Саидова из Махачкалы о трудах ученых Дагестана XVII-XVIII веков. Прием в честь участников конгресса проходил в Георгиевском зале Большого Кремлевского дворца.

Глава 14. ИИЕТ и МГПИ (1964-1990) ИИЕТ.

Институт истории естествознания и техники (ИИЕТ) Академии наук СССР был создан в 1932 г. в Ленинграде и назывался Институтом истории науки и техники. Он находился в том самом здании на Университетской набережлой Невы, где впоследствии было Ленинградское отделение ИИЕТ.

Первым директором института был Николай Иванович Бухарин (1888­1938), который в это же время являлся редактором "Известий". Институт был небольшой, но в нем работали, по совместительству с их основной работой, такие крупные ученые, как академики В.И.Вернадский, Н.И. Вавилов и С.И.Вавилов.

В 1938 г. после расстрела Бухарина институт был закрыт. Последним директором и председателем лидвидкома института был известный историк науки Борис Григорьевич Кузнецов.

В конце войны Кузнецов уговорил президента Академии наук В.Л.Комарова восстановить институт в Москве под названием "Институт истории естествознания". Такой институт был создан при президенте АН СССР и не входил ни в одно из отделений Академии. Этот институт находился на улице Фрунзе (Знаменке) рядом с Библиотекой им. Ленина. А.П.Юшкевич, который работал в этом институте со дня его основания (по совместительству с работой в МВТУ), привел меня в институт в один из моих приездов в Москву из Баку, и познакомил с директором института Хачатуром Сергеевичем Коштоянцем.

Коштоянц объяснил мне, что Хачатур - это армянская форма имени Христофор, и что Христофор Колумб был генуэзским армянином и его настоящее имя было Хачатур.

Что же касается возможности моего перевода из Баку в его институт, Коштоянц ответил, что этот вопрос решает не он.

В 1953 г. Институт истории естестнознания был объединен с Комиссией по истории техники Академии наук, получил свое современное название и вошел в состав Отделения философии и права Академии наук СССР. В это время Институт находился в здании Политехнического музея., директором был философ Иван Васильевич Кузнецов, его заместителем стала жена Г.М.Маленкова Валерия Алексеевна Голубцова, которая одновременно была ректором МЭИ. Она значительно расширила и укрепила институт. В это же время в институте начал работать А.Т.Григорьян, сначала в качестве ученого секретаря, а затем заведующим сектором истории физико-математических наук.

В институте было много секторов по изучению различных отраслей техники. В некоторых из них работали мои товарищи по МЭИ. После смерти И.В. Кузнецова директором института стал историк химии Николай Александрович Фигуровский.

Меня ввели в состав ученого совета ИИЕТ по присуждению ученых степенией кандидатов физико-математических наук и я стал регулярно бывать в институте.

Меня избрали в ИИЕТ по конкурсу в 1964 г. после смерти Василия Павловича Зубова (1889-1963), замечательного историка искусства и науки, автора прекрасных научных биографий Аристотеля и Леонардо да Винчи. В это время институт находился на Малой Лубянке рядом с католическим костелом.

Незадолго до моего избрания в институте произошли большие перемены. Директором института стал философ Бонифатий Михайлович Кедров (1903-1985), член-корреспондент Академии наук, впоследствии академик. Заместителем директора - историк биологии и философ Семен Романович Микулинский (1919-1991). Вместо многочисленных секторов по истории техники были созданы сектор истории техники в СССР и сектор истории Современной научно-технической революции. Из старых секторов по истории техники остался лишь сектор истории авиации и космонавтики. Был создан целый ряд секторов по науковедению - логики развития науки, философии науки, организации науки, экономики науки, системного анализа и психологии научного творчества. Последним сектором заведовал М.Г.Ярошевский, с которым я познакомился в Душанбе.

С этого времени Институт состоял из четырех отделений: истории естествознания, истории техники, науковедения и Ленинградского отделения.

Впоследствии институт переехал на Старопанский переулок рядом с Красной площадью. Кедров стал директором Института философии, а директором ИИЕТ - Микулинский, избранный членом-корреспондентом АН СССР. Вскоре Кедров вернулся в ИИЕТ заведующим сектором философии науки.

Научные сотрудники института были авторами большего числа книг по истории науки и техники. Институт выпускал "Труды ИИЕТ", журнал "Вопросы истории естествознания и техники", серию "Научное наследство", "Серию научных биографий", а с 1974 г. - "Историко математические исследования" (ИМИ ).

Многие сотрудники института были избраны в Международную Академию науки. В 1986 г. Микулинский перешел в Архив АН СССР. Директором института был назначен философ В.С.Степин, после него - Николай Дмитриевич Устинов, а затем Владимир Михайлович Орел.

С 1991 г. ИИЕТ называется "имени С.И.Вавилова".

Историки математики ИИЕТ.

Историки математики во главе с А.П.Юшкевичем сначала работали в секторе Григорьяна, затем были выделены в проблемную группу, а в 1985 г был создан сектор возглавляемый Сергеем Сергеевичем Демидовым.

В проблемной группе вместе со мной работали историки: теории дифференциальных уравнений С.С.Демидов, теории множеств Федор Андреевич Медведев, теории вероятности Леонид Ефимович Майстров, алгебры Евгений Иосифович Славутин, математики Китая Эльвира Ивановна Березкина и математии Индии А.И.Володарский.

В секторе истории физики и механики работали: Б.Г.Кузнецов, Иосиф Бенедиктович Погребысский, М.М.Рожанская, Владимир Павлович Визгин и Владимир Семенович Кирсанов, а также астрономы Александр Аронович Гурштейн и Григорий Моисеевич Идлис.

МГПИ.

Московский государственный педагогический институт (МГПИ) образовался при разделении 2-го Московского университета, до революции называвшегося Высшими женскими курсами. 2-й МГУ был разделен на МГПИ, 2-й Медицинский институт и Институт тонкой химической технологии. Впоследствии МГПИ поглотил два других московских пединститута и математический факультет перешел в помещение бывшего педагогического института им. Потемкина около Комсомольской площади.

Кафедрой геометрии МГПИ после смерти Д.И.Перепелкина заведовал ученик А.М.Лопшица Левон Сергеевич Атанасян, профессор - кандидат наук. Он занимал в разное время пост декана факультета, проректора института и руководителя отдела университетов ЮНЕСКО.

На кафедре наиболее авторитетным геометром был ученик С.П.Финикова профессор Вячеслав Тимофеевич Базылев (1919-1990), а после его смерти - Вадим Федорович Кириченко.

В настоящее время МГПИ, как многие пединституты России, называется Педагогическим университетом..

"Неевклидовы пространства".

После выхода в свет книги "Многомерные пространства" я решил написать в том же стиле книгу о неевклидовых пространствах. Первоначально я предполагал изложить в этй книге не только вещественные неевклидовы геометрии, но и неевклидовы геометрии над алгебрами. К этому я хотел добавить изложение результатов о вырожденных неевклидовых геометриях, полученных мною и моими учениками после 1955 года. Но когда книга была написана, оказалось, что ее объем слишком велик, и пришлось оставить в книге только изложение вещественных геометрий.

Книга вышла в издательстве Наука в 1969 г. Она состоит из 7 глав:

1)Евклидова геометрия и предыстория неевклидовых геометрий,

2)Эллиптическое пространство,

3)Пространство Лобачевского,

4)Гиперболические и симплектическое пространства,

5)Проективные метрики,

6)Дифференциальная геометрия неевклидовых пространств,

7)Простые и квазипростые группы Ли и образы симметрии.

В этой книге под гиперболическими пространствами имеются в виду псевдоэллиптические пространства.

Материал, который я не использовал в этой книге - о геометриях над алгебрами и геометрии особых простых групп Ли - я решил изложить в отдельной книге "Геометрия групп Ли". Эту книгу я написал в 70-х годах, но в это время руководство редакции физико-математической литературы издательства Наука оказалось в руках Л.С.Понтрягина, который был недоволен тем, что у авторов книг, выходящих в этом издательстве,"одни и те же фамилии".

Эту книгу я издал через 20 лет в США на английском языке.

"История математики с древнейших времен".

Моя работа в ИИЕТ началась с участия в коллективном труде "История математики с древнейших времен до начала XIX столетия". Эта книга состоит из трех томов: 1) о математике с древности до начала нового времени, 2) о математике XVII века, 3) о математике XVIII века.

Я написал, большей частью с соавтирами, несколько глав в каждом из этих трех томов. Эти три тома вышли в 1970-1972 гг.

После трехтомника историки математики ИИЕТ вместе с историками математики МГУ начали писать "Историю математики XIX века", также состоящую из нескольких томов. Во 2-м томе этой книги была опубликована большая статья "Геометрия", написанная мной и Б.Л.Лаптевым. Я подготовил также книгу "Геометрия ХХ века", которая пока не вышла.

"История неевклидовой геометрии".

В 1976 г, была опубликована моя книга "История неевклидовой геометрии"- развитие понятия о геометрическом пространстве. Книга состоит из 11 глав: 1)Сферика, 2)Теория параллельных линий,

Геометрические преобразования, 4)Геометрическая алгебра и предыстория многомерной геометрии, 5)Философия пространства до начала XIX в., 6)Геометрия Лобачевского, 7)Многомерные пространства,

Кривизна пространства, 9)Группы преобразований, 10)Применение алгебр, 11)Философия пространства XIX-XX вв. Геометрия и физика.

В первых четырех главах я изложил развитие геометрических дисциплин, подготовлявших появление неевклидовых геометрий и геометрии групп Ли в древности, в средние века, и в XVI-XVIII веках, в шестой главе - историю открытия геометрии Лобачевского и ее интерпретаций, в следующих четырех главах - историю развития других неевклидовых геометрий, римановой геометрии, топологии, групп Ли и их геометрических интерпретаций. V и XI главы посвящены философии пространства и применению геометрии к физике.

В 1988 г. книга вышла в английском переводе с некоторыми дополнениями в издательстве Шпрингер-ферлаг.

В 1983 г. мы с А.П.Юшкевичем опубликовали книгу "Теория параллельных линий на средневековом Востоке". Книга была переведена на арабский язык и издана в Алеппо в 1989 г.

Арабоязычные аспиранты.

В 1964 г. Толя Каток, будущий муж моей дочери, аспирант Мехмата, рассказал мне, что ему поручили познакомиться с иностранцами, поступающими на Мехмат, и что один из них, араб из Багдада, значительно сильнее других. Я попросил познакомить меня с ним. Молодого человека звали Джамаль ибн Джирджис ад-Даббах. В отличие от остальных иностранцев, он приехал поступать в аспирантуру. В Багдаде Джамаль окончил математический факультет университета. Так как имя его отца - Джирджис, т.е. Георгий, я понял, что Джамаль - христианин. Его отец - армянин из Трапезунта, а мать - ассирийка. Джамаль хотел поступить в аспирантуру по теории вероятностей, но я посоветовал ему избрать своей специальностью историю математики и заняться изучением математики средневекового Востока. Джамаля приняли в аспирантуру МГУ и назначили его руководителем историка математики профессора Изабеллу Григорьевну Башмакову.

Я дал ему арабский текст трактата братьев Бану Муса об измерении плоских и сферических фигур..Джамаль перевел его и под руководством И.Г.Башмаковой и при моей консультации написал комментарии к своему переводу.

Вместе с моими учениками - историками математики Джамаль участвовал в конференции востоковедов в Ленинграде и сделал доклад о своей работе.

Джамаль перевел и изучил также трактаты Ибн ал-Хайсама об измерении шара и об изопериметрических фигурах, написал диссертацию об инфинитезимальных методах на средневековом арабском Востоте и защитил ее на Мехмате. Джамаль много лет работал профессором университета в столице Ливии Триполи.

На семинаре по истории математики МГУ ко мне обратился студент 5- го курса Мехмата Антон Сансур и попросил дать ему тему дипломной работы. Антон был палестинцем из Вифлеема, также христианином. Он учился в Каире на юридическом факультете, но был исключен за революционную деятельность и приехал учиться в Москву. Так как советское юридическое образование не признается за границей, он решил стать математиком. Я дал ему арабский математический трактат, он написал о нем хорошую работу и его приняли в аспирантуру Мехмата. Руководителем назначили меня. Я предложил Антону рассмотреть математические трактаты Сабита ибн Корры. Он перевел и изучил несколько трактатов этого выдающегося математика, работавшего в Багдаде в IX веке. Сансур успешно выступил с докладом о своих работах на Международном конгрессе по истории науки в Москве. Он защитил диссертацию в ИИЕТ. Сансур много лет работал профессор математики и проректор Католического университета в Вифлееме.

Ад-Даббах и Сансур перевели на русский язык большое число арабских математических и других научных трактатов и оказали большую помощь мне в моей работе.

Переводы и научные биографии.

В ИИЕТ я продолжал работу по переводу на русский язык и комментированию арабских математических и астрономических трактатов, а также начал переводить и изучать трактаты по механике, физике и математической географии. Переводы небольших трактатов и комментарии к ним я публиковал в ИМИ, "Историко- астрономических исследованиях", в сборниках "Научное наследство","Из истории науки и техники в странах Востока" и "Физико-математические науки в странах Востока", издававшихся в Москве, а также в сборниках, выходящих в Ташкенте. Переводы крупных сочинений выходили отдельными книгами.

Я участвовал в переводе и комментировании "Канона Мас'уда по астрономии и звездам" ал-Бируни. Это издание представляет собой 1-ю и 2-ю книги V тома "Избранных произведений" этого ученого. В текст перевода 1-й книги большой вклад внесли Павел Георгиевич Булгаков и Мира Михайловна Рожанская, а в текст перевода 2-й книги - Ашраф Ахмедович Ахмедов и М.М. Рожанская.

В VI томе этой серии вышел перевод "Книги вразумления начаткам науки звездочетства" - энциклопедии по математике, астрономии, математической географии и астрологии, написанной ал-Бируни в двух версиях: по-арабскии и по-персидски. Я участвовал в переводе и комментировании арабского текста этого труда вместе с М.М.Рожанской, А.Ахмедовым и Абдуманноном Абдурахмановым. Персидская версия этой книги была издана в Душанбе в таджикской транскрипции и с комментариями на таджикском языке. В работе над этой книгой участвовали Гадойбой Собиров и Джаханара Мамедова, и были использованы мои комментарии к русскому изданию.

В VII томе "Избранных произведений" ал-Бируни опубликованы переводы трактатов "Обособление речи о проблемах теней ", " Об определении хорд в круге посредством свойств ломаной линии в нем" и "Об анализе и определении частных значений уравнений [ Солнца]", выполненные мной и П.Г.Булгаковым.

В первых четырех томах этой серии были изданы русские переводы классических сочинений ал-Бируни "Хронология"("Памятники минувших поколений"), "Индия", "Геодезия" и "Фармакогнозия", выполненные М.А.Солье, А.Б.Халидовым и В.Г.Эрманом, П.Г.Булгаковым, У.И.Каримовым.

I, II и V тома этой серии были изданы также на узбекском языке.

В 1964 г. я издал в Ташкенте сборник русских переводов математических трактатов ал-Хорезми, выполненных Юдифью Ефимовной Копелевич и мною. В 1983 г. этот сборник был переиздан с дополнениями А.П.Юшкевича и Г.П.Матвиевской. В том же году А.Ахмедов выпустил в Ташкенте сборник русских переводов астрономических трактатов ал-Хорезми и несколько сборников узбекских переводов трудов ал- Хорезми.

В 1957 г. в Душанбе вышел русский перевод А.М.Богоутдинова персидского энциклопедического труда Ибн Сины (Авиценны) "Книга знания" без математических глав. Математические главы этой книги вышли в Душанбе в 1967 г. в русском переводе, выполненные мной и Н.А.Садовским.

Многие медицинские, философские и естественно-научные труды Ибн-Сины опубликованы на русском и таджикском языках в Москве, Ташкенте и Душанбе.

В Алма-Ате издавались серии русских и казахских переводов трактатов ал-Фараби. Я принимал участие в подготовке русских переводов "Математических трактатов" и "Комментариев к Алмагесту Птолемея". Последнее сочинение было переведено в Софии с русского языка на болгарский.

Публикации многих трактатов среднеазиатских ученых выпускались к юбилеям их авторов. В 1973 г. отмечалось 1000-летие со дня рождения ал-Бируни, в 1980 г. - 1000-летие со дня рождения Ибн Сины, в 1975 г. - 1100-летие со дня рождения ал-Фараби, в 1983 г. - 1200-летие со дня рождения ал-Хорезми.

Я присутствовал на торжествах в честь юбилеев: ал-Бируни в Ташкенте, Ибн Сины в Душанбе и Бухаре, ал-Фараби - в Алма-Ате и ал-Хорезми - в Ташкенте, Ургенче и Хиве.

В 1984 г. я выпустил 8-й том "Научного наследства", содержащий 35 математических, астрономических, философских и естественно-научных трактатов Сабита ибн Корры. В переводах и комментировании этих трактатов участвовали многие мои ученики.

На основе изданий сочинений этих ученых мной с соавторами были написаны научные биографии этих ученых : в 1973 г. - ал-Бируни совместно с М.М.Рожанской и З.К.Соколовской, в 1983 г. - ал-Хорезми совместно с П.Г.Булгаковым и А.Ахмедовым и в 1994 г. - Сабита ибн Корры совместно с Нурией Галимовной Хайретдиновой. Научные биографии Ибн Сины и ал-Фараби были написаны Ю.Н.Завадовским и М.М.Хайруллаевым.

"Математики и астрономы мусульманского средневековья".

В 1966 г. я написал статью "Физико-математические рукописи в библиотеках Советского Союза" и опубликовал ее в сборнике "Физико- математические науки в странах Востока".

При работе над этой статьей я изучал Отделы рукописей библиотек и институтов: Государственной библиотеки им. Ленина в Москве, Института востоковедения АН СССР, Публичной библиотеки и университета в Ленинграде, библиотеки им.Лобачевского Казанского университета, Институтов востоковедения АН Узбекистана в Ташкенте, Академии наук Азербайджана в Баку, Института рукописей Грузии в Тбилиси, институтов Академии наук Таджикистана и библиотеки имени Фердоуси в Душанбе, "Матенадарана" в Ереване.

Библиотеки, не имеющие печатных каталогов, представили мне списки своих арабских и персидских математических и астрономических рукописей.

В 1900 г. швейцарский историк науки Генрих Зутер опубликовал книгу "Математики и астрономы арабов и их труды". В книге даны биографические сведения и списки известных автору рукописей 480 математиков и астрономов, а также списки рукописей некоторых ученых, время жизни которых Зутер не знал.

В 1983 г. я и Матвиевская, взяв за основу книгу Зутера, и используя сведения, которые мы собрали по библиотекам Советского Союза и литературу об ученых средевекового Востока, появившуюся после выхода книги Зутера, выпустили книгу "Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII-XVII вв)".Книга состоит из трех томов. В 1-м томе помещена вступительная статья авторов и А.П.Юшкевича, справочный отдел и библиография. Во 2-м томе даны биографические сведения и информация об известных нам рукописях, их изданиях, переводах и исследованиях около1000 ученых, время жизни которых было нам известно. В 3-м томе дана аналогичная информация о рукописях около 200 ученых, время жизни которых нам было неизвестно. В этом томе также приведен список анонимных рукописей, указатели и дополнения, основанные на новых изданиям.

Польша.

В 1965 г. я участвовал в работе XI Международного конгресса по истории науки, который проходил в Варшаве и Кракове. На конгрессе я выступил с докладом о теории параллельных линий на средневековом Востоке.

На этом конгрессе я лично познакомился со многими учеными, с которыми раньше был знаком только по их трудам или по переписке. В частности, я познакомился с Дирком Яном Стройком (1894 -2001) совместную книгу которого с Я.А.Схоутеном "Введение в новые методы дифференциальной геометрии", мы с И.М.Ягломом переводили в 1947 г. Стройк с 1926 г. работал в Массачузетском технологическом институте. Кроме книг по геометрии он написал также "Краткий очерк истории математики" и "Историю дифференциальной геометрии".

На конгрессе я впервые увидел Ганса Фрейденталя, к которому не смог приехать в 1959 г. Фрейденталь снова пригласил меня в Утрехт и направил свое приглашение в Президиум Академии наук СССР.

Я познакомился также с Вилли Гартнером (1905 -1981), директором Института истории естествознания при университете во Франкфурте на Майне, с известным английским историком науки Китая Джозефом Нидхэмом (1900 - 1995), и с израильским историком философии Соломоном Пинесом (1908 - 1990).

Гартнер и Нидхэм подарили мне оттиски своих работ. Особенно интересен был для меня доклад Пинеса о философско-математическом трактате Сабита ибн Корры. Впоследствии я выписал копию рукописи этого трактата из Лондона и включил его русский перевод в мое издание трактатов этого ученого. Пинес прислал мне свой английский перевод "Путеводителя заблудших" Моше бен Маймона (Маймонида).

Мы осмотрели достопримечательности Варшавы и Кракова, а также посетили Освенцем и Закопане.

Стась Людкевич и Стефан Кленович.

Когда я был в Варшаве я позвонил моему школьному другу Стасю Людкевичу. Вскоре Стась и его жена Ира приехали ко мне в гостиницу. они поженились еще в России. В Варшаве Стась работал журналистом, Ира освоила польский язык, окончила технческий вуз и работала инженером.

Через несколько дней я был у них дома, где была мать Стася и школьный друг моей жены Стефан Кленович. Мать Стася расскала мне, что фамилия Людкевич была первоначально партийным псевдонимом ее мужа, который он выбрал по ее имени. До переезда из Польши в СССР фамилия семьи была Феникштайн, я догадался об этом, еще будучи пионером, когда увидел школьный портфель Стася с этой фамилией.

Стефан был врачем и во время войны работал хирургом в Польской армии. Фамилия Кленович, тоже была партийным псевдонимом, до этого фамилия родителей Стефана была Котович.

Впоследствии я видел написанную Стефаном на русском языке под псевдонимом "Терехов" книгу "Демография" в которой он анализировал демографические данные по СССР - резкие понижения количества жителей во время коллективизации, голодомора 1932 г., и во время террора 1937­1939 годов.

Чехословакия.

В 1964 и 1966 гг. я был в Чехословакии, в 1964 г. в Праге состоялась конференция по истории науки, в 1966 г. в Брно - конференция организации "Эйрене"("Мир"), объединяющей специалистов по классической филологии и историков науки древности. Группу филологов возглавлял профессор Виктор Ноевич Ярхо (1920 -1003), который учился вместе с моей женой в 25-й школе.

В Праге я встречался с местными геометрами, а в Брно - с учеником Э.Картана Отакаром Борувкой. Я посетил поле сражений русских и австрийцев с Наполеоном при Аустерлице, теперь это место называется Славков у Брна. На поле сражения установлена металлическая доска с картой расположения войск. Австрийские войска названы "Ракушане". Я уже писал, что Австрия по чешски называется Rakovska.

В Праге я осмотрел Пражский град, собор Святого Вита, Карлов мост через Влтаву со статуями святых и королей, средневековую Злату уличку алхимиков и Мертвый еврейский квартал.

В одной из синагог этого квартала на всех стенах написаны имена евреев Чехословакии, убитых нацистами во время войны, в другой синагоге - музей еврейского искусства. В этом квартале цыфры на часах обозначены еврейскими буквами и расположены в направлении против часовой стрелки. На еврейском кладбище находятся могилы средневековых еврейских чудотворцев. Многие чехи верят в чудодейственную силу этих могил.

Ганс Фрейденталь.

В декабре 1966 г. и январе 1967 г. я был в командировке в Утрехте по приглашению Фрейденталя.

Ганс Фрейденталь родился в 1905 г. в Лукенвальде около Берлина. В 1930 г. он окончил Берлинсий университет и, не найдя работы в Германии, переехал в Амстердам к известному топологу Л.Брауэру. Фрейденталь стал профессором Амстердамского университета. После оккупации Голландии нацистами он был заключен в тюрьму, но бежал и, находясь в подполье, кормил жену и сыновей, сочиняя детективные романы на голландском языке.

После войны Фрейденталь получил предложение создать Математическй институт при Утрехтском университете. Он организовал и возглавил этот институт, где проработал более 40 лет и воспитал много хороших топологов и алгебраистов.

В Утрехте я прочел на немецком языке цикл лекций по геометрии групп Ли и несколько лекций о математике средневекового Востока. Когда я рассказывал о вырожденных неевклидовых геометриях - квазиэллиптических и квазигиперболических, Фрейденталь предложил назвать класс групп Ли, к которому принадлежат группы движений этих геометрий, квазипростыми группами Ли. Я часто беседовали с Фрейденталем.

Фрейденталь показал мне Амстердам и город Заандам, в котором Петр I учился кораблестроению. Петр I называл этот город Саардамом. В этом городе сохранился деревянный домик Петра I, там имеется памятник Петру I и улицы царя Петра и Царицы.

Амстердам с его каналами удивительно похож на С.Петербург. В Амстердаме я осмотрел городской музей, в котором находится "Ночной дозор" и много других картин Рембрандта, а также Дом-музей Рембрандта на Старой еврейской улице.

Я осмотрел также Гаагу, где живет королева Нидерландов, портовый город Роттердам со знаменитым памятником Осипа Цадкина "Растерзанный город" и Лейден, где находится богатая библиотека арабских рукописей. В Лейдене директор Музея истории науки Мария Розенбоом знакомила меня с его экспонатами.

В Амстердаме я посетил Институт Восточной Европы. Я зашел туда в надежде найти переводы И.Ф.Тхоржевского четверостиший Хайяма, о которых мне писал В.Минорский. Этих переводов я там не нашел. Мне показали роман Б.Пастернака "Доктор Живаго", о котором я много слышал, но до тех пор не видел, а также "Философский трактат" А.С.Есенина - Вольпина и его стихи.

В Утрехте я видел кинофильм "Доктор Живаго" с Омаром Шарифом в главной роли.

Я съездил в Бельгию и осмотрел Брюссель и его музеи.

Новый 1967 год я встречал у Фрейденталя. В новогодней телепередаче фельетонист сказал, что у Голландии имеется три вековечных врага - Испания, Германия и водка. Фельетонист ассоциировал это с тем, что из трех дочерей королевы одна замужем за испанцем, другая - за немцем, а третья выходит замуж за сына фабриканта водки.

Я был в гостях у геометра Яна Арнольдуса Схоутена (1883-1971). Он и его жена жили в деревне в большем доме пенсионеров, где их полностью обслуживали. Жена Схоутена показала мне книги на ее родном фризском языке, который очень похож на старинный английский язык, где слова произносились так как пишутся.

В Утрехте я присутствовал на защите докторской диссертации по физике одного из сыновей Фрейденталя. На этой защите меня ввели в состав Ученого совета, мне выдали черную бархатную мантию и четырехугольную шапочку. После защиты все члены Ученого совета, в том числе и я, расписались в дипломе, который тут же был вручен сыну Фрейденталя.

Нидерланды.

Нидерланды - небольшая страна, но ее вклад в мировую культуру огромен: Рембрандт, Франц Гальс и другие голландские художники известны всему миру. Голландский натуралист Левенгук изобрел микроскоп и сделал много открытий. Голландский математик и физик Снеллиус открыл закон преломления света.

Нью Йорк был основан голландцами и первоначально назывался Новым Амстердамом, Новая Англия - называлась Новыми Нидерландами. Австралию открыли голландские мореплаватели и назвали ее Новой Голландией, а находящаяся рядом Новая Зеландия сохраняет свое голландское название до сих пор.

Три полосы голландского флага воспроизведены на флагах России и Франции: для Петра I Голландия была образцовым государством, а французы времен Великой Французской революции считали Голландию образцовой республикой.

Голландский язык распространен далеко за пределами Голландии, на нем в течение многих веков говорило все северное побережье Германии, где этот язык назывался Plattdeutsch - "равнинным немецким", на нем говорят фламандцы Бельгии и буры Южной Африки, где он называется африкаанс.

Бельгия.

Моя виза в Нидерланды давала мне возможность посетить два соседние государства - Бельгию и Люксембург, которые вместе с Нидерландами составляли так называемый "Бенилюкс". Поэтому я съездил в Бельгию и посетил ее столицу Брюссель.

В Бельгии живут два народа - валлоны и фламандцы. Валлоны говорят на французском языке, а фламандцы - на голландском. Разница между голландцами и фламандцами состоит в том, что фламандцы - католики, а цолландцы - протестанты. Брюссель первоначально был фламандским городом, а в настоящее время большинство его жителей говорят по фрнцузски.

В Бельгии каждый город имеет два названия -французское и фламандское: Bruxelles и Brussel, Анвер и Антверпен, Льеж и Люттих, Малин и Мехельн (город Малин знаменит своими колоколами с особенным "малиновым" звоном).

В Брюсселе я осмотрел несколько музеев, фонтанчик "манекен-пис" и "Атомиум" из железных сфер и труб, изображающий молекулу, увеличенную в миллиард раз.

Международный конгресс в Париже.

XII Международный конгресс по истории науки состоялся в Париже в 1968 г. На конгрессе выступали многие сотрудники ИИЕТ. Мне не удалось приехать, но я представил на конгресс доклад о геометрических преобразованиях на средневековом Востоке. Этот доклад был напечатан в трудах конгресса.

Мое 50-летие.

В 1967 г. в ИИЕТ и в Коломенском пединституте отмечалось мое 50-летие. На заседании ученого совета ИИЕТ присутствовали мои родители. Директор института Б.М. Кедров в своем приветствии отметил важность моей деятельности для укрепления дружбы с арабскими странами.

В Коломну на празднование я ездил вместе с женой. Доклад о моей научной деятельности сделал В.И.Семянистый. Меня тепло приветствовали мои многочисленные ученики.

Югославия.

В 1970 г. по приглашению геометров Милевы Прванович из Белграда и Станко Билинского из Загреба я был в командировке в Югославии и посетил Белград, Загреб, Сараево, Любляну, Нови Сад и Дубровник. В этих городах я читал лекции по геометрии и истории математики. В Сараеве я осматривал библиотеку арабских и турецких рукописей при Хузредбеговой мечети.

В Белграде я беседовал с М.Прванович, Загоркой Шнайдер, Недой Бокан и с историками математики Эрнестом Стипаничем и Драганом Трифуновичем, в Загребе - с С.Билинским и с историком математики Жарко Дадичем, в Любляне - с учеником И.М.Гельфанда Франце Крижаничем. З.Шнайдер подарила мне пятиязычный математический словарь, в составлении которого она участвовала. Историки математики подарили мне свои книги о сербском математике, друге Э.Картана Михаиле Петровиче и о дубровницких математиках Марине Геталдиче и Руджере Бошковиче.

Я посетил многие музеи, в частности, еврейские музеи в Белграде и Сараеве. В Югославии до войны было много евреев из Австрии, Турции и Палестины. Они говорили на идиш, ладино, иврите и имели отдельные синагоги. Нацисты уничтожили почти всех евреев Югославии.

В Сараеве я побывал в музее, стоящем рядом с тем местом, где в 1914 г. Гаврило Принцип застрелил эрцгерцога Фердинанда, что спровоцировало начало 1 Мировой войны.

Дубровник ( Рагуза) - город на побережье Адриатического моря, в средние века был республикой во многом подобной Венецианской, с которой он был тесно связан. В этом городе я осмотрел "Кнежев двор" - дубровницкий аналог веницианского "Палаццо дукале", а также библиотеку дубровницких рукописей XVI-XVII вв. на сербо-хорватском языке, написанных задолго до того как Вук Караджич разработал современную сербскую и хорватскую письменность.

Международные конгрессы в Москве.

В 1966 г. в Москве в здании МГУ проходил Международный математический конгресс. Я и многие мои ученики участвовали в работе секций геометрии и истории математики. Я познакомился с румынским историком науки Имре Тотом, который подарил мне оттиск своей работы о теории параллельных линий у Аристотеля.

В 1971 г. в Москве и Ленинграде проходил XIII Международный конгресс по истории науки. Я и мои ученики активно участвовали в работе многих секций и симпозиумов. Я познакомился с испанским историком математики и астрономии Хуаном Вернетом., румынским историком математики Флорикой Кымпан и многими другими учеными из разных стран.

Я беседовал с Вилли Гартнером и рассказал ему о готовящейся книге"Математики и астрономы мусульманского средневековья". Гартнер очень заинтересовался этим проектом и пригласил меня на три месяца в свой институт во Франкфурте на Майне. К сожалению, мне не удалось воспользоваться этим приглашением.

Во время XIII конгресса в Москве проходила Генеральная ассамблея Международной Академии истории науки. На этой ассамблее в 1971г. меня избрали членом-корреспондентом Международной Академии истории науки.

Приемы участников обоих московских конгрессов проходили в Кремлевском дворце съездов.

Япония.

В 1974 г. я участвовал в работе XIV Международного конгресса по истории науки, который проходил в Токио и Киото. В Токио мы жили в гостинице "Синбаси", в которой после войны располагался штаб командующего войсками США генерала Макартура. Я жил в номере с Б.Л.Лаптевым. На конгрессе я выступил с докладом о математических методах, применяемых при конструировании астролябий и других асрономических инструментов.

На конгрессе я впервые встретился с американским историком науки Эдвардом Стьюартом Кеннеди, с которым раньше был знаком только по переписке. Я познакомился с пакистанским историком науки Мохаммедом Саидом, турецким историком науки Айдыном Сайылы, с немецким историком математики Вольф Гангом Кауцнером и многими другими. Я вновь встретился с Дж. Нидхэмом, В. Гартнером и И.Тотом, который теперь работает в Регенсбурге в Германии.

Перед отъездом в Японию я написал японскому математику Ямагути, с которым познакомился в Утрехте, что буду на конгрессе в Токио, и он меня нашел. Ямагути и его друг Асано показывали мне достопримечательности Токио и, в частности, разыскали могилу замечательного японского математика XVII-XVIII веков Секи Кова, который, развивая древнекитайские методы решения систем линейных уравнений, пришел к теории определителей раньше европейцев и независимо от европейцев решил ряд задач интегрального исчисления. Мы сфотографировались перед могилой Секи Кова.

В Киото я слушал доклад великого японского физика Хидеки Юкавы.

Кроме Токио и Киото мы побывали также в Осаке и нескольких древних японских городах, во многих буддистских и шинтоистских храмах. В буддистских храмах Японии очень сильно влияние индийской культиры.

Японцы называют свою страну "Ни хон", буквально "Солнце-корень", что означает "[Страна] восходящего солнца". Китайские иероглифы, которыми японцы обозначают слова "Ни хон", по-китайски произносятся "жи пэнь", откуда произошли английское и немецкое названия Японии Ja­pan, французское название Japon и русское "Япония". Слово "Токио" обозначает по-японски "Восточная столица".

Англия и Шотландия.

В 1977 г. я участвовал в работе XV Международного конгресса историков науки в столице Шотландии Эдинбурге. На этом конгрессе я выступил с докладом о математическом атомизме и инфинитезимальных методах на средневековом Востоке. Здесь я познакомился с редактором журнала "Historia mathematica" Кеннетом Мэем, с голландским историком математики Яном Питером Хогендайком, с греческим историком науки Христиной Фили, с американкой Бетти Джо Доббс, изучавшей работы И.Ньютона по алхимии.

В Эдинбурге мы осмотрели памятники боевой славы шотландских воинов и Музей восковых фигур, в котором показаны великие люди Шотландии: королева Мария Стюарт, писатели Вальтер Скотт, Роберт Бернс, Роберт Стивенсон, Конан Дойль и ученый Александр Флеминг, открывший пеницеллин.

После окончания конгресса провели несколько дней в Лондоне. Мы осмотрели Весминстерское аббатство, в котором похоронены многие короли и великие люди Англии и Шотландии, Вестминстерский дворец, где проходят заседания Британского парламента, побывали в залах заседаний Палаты лордов и Палаты общин, осмотрели собор Святого Павла, замок Тауэр, Британский музей, картинную галлерею и Музей восковых фигур мадам Тюссо.

Мое 60-летие.

По возвращении в Москву я встретился с французским математиком и историком математики Жаном Дьедонне. Мы побывали с ним в Третьяковской галлерее. Я пригласил его на празднование моего 60-летия, где были мои родные и многие московские математики и историки математики.

К моему 60-летию журнал "Historia mathematica" напечатал статью А.Т.Григорьяна и А.П.Юшкевича, а журнал "Математика в школе" - статью Б.Л.Лаптева и А.П.Нордена.

В начале 1978 г. меня избрали действительным членом Международной Академии истории науки.

В феврале 1978 г. моя дочь Светлана Каток с мужем и двумя детьмии уехали на постоянное жительство в США. После этого в течение 10-и лет я был "невыездным".

Калифорния.

Положение изменилось, когда в СССР началась "перестройка".

В 1988 г мы с женой побывали в гостях у Светы и Толи в Пасадине, где Толя работал профессором в Калифорнийском Технологическом Институте (Калтехе). В Калтехе я сделал несколько докладов о геометрии групп Ли. " Света и Толя показали нам Лос Анджелес, вблизи которого находится Пасадина. Мы два раза втречались с дядей Дадеком, который жил в Лос Анджелесе.

Мы посмотрели музеи Голливуда и Парк чудес "Диснейленд", а затем совершили путешествие по Калифорнии - побывали в живописной Йосемитской долине, в городах Сан-Франциско, Беркли и Санта-Крус, где в то время работала Света. В Сан-Франциско мы проехали по знаменитому мосту, осмотрели Русский холм и музей рекордов Гиннеса, в Чйна-тауне я купил китайские счеты - суанпан.

В университетах Беркли и Санта-Круса я прочел доклады о неевклидовых геометриях и познакомился с геометрами Чжэнем, Вольфом и Кобояси.

В Калифорнии мы побывали также в Сан-Диего на мексиканской границе, осмотрели замечательный зоологический сад и парк Морской Мир с дрессированными дельфинами и другими морскими животными.

Мы побывали также в Вашингтоне, который нам показывала наша внучка Лена. Мы погуляли около Белого дома и Капитолия, были в Музее современного искусства, на выставке Гогена, в Музее авиации и космонавтики, в Библиотеке Конгресса.

В пригороде Вашингтона мы посетили школьную подругу моей жены Дину Каминскую и ее мужа Константина Симиса.

Дина в Москве была известным адвокатом, защищавшим многих правозащитников.

Германия.

В 1989 г. я участвовал в работе XVIII Международного конгресса по истории науки, который проходил в Гамбурге и в Мюнхене. Наша делигация прилетела во Франкфурт на Майне. На аэродроме меня встречал Э.С.Кеннеди и сотрудник Института истории арабо-исламской науки Экхард Нейбауер, которому я привез микрофильм важной арабской рукописи из Ленинграда. Во Франкфурте я осмотрел Дом-музей Иогана- Вольфганга Гете и побывал в гостях у Нейбауэра.

Поезд из Франкфурта до Гамбурга проходит через священные для математиков города Геттинген и Ганновер.

В Гамбурге заседания конгресса проходили в новом Дворце конгрессов. На конгрессе я выступил с докладом о Багдадской математической и астрономической школе ал-Хорезми, Бану Муса, Сабита ибн Корры и ал-Бузджани.

В Мюнхене конгресс заседал в Немецком музее истории науки и техники на Музейном острове реки Изар. Я встретился с Д.Я.Стройком и многими знакомыми историками науки, а также познакомился со швейцарским историком математики Жаком Сезиано, итальянским историком физики Антонино Драго и многими другими.

Париж.

В 1989 г году я побывал также в Париже на учредительной конференции Международного Общества истории арабо-исламской науки и философии.

Заседания конференции проходили во Дворце арабских стран, построенном Францией и арабскими странами на берегу Сены.

Из СССР на конференцию приехали также Г.П.Матвиевская и М.М. Рожанская.

Я выступил с докладом о проективных преобразованиях в работах средневековых ученых Ибн Синана и ал-Бируни. При выборах Совета Общества меня избрали в его состав.

На конференции я познакомился с египетским историком науки Жоржем Анавати и итальянским историком науки Грациэллой Федеричи- Весковини, а также встретился со многими знакомыми историками науки.

Я посетил Анри Картана, который жил в квартире своего отца. В Париже я осмотрел Собор Парижской Богоматери и музей Лувр.

В Париже я побывал в гостях у моих двоюродных сестер Иды Шагал и Беллы Зельцер.

Конференции советских историков науки.

В период работы в ИИЕТ я был участником многих конференций историков науки. В 1964 г. я выступил в Ереване с докладом "Взаимное влияние алгебры и геометрии в истории математики".

В 1979 г. в Тбилиси я сделал доклад, совместный с Гитой Менделевной Глускиний и Дж.ад-Даббахом о трактатах двух математиков XIV в. Альфонсо из Вальядолида и Кутб ад-Дина аш-Ширази, посвященных измерению кривых линий и поверхностей.

Важный отрывок из трактата Альфонсо "Выпрямляющий кривое" изучал еще до войны Соломон Яковлевич Лурье(1890-1964) в своей книге "Теория бесконечно малых у древних атомистов". Лурье имел только этот отрывок, переписанный для него в библиотеке Британского музея. После войны Лурье получил полный текст этого трактата, написанный на иврите и просил ленинградскую гебраистку Г. М Глускину перевести этот трактат. Лурье умер не успев закончить комментирование трактата. Эту работу завершил я. Текс трактата, его перевод и наши с Глускиной комментарии были изданы в Москве в 1983 г. отдельной книгой.

Трактат аш-Ширази представляет собой комментарии к "Трактату о движении качения и об отношении между плоским и кривым" его учителя Насир ад-Дина ат-Туси. Трактат ат-Туси до нас не дошел. Комментарии аш-Ширази к этому трактату были переведены Дж. ад-Даббахом и прокомментированы переводчиком и мной. Текст трактата аш-Ширази, его перевод и наши комментарии были опубликованы в VI томе "Научного наследства" в 1983 г.

В 1976 г. в Казани состоялась конференция, посвященная 150-летию открытия геометрии Лобачевского. На этой конференции я сделал доклад о развитии неевклидовой геометрии во второй половине XIX века и в ХХ веке.

Я участвовал также в конференциях по истории науки в Москве, Ленинграде, Лиепае и Тарту.

Геометрические конференции.

После Всесоюзной геометрической конференции в Киеве, о которой я упоминал, состоялись еще восемь Всесоюзных геометрических конференций в разных городах: 2-я - в Харькове в 1964 г., 3-я - в Казани в 1967 г., 4-я - в Тбилиси в 1969 г., 5-я - в Самарканде в 1972 г., 6-я - в Вильнюсе в 1975г., 7-я - в Минске в 1979 г., 8-я - в Одессе в 1984 г., 9-я -в Кишиневе в1988 г. Я участвовал во всех этих конференциях, кроме вильнюсской. На II, III, IV и V конференциях в своих докладах я рассказывал о моих работах и работах моих учеников по геометрии вырожденных неевклидовых пространств и квазипростых групп Ли, на VII конференции - о применении метода подвижного репера в пространствах над некоммутативными алгебрами, на VIII конференции - о своих работах в области неголономной геометрии, на IX конференции - о дифференциальной геометрии пространств над некоммутативными алгебрами.

Я участвовал также в Прибалтийских геометрических конференциях в Тракае и Тарту.

Поездки по Советскому Союзу.

Во время работы в ИИЕТ я часто бывал в разных городах СССР для чтения лекций, на защитах кандидатских и докторских диссертаций и в поисках средневековых рукописей.

Руководство Академии наук особенно поощряло поездки сотрудников московских академических институтов для чтения лекций. Местные университеты и пединституты располагали специальными фондами, которые они имели право расходовать только на оплаты приезжих лекторов. Их обычно зачисляли на полставки на время командировки.

Я читал лекции в Ленинграде, в Комсомольске на Амуре, Хабаровске, Южно-Сахалинске, Якутске, Чите, Улан-Уде, Иркутске, столице Хакасии Абакане, Томске, Свердловске, Челябинске, Перми, Сыктывкаре, Ташкенте, Термезе, Ашхабаде, Душанбе, Бишкеке (Фрунзе), Баку, Тбилиси, Тарту, Симферополе, Могилеве, Даугавпилсе, Шауляе.

Приглашали меня обычно заведующие кафедрами геометрии или математики. В каждом из этих городов мне показывали достопримечательности города и его окрестностей.

Ленинград.

В Ленинграде я обычно посещал Ленинградское отделение Института Востоковедения АН СССР (ЛО ИВ), Эрмитаж и Ленинградское отделение ИИЕТ. В ЛО ИВ я беседовал в Арабском кабинете с Анасом Бакиевичем Халидовым, переводившим "Индию" ал-Бируни, и с Теодором Адамовичем Шумовским, переводчиком "Книги польз" арабского морехода Ахмада ибн Маджида, который привел корабли Васко де Гамы от восточного берега Африки в Индию. В кабинете Древнего Востока этого института я беседовал с Игорем Михайловичем Дьяконовым, с которым меня познакомил Л.Бретаницкий на конгрессе востоковедов. Дьяконов рассказал мне о древнем государстве Митанни, потомком жителей которого был Сабит ибн Корра.

В Эрмитаже работал замечательный историк математики Айзик Абрамович Вайман, автор книги "Шумеро-вавилонская математика". Вайман читал вавилонские клинописные таблички и значительно обогатил наши сведения о математике древнего Вавилона. Вайман показал мне несколько малоизвестных залов Эрмитажа, в частности, зал раскопок в селении Пазырык в Сибири, где в вечной мерзлоте сохранились захоронения скифских царей.

В ЛО ИИЕТ я беседовал с Ю.Е.Копелевич, переводчицей арифметического трактата ал-Хорезми, и с Андреем Вассоевичем, знатоком многих древних языков и автором интересных исследований по истории науки и техники. Незадолго до моего отъезда в США он опубликовал в "Вопросах истории естествознания и техники" блестящую статью, в которой разромил попытки математика М.М.Постникова реанимировать идеи Н.А.Морозова о пересмотре хронологии Древнего мира.

В Ленинграде я беседовал также с Г.М.Глускиной, переводчицей математического трактата Альфонсо, и с ее мужем Л.Е. Вильскером (1919-1988) знатоком сирийской литературы, который писал под псевдонимом Шумский.

Дальний Восток.

В Комсомольск на Амуре меня приглашал Самуил Львович Певзнер, ученик И.М. Яглома. Здесь мне показали добычу олова в руднике "Солнечный" около Комсомольска.

С математиком Закорко мы ездили по Амуру, ловили рыбу в протоках этой реки и варили очень вкусную уху. Из Комсомольска мы с Певзнером летали во Владивосток - главный порт Тихоокеанского флота. В Хабаровске я любовался китайским берегом по ту сторону широкого Амура, памятником первопроходцу русского Дальнего Востока Ерофею Павловичу Хабарову. Город показывала мне моя ученица Тамара Степашко. Отсюда мы ездили в Уссурийск, где я поклонился могиле и памятнику героя гражданской войны Виталия Баневура.

В Пединститутах Комсомольска и Хабаровска имеются студенты - нанайцы и ульчи, принадлежащие к народностям, жившим здесь до прихода русских. Я просил этих студентов написать мне числительные на их языках от 1 до 20. Вернувшись в Москву, я сравнил эти числительные с маньчжурскими, приведенными в книге В.Гартнера "Восток - Запад". Оказалось, что числительные на этих языках почти полностью совпадают. Это показывает, что воинственные завоеватели Китая маньчжуры, основавшие последнюю династию китайских императоров, и тихие народности русского Дальнего Востока - близкие родственники.

Южно - Сахалинск.

В Южно-Сахалинске, бывшем до II Мировой войны японским городом Тойохарой, почти все деревянные дома сгорели, и на их месте построены стандартные пятиэтажки. В единственном каменном японском доме, бывшего губернатора, окруженном цветущими сакурами, расположен краеведческий музей. Экспонаты музея пытаются доказать, что Южный Сахалин и Курильские острова были исконной русской землей. Вызывает смех хронологическая таблица открытия этих земель с надписями типа "В таком то году такой-то есаул открыл такой-то остров и изгнал из него японских захватчиков".

Японцы и айны, жившие в этом городе до войны, уехали в Японию. Из прежних жителей остались только корейцы, привезенные японцами из Южний Кореи, которые отказались репатриироваться в Северную Корею.

Сахалинские корейцы не имели советских паспортов, им разрешалось учиться в техническом институте, но их не принимали в пединститут, не доверяя им воспитание школьников.

Якутск.

Якутск расположен в зоне вечной мерзлоты, все его дома стоят на сваях, чтобы теплые жилые помещения не соприкасались с почвой. В этом городе мне показали Музей мерзлотоведения, перед которым стоит статуя мамонта. Я видел также дома-музеи, в которых жили, сосланные сюда при царе революционеры.

Мне нравились вывески на якутском языке: язык тюркский, но абсолютно без влияния персидского и арабского языков, что характерного для языков тюрков - мусульман. Якуты - христиане, носят русские имена, многие якутские слова заимствованы с русского, но часто сильно искажены, например, "спасибо" по-якутски баhыба, а "пожалуйста" - баhалуста. Предки якутов - курыкане жили значительно южнее, на территории Бурятии. При Чингис-хане монголы завоевали землю курыкан, часть местных жителей ушла на север в край вечной мерзлоты и стала называться якутами, другая часть жителей осталась, стала говорить на диалекте монгольского языка, приняла буддизм, этих потомков курыкан называют бурятами. В старинных якутских легендах один из трех злых богов носит имя Чынгыз- хан.

Улан-Уде.

В Иволге близ столицы Бурятии Улан-Удэ, я посетил действующий буддистский монастырь -дацан.

В Пединституте в Улан-Удэ я прочел лекцию о роли буддизма в мировой культуре. Особенно слушателям понравилось мое утверждение, что европейские университеты были построены по образцу мусульманских медресе, с которыми европейцы встретелись в Испании, а мусульманские медресе были построены по образцу буддистских монастырей, с которыми мусульмане встретились в Средней Азии.

И буддистские монастыри, и медресе, и первые университеты были богословскими учебными заведениями.

В Улан-Удэ я посетил библиотеку бурятских, монгольских рукописей и ксилографов. Книги в этой библиотеке представляли собой стопы прямоугольных листов бумаги, насаженные посередине на гвоздь и завернутые в шелковую ткань. Такая форма книг была заимствована у индийцев, которые писали на пальмовых листах, обрезанных в виде прямоугольников. Буддизм пришел в Бурятию через Тибет, где пальмы не росли, и тибетцы стали писать на бумаге, которую изобрели китайцы, но сохранили индийскую прямоугольную форму листа. У китайцев же были заимствованы и ксилографы - книги, отпечатанные с деревяных досок с вырезанным зеркальным текстом.

В библиотеке я познакомился с ученым Ямпиловым, который подарил мне переведенный им с монгольского трактат по тибетской медицине. К сожалению, Ямпилов понимал буквально образные выражения этого трактата и, например, писал "гребень петуха, вытащенный из моря" вместо "коралл".

Иркутск.

Главный город Восточной Сибири Иркутск находится на берегу Ангары недалеко от места, где она вытекает из озера Байкал. Название озера Байкал означает "богатое озеро". Я прилетел в Иркутск в мае. Байкал был еще скован льдом, но в месте, где из него вытекает Ангара, ледяной панцырь вода прорвала и река выбрасывалась из озера со страшной силой.

В Иркутске я беседовал с местными геометрами Иннокентием Машановым, Бетти Чебышевой и Евгенией Седых.

Абакан и Кызыл.

Город Абакан расположен на одноименной реке недалеко от места где она впадает в Енисей. В Абаканском пединституте много немцев, переселенных туда во время Великой отечественной войны. Долгое время деканом математического факультета был Богдан (Готгельф) Клейн. Его дочь Лариса показывала мне Минусинск и Шушенское, расположенные по другую сторону Енисея.

Из Абакана я летал в столицу Тувы Кызыл. Этот город расположен на Енисее южнее Саян. Недалеко от него находится обелиск "Центр Азии". Раньше Тува была самостоятельной Народной республикой, аналогичной Монголии, а в 1944 г. вошла в состав России.

Ректором пединститута был историк математики Хеймер-оол. Он радушно принял меня, показал город и предложил прочесть несколько лекций по геометрии. Хакасы и тувинцы два родственных народа, но хакасы - христиане, а тувинцы - буддисты. Их языки немного отличаются от языков западных тюрков: "дорога" у западных тюрков - "йол", у казахов - "джол", у хакасов и тувинцев - "чол". Название реки Енесей - тюркское и означает"широкая вода".

Пермь.

В главный город Западного Урала Пермь меня приглашала геометр и историк математики Алла Ефимовна Малых. Она защитила в МГПИ кандидатскую диссертацию по конечной геометрии, в которой провела часть вычислений на компьюторе, а для других вычислений составила программы. По ее программам американскиме математики провели вычисления. Во время защиты Малых ее публикации расценили как непатриотичный поступок и ВАК ее защиту не утвердил. Но Малых произвела на ВАК хорошее впечатление и ей предложили подать документы на звание доцента. В этом звании ее утвердили. Я посоветовал Малых написать кандидатскую диссертацию по истории конечной геометрии, что она сделала и защитила эту диссертацию в МГУ. Эта защита была утверждена ВАКом. Впоследствии Малых защитила и докторскую диссертацию по истории конечной математики, после чего заведовала кафедрой геометрии в Пермском пединституте.

В Перми я осмотрел выставку деревянных скульптур коми-пермяков, а под Пермью - соляные пещеры Кунгура.

В столице республики Коми Сыктывкаре, где я читал лекции, я встретился с Р.И.Пименовым и побывал у него в гостях.

Язык народа этой республики коми-зырян и язык коми-пермяков, принадлежат к финской группе языков. Слово "парма" этих языков, от которого происходит название Перми, означает "лес".

Средняя Азия.

В Ташкент я ездил по приглашению М.А.Сабирова. В Термезе я осмотрел могилу философа и астронома XI века ат-Тирмизи, находящуюся в пограничной полосе с Афганистаном.

В Душанбе я был по приглашению Г.Собирова. С ним мы съездили в его родной город Ходжент (Ленинабад).

В Бишкеке я был по приглашению моего ученика Зарылбека Кутманова. Мы совершили с ним поездку вокруг озера Иссык-куль, побывали в Пржевальске.

Азербайджан и Грузия.

В Баку я ездил по приглашению М.А.Джавадова. Мы совершили с ним поездку по Азербайджану, побывали в Гяндже (Кировабаде), Ханларе, на озере Гек-гель. В Тбилиси я был по приглашению Г.С.Чогошвили.

Могилев.

В белорусском городе Могилеве я встретился с геометром и методистом, проректором Пединститута Абрамом Ароновичем Столяром, с которым раньше встречался на геометрической конференции в Киеве. Он родился на юге Бессарабии и учился в хедере - еврейской религиозной школе. Когда в эту школу приехал инспектор просвещения Румынии, он обратил внимание на способного мальчика и посоветовал ему перейти в румынскую гимназию.

Столяр окончил гимназию, математический факультет Бухарестского университета и работал учителем в Бессарабии. В 1940 г., когда Бессарабия вошла в состав СССР, Столяр стал советским гражданином.

В начале войны Столяр эвакуировался в Среднюю Азию, где стал кандидатом физ.мат наук. После войны Столяр работал доцентом в пединституте в Луцке, после защиты докторской диссертации перешел в Могилевский пединститут.

А.А.Столяр автор большего числа публикаций, из которых отмечу популярную книжку на белорусском языке, написанную Столяром совместно с Е.Карабенком "Чы зауседы 2х2 =4 ?"- "Всегда ли 2х2=4 ?" - о различных системах счисления и о сложении и умножении по модулю. В случае модуля 3 в "троичной" системе имеется только три цифры 0, 1, 2, и поэтому числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 изображаются, соответственно, сочетаниями цифр 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100 и произведение 2х2 имеет вид 11.

Прибалтика.

В Даугавпилсе заведующий кафедрой геометрии пединститута Ш. Г. Михелович познакомил меня с профессором истории института Иоэлем Пейсаховичем Вейнбергом. До войны Вейнберг и его брат-близнец жили в Риге и были студентами. Во время войны они попали сначала в гетто, а затем в немецкий концлагерь Бухенвальд, где над братом Иоэля нацисты проводили медицинские опыты, а Иоэль был "контрольным". Братья дожили до победы и после войны Иоэл окончил университет, защитил кандидатскую и докторскую диссертации по истории Древнего Востока. После смерти брата Иоэль переехал в Израиль.

В Шауляй меня пригласила заведующая кафедрой геометрии пединститута Ангеле Крищюнайте, она была аспиранткой А.П.Широкова. В Шауляе я прочел цикл лекций по истории математики.

В Тарту я был по приглашению геометра Юло Лумисте. Там я познакомился с физиком Яаком Лыхмусом, применявщим к физике неассоциативные алгебры и геометрию пространств над этими алгебрами.

Командировки.

На защиты диссертаций я ездил в Баку, Тбилиси и Томск.

Я побывал в библиотеках арабских рукописей Бахчисарая, Бухары, Махачкалы, Термеза и Уфы. И несколько раз бывал в Институте востоковедения АН Узбекистана в Ташкенте. Из Краеведческого музея азербайджанского города Закаталы мне прислали список хранящихся там арабских рукописей.

Кроме этих поездок у меня были командировки для работы над книгами: по просьбе П.Г.Булгакова и А.Ахмедова я ездил в Ташкент для работы над переводом "Канона Мас'уда" ал - Бируни, по просьбе А.Кубесова - в Алма-Ату для работы над переводами "Математических трактатов" ал-Фараби, по просьбе М.Атагаррыева - в Ашхабад для работы над переводом астрономического трактата ат-Туркумани.

Кисловодск и Нальчик.

Летом мы с женой часто отдыхали в Кисловодске в санатории им. Горького Академии наук СССР, где познакомились со многими интересными людьми, из которых я упомяну венгерского коммуниста Матиаса Ракоши, ленинградскую писательницу Ольгу Берггольц и специалиста по математической логике Б.А.Трахтенброта.

В первый же приезд в Кисловодск я съездил в Нальчик, где посетил математика М.Б.Хазанова, с которым познакомился во время его доклада на семинаре В.Ф.Кагана в МГУ. Доклад был посвящен очень интересному открытию Хазанова: если принять, что площадь всей плоскости Лобачевского с кривизной -1/q2 равна отрицательной величине -2nq2 и площадь всякого угла с радианной мерой А в этой поскости равна величине 1/q2, то площадь всякого треугольника ABC в этой плоскости будет равна той же положительной величине q2(n-A-B-C), которая была вычислена Лобачевским.

Хазанов познакомил меня со своим учеником Гумаром Тлуповым, которому он предложил построить аналогичную теорию для пространства Лобачевского. Решение этой задачи у Тлупова не получалось. Жена Тлупова Марина, доцент кафедры литературы Нальчикского университета, которая дружила с моей женой, попросила, чтобы я помог Гумару.

Поразмыслив над открытием Хазанова, я понял, что площадь -2nq2 не может быть площадью всей плоскости Лобачевского, которая бесконечна, а является площадью всей проективной плоскости, в которой плоскость Лобачевского занимает область ограниченную коническим сечением, называемым абсолютом. Часть проективной плоскости, находящаяса вне абсолюта, называется идиальной областью полоскости Лобачевского. Прямые, которые лежат в этой плоскости, замкнуты и имеют чисто мнимую длину 2inq, а расстояние от каждой точки плоскости Лобачевского до прямой в идиальной области, являющейся полярой этой точки относительно абсолюта, равно inq/2. Отсюда следует, что величина inq/2равна площади треугольника, одна вершина которого - точка А, а две другие вершины лежат на поляре точки А. Если величина угла А стремится к 2л, угол при вершине А расширяется и в пределе покроет всю проективную плоскость. Поэтому площадь всей проективной плоскости, равная пределу величины q2 при стремлении А к 2л, будет равна -2nq2.

Я посоветывал Тлупову рассмотреть не только пространство Лобачевского, а все проективное пространство, состоящее из пространства Лобачевского, его абсолюта и его идиальной области, объем этого пространства - чисто мнимое число. Тлупов успешно защитил кандидатскую диссертацию в Тбилиси.

Ученики по историки науки.

Во время работы в ИИЕТ я руководил несколькими диссертациями по истории математики..

З.А.Скопец попросил меня помочь преподавательнице Ярославского пединститута Леде Черкаловой, руководитель которой умер. Диссертация ее была об истории развития понятия вещественного числа в Европе. Черкалова защитила кандидатскую диссертацию в ИИЕТ.

На семинаре по истории математики МГУ С.А.Яновская познакомила меня с преподавательницей Бухарского пединститута Мухаббат Ахадовой и просила дать ей тему для диссертации. Как большинство узбеков Бухары, Ахадова владела таджикским языком. Поэтому я предложил ей рассмотреть сочинения Ибн Сины на персидско-таджикском языке. Она защитила кандидатскую диссертацию на эту тему в 1966 г. в Ташкентском университете.

На защите Ахадовой я познакомился с Нурией Хайретдиновой, работавшей в Ферганском пединституте. По моему совету она приехала в Москву и стала стажером - исследователем ИИЕТ. Я предложил ей изучить анонимную стамбульскую рукопись ''Собрание правил науки астрономии", которая являлась трактатом по сферической тригонометрии. Микрофильм этой рукописи я незадолго до этого получил из Швеции. Нурия, которая уже раньше освоила арабский язык, взялась за перевод и изучение этой рукописи и опубликовала статью в ИМИ, а перевод важнейшей части этого трактата - в сборнике "Физико-математические науки в странах Востока". Нурия защитила кандидатскую диссертацию в ИИЕТ в 1968 г. После защиты Нурия получила должность доцента сначала в филиале Московского Строительного института в Егорьевске Московской области, а затем в самом этом институте и перевезла из Ферганы мать и дочь. Нурия активно продолжала заниматься историей математики средневекового Востока. Я уже упоминал нашу совместную книгу о Сабите ибн Корре, вышедшую в 1994 г. в Москве.

В тот же период под моим руководством написали диссертации по истории математики Средней Азии - Муборак Шарипова из Душанбе, Абдуманнон Абдурахманов из Ташкента, по истории математики в Асербайджане - Эдик Григорья из Баку, о статике в странах Востока - Татьяна Столярова, об астрономических трактатах ал-Хорезми и ал- Фергани -Надежда Сергеева, о развитии теории отражения света в древности и на средневековом Востоке - Наталья Орлова, о математических методах, применяемых при конструировании астрономических инструментов - Асиф Таги-заде, об астрономическом труде хорезмского ученого XIII в.

Ал-Чагмини и о комментариях к нему туркменского ученого XIV в. ат-Туркумани - Мухаммед-Назар Атагаррыев, о развитии теории геометрических конфигураций в XIX-XX вв. и связи этой теории с алгеброй и конечной геометрией - Валентина Алябьева из Перьми.

Все эти аспиранты защитили кандидатские диссертации и работали доцентами в различных вузах.

В своих диссертациях Таги-заде показал, что методы применяемые при коструировании астролябий, по существу совпадают с методами современной номографии, а Атагаррыев доказал, что метод определения кыблы - направления на Мекку, которое необходимого при построении мечетей, применявшийся ал-Чагмини и ат-Туркумани основан на использовании стереографической проекции небесной сферы на плоскость астролябии.

Ирине Лютер я предложил изучить математические трактаты Ибн Синана. При изучении трактата о построении конических сечений Лютер установила, что в этом трактате Ибн Синан применял проективные преобразования. Под руководством М.М.Рожанской Лютер расширила эту тему и в 1993 г. защитила кандидатскую диссертацию об истории геометрических преобразований в древности и на средневековом Востоке.

Ученики по геометрии.

Во время работы в ИИЕТ я руководил многими аспирантами -

Геометрами Коломенского пединститута и МГПИ, где я в это время работал по совместительству.

Аспиранты МГПИ, как правило, выбирались из числа преподавателей пединститутов, приезжающих в МГПИ для повышения квалификации или на стажировку.

Различным вырожденным неевклидовым геометриям и геометриям квазипростых групп Ли были посвящены диссертации Ирины Лущицкой из Ташкента, моего бакинского студента и аспиранта МГПИ Ильи Горжалцана, коломенских аспирантов Тамары Богуславской, Ларисы Любишевой, Ларисы Маркиной, Людмилы Никитиной, Надежды Адамушко, Людмилы Андреевой, Людмилы Егоровой, Татьяны Орловской, Анны Мартаковой, Надежды Панкиной, коломенской преподавательницы Ирины Семеновой, москвичей Натальи Денисовой, Олега Сдвижкова, Дилором Джурабековой и Джаханары Мамедовой из Душанбе, Зарылбека Кутманова из Бишкека, Альбины Руденко из Владивостока.

Дифференциальной геометрии семейств прямых и плоскостей посвящены диссертации Тамары Семеновой и Людмилы Львовой из Коломны, москвича Сергея Атанасяна, Хабибы Абдурахмановой из Ташкента, Ирины Савоськиной из Калуги, Ольги Зацепиной из Рязани, Альфии Шабаевой из Салавата, Полины Стеганцевой из Запорожья.

Моя коломенская студентка и аспирантка МОПИ Людмила Лобанова защитила диссертацию о геометрии над произвольными коммутативными алгебрами. Илья Чахтаури из Тбилиси - о пространствах дробной размерности над алгебрами матриц. Надежда Заблоцких из Коломны - об октонионных геометриях с классическими фундаментальными группами. Тамара Оганезова из Коломны - о применении неевклидовой геометрии к начертательной геометрии. Москвичка Татьяна Кузнецова - о биоктанионных геометриях и их аналогах. Виктор Малютин из Ставрополя - об однородных пространствах, определяемых тернарами. Абдуллаазиз Артыкбаев из Ташкента - о решении задач геометрии в целом в простраствах с проективными метриками. Константин Гиберт из Магадана - о геометрии n-цепей и ее применении к теории функций от элементов некоммутативных алгебр. Тамара Степашко (Тимошенко) из Хабаровска - о параболических пространствах. Валентина Баранова из Челябинска - о дифференциальной геометрии поверхностей коразмерности 2. Раиса Выплавина из Комсомольска на Амуре - об эрмитовых метриках в алгебрах и их применении к геометрии вещественных пространств. Наталья Шульга из Мозыря - о линейчатой геометрии многомерного пространства Лобачевского. Нгуен Данг Фат из Вьетнама - о пространствах с переменным абсолютом. Лариса Антонова из Улан Уде - о вещественных кривых и поверхностях в двойных квадратичных простраствах. Татьяна Юхтина из Горноалтайска - о геометрии многообразий погруженных в пространства над некоммутативными алгебрами. Миланка Попович из Югославии - о циклографических методах в начертательной геометрии пространства Лобачевского.

Последние годы в Москве.

Последние годы перед отъездом в США я занимался сбором дополнений для книги "Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды", работой над научными биографиями Эли Картана, Сабита ибн Корры, ал-Фергани и Ибн ал-Хайсама и работой над книгами "Геометрия ХХ века" и "История естествознания на средневековом Востоке".

После моего отъезда в США была издана книга о Картане совместная с Максом Акивисом, и в Москве - книги о Сабите ибн Корре, совместная с Нурией Хайретдиновой и об ал-Фергани совместная с Н.Д. Сергеевой.

Глава "Геометрия " из книги "История естествознания на средневековом востоке", написанная совместно с А.П.Юшкевичем была опубликована в английском, французском и арабском изданиях "Энциклопедии арабской науки".

Название планет и дней недели.

При работе над книгой "История естествознания на средневековом востоке" я заинтересовался названиями планет и дней недели у разных народов. При этом выяснились интересные факты. Названия планет по именам богов впервые появились в древнем Вавилоне, а затем у древних греков. До этого у греков были описательные названия планет, причем Венера, видимая утром и вечером, рассматривалась как две разные планеты - Фосфорос и Гесперос.

Оказалось, что армянские названия планет являются переводами первоначальных греческих названий планет.

Грузинские названия планет в "Витязе в тигровой шкуре" Руставели - арабские для всех планет, кроме Венеры, название же Венеры Аспирози - слегка искаженное греческое название вечерней Венеры.

Китайцы связывали пять планет с пятью своими элементами и называли: Меркурий - "звездой воды", Венеру - "звездой золота", Марс - "звездой огня", Юпитер - "звездой дерева", и Сатурн - "звездой земли". Таковы же названия планет у японцев и корейцев.

Названия дней недели у многих народов связаны с планетами: воскресенье - день Солнца, понедельник - день Луны, вторник - день Марса, среда - день Меркурия, четверг - день Юпитера, пятница - день Венеры, суббота - день Сатурна. Таковы были названия дней недели в языческом Риме, откуда они были заимствованы многими народами Западной Европы. Германские народы заменили имена римских богов именами богов германского пантеона: Марса - на бога войны Цио, Меркурия - на бога ветров Вотана (Одина), который тогда еще не считался главным богом, Юпитера - на бога грома Тора, Венеры - на богиню любви Фрейю. Романские народы сохраняют имена римских богов, но, как в христианском Риме, называют воскресенье - днем Господа, а субботу - днем Саббата.

По тем же планетам, что и римляне, называют дни недели индийцы и многие народы, исповедующие буддизм. Названия дней недели аналогичные индийским применялись в доисламском Иране, откуда по "Великому шелковому пути" они попали в Китай, оттуда - в Корею и Японию, где воскресенье называется днем Солнца, понедельник - днем Луны, вторник - днем звезды огня, среда - днем звезды воды, четверг - днем звезды дерева, пятница - днем звезды золота и суббота - днем звезды земли.

Совпадение индийских названий с римскими указывает на их общее происхождение. Первоначально я считал, что эти названия заимствованы у вавилонян. Но И.М.Дьяконов разьяснил мне, что это невозможни, так как у вавилонян не было семидневной недели. Н.Я.Виленкин, с которым я обсуждал этот вопрос, высказал предположение, что и индийцы и римляне заимствовали свои названия дней недели у митраистов - адептов индоиранского культа Митры, весьма популярного в Римской империи. Позже я убедился, что Виленкин был прав.

Я опубликовал статьи о названиях планет и дней недели в "Интердисциплинарных исследованиях" в Софии, в "Историко - астрономических исследованиях" в Москве и в журнале "Ллюлль" в Сарагосе.

Мое 70-летие.

В 1987 г. в ИИЕТ отметили мое 70-летие. На специальном заседании ученого совета директор ИИЕТ Владимир Михайлович Орел и заведующий кафедрой геометрии МГПИ Л.С.Атанасян выступили с теплыми поздравлениями.

Приехали поздравить меня и мои коломенские ученики. С.А.Краснова преподнесла мне большую медаль, на одной стороне которой были выгравированы цифры 70, а на другой - стихи Разве Солнце убавит свечение, Разве звезды замедлят свой бег, Разве возраст имеет значение, Если молод душой человек.

В журнале "Historia mathematica" к моему 70-летию была напечатана статья А.Д.Александрова, А.Т. Григорьяна, С.С.Демидова, О.А.Ладыженской, Г.П.Матвиевской, С.Х.Сираждинова и А.П.Юшкевича.

Глава 15. ПЕНСИЛЬВАНИЯ С 1990 г.

Света и Толя.

Моя дочь Светлана в школьные годы 4 года занималась в детской музыкальной школе при Институте им. Гнесиных. Обучение шло успешно. Вспоминаю, как она и ее подруга играли на двух фортепьяно в Малом зале Московской консерватории.

Однажды летом мы жили на даче рядом с семьей математика Марка Иосифовича Вишека. Его сын Сеня рассказал Свете о математическом кружке для школьников при Московском университете. С 1961 г. Света стала ходить на занятия этого кружка, которые проходили в старом здании МГУ на Моховой. Одним из руководителей кружка был студент Мехмата Анатолий Каток, которого Света знала, так как он учился в той же школе, что и она.

Когда ее учительница музыки узнала, что Света ходит на математический кружек. Она сказала - "или кружек, или музыкальная школа!". Света выбрала кружок и, решив стать математиком, перешла в 7-ю математическую школу.

Толя окончил школу в 1960 г., когда ему было 16 лет, и в том же году поступил на Мехмат.

Дружба Светы с Толей перешла в любовь и они решили пожениться, как только Свете исполнится 18 лет. В то время обучение в московских школах было 11-летнее и в 18 лет Света должна была быть еще школьницей. Света перешла в вечернюю школу с 10-летним обучением, и чтобы иметь право учиться в этой школе, поступила работать на почту - рано утром разносила газеты. Света продолжала заниматься в кружке и участвовала в школьных математических олимпиадах.

В 1964 г. Света окончила школу с золотой медалью и была принята без экзаменов на Мехмат.

В 1965 г. Света и Толя поженились.

Еще когда Света училась в школе, я предложил ей перевести на русский язык книгу Г.С.М.Коксетера "Введение в геометрию". Вскоре Толя тоже включился в работу над этим переводом. Книга Коксетера "Введение в геометрию". Перевод с английского А.Б.Катка и С.Б.Каток под редакцией Б.А.Розенфельда и И.М.Яглома вышла в Физматгизе в 1968 г.

Толя окончил Мехмат в 1966 г. и был принят в аспирантуру к Я.Г.Синаю по специальности "Динамические системы".

Света училась в это время на 2-м курсе Мехмата. Весенние экзамены она сдала досрочно, в конце марта 1966 г. у Светы и Толи родилась дочь Лена.

В 1968 г. Толя защитил кандидатскую диссертацию и поступил на работу в Центральный Экономико-математический институт Академии наук СССР.

В 1969 г. Света была принята в аспирантуру к И.М.Яглому в Вечерний металлургический институт и написала кандидатскую диссертацию по динамическим системам.

В 1971 г. у Светы и Толи родился сын Боря. По поводу имени своего брата Лена сказала мене: "Не думай, дедушка, что его назвали в честь тебя - ты живой. Его назвали в честь другого дедушки". Другой дедушка - отец Толи Борис Лазаревич, крупный инженер-металлург, умер в 1964 г.

Света осталась недовольна своей диссертацией и не представила ее к защите. Сначала Света работала в детском клубе МГУ "Орленок", где вела занятия по математике с детьми, а затем получила работу в Научно- исследовательском институте школьного оборудования и технических средств обучения (НИИШОТСО) Академии педагогических наук СССР.

Толя родился в 1944 г. в Вашингтоне, где его отец в то время работал в комиссии по приему товаров, которые США предоставляли Советскому Союзу во время войны в аренду и взаймы - "по лендлизу". В таком порядке в Советский Союз поступали вооружение, автотранспорт, техника, одежда и продовольствие.

Мать Толи и старший брат часто вспоминали свою жизнь в США. В 1976 г. они эмигрировали в эту страну.

На одной из международных математических конференций Толя сделал доклад о своих работах и произвел хорошее впечатление на американских коллег, ему обещали помочь в получении должности профессора в одном из американских университетов.

Толя и Света с детьми выехали из СССР по приглашению из Израиля в феврале 1978 г. Из Вены они поехали в Италию, куда Толина мать прислала ему документ о том, что он родился в США. На основании этого документа Толя в Американском посольстве в Италии получил гражданство США. После этого Толя и Света с детьми поехали через Швейцарию и Францию в США.

В США Толя получил должность профессора в Мэрилендском университете недалеко от Вашингтона, а Света стала аспиранткой этого университета. Ее руководителем был замечательный специалист по теории чисел Дон Загиер.

В 1983-1984 г. Толя и Света работали в университете в Беркли, а Лена, кончившая к этому времени школу, стала студенткой этого университета. В 1984 г. Толя был прииглаш в Калифорнийский Технологический Институт (Калтех) в Пасадине вблизи Лос Анджелеса, а Света стала работать в университете Лос Анджелеса.

В 1983 г. Света защитила в Мэрилендском университете диссертацию и получила степень доктора философии. В 1985 г. у Светы и Толи родилась младшая дочь Даня (Даниэлла-Айрин). Света в течение нескольких лет преподавала математику в университете города Санта-Крус близ Сан-

Франциско, куда летала раз в неделю самолетом.. В 1988 г. Боря закончил школу и стал студентом университета в городе Санта-Крус.

В 1990 г. Толя, Света и Даня переехали в Пенсильванию в город Стейт Колледж. Толя и Света работають в Университете штата Пенсильвания (Pennsylvania State University - PSU). В этом университете Толя получил постоянную должность (теньюр) полного профессора сразу по приезде, а Света получила постоянную должность полного профессора через несколько лет.

В настоящее время Толя - один из крупнейших специалистов по динамическим сиатемам. Толя совместно со своим учеником Б.Хассельблаттом выпустил в 1995 г. монографию "Введение в современную теорию динамических систем".

Толя и его ученик М.Брин руководят конференциями по динамическим системам, которые каждые полгода собираются в PSU или в Мэрилендском университете.

В 2004г. Толя был избран действительным членом Американской академии наук и искусств.

Света несколько лет руководила аспирантурой департмента математики PSU. В 1992 г. была опубликована ее монография "Фуксовы группы".

Дети и внуки Светы и Толи.

Старшая дочь Светы Лена окончила экономический департмент в Беркли, работала в Филадельфии и училась в аспирантуре в школе бизнеса PSU и получила там степень доктора философии, Лена работала два года профессором в одном из вузов Денвера. Она разрабатывала рациональные методы производств в различных фирмах, определяя какую прибыль могут принести эти методы и способствовала их внедрению в производство. Благодаря внедрению новых разработок, в которых участвовала и Лена, на одном производстве в Денвера была получена годовая экономия в миллион долларов.

В настоящее время Лена и ее муж Гэри Болтон - профессора Школы бизнеса PSU. Их сын Юра учится в детском саду.

Сын Светы Боря окончил Чикагский университет. В настоящее время он работает программистом и живет на Гавайских островах. Его жена Шери окончила медицинский факультет Тегеранского университета. Дочь Бори и Шери Зоя учится в детском саду, она очень веселенькая, сообразительная и хорошенькая девочка, на год моложе Юры.

Младшую дочь Светы Даню мы с женой впервые увидели, когда ей было три года. И тогда она уже начала учиться танцам. Школьницей Даня играла на скрипке в Юношеском оркестре Центральной Пенсильвании, продолжала успешно заниматься балетом - исполняла роль Маши в балете Чайковского "Щелкунчик".

В 2002 г. Даня была принята в программу PSU для одаренных детей. В настоящее время она студентка 4-го курса факультета искусств и очень успешно учится пению и получает первые места в соревнованиях солистов США. Даня говорит и поет по-русски.

Мои внуки, родившиеся в Москве, не забыли русский язык, но по- английски они говорят лучше, чем по-русски. Мои правнуки по-русски не говорят.

Так на протяжении пяти поколений наша семья сменила три языка,

Юля и Миша.

Моя младшая дочь Юлия и ее муж Миша Розенман, так же, как мы с женой и Света с Толей, учились в одной школе, но, в отличие от нас, они учились в одном классе. Они окончили школу в 1968 г. и поступили - Миша на Мехмат, а Юля - на литературный факультет МГПИ. Они поженились в 1970 г. Их старшая дочь Аля родилась в 1971 г., младшая дочь Маня родилась в 1981. После окончания МГПИ Юля работала сначала в "Орленке", где вела занятия по литературе, а затем была учительницей литературы в школах Москвы. Миша после окончания Мехмата работал во Всесоюзном Институте Научной и Технической Информации (ВИНИТИ), где в 1986 г. защитил диссертацию на ученую степень кандидата технических наук.

В 1989 г. Юля и Миша с детьми переехали по приглашению Светы в США. Сначала они жили в Пасадине у Светы и Толи, а затем Миша получил работу в Вашингтоне, и они поселились в одном из пригородов столицы. Миша работает в информационной фирме "America Online", Юля работает в Иммиграционном центре.

Дети Юли и Миши.

Старшая дочь Юли Аля родилась в 1971 г. Она училась в колледже искусств PSU и в аспирантуре в Бостоне, где получила степень мастера искусств. Состоялось много выставок - продаж ее картин.

Многие ее картины куплены любителями живописи.

Аля и ее муж Саша Воронов работают в университете Миннеаполиса, где Саша профессор математики, а Аля рисует картины в своей студии и преподает живопись. Сын Саши Сережа студент юрист.

Младшая дочь Юли Маня родилась в 1981г. и была названа в честь моей матери Она в Вашингтоне в очень престижной школе, где органическую химию преподавал профессор. Она очень хорошо училась еще в школе и сдала несколько университетских предметов. Маня со своей подругой участвовала в соревновании молодых изобретателий. Они вышли в финал национальных соревнований и их наградили медалями и премией. Маня и ее подруги вышли также и на Международные соревнования и получили первую премию и медали. После окончания школы Маня училась в Колумбийском университете в Нью Йорке и будучи студенткой опубликовала две научные статьи в очень престижном журнале. Она окончила университет в 2003 г. по двум специальностям - биохимия и русская литература, и была принята в аспирантуру Гарвардского университета в Кембридже близ Бостона, получив грант для и себя и для университета.

Стейт Колледж и PSU.

Город Стейт Колледж возник в XIX веке вокруг агрономического колледжа, принадлежащего штату Пенсильвания и расположенному в середине этого штата. В конце XIX века колледж был преобразован в университет с колледжами наук (математика, статистика, физика, астрономия, химия), и "свободных искусств", т.е.гуманитарных наук (философия, история, иностранные языки), наук о земле (геология, минералогия, география), биологических наук, технических наук, агрономии, искусств (живопись, музыка, театр).

Кроме главного кампуса в Стейт Колледже были образованы еще несколько кампусов в других местах Пенсильвании и, в частности, в городе Хершей - кампус с медицинским колледжем и госпиталем.

В главном кампусе университета расположена библиотека Патти, носящая имя ее основателя. Эта библиотека и ее филиалы в разных департментах обладают очень богатыми коллекциями книг на разных языках. В библиотеке Патти имеются отдел редких книг и микрофильмов.

Департмент математики - один из самых бильших в университете, так как его сотрудники преподают математику во многих департментах университета. В математическом департменте часто бывают конференции, сюда с лекциями приезжают ученые из разных стран. На этих лекциях я познакомился с французскими математиками Жаком Титсом и Жан-Пьером Серром и с английским математиком Роджером Пенроузом.

По приезде в Стейт Колледж я был зачислен профессором департмента математики сроком на три года, потом мне продлили срок работы еще на два года. Я читал курсы геометрии групп Ли, неевклидовых геометрий, матричной геометрии, истории математики и философии пространства. На мои лекции по геометрии ходили не только студенты-математики, но и физики. Мои лекции по истории математики и философии пространства были предназначены для студентов математиков, историков и философов. Наряду со студентами мои лекции посещали также аспиранты и преподаватели. Кроме лекций я выступал также с докладами на геометрических семинарах, коллоквиумах и конференциях по динамическим системам и по истории науки.

За время работы в PSU я руководил только одной аспиранткой - Дайаной Родс, которая, будучи студенткой, изучала древнегреческий язык и в аспирантуре стала исследовать "Конические сечения" Аполлония.

В 1995 г. она защитила мастерскую диссертацию по первым 13 предложениям "Конические сечения" Аполлония, а в 2005 г. - докторскую диссертацию по всему этому классическому труду античной математики.

"Эли Картан".

Я уже писал, что в последние годы в Москве я работал вместе с М.А.Акивисом над научной биографией Эли Картана. Главы о группах и алгебрах Ли, об ассоциативных и альтернативных алгебрах, пространствах со связностями и о симметрических пространствах писал я. Главы о методе внешних форм и дифференциальной геометрии писал Акивис. Рукопись книги была представлена в редакцию "Серии научных биографий" в Москве, но в течение нескольких лет ее не могли издать. Тогда мы послали рукопись в США и просили геометра Вадима Гольдберга, профессора Технологического института штата Нью Джерси, перевести книгу на английский язык.

В Стейт Колледже я продолжал работать над этой книгой и получил много дополнительных материалов от Анри Картана.

Книга "Эли Картан 1869-1951" вышла в серии "Переводы математических монографий" Американского Математического общества в 1993 г. Она состоит из 7 глав: 1)Жизнь и труды Э.Картана, 2)Группы Ли и алгебры, 3)Проективные пространства и проективные метрики, 4)Псевдогруппы Ли и уравнения Пфаффа, 5)Метод подвижного репера и дифференциальная геометрия, 6)Римановы и симметрические пространства,7) Обобщенные пространства.

В конце книги приложен доклад Анри Пуанкаре о работах Картана, написанный в 1912 г., небольшая статья Э.Картана "Об одном вырождении евклидовой геометрии", отсутствующая в его собрании сочинений, речь Э.Картана на праздновании его 70-летия в 1939 г. и лекция Э. Картана "Влияния Франции на развитие математики", прочитанная в Белграде в 1939 г. Эта лекция приведена в английском переводе Елены Гилл с сербского перевода, присланного мне югославскими друзьями. Позже А.Картан нашел в архиве своего отца французский оригинал этой лекции. Включать его в нашу книгу было уже поздно, и эту лекцию напечатали в журнале "Публикации Белградского Математического института" в 1992 г.

Когда А.Картан получил нашу книгу, он написал мне: "Это прекрасный памятник моему отцу".

А.Картан нашел также неопубликованную рукопись отца "Изотропные поверхности на квадрике пространства 7 измерений". Он прислал мне ксерокопию этой рукописи. и мы с М.А.Акивисом опубликовали ee с нашими комментариями в сборнике "In memoriam N.I.Lobatschevskii" в Казани в 1995 г.

М.А.Акивис и В.В.Гольдберг, развивая идеи Э.Картана, опубликовали в 1994 г. книгу "Проективно - дифференциальная геометрия многообразий", в 1996 г. Книгу "Конформно - дифференциальная геометрия и ее обобщение" и в 2003г. книгу -"Дифференциальная геометрия многообразий с вырожденным гауссовым отображением".

Поездки по США и Канаде.

В 1991 г. я побывал в гостях у В.Гольдберга в Ливингстоне в штате Нью Джерси. Мы обсудили вопросы, связанные с его переводом нашей книги с Акивисом о Картане Мы съездили с Гольдбергом в Нью Йорк и в Принстон. Он показал мне Нью Йорк, мы побывали в издательстве Шпрингер-ферлаг, где я беседовал с заведующей математической редакцией Ульрике Шмуклер-Хирцебрух о втором, дополненном и исправленном издании "Истории неевклидовой геометрии". Я побывал также в музее скульптур Метрополитен-Мюзеум. В Принстоне мы с Вадимом посетили историка математики Э.С.Кеннеди и математика С.Г.Гиндикина.

В марте 1991г. по приглашению Г.С.М.Кокстера мы с женой побывали в его университете в Торонто в канадском штате Онтарио. Я сделал несколько докладов о геометрии групп Ли на семинаре Коксетера. Нам показали город Мы поднялись на лифте на верх самой высокой в мире башни, любовались городом и озером Онтарио.

Летом 1991 г. я с женой, Светой и Даней жили в Беркли, где Света работала в летней школе для студентов. Я несколько раз бывал в университете. Джозеф Волф подарил мне последнее издание своей книги "Пространства постоянной кривизны". Чжэнь пригласил меня на прием, где я познакомился со многими китайскими и японскими математиками, в том числе с Ичиро Сатаке, который придумал "диаграммы Сатаке" для некомпактных простых групп Ли - обобщения диаграмм Дынкина для комплексных и компактных простых групп Ли.

Мы ездили в Санта-Розу в гости к профессору алгебры Гале О.Пфлюгфелдер, которая до войны была студенткой Мехмата.

Мы побывали в Санта-Барбаре у профессора Натаниэля Фельдмана и его жены Клары. Во время войны Фельдман, молодой американский солдат, спас Клару, еврейскую девушку из трансильванского города Орадя Маре от смерти в немецком лагере уничтожения.

В январе 1992 г. мы со Светой ездили в Балтимор на заседание Американского Математического общества. На секции истории математики я сделал доклад о проективных преобразованиях на средневековом Востоке и познакомился с американскими историками математики..

В апреле 1992 г. я летал в город Оклахома-сити. Я побывал в университете города Норман на симпозиуме "Traditions Transmissions, Transformations". Здесь были мои друзья Я.П.Хогендайк и Соня Брентьес, я встретился с работающим здесь Джамилем Раджепом, изучающим труды Насир ад-Дина ат-Туси, а также с историком астрономии Ноэлем Свердловым из Чикаго и историком математики Барнабой Хьюзом. В музее университета я познакомился с историей завоевания европейцами Северо-американского континента.

В 1995 г. я с женой, Толей, Светой и Даней ездили к водопаду Ниагара на границе США и Канады и побывали в канадском городе Найагара Фоллс.

"Геометрия групп Ли".

В 1993 г. я подготовил к переводу на английский язык мою книгу "Геометрия групп Ли", в трех томах. В основу ее были положены мои книги изданные в Москве в 1966 и 1969 годах и рукопись, написанная в 70-х годах, а также результаты, полученные мной и моими учениками позже.

I том назывался "Вещественные многомерные пространства", II том - "Вещественные неевклидовы пространства", III том - "Пространства над алгебрами".

Оглавления всех трех томов я перевел на английский язык и разослал в несколько издательств. Из издательств мне ответили, что искать и оплачивать переводчиков они не могут. Джон Мартиндейл из издательства "Kluwer Academic Publishers" написал мне, что тематика книги интересует издательство, но оно может издать книгу только в одном томе размером не более 500 страниц, если книга будет представлена на английском языке camera ready, т.е. готовая к воспроизведению. Это предложение я принял, не представляя, к счастью, какие трудности ждут меня впереди.

Значительное уменьшение объема книги заставило меня отказаться от рассмотрения вещественных пространств отдельно от пространств над алгебрами и от изложения подробностей вещественных геометрий, которые имеются в других книгах. Я отказался также от изложения дифференциальной геометрии линий и поверхностей. В случаях особенно длинных и скучных доказательств я позволил себе заменить их ссылками на доказательства в моих русских книгах 1955, 1966 и 1969 годов.

Готовые главы я печатал на компьютере и посылал Мартиндейлу. Этот текст подвергался суровому редактированию профессора М.Хазевинкеля, который потратил очень много времени на исправление дефектов моего английского языка. В процессе работы над этой книгой я овладел компьютерной системой ТЕХ. Большую помощь в этой работе мне оказала Света, М. Гайсинский, А.Кушниренко, А.Моргулис и С.Ясколко. Компьютерные чертежи для книги были изготовлены моим внуком Борей и А.Моргулисом.

Книга состоит из вводной главы "Структуры геометрии" и 7 глав: 1) Алгебры и группы Ли, 2) Аффинные и проективные геометрии, 3) Евклидовы, псевдоевклидовы, конформные и псевдоконформные геометрии, 4) Эллиптические, гиперболические, псевдоэллиптические и псевдогиперболические геометрии, 5) Квазиэллиптические, квазигиперболические и квазиевклидовы геометрии, 6) Симплектические и квазисимплектические геометрии, 7) Геометрии особых групп Ли и метасимплектические геометрии.

В вводной главе определяются алгебраические, топологические, порядковые, инцидентностные и метрические структуры геометрии, тензоры и линейные операторы, риманова геометрия и геометрия аффинной связности, топологические группы, группы Ли и симметрические пространства. В I главе рассматриваются ассоциативные и альтернативные алгебры, группы и алгебры Ли, йордановы и эластичные алгебры и линейные представления групп Ли. В остальных главах определяются аффинные и проективные пространства над алгебрами, квадратичные и эрмитовы евклидовы, псевдоевклидовы пространства над алгебрами, конформные и псевдоконформные пространства, невырожденные и вырожденные неевклидовы и симплектические пространства над алгебрами, метасимплектические геометрии. В этих пространствах рассматриваются движения, аффинные, проективные, конформные и симплектические преобразования, прямые линии, плоскости и гиперплоскости, гиперквадрики, гиперсферы, многогранники, скользящие векторы, интерпретации этих пространств, образы симметрии и параболические образы, конечные геометрии и приложения к физике.

Книга вышла в 1997 г. и в том же году получила Почетный отзыв на Международном конкурсе им.Н.И.Лобачевского в Казани.

Испания.

В 1991 г. меня избрали членом-корреспондентом Королевской Академии достославной письменности (Reial Academia de Bonas Lletras) в Барселоне, главном городе Каталонии.

Побывать в Испании мне удалось только через два года. В августе 1993 г. я участвовал в работе XIX Международного конгресса по истории науки в Сарагосе, куда я прилетел вместе с моей женой. Организатор симпозиума по истории неевклидовой геометрии барселонский геометр Альберт Доу пригласил меня и швейцарского историка математики Жан-Клода Пона руководить вместе с ним этим симпозиумом. Мы с женой прилетели в Мадрид, и оттуда поездом приехали в Сарагосу. На вокзале нас встретил московский историк науки С.Г.Кара- Мурза и отвез в гостиницу. На симпозиуме я сделал три доклада: "Первые доказательства V постулата Евклида, основанные на логической ошибке постулирования основания и свободные от этой ошибки", "Интерпретации неевклидовой геометрии и ее развитие в XIX веке и в начале XX века" и "Двойственность в геометрии".

Сарагоса была основана римлянами и первоначально называлась Цезареа Аугуста. После арабского завоевания Испании город стал называться Саракуста, отсюда и произошло современное название города. Арабская Саракуста была столицей небольшего государства, которое впоследствии получило название Арагон. От арабских времен в Сарагосе остался один дворец Алхафария (ал-Джа'фарийя), в котором в настоящее время заседает парламент провинции Арагон. В этом дворце состоялось заседание, посвященное истории науки мусульманской Испании. С обзорным докладом выступил Я.П.Хогендайк, подробно рассказавший об арабском короле ал-Му'тамане и его геометрическом трактате.

На конгрессе я встретил много своих друзей - С.С.Демидова, В.С.Кирсанова и Г.Е.Куртика, с которыми я работал в ИИЕТ, моих друзей из Барселоны Хуана Вернета и Хулио Самсо, которым я обязан моим избранием в Барселонскую Академию, Э.С.Кеннеди, С.Брентьес и других членов Международной Академии истории науки,

Я переписывался с испанским физиком из Вальядолида Мариано Сантандером, интересующимся эрмитовыми геометриями и их применением в физике. Я написал ему, что буду на конгрессе в Сарагосе и он приехал туда. Мы несколько раз беседовали с ним, и он сделал доклад на нашем симпозиуме.

Я познакомился с председателем конгресса сарагосским историком науки Мариано Ормигоном, издающим в Сарагосе журнал "Ллюлль". Впоследствии Ормигон опубликовал в этом журнале мою статью о планетах и днях недели.

Нам показали живописные дворцы Сарагосы, а также бой быков.

В мадридский аэропорт нас отвез на своей машине М.Сантандер.

Стамбул.

В июне 1994 г. мы с женой побывали в Стамбуле на симпозиуме, посвященном 600-летию со дня рождения Улугбека, на который нас пригласил генеральный директор Исследовательского центра по изучению исламской истории, культуры и искусства (IRCICA) Экмеледдин Ихсаноглу. Я познакомился с Ихсаноглу еще в Москве, куда он приезжал в Институт востоковедения Академии наук. Он знал о нашей с Матвиевской книге "Математики и астрономы мусульманского средневековья" и попросил найти меня. Из Института востоковедения позвонили в ИИЕТ и пригласили меня прийти к ним на встречу с Ихсаноглу. Я встречался с ним на конгрессах в Германии и Испании.

Симпозиум проходил в помещении астрономической обсерватории Кандилли, в которой в XVI веке работал знаменитый астроном Таки ад-Дин аш-Ша'ми. Я сделал на симпозиуме два доклада - о математическом трактате Улугбека, который раньше приписывали учителю Улугбека Кази- заде ар-Руми, и о ташкентских рукописях о математическом атомизме.

В работе симпозиума участвовали Э.С.Кеннеди, Д.Кинг и Дж.Раджеп, было много ученых из Азербайджана и Узбекистана, некоторые из которых делали доклады на своих языках, понятных туркам. Были здесь президент Академии наук Узбекистана математик Салахетдинов и историк науки Ашраф Ахмедов.

Ихсаноглу рассказывал о готовящейся в IRCICA книге "История Оттоманской Астрономической Литературы" и показывал отдельные страницы этой книги.

После симпозиума мы побывали у Ихсаноглу в IRCICA, находящейся в одном из дворцов султана Абдулгамида - Дворце звезды. Мы с Ихсаноглу подписали договор о том, что IRCICA издаст подготовленный мной расширенный и дополненный английский перевод Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды", причем IRCICA подготовит дополнительный материал о турецких ученых.

В Стамбуле мы побывали в музее - мечети Айя София. Мечеть была превращена в музей в 1923 г. декретом президента Турции Ататюрка. До завоевания Константинополя турками Айя София была провославным собором Святой Софии. Турки превратили собор в мечеть, при которой создали медресе - мусульманский университет. Директором медресе был ученик Улугбека Али Кушчи. Он спасся при разгроме Самаркандской обсерватории Улугбека и привез в Стамбул наиболее ценные книги из библиотеки обсерватории. Моя ученица С.А.Краснова изучала геометрический трактат ал-Бузджани по фотоконии одной из этих книг.

Мы проехали по берегу пролива Босфор до самого Черного моря, видели Золотой Рог и многие дворцы Стамбула.

Конференция в PSU.

В августе 1994 г. в PSU состоялась конференция по истории математики, посвященная моей научной деятельности. По-видимому, первоначально предполагалось приурочить эту конференцию к моему 75-летию, но организационный период затянулся и конференция состоялась перед моим 77-летием. Как выражался Лев Кассиль, "дата не столько круглая, сколько продолговатая".

Конференция была организована по инициативе профессора филиала Питтсбургского университета в Джонстауне Бориса Абрамовича Кушнера, специалиста по математической логике, историка математики и поэта, учившегося на Мехмате МГУ вместе с Толей. Руководил конференцией издатель журнала "Современная логика" Ирвинг Анеллис, также специалист по математической логике, ученик знаменитого Жана ван Хейленоорта. Последний в молодости был секретарем Л.Д.Троцкого и рассказал об этом в своей книге "От Принкипе до Койокоана". Впоследствии Жан ван Хейленоорт стал профессором математической логики и написал книгу "От Фреге до Геделя".

На конференции участвовали Э.С.Кеннеди, Я.П.Хогендайк, С.Брентьес. В.В. Гольдберг, Б.А.Кушнер, философ Эмили Гросхольц из департмента философии PSU и многие историки математики из разных городов США. На конференции присутствовали Света и Толя, Юля и Миша, моя ученица Наташа Шульга, которая в это время находилась со своим мужем в университете штата Огайо и многие аспиранты и преподаватели PSU, а также математик Ирина Моисеевна Гайсинская из Ташкента.

На конференции Я.П. Хогендайк сделал доклад о моих работах по истории математики, я выступил с докладами об истории тригонометрии от древности и до наших дней и о двойственности в геометрии. Остальные докладчики рассказывали о своих работах.

Анеллис предполагал издать доклады на конференции в виде отдельной книги, но этого он не сделал.

Филадельфия.

В период моей жизни в Стейт Колледже мне пришлось много раз побывать в Филадельфии, самом большом городе штата Пенсильвания. В основном поездки в этот город были связаны с ухудшением моего зрения.

Я страдал близорукостью в детстве и начал носить очки еще в 7-м классе. Правый глаз у меня всегда видел хуже левого. Позже в правом глазу произошло кровоизлияние и была повреждена центральная часть сетчатки. Я заметил это не сразу, хотя практически работал только мой левый глаз. Последние годы в Москве врачи обнаружили в моем левом глазе глаукому и катаракту, и стали систематически измерять глазное давление. В 1987 г. меня положили в глазную больницу в Москве и пытались уменьшить глаукому с помощью лазера.

В 1992 г., когда я уже находился в США, мое зрение резко ухудшилось, катаракта, которая раньше почти не чувствовалась, теперь почти закрыла левый глаз и операция стала неизбежной.

Операцию мне делали в филадельфийском госпитале Ланкено, оперировала замечательная женщина-хирург Марлин Мостер. Перед операцией доктор спросила меня, хочу ли я остаться близоруким, стать дальнозорким или получить нормальное зрение. Я ответил, что хочу иметь нормальное зрение. Доктор Мостер извлекла мой хрусталик, и вместо него вставила искусственный хрусталик, исцелив меня тем самым от близорукости. Она сняла также катаракту и постаралась уменьшить глаукому. Я перестал пользоваться очками при чтении, а очки для дали стали у меня более слабыми.

Мне систематически измеряли глазное давление и в 1995 г., когда давление стало слишком большим, доктор Мостер сделала мне операцию по поводу глаукомы. В сентябре 1997 г. операцию пришлось повторить т.к. отверстие, через которое из глаза выходила глаукомная жидкость заросло. Доктор Мостер вставила в отверстие в глазе трубочку. 7 октября, когда мне снимали швы, давление в левом глазе мгновенно снизилось с 40 до 2, от этого в глазе произошло кровоизлияние и я перестал им видеть. Меня срочно вернули к доктору Мостер, она сделала мне еще две операции и зрение постепенно начало восстанавливаться и к январю 1998 г. я снова смог читать.

В мой первый приезд в Филадельфию мы со Светой и Толей побывали в Музее скульптур О.Родена. В один из следующих приездов в этот город мы со Светой посетили находящийся недалеко от Ланкено колледж Брин Мавр, в котором работала великая женщина-математик Эмми Нетер. Она умерла в 1935 г. и похоронена в этом колледже. Мы поклонились ее могиле.

В январе 1996 г. мы с женой ездили в Филадельфию в Службу Иммиграции и Натурализации (СИН) сдавать экзамен по истории и государственному устройству США. Света в это время находилась в Индии и помогала нам Юля. Мы приехали в Филадельфию автобусом. Юля встретила нас и отвезла в гостиницу, утром мы поехали в СИН. К этим экзаменам мы готовились очень серьезно и сдали их успешно. В мае в Стейт Колледже нам выдалы документы о натурализации, т.е. о получении гражданства США.

Хершей.

Город Хершей, расположенный между Стейт Колледжем и Филадельфией, носит имя владельца шоколадной фабрики, вокруг которой возник этот город. Сейчас в этом городе находится госпиталь, основанный Хершеем, медицинский департмент PSU, и уникальный Музей шоколада. В этот музей мы ездели в первый год нашей жизни в Стейт Колледже.

Снова побывать в Хершее мне пришлось в 1997 г. по совсем другой причине. В апреле я стал замечать, что у меня иногда нарушается равновесие. Дело дошло до того, что, одеваясь для прогулки, я упал и, падая, сильно ударил гловой жену в колено и повредил его.

Жена попала в хирургическое отделение госпиталя в Стейт Колледже. Ее навещали наши друзья из института.

Мне сделали послойный рентген мозга, и обнаружили опухоль в той части мозга, котороя ответственна за равновесие. К счастью, в это время в Стейт Колледже находился нейрохирург Брайан Холмс из госпиталя в Хершее. Он сказал, что меня необходимо срочно везти в его госпиталь, и Света тут же провезла меня туда. Там определили, что опухоль создает резко повышенное внутричерепное давление, с которым можно прожить не более двух дней. На следующий день доктор Холмс сделал мне операцию и удалил опухоль, которая оказалась величиной с мячик для пинг-понга. Почти все время, которое я находился в этом госпитале, со мной были Света, Лена, Юля и Миша.

Международный конгресс по истории науки в Льеже.

В июле 1997 г. в бельгийском городе Льеж проходил ХХ Международный конгресс по истории науки. Руководители симпозиума по истории науки Ирана Я.П.Хогендайк и Мохаммед Багери пригласили меня выступить на этом симпозиуме и я заблаговреманно прислал им текст доклада "Роль древнего и средневекового Ирана в развитии мировой науки". Этот текст был размножен и роздан участникам симпозиума.

Мое восьмидесятилетие.

30 августа 1997 г., оправившись от операции в Хершее, я справил свое 80-летие. Эта был праздник в семейном кругу. Кроме жены, детей и.

Внуков, в праздновании участвовали наши друзья из Стейт Колледжа, и из Нью Йорка приехали мать и сестра Миши Гайсинского с мужем.

"Волшебная лампа Аладдина".

В 1998 г. мое зрение ухудшилось настолько, что я не смог читать книги и газеты. Мои дети купили мне специальный телевизор Аладдин, который увеличивает буквы в 25 раз. С помощью этой "Волшебной лампы Аладдина" я снова смог читать печатные тексты.

Энциклопедии.

Я уже писал, что геометрический раздел книги "История естествознания на средневековом Востоке", написанный мой и А.П. Юшкевичем, был опубликован в английском, французском и арабском изданиях "Энциклопедии арабской науки". Эта Энциклопедия вышла в Лондоне в 1996 г., в Париже в 1997 г., в Бейруте в 1998 г.

В 1997 г. издательство Kluwer Academic Publishers опубликовало "Энциклопедию истории науки, техники и медицины в незападных культурах". Организатор и редактор этой энциклопедии Хелайна Селин, заказала мне 4 статьи: "Геометрия в странах ислама", "ал-Каши", "Хайям" и "Сабит ибн Корра". Мои статьи (с соавторами) о трех последних ученых были напечатаны в " Словаре научных биографий" Ч.Гиллиспи. Я попросил Селин прислать мне список всех предполагаемых статей, относящихся к странам ислама. Я указал ей какие статьи из этого списка я мог бы еще написать. Она выбрала статьи "Солнечные часы в странах ислама", "Тригонометрия в странах ислама" и 6 статей об отдельных ученых. Эти 12 статей были напечатаны в "Энциклопедии".

В 1996 г. редакция "Энциклопедии ислама" заказала мне часть статьи "Umar Khayyam", относящуюся к работам Хайяма по математике и астрономии (часть статьи о биографии и поэзии Хайяма была заказана известному французскому специалисту по персидской поэзии Ш.А. де Фушекуру). Когда я написал в редакцию, что Хайям был также автором трактатов по философии и механике, мне предложили включить в мою часть статьи и эти вопросы. Статья о Хайяме была опубликована в 1999 г.

Публикации Белградского Математического Института".

Я уже упоминал, что в журнале "Публикации Белградского Математического института" был опубликован французский оригинал лекции Эли Картана, которую он прочел в Белграде в 1939г, Мое знакомство с редакцией этого журнала произошло следующим образом: мне прислала мне на отзыв статью, поступившую в этот журнал. В статье излагалась некоторая система аксиом коевклидова пространства, т.е. пространства, соответствующего евклидову пространству по принципу двойственности проективной геометрии. Автор не знал, что системой аксиом коевклидова пространства может служить любая система аксиом евклидова пространства. Поэтому я дал отрицательный отзыв на эту статью.

Я предположение, что Татьяна Острогорски, которая прислала мне эту статью, русская, и спросил, может ли она переписываться по-русски. Татьяна ответила, что что она владеет русским языком. Позже я узнал, что ее отец - Георгий Александрович Острогорский, был сыном директора Тенишевского училища в С.Петербурге, в котором учились Владимир Набоков и Осип Мандельштам. Острогорский эмигрировал в 1920 г., был студентом в Германии и Франции, стал крупным специалистом по истории Византии и был приглашен в Белград, где основал Институт византологии. Мать Татьяны - гречанка из югославской Македонии.

После моего отзыва на статью мне предложили стать членом редакции журнала. Я опубликовал в этом журнале несколько моих статей, а также статьи С.Л.Певзнера из Комсомольска на Амуре и моей ученицы А.Шабаевой из Салавата.

В 1993 г. в этом журнале была опубликована моя статья "Пространства с особыми фундаментальными группами", в которой я впервые нашел выражения проективных преобразований и движений в октонионных плоскостях и движений в плоскостях над тензорными произведениями, одним из сомножителей которых является алгебра октонионов.

В 1996 г. я опубликовал совместную с М.П.Замаховским статью "Однородные k-симметрические пространства внутреннего типа с простыми вещественными фундаментальными группами и их связи с параболическими пространствами". Под k - симметрическими пространствами имеются в виду обобщения симметрических пространств, в которых инволютивный автоморфизм фундаментальной группы пространства, определяющий геометрию этого пространства, заменяется таким автоморфизмом, к-тая степень которого (к >2) является тождественным преобразованием; k-симметрическое пространство называется пространством внутреннего или внешнего типа, в зависимости от того, является ли определяющий его автоморфизм, внутренним или внешним.

В 1997 г. я опубликовал в этом журнале статью "Геометрические интерпретации некоторых йордановых алгебр" и совместную с Н.Е.Марюковой (Панкиной) статью "Поверхности постоянной кривизны и геометрические интерпретации уравнений Клейна-Гордона, Sin-Гордона и Sh-Гордона". Как известно, первые два из этих уравнений имеют важное значение в физике, а второе из них определяет поверхности постоянной кривизны в 3-мерном евклидовом пространстве. Ш.Ш.Чжэнь доказал, что третье из этих уравнений имеет аналогичный смысл для 3-мерного псевдоевклидова пространства. В нашей работе показывается, что первое уравнение имеет аналогичный смысл для 3-мерного галилеева пространства. В работе изучаются все геометрические интерпретации этих трех уравнений.

В 2000 г. я опубликовал в этом журнале статьи "Шаровые модели эрмитовых пространств" и "Дифферецируемые функции в ассоциативных и альтернативных аллгебрах и гладкие поверхности в проективных пространствах над этими алгебрами".

В 2005 г. в этом журнале была опубликована моя статья "2-мерное алгебраическое многообразие с 27 прямолинейными образующими и 108 трисекантами и его связь с особой простой группой Ли максимальной размерности".

В 2006 г. я опубликовал в этом журнале статью "Углы голоморфии и секционная кривизна эрмитовых эллиптических плоскостей над телами и тензорными произведениями тел".

"Математики, астрономы и другие ученые исламской цивилизации и их труды".

Вернувшись летом 1994 г. из Стамбула, мы с женой вплотную занялись подготовкой английского аналога книги "Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII - XVIII)" (МАМС), изданной в 1983 г. в Москве.

Работа началась с того, что жена напечатала на компьютере английский перевод того материала из МАМС, который она могла сделать самостоятельно: перевод имен ученых, арабских, персидских и турецких названий сочинений с русской транскрипции на транскрипцию, принятую в англоязычной литературе, перевод названий городов, библиотек и профессий ученых, внесение в текст библиотечных шифров рукописей.

После этого я начал писать полный английский текст книги, внес необходимые исправления и добавил новый материал, который я собирал начиная с 1983 г.

Сотрудники IRCICA добавили много нового материала о турецких ученых и ученых Оттоманской империи. В связи с этим я предложил генеральному директору IRCICA Э.Ихсаноглу быть одним из авторов этой книги.

Получилась совершенно новая книга, которой мы дали название "Математики, астрономы и другие ученые исламской цивилизации и их труды (VII - XIX вв.)".В этой книге около полутора тысяч статей об ученых, время жизни которых известно и около 300 статей об ученых, время жизни которых неизвестно.

Нам удалось установить время жизни некоторых ученых, для которых оно раньше было неизвестно, эти статьи перенесены в основную часть книги. Некоторых ученых, известных под разными именами, нам удалось идентифицировать.

Д.А.Кинг, в своем обзоре научных рукописей Каирской Национальной библиотеки начал список ученых с халифа Али ибн Аби Талиба, двоюродного брата и зятя основателя ислама Мухаммада (Магомета). Мы также начали список ученых с халифа Али. При этом я обнаружил, что кроме каирской рукописи сочинения Али о календаре, описанной Кингом, имеется еще две рукописи этого сочинения в Ташкенте. Ашраф Ахмедов, который в то время был директором Международного института среднеазиатских исследований ЮНЕСКО в Самарканде, сообщил мне, что обе ташкентские рукописи являются персидскими переводами текста каирской рукописи и прислал мне текст одной из этих рукописей. Я с помощью М.Багери прочел эту рукопись.

Кроме халифа Али, который жил в VII века, я добавил в начале книги еще несколько серийских и арабских ученых этого века. Мы расширили список ученых и в другую сторону, закончив учеными XIX в.

Я внес в книгу авторов сочинений по математической географии, отсутствовавших в МАМС, а также авторов ташкентских рукописей о математическом атомизме, о которых я рассказывал на симпозиуме в Стамбуле.

Ихсаноглу прислал мне "Историю оттоманской астрономической литературы", "Историю оттоманской математической литературы", "Историю оттоманской географической литературы", вышедшие в 1997, 1998, 2000 гг. Эти книги содержат много нового материала, который мы использовали в нашей книге, опубликованной в Стамбуле в 2003 г.

Трактат халифа Али о лунном календаре.

Каждая из рукописей халифа Али, и каирская и обе ташкентские, состоит из одной страницы. В верхней части каирской рукописи написаны восемь арабских букв, которые, если заменить их латинскими буквами, происходящими от тех же букв финикийского алфавита, будут иметь вид AECGDBFD. Одна из ташкентских рукописей называется "Исчисление AECGDBFD".

В сочинении предлагается правило определения дней недели начал мусульманских месяцев. Мусульманский календарь лунный, состоит из 12 лунных месяцев и содержит 354 или 355 дней. На 100 солнечных лет приходится 103 лунных.

В середине каирской рукописи изображен круг, разделенный на 8 секторов. В каждом секторе написана одна из букв A, E, C, G, D, B, F, D, а также одна арабская цифра, соответствующая числовому значению этой буквы (A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7). То, что буквы и цифры написаны в круге, указывает на их циклическое повторение. Так как халиф Али жил в VII веке, а арабские цифры появились только в IX веке, ясно, что эти цифры были добавлены позднейшими переписчиками.

Под кругом написаны 7 названий дней недели от воскресенья до субботы, а под каждым названием дня написан его номер : под воскресеньем -1 под субботой -7. По-видимому, в оригинале вместо цифр стояли буквы от А до G.

Справа и слева от круга написаны названия 12 мусульманских месяцев и рядом с ними - буквы G,B,C,E,F,A,B,D,E,G,A,C и соответственные цифры.

Эти буквы и цифры указывают дни недели начал месяцев в предположении, что начало года - суббота. Число дней нечетных месяцев равно 30, число дней четных месяцев равно 29, за исключением последнего 12-го месяца, число дней которого бывает 29 или 30.

В нижней части каирской рукописи находится текст правила, строки которого написаны косо снизу вверх. В книге Кинга каирская рукопись воспроизведена не полностью, без ее нижней части косых строк.

Текст всех трех рукописей начинается словами: "Правило, принадлежащее нашему учителю имаму Али ибн Аби Талибу ".

Как видно из ташкентских рукописей, правило определения дней недели состоит в следующем: из номера года мусульманского календаря "отбрасываются восьмерки и рассматривается остаток", т.е. рассматривается остаток от деления номера года на 8. Если остаток равен n, берется n-я из букв A,E,C,G,D,B,F,D складывается с буквой месяца, т.е. складываются числовые значения букв. Если сумма оказывается меньше или равной 7 она определяет день недели начала этого месяца. Если сумма оказывается больше 7, из нее вычитается 7 и остаток определяет день недели начала месяца. На языке современной математики эта операция называется "сложением по модулю 7".

Вторая часть правила не вызывает сомнений : если прибавить букву месяца к букве, определяющей день недели начала года, то, так как начало первого месяца суббота, обозначаемая буквой G, то "сумма" этих букв определит день недели начала данного месяца. Первая же часть правила основана на предположении, что дни недели первых дней года повторяются с периодом 8, т.е. это правило относится не к реальным, а к средним годам. На самом деле средняя длина мусульманского года равна 354 и 3/8 дня, а продолжительность 8-летнего периода, начала лет которого определяются буквами A,E,C,G,D,B,F,D является средним периодом, так как год от А до Е содержит 354 дня, год от Е до С - 355 дней, год от С до G - 354 дня, год от G до D - 354 дня, год от D до В - 355 дней, год от B до F - 354 дня, год от F до D - 355 дней, год от D до А следующего 8-летнего периода - 354 дня, a 5x354+3x355=8x354+3.

По-видимому, Али ибн Абу Талиб предложил свое правило еще при жизни Мухаммада и реакцией Пророка на это несовершенное правило были его слова, приведенные в "Хронологии" ал-Бируни: "Мы, арабы, не пишем и не считаем месяцев ". Ал-Бируни упоминал также, что по словам мусульманского предания, Пророк говорил, что месяцы бывают попеременно в 30 и 29 дней и показывал это на пальцах.

Из сочинения халифа Али видно, что он одним из первых применял сложение по модулю.

Один Ибн ал-Хайсам или два?

В нашей книге с Ихсаноглу, в отличие от МАМС, имеются статьи о двух Ибн ал Хайсамах - Мухаммаде и ал-Хасане, первый из которых был философом и врачем, а второй - математиком и автором "Книги оптики". Оба они родились в Басре и имели одинаковые имена отцов, и, по- видимому они были братьями. Оба были также авторами работ по астрономии. Автором большинства сохранившихся рукописей был ал-Хасан. Сохранились длинные списки сочинений Мухаммада, но известны только два текста работ Мухаммада. Ал-Хасан был известен в Западной Европе, где его называли Alhazen. Арабский историк науки XIII в. Ибн Аби Усайби'а в своей книге "Источники сведений о классах врачей" приписал все сочинения ал-Хасана врачу Мухаммаду, и мнение о том, что был только один Ибн ал- Хайсам, рзделялось всеми историками науки до конца XX века, когда это мнение было опровергнуто Рушди Рашедом.

Выше я упоминал, мои переводы и переводы Джамаля ад- Даббаха математических трактатов ал-Хасана Ибн ал-Хайсама.

В Институте Востоковедения Академии наук в Москве мне показали фотокопию нескольких страниц арабской рукописи, найденной в одном из складов книг в Самаре (Куйбышеве). Рукопись содержала чертежи, похожие на чертежи книг по оптике. В 1973 г., возвращаясь из Ташкента с празднования юбилея ал-Бируни, я сделал остановку в Куйбышеве, чтобы посмотреть эту рукопись в Областной библиотеке. Эта рукопись оказалась сборником трактатов средневековых ученых, большей частью ал=Хасана Ибн ал-Хайсама, содержащим несколько трактатов, изтестных ранее только по названиям, и список сочинений ал-Хасана Ибн ал-Хайсама, составленный им самим. несколько ранее того списка, который привел Ибн Аби Усайби'а. Эта рукопись была описана мной и моими учениками в нескольких статья.

В настоящее время эта рукопись находится в Национальной библиотеке России в С.Петербурге.

Я составил научную биографию ал-Хасана Ибн ал-Хайсама, в которой подробно анализировал его работы по оптике, за которые его называют "Отцом оптики", а также по математике, астрономии и психологии, и предполагал издать эту книгу в Москве. Но эта рукопись получила отрицательный отзыв рецензента, который был уверен, что существовал только Мухаммад Ибн ал-Хайсам.

Математический трактат Улугбека.

Вернувшись из Стамбула, я послал текст моего доклада о математическом трактате Улугбека с факсимиле нескольких страниц Берлинской рукописи в журнал "Арабская наука и философия", но в редакции, сравнивая ангийский текст моей статьи с факсимиле, обнаружили неточности в моем переводе, и я решил дать полный английский перевод Берлинской рукописи. Копия этой рукописи, с которой я делал русский перевод 1960 г. осталась в Москве, и я попросил Берлинского физика Клауса Шарнгорста, прислать мне ксерокопию этой рукописи. Оказалось, что теперь эта рукопись находится в библиотеке Университета, в котором работает Шарнгорст. Он прислал мне ксерокопию и я сделал английский перевод трактата, составил подробные комментарии к нему и послал в "Журнал Истории арабо-исламской науки", который издает Ф.Сезгин.

Во время работы над этими комментариями выяснилось, что в "Истории оттоманской математической литературы", присланной мне Ихсаноглу, указаны еще 4 рукописи этого трактата, находящиеся в Каире, Анкаре и в Мешхеде, и считается арабским переводом персидского трактата турецкого ученого Кази-заде ар-Руми, в котором изложен метод ал-Каши определемия синуса одного градуса. Шарнгорст прислал мне ксерокопию рукописи трактата ар-Руми, также находящуюся в Берлине, и я убедлся, что арабский трактат не является переводом трактата ар-Руми: в арабском трактате изложены два метода опеделения синуса одного градуса - метод ал-Каши и метод автора трактата.

Когда Сезгин познакомил с моей статьей Я.П.Хогендайка, оказалось, что у Хогендайка имеется изданный в Тегеране в XIX веке литографированный сборник трактатов, содержащий более полное изложение трактата Улугбека. Сезгин попросил Хогендайка дополнить мою статью. Хогендайк выполнил его просьбу и статья была опубликована в 2003 г. под нашими двумя фамилиями под названием, "Математический трактат написанный в Самаркандской обсерватории Улигбека".Такое название объясняется тем, что ни в одной из известных нам рукописей этого трактата, не сказано, что его автором был Улугбек, все эти рукописи анонимные или приписываются переписчиками или библиотекарями Ар Руми. Хотя Хогендайк обнаружил в астрономических таблицах Улугбека слова их автора о том, что он был автором трактата об определении синуса одного градуса, Сезгин просил Хогендайка написать в предисловии статьи, что редакция журнала считает автором трактата Ар-Руми. К статье приложено факсимиле тегеранского литографированного издания трактата.

В настоящее время, кроме 5 упомянутых рукописей трактата, известны еще 4 рукописи, хранящиеся в Тегеране, одна из которых воспроизведена в литографированном сборнике.

Я считаю, что трактат был написан Улугбеком, и отсутствие его имени во всех рукописях, объясняется тем, что после убийства Улугбека и рззгрома его обсерватории, его ученик Али Кушчи, спас этот трактат, переписав его без имени автора и перевез этот трактат в Стамбул, и все существующие рукописи этого трактата вляются копиями текста, переписанного Али Кушчи.

Жизнь и творчество Аполлония.

В отличие от Евклида и Архимеда, многие сочинения которых переведены на русский язык, из сочинения величайшего античного геометра Аполлония были переведены на русский язык тольки 20 первых предложений его основного труда "Конические сечения". Я всегда интересовался творчеством Аполлония, и попросил моих парижских друзей прислать мне французский перевод Поля Вер Экке "Конических сечений". В 1976 г. в "Христоматии по истории математики" был опубликован мой перевод нескольких предложений по изданию Вер Экке.

"Конические сечения" состояли из 8 книг, первые 4 из которых сохранились в греческом оригинале, V-VII книги сохранились только в средневековом арабском переводе Сабита ибн Корры, 8 книга утеряна.

В 1710 г. астроном Эдмунд Галлей, знаток греческой и арабской математической литературы, опубликовал греческий текст, латинский перевод всех 7 дошедших до нас книг "Коническх сечений" и свою реконструкцию VIII книги.

В 1896 г. Т.Л.Хизс опубликовал английское изложение в современных обозначениях всех 7 сохранившихся книг труда Аполлония.

В 1891- 1893 гг. И.Л.Гейберг издал греческий текст "Конических сечений" с латинским переводом, в 1926 г. А.Чвалина опубликовал немецкий перевод первых IV книг "Конических сечений" по изданию Гейберга.

В 1952 г. Р.К.Талиаферро опубликовал английский перевод первых 3 книг "Коническх сечений".

В 1990 г. Дж.Дж.Тумер опубликовал перевод Сабита ибн Корры V-VII книг "Конических сечений" со своим английским переводом. Этот перевод Туммер послал мне в Москву, но я уже в это время находился в США.

В 1986 г. я опубликовал в ИМИ статью, где доказывал, что в предложениях 33-36 I книги "Конических сечений" Аполлоний рассматривал преобразования плоскости, совпадающие с инверсиями относительно конических сечений, определенными З.А.Скопецом в 1952 г.

Сведений о биографии Аполлония очень мало. Из того, что его называли Аполлонием Пергским, следует, что он родился в городе Перга на южном берегу Малой Азии недалеко от нынешнего турецкого города Бурса. Большинство сведений о жизни Аполлония содержится в предисловиях Аполлония к книгам "Конических сечений", адресованным тем людям, которым он посылал эти книги. Лучший анализ этих предисловий был дан Тумером во введении к его переводу.

Добавлю к выводам Тумера следующее. Имя "Аполлоний" означает "посвященный богу Аполлону". В предисловии ко II книге Аполлоний упоминает своего взрослого сына, которого также звали Аполлонием. из того, что имя Аполлоний было традиционным в семье ученого, можно сделать вывод, что эта семья происходит от жрецов бога Аполлона.

Предисловия к I и II книгам адресованы Евдему, с которым Аполлоний обсуждал в Пергаме план "Конических сечений". Аполлоний упоминает ученика Евдема Филонида, которого он рекомендовал Евдему в Эфесе. Отсюда и из того, что Аполлоний посылал Евдему первые кнги "Конических сечений"можно сделать вывод, что Апполоний, как и Филонид был учеником Евдема в Эфесе. Филонид впоследствии стал известным геометром и философом-эпикурейцем, работавшим при дворе Селевкидских царей, а Аполлоний после учебы у Евдема поехал в Александрию, где стал великим геометром.

До Аполлония конические сечения рассматривались только как сечения прямого кругового конуса плоскостями перпендикулярными одной из прямолинейных образующих поверхности этого конуса. Поэтому параболу называли "сечением прямоугольного конуса", эллипс - "сечение остроугольного конуса", а гиперболу, под которой имели в виду только одну ее ветвь, - "сечением тупоугольного конуса".

Аполлоний рассматривал конические сечения как сечения поверхностей не только прямых, но и наклонных круговых конусов произвольными плоскостями, не проходящими через их вершины, и рассматривал также продолжения поверхностей конусов по другую сторону их вершин. При этом старые названия теряли смысл, и Аполлоний предложил новые названия конических сечений, применяемые и в настоящее время. Гиперболой Аполлоний, как и его предшественники, называл одну ее ветвь, а обе ветви гиперболы он называл "противоположными гиперболами".

Названия Аполлония "парабола", "эллипс" и "гипербола", означающее, соответственно, "приложение", "недостсток "и "избыток", были связаны с уравнениями конических сечений. Уравнения Аполлония этих сечений имели тот же вид, что и у его предшественников, но до Аполлония эти уравнения записывались только в прямоугольных координатах, осью абсцисс которых служила ось симметрии сечения, а Аполлоний записывал их как в прямоугольных, так и в косоугольных координатах, осью абсцисс которых служил произвольный диаметр сечения, а осью ординат - касательная к сечению в конце этого диаметра.

Аполлоний определял диаметр конического сечения как такую прямую, что при косом отражении от нее сечение переходит в себя. Это отражение является частным случаем аффинного преобразования, поэтому в "Конических сечениях" доказано много теорем аффинной геометрии. Из того, что конические сечения являются плоскими сечениями одного и того же кругового конуса, следует, что их можно получить центральным проектированием окружности круга и, значит их можно получить из окружности проективным преобразованием. Поэтому в "Конических сечениях" доказано много теорем проективной геометрии. Так как инверсия относительно окружности круга является частным случаем конформного преобразования, в "Коническх сечениях" доказано несколько теорем конформной геометрии.

Результаты первых 4 книг "Конических сечений" Аполлония являются обобщениями результатов "Начал конических сечений" Евклида, также состоящих из 4 книг. Следующие книги труда Аполлония содержат новые результаты не имеющие аналогов в работах его предшественников. Особенна важна V книга, в которой изложены важные теоремы дифференциальной геометрии.В этой книге определены нормали к коническим сечениям и эволюты этих сечений, т.е. огибающие семейств нормалей. Аполлоний приводит пропорции равносильные уравнениям этих эволют. В Конических сечениях не приводится вывод этих пропорций, который невозможен без знания элементов дифференциального исчисления.

Из остальных сочинений Аполлония сохранилось только одно математическое сочинение в средневековом арабском переводе, но о других сочинениях Аполлония сохранились свидетельства античных авторов.

Клавдий Птолемей в "Алмагесте" цитирует астрономическое сочинение Аполлония, в котором изложена теория движения планет с помощью деферентов и эпициклов. Витрувий в "Десяти книгах об архитектуре" упоминал изобретенный Аполлонием астрономический инструмент, в котором используется стереографическая проекция, теория которой основана на 5-м предложении I книги "Конических сечений".

В трактате "Плоские геометрические места"Аполлоний рассматривал преобразования подобия, инверсии относительно окружностей кругов, и более сложные круговые преобразования. В трактате Аполлония "Касания" решаются задачи о проведении окружности, касающейся трех объектов, которые могут быть точками, прямыми и кругами. По-видимому, при решении наиболее сложных из этих задач Аполлоний пользовался инверсией относительни круга.

В сочинениях Аполлония "Вставки" и "Общий трактат" исложены решения геометрических задач равносильных алгебраическим уравнениям высших порядков.

Из остальных математических сочинений Аполлония упомяну "Сравнение додекаэдра и икосаэдра", комментарии Гипсикла к которому присоединены к 13 книгам "Начал" Евклида в виде XIV книги.

Публикации МЦНМО.

В 2003 г. в издательстве "Московский центр непрерывного математического образования"(МЦНМО) была опубликована книга "Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства", написанная мной и М.П.Замаховским.

В 2004 г. была опубликована моя книга "Аполлоний Пергский", являющаяся научной биографией великого геометра.

Находится в печати русский оригинал книги "Эли Картан", написанный М.А.Акивисом и мной, к которой добавлены мои русские переводы речи Э.Картана на праздновании его 70-летия, статьи Э.Картана, посвященной 100-летию со дня рождения Софуса Ли, и французского оригинала лекции Картана о влиянии Франции на развитие математики.

Готовится к печати мой полный русский перевод "Коническх сечений" Аполлония с подробными комментариями.

Устойчивость материальных структур.

В главах о симплектической геометрии, в книгах по геометрии групп Ли я изложил результаты моих дальнейших размышлений об устойчивости материальных структур. Более подробно я изложил эти результаты в 2005 г. в журнале "Философские исследования".

Классическими устойчивыми материальными структурами являются механический и электромагнитный осцилляторы, внутреннее которых выражается одинаковыми дифференциальными уравнениями.

Идею о том, что атом водорода также можно рассматривать как электромагнитный осциллятор, я впервые опубликовал в 1958 г. в Ученых записках Коломенского пединститута. При этом роль конденсатора этого осциллятора играет "позитроний", состоящий из электрона, находящегося вне протона, и из позитрона, находящегося внутри протона, а роль катушки самоиндукции играет нейтрон, входящий в состав протона.

Физик К.Шарнгорст, с которым я обсуждал эту проблему, сообщил мне, что Нобелевский лауреат М.Гел-Манн в 1960-х годах установил, что внутри нейтрона находятся три "кварка", причем электрический заряд одного из них равен 2/3 заряда электрона, а электрический заряд каждого из двух остальных кварков равен 1/3 заряда позитрона.

Из этого я сделал вывод, что кварки можно рассматривать как сердечники катушек самоиндукции электромагнитного осциллятора, и внутреннее движение в атоме водорода состоит в том, что электрон падает на нейтрон, входит в него и движется по винтовой линии на поверхности одного из кварков, а затем возвращается в исходное положение, после чего это колебание повторяется снова, а позитрон движется по винтовым линиям на поверхностях сначала одного, а потом другого кварка, выходит из нейтрона, а затем падает на нейтрон и возвращается в исходное положение, и это колебание также повторяется снова. В отличие от классических осцилляторов энергия движения в атоме водорода не рассеивается в пространстве, поэтому колебания электрона и позитрона в атоме водорода не затухают. Дифференциальным уравнением этого движения является уравнение Шредингера.

При соединении 4 атомов водорода в один атом гелия два из 4-х позитрониев этих атомов превращаются в кванты света. Выделение энергии при этом процессе определяет излучение Солнца и лежит в основе водородной бомбы.

В статье в журнале "Философские исследования" рассматриваются и другие устойчивые материальные структуры, в частности, живые организмы и различные виды человеческого общества.

Добавления к моим книгам.

В 2004 г, в журнале "Suhayl" я опубликовал добавление и исправления к моей книге с Ихсаноглу.

В 2006 г. в сборнике Научно-исследовательского института математики и механики при Казансом университете добавление и исправление к моей книге с М.П.Замаховским,

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. МЫСЛИ.

Глава 1. ПРОСТРАНСТВА И ГРУППЫ Пространства.

В математике пространствами называются множества элементов, обычно именуемых точками, в которых выделены те или иные подмножества. В аффинных и проективных пространствах выделенные подмножества называются прямыми линиями, плоскостями и гиперплоскостями, в конформных и псевдоконформных пространствах - окружностями, сферами и гиперсферами, в топологических пространствах - замкнутыми множествами, а их дополнения - открытыми множествами. Выделенные подмножества удовлетворяют определенным условиям или аксиомам.

Если в множестве точек всяким двум точкам поставлено в соответствие число, удовлетворяющее определенным условиям, и называемое расстоянием между двумя точками, множество называетсз метрическим пространством. Два метрических пространства, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, сохраняющее расстояние, называются изометричными.

Точки пространств обычно определяются несколькими числами или элементами более сложных систем, называемых алгебрами. Эти числа или элементы называются координатами точек. Число независимых координат точек пространства называется размерностью пространства. Пространство размерости n называется n-мерным.. В аффинных и проективных пространствах можно ввести метрику с помощью квадратичных или эрмитовых форм от координат точек; полученные пространства называютая квадратичными и эрмитовыми евклидовыми, псевдоевклидовыми, неевклидовыми и симплектическими пространствами.

Аффинные, проективные, конформные и псевдоконформные пространства называются инцидентностными. Евклидовы, псевдоевклидовы и неевклидовы пространства являются метрическими.

Представление о пространстве как о множестве точек сложилось только в XIX-XX веках. В древности считалось, что линии, поверхности и пространство не состоят из точек, а только являются "геометрическими местами", в которых находятся точки.

Аксиомы топологического пространства очень просты: 1) все пространство - замкнутое множество, 2) "пустое множество", т.е. множество, не содержащее ни одной точки, также считается замкнутым, 3) объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто, 4) пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто.

В случае, когда замкнутым считается любое множество точек, пространство называется дискретным, в случае, когда замкнутыми множестами считаются только все пространстно и пустое множество, пространство называется тривиальным.

В случае, если в топологическом пространстве задана такая система открытых множеств, что любое открытое множество является объединением множеств этой системы, то множества этой системы называются окрестностями. Окрестность, содержащая точку А, называется окрестностью точки А.

Наиболее важными топологическими пространствами являются хаусдорфовы пространства, в которых выполнены еще две аксиомы: 5) точки замкнуты, 6) для всяких двух точек существуют непересекающиеся окрестности этих точек.

Два топологические пространства, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, причем замкнутые множества одного пространства соответствуют замкнутым множествам другого, называются гомеоморфными пространствами.

Однозначное преобразование одного топологического пространства в другое, переводящее замкнутые множества в замкнутые, называется непрерывным преобразованием.

Группы.

Группой называется такое множество элементов любой природы, в котором всяким двум элементам А и В поставлен в соответствие третий элемент С=АВ, причем:

Для всяких трех элементов A, B, C выполняется ассоциативный закон (AB)C=A(BC),

Существует такой элемент I, что для каждого элемента А !А=А!=А, для каждого элемента А существует элемент A', для которого АА'=А'А=I. Элемент AB называется произведением элементов A и B, элемент I называется единицей группы, элемент A' называется обратным элементом для элемента A.

В случае, когда группа коммутативна, т.е. для всяких двух элементов А и В выполняется равенство АВ=ВА, групповая операция обычно называется сложением и обозначается С=А+В, роль единицы играет 0, а роль элемента обратного для А играет противоположный элемент -A. Если в множестве определены две операции - сложение и умножение, связанные дистрибутивным законом А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС, причем все множество со сложением и все множество без 0 с умножением являются коммутативными группами, то такое множество называется полем. Вещественные числа образуют поле R, комплексные числа образуют поле С Если в определении поля отказаться от коммутативности умножения, мы получим тело или косое поле. Примером тела является тело Н кватернионов а+bi+cj+dk, где i2=j2=-1, ij = -ji =k. Если в определении поля или тела отказаться от требования, чтобы множество без нуля являлось группой, мы получим кольцо. Два не нулевых элемента кольца, произведение которых равно 0, называются делителями нуля.

Две группы, два поля или два кольца, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, сохраняющее их операции, называются изоморфными. Если между двумя гпуппами G и H установлено однозначное, но не взаимно однозначное соответствие, сохраняющее групповую операцию, группы называются гомоморфными. В этом случае элементы первой группы, соответствующие единице второй, образуют подгруппу N, называемую инвариантной подгруппой или нормальным делителем. Группа H называется фактор-группой группы G по ее подгруппе N и обозначается G/N Группа, в которой нет инвариантных подгрупп, называется простой группой. Аналогично определяется гомоморфизм колец, в этом случае роль инвариантных подгрупп играют идеалы колец. Изоморфные отображения групп, полей и колец на себя называются автоморфизмами. Группы в которых имеются цепочки вложенных друг в друга инвариантных подгрупп, причем все фактор-группы каждой инвариантной подгруппы по следующей коммутативны, называются разрешимыми группами.

Линейные пространства и алгебры.

Коммутативная группа, в которой определено умножение на вещественные числа, причем имеют место дистрибутивный закон умножения относительно сложения и ассоциативный закон умножения, называется линейным или векторным пространством. Элементы этого пространства называются векторами, а вещественные числа - скалярами. Размерность этого пространства равна числу линейно независимых векторов. Принимая эти векторы за базисные, мы можем представить любой вектор в виде линейной комбинации базисных векторов. Коэффициенты такого разложения являются координатами векторов в данном базисе.

Скалярная линейная функция от элементов линейного пространства записывается в виде j =ux, где х - вектор данного пространства, u - ковектор, т.е. вектор пространства, сопряженного с данным, выражение ux называется сверткой ковектора u и вектора х.

Скалярная полилинейная функция Ф р векторов и q ковекторов определяет тензор р-й ковалентности q-й валентности, коэффициенты функции Ф называются координатами тензора.

Функция Ф при р=2, q=0 называется билинейной формой.

Автоморфизмами линейного пространства являются его линейные преобразования x'=Ax, где А - линейный оператор.

Линейные операторы определяют тензоры, для которых р=q = 1.

Кольцо, являющееся линейным пространством при условии коммутативности умножения в кольце и умножения на скаляры в линейном пространстве, называется алгеброй или системой гиперкомплексных чисел.

Прямой суммой А+В двух алгебр А и В размерностей m и n называется алгебра размерности m+n, базис которой состоит из базисов алгебр А и B, причем все произведения базисных элементов разных прямых слагаемых равны 0.

Тензорным произведением АВ тех же двух алгебр А и В называется алгебра размерности mn, базисные элементы которой - произведения базисных элементов алгебр А и B, причем базисные элементы тензорных сомножителей коммутируют между собой.

Примерами алгебр являются:

Алгебра С' двойных чисел а+be, e2= + 1, изоморфная прямой сумме R+R двух полей R,

Алгебра М(п) вещественных матриц n-го порядка,

Алгебра Н' псевдокватернионов a+bi+ce+df, i2=-1, e2= + 1, ie=-ei=f, изоморфная алгебре М(2),

Алгебры СМ(п) и НМ(п) комплексных и кватернионных матриц n-го порядка, являющиеся тензорными произведениями алгебры M(n) на, соответственно, алгебру С или Н,

Алгебра Со дуальных чисел a+be, e2=0,

Алгебра Но полукватернионов a+bi+ce+dh, i2=-1, e2=0, ie =-ei=h.

Алгебра A(n) альтернионов или чисел Клиффорда порядка n имеет размерность 2n-1, ee базис состоит из 1, i1,i2,...,in-1 для которых ik2= -1, и произведений различных одноиндексных элементов, причем ihik=-ikih. Алгебры А(п) при n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 изоморфны, соответственно, полям R и С, телу Н и алгебрам Н + Н, HM(2), CM(4), М(8) и М(8)+М(8).

Заменяя в определении алгебры А(п) k элементов ih элементами еh для которых eh2= +1, мы получим алгебру A(n-k, k) псевдоальтернионов порядка n и индекса k. Алгебры А(1,1) и А(2,1) изоморфны, соответственно, алгебрам C' и H'.

Заменяя в определении линейного пространства поле R скаляров полем C или телом H мы получим комплексное или кватернионное линейное пространство.

Заменяя в определении линейного пространства поле скаляров алгеброй с делителями нуля, мы получим модуль. В модулях имеются особенные векторы, которые не равны 0, но их произведения на делитель нуля, могут быть равны 0.

Пространства над алгебрами.

Аффинное пространство над алгеброй можно определить как множество элементов, называемых точками, ассоциированное с линейным пространством или модулем, причем всяким двум точкам А и В соответствует вектор а=АВ, всякой точке А и вектору а соответствует такая точка В, что а=АВ, и для всяких трех точек А, В и С сумма векторов АВ и ВС равна вектору АС.

Прямой линией аффинного пространства над алгеброй называется такое множество точек, что для любых двух точек А и В этого множества вектор АВ коллинеарен с некоторым вектором линейного пространства или с неособенным вектором модуля ; m-мерной плоскостью называется такое множество точек, что для любых двух точек А и В этого множества вектор АВ является линейной комбинацией m линейно независимых векторов линейного пространства или модуля.

Аффинные преобразования аффинного пространства имеют вид x'=Af(x) + b, где А и b - линейный оператор и вектор линейного пространства или модуля, a f(x) - автоморфизм алгебры.

Две прямые линии или m-мерные плоскости называются параллельными, если они определяются одними и теми же линейно независимыми векторами линейного пространства или модуля. Одну из двух параллельных линий или плоскостей можно перевести в другую параллельным переносом x'=x+a.

В афинных пространствах над алгебрами с делителями нуля имеются смежные точки и смежные и расходящиеся прямые линии. Две точки А и В называются смежными, если вектор АВ особенный. Две прямые линии называются смежными, если они содержат смежные точки. Две прямые линии называются расходящимися, если они не имеют общих точек, но могут быть переведены параллельным переносом в смежные прямые линии.

Проективное пространство над алгеброй является результатом дополнения аффинного пространства бесконечно удаленными и идеальными точками, причем каждая система параллельных линий имеет одну общую бесконечно удаленную точку, а идеальные точки, которые имеются только в случае алгебр с делителями нуля, определяются смежными прямыми. Точки n-мерного проективного пространства представляются векторами (n + 1)-мерного аффинного пространства с точностью до правых скалярних множителей. Прямые линии и m- мерные плоскости проективного простраства представляются 2-мерными и (m+1) -мерными подпространствами линейного пространства или подмодулями модуля.

Так как бесконечно удаленные точки, которыми дополнено аффинное пространство, представляются векторами m-мерного линейного подпространства или подмодуля, эти бесконечно удаленные точки образуют бесконечно удаленную гиперплоскость проективного пространства. Идеальные точки представляются векторами, определяющими прямые смежные с прямыми, которые определяются векторами, представляющими бесконечно удаленные точки.

Проективные преобразования имеют вид x'=Af(x), где А - линейный оператор (n + 1)-мерного линейного пространства или модуля, а f(x) - автоморфизм алгебры.

Гиперплоскости, т.е. (n-1)-мерные плоскости аффинных и проективных пространств, определяются соответственными уравнениями ux+v=0 и ux=0, где u - ковектор линейного пространства или модуля, т.е. вектор пространства или модуля, сопряженного с рассматриваемым. В случае проективного пространства ковектор u определен с точностью до левых скалярных множителей, на этом основан принцип двойственности проективного пространства.

Если в аффинном пространстве над коммутативной алгеброй определено скалярное произведение векторов (a,b)=(b,a), т.е. скалярный квадрат (а,а) является квадратичной формой, мы получаем квадратичное евклидово или псевдоевклидово пространство.

Если в алгебре имеется инволюция, т.е.такой переход от всякого элемента х к элементу х*, что (х*)* =х и (xy)* =y*x*, и в аффинном пространстве над этой алгеброй определено скалярное произведение (a,b) = (b,a)*, т.е. скалярный квадрат является эрмитовой формой, мы получаем эрмитовы евклидовы и псевдоевклидовы пространства.

Если такие же скалярные произведения векторов определены в проективном пространстве над коммутативной алгеброй или над алгеброй с инволюцией, мы получаем квадратичные и эрмитовы неевклидовы пространства, т.е. эллиптические, гиперболические, псевдоэллиптические и псевдогиперболические пространства.

Если скалярное произведение таково, что (a,b)= -(b,a) или (a,b)=- (b,a)*, то мы получаем квадратичное или эрмитово симплектическое пространство.

Геометрия пространств с делителями нуля в значительной степени разработана в моих книгах 1955 и 1997 гг., а также в работах моих учеников.

Вещественные пространства и многообразия.

В случае вещественного евклидова пространства скалярный квадрат (а,а) является положительно определенной квадратичной формой, а в случае вещественного псевдоевклидова пространства (а,а) - знаконеопределенная квадратичная форма, и если индекс этой формы равен k, псевдоевклидово пространство называется пространством индекса k. Пространство-

Время специальной теории относительности является 4-мерным псевдоевклидовым пространством индекса 1.

Расстоянием между точками A и В называется квадратвый корень из склярного квадрата (а,а) вектора а = AB. Преобразования этих пространств, сохраняющие расстояния между их точками, называются движениями. Движения этих пространств являются частными случаями их аффинных преобразований.

Вещественное эллиптическое пространство (неевклидово пространство Римана) размерности n можно определить как гиперсферу (x,x)=r2 с отождествленными диаметрально противоположными точками в (n + 1)- мерном евкидовом пространстве. Роль прямых линий и m-мерных плоскостей эллиптического пространства играют большие круги и большие m-мерные сферы гиперсферы. Движения эллиптического пространства определяются вращениями гиперсферы.

Гиперболическое пространство (неевклидово пространство Лобачевского) можно определить как гиперсферу мнимого радиуса (x,x)= - q2 в (n +1)-мерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1. Прямые линии и m-мерные плоскости гиперболического простраства определяются сечениями гиперсферы мнимого радиуса ее диаметральными 2-мерными и (m + 1)-мерными плоскостями Движения гиперболического пространства определяются вращениями гиперсферы мнимого радиуса. Гиперсфера мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве индекса 1 имеет вид двуполостного гиперболоида и состоит из двух полостей. Лобачевский определял открытое им пространство не с помощью псевдоевклидова пространства, которое в его время было неизвестно, а как пространство, получаемое из евклидова при отказе от V постулата Евклида (аксиомы параллельности). Лобачевский заметил, что формулы тригонометрии в его пространстве могут быть получены из формул обычной сферической тригонометрии, если считать радиус сферы чисто мнимым числом.

Так как точки гиперсферы мнимого радиуса в пространстве-времени специальной теории относительности изображают скорости движущихся материальных точек, закон сложения скоростей в специальной теории относительности эквивалентен одной из тригонометрических формул пространства Лобачевского.

О многомерных евклидовом и неевклидовых пространствах мечтал поэт Валерий Брюсов, который в стихотворении "Мир N измерений" писал: Ширь, глубь, высь - лишь три координаты. Дальше хода нет. Засов закрыт. С Пифагором слушай сфер сонаты, Атомам дли счет, как Демокрит. Путь по числам - приведет нас в Рим он, Все пути ума ведут туда. То же в новом - Лобачевский, Риман. Та же в зубы узкая узда. Но живут, живут в N измереньях Люди воль, циклопы мысли, те, Кому жалки мы с ничтожным зреньем. С нашим шагом по одной черте.

Лобачевский действительно рассматривал только трехмерное гиперболическое пространство, но Эудженио Бельтрами еще в 1868 г. рассмотрел n-мерное гиперболическое пространстно, а Риман в своей знаменитой лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии" рассматривал n-мерные пространства переменной кривизны, называемые теперь римановыми пространствами, и n-мерные пространства постоянной кривизны, к которым относится эллиптическое пространство как их частный случай.

Заменяя в определении n-мерных эллиптического и гиперболического пространств (n +1)-мерные евклидово пространство и псевдоевклидово пространство индекса 1 псевдоевклидовыми пространствами индексов k и k+1, мы получим псевдоеллиптическое и псевдогиперболическое пространства индекса k. Прямые линии, m-мерные плоскости и движения в этих пространствах определяются так же как в гиперболическом пространстве.

Если рассмотреть проективное пространство, точки которого представляются векторами, направленными по радиусам гиперсфер, мы получим проективные модели неевклидовых пространств. В этих моделях эллиптическое пространство изображается полным проективным пространством, а остальные неевклидовы пространства изображаются областями проективного пространства, ограниченными гиперквадриками (х,х)=0, называемыми абсолютами неевклидовых пространств. Абсолют имеется и в эллиптическом пространстве, но в этом случае он является мнимой гиперквадрикой.

Расстояние между двумя точками А и В неевклидова пространства в проективной модели может быть выражено через двойное отношение этих точек и двух точек пересечения прямой AB с абсолютом. Прямые линии и m-мерные плоскости неевклидовых пространств в проективных моделях совпадают с прямыми и плоскостями проективного пространства, движения неевклидовых пространств в этих моделях совпадают с проективными преобразованиями, переводящими в себя абсолюты.

Конформным пространством размерности n называется n-мерное евклидово пространство, дополненное одной бесконечно удаленной точкой, причем прямые линии и m-мерные плоскости считаются окружностями и m-мерными сферами, проходящими через бесконечно удаленную точку. Псевдоконформным пространством размерности n и индекся k называется псевдоевклидово пространство той же размерности и того же индекса, дополненное одной бесконечно удаленной точкой и идеальными точками, причем прямые линии и m-мерные плоскости считаются окружностями и m-мерными сферами, проходящими через бесконечно удаленную точку, а идеальные точки рассматриваются как точки гиперсферы нулевого радиуса с центром в бесконечно удаленной точке.

Преобразования конформного и псевдоконформных пространств, сохраняющие углы между кривыми линиями, называются конформными преобразованиями. Конформные преобразования n-мерных конформного и псевдоконформных пространст, при n >2 переводят окружности этих пространств в окружности. При n=2 преобразования конформной и псевдоконформной плоскостей, переводящие окружности этих плоскостей в окружности, называются круговыми преобразованиями и являются частными случаями конформных преобразований.

Проектируя гиперсферу мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве индекса 1 из ее центра на касательную гиперплоскость к ней, мы получим модель гиперболического пространства в шаре евклидива пространства, в которой прямые линии гиперболического пространства изображаются диаметрами и хордами шара, а параллели Лобачевского- хордами, имеющими один общий конец. Эта модель по существу совпадает с проективной моделью.

Проектируя ту же гиперсферу из одной ее точки на касательную гиперплоскость в диаметрально противоположной точке, мы получим другую модель гиперболического пространства в шаре евклидова пространства. В этой модели прямые линии гиперболического пространства изображаются диаметрами шара и дугами окружностей ортогональных к гиперсфере, ограничивающей шар. В этой проекции углы между линиями изображаются в натуральную величину. Эта модель является конформной моделью, а определяющая ее проекция - аналог стериографической проекции.

Применяя аналогичные проекции к гиперсферам, определяющим другие неевклидовы пространства, мы получим конформные модели этих пространств. Эти модели можно рассматривать как модели конформного и псевдоконформных пространств.

Симплектическим пространством размерности 2n-1 называется проективное пространство той же размерности, в котором задана кососимметрическая билинейная форма (a,b) = - (b,a). Прямые линии АВ, определяемые точками А и В, представляемыми векторами а и b, для которых (a,b) = 0, называются нуль -прямыми, они образуют линейный комплекс прямых. Проективные преобразования, переводящие в себя этот линейный комплекс, называются симплектическими преобразованиями.

Первоначально эти преобразования назывались преобразованиями линейного комплекса, а группа этих преобразований называлась комплекс- группой (Komplex-Gruppe). Когда Герман Вейль переехал из Германии в США и стал называть комлекс - группу complex group, он увидел, что это неудобно, так как эти же слова означают "комплексная группа". Поэтому он предложил называть эту группу симплектической, переведя латинское слово complexus - "сложный" греческим словом symplektikos. Преобразования и пространство также стали называть симплектическими.

Симплектическим пространством размерности 2n называется аффинное пространство той же размерности, в котором определено кососимметрическое скалярное произведение векторов (a,b) = -(b,a).

Топологическое пространство, каждая точка которого обладает окрестностью гомеоморфной n-мерному евклидову пространству, называется n-мерным многообразием. В каждой такой окрестности можно ввести координаты, определяемые координатами в евклидовом пространстве.

В том случае, когда в каждом пересечении таких окрестностей переход от одной системы координат к другой задается дифференцируемыми или аналитическими функциями, многообразие называется, соответственно, дифференцируемым или аналитическим.

В каждой точке дифференцируемого многообразия можно определить касательное линейное пространство. Координаты векторов этого простран­ства являются дифференциалами координат точек многообразия.

Если в касательном пространстве каждой точки n-мерного диф­ференцируемого многообразия определено скалярное произведение n- мерного евклидова пространства или n-мерного пседоевклидова пространства индекса k, мы получим, соответственно, n-мерное риманово пространство или псевдориманово пространство индекса k. В римановых и псевдоримановых пространствах можно определить длину линии, угол между пересекающимися линиями, геодезические (кратчайшие) линии и площадь участка двумерной поверхности.

Если из точки А риманова пространства выходят геодезические линии АВ и АС, и углы геодезического треугольника АВС при его вершинах обозначены теми же буквами A, B, C, то предел отношения разности А+В+С-п, где углы А,В,С измерены в радианной мере, к площади треугольника АВС при стремлении точек В и С к А называется секционной кривизной риманова пространства в точке А в данном двумерном направлении.

Эллиптическое и гиперболическое пространства являются частными случаями риманова пространства. Так как площадь всякого прямолинейного треугольника АВС в эллиптическом пространстве, получаемом из гиперсферы радиуса r, равна r (A+B+C-п), эллиптическое пространство является римановым пространством постоянной положительной кривизны 1/r². Так как площадь всякого прямолинейного треугольника АВС в гиперболическом пространстве, получаемом из гиперсферы мнимого радиуса r, равна r (A+B+C-pi),, гиперболическое пространство является римановым пространством постоянной отрицательной кривизны -1/q².

Аналогично определяется секционная кривизна в двумерном направлении в псевдоримановом пространстве.

Если в дифференцируемом многообразии для всяких двух бесконечно близких точек определено аффинное отображение касательных пространств в этих точках, многообразие называется пространством аффинной связности.

Если в римановом или псевдоримановом пространстве или в пространстве аффинной связности отражение от каждой точки по геодезическим линиям не изменяет расстояний между точками или сохраняет аффинную связность, пространство называется симметрическим пространством.

Геометрии вещественных евклидовых, псевдоевклидовых, неевклидовых, симметрических, римановых и псевдоримановых пространств посвящены многие главы моих книг 1955, 1966, 1969 и 1997 гг. При этом особое внимание я уделял интерпретациям неевклидовых пространств, так как считаю интерпретации "стереоскопическим зрением геометра", ибо свойства неевклидовых пространств, которые отличаются от свойст евклидова пространства и ускользают от нашего внимания в одних интерпретациях, хорошо видны в других интерпретациях.

Комплексные и кватернионные пространства.

Комплексное квадратичное евклидово пространство определяется так же, как вещественное. Это же пространство является комплексной формой всех вещественных псевдоевклидовых пространств той же размерности. В случае комплексного и кватернионного эрмитовых евклидовых пространств скалярный квадрат (а,а) является вещественной положительно определенной эрмитовой формой, а в случае комплексного и кватернионного эрмитовых псевдоевклидовых пространств индекса k скалярный квадрат (а,а) является вещественной знаконеопределенной эрмитовой формой индекса k.

Расстояние между точками А и В эрмитова евклидова или псевдоевклидова пространства равно квадратному корню из скалярного квадрата (а,а) вектора а=АВ. Нетрудно проверить, что n-мерные комплексное и кватернионное эрмитовы евклидовы пространства изометричны, соответственно, 2n-мерному и 4n-мерному вещественным евклидовым пространствам, а комплексное и кватернионное эрмитовы псевдоевклидовы пространства индекса k изометричны, соответственно, 2n-мерному вещественному псевдоевклидову пространству индекса 2k и 4n-мерному вещественному псевдоевклидову пространству индекса 4k.

Движениями эрмитовых евклидовых и псевдоевклидовых пространств называются аффинные преобразования этих пространств, сохраняющие расстояния между точками.

Если а и b - два вектора комплексного или кватернионного эрмитова пространства, изображаемые в вещественных пространствах ортогональными векторами, то их скалярное произведение (a,b) равно ucos j, где u в случае комплексного пространства - мнимая единица i, a в случае кватернионного пространства - кватернион bi +cj +dk единичного модуля, а j называется углом голоморфности. Угол j равен 0, когда векторы а и b принадлежат одной прямой линии, и равен п/2, когдя эти векторы принадлежат одной нормальной n-цепи, т.е. множеству точек с вещественными координатами или тому, что получается из этого множества точек при движении пространства. Двумерные площадки, для которых j=0, называются голоморфными, а двумерные площадки, для которых j=n/2, называются антиголоморфными.

Аналогично, угол голоморфии и голоморфные и антиголоморфные двумерные площадки определяются в комплексных и кватернионных эрмитовых псевдоевклидовых пространствах.

Точки n-мерных комплексного и кватернионного эрмитовых эллиптических пространств можно представить прямыми линиями (n + 1)- мерных эрмитовых евлидовых пространств над полем С или телом Н, проходящими через одну точку, причем расстояние d между точками равно произведению угла между прямыми на число r, связанное с векторами а и b, направленными по прямым, представляющим эти точки соотношениями R² = (a,a) = (b,b). Поэтому cos²(d/r) = (a,b)(b,a)/(a,a)(b,b). Отсюда следует, что комплексное и кватернионное эрмитовы эллиптические пространства можно определить как проективное пространство над полем С или телом Н, в котором задано расстояние d между точками А и В, представленными векторами а и b, по указанному равенству. Правая часть этого равенства равна двойному отношению точек А и В и точек пересечения полярных гиперплоскостей этих точек относительно эрмитовой гиперквадрики (x,x)=0 с прямой АВ.

Аналогично определяются комплексные и кватернионные эрмитовы гиперболическое, псевдоэллиптические и псевдогипербопические пространства, но точки этих пространств изображаются точками одной из двух областей, на которые эрмитова гиперквадрика (x,x)=0 делит проективное пространство.

Эрмитова гиперквадрика (x,x)=0, мнимая в случае эллиптических пространств, называется абсолютом пространства. В случае псевдоэллиптических пространств, указанное двойное отношение, как и в случае эллиптических пространств, равно cos²(d/r). В случае гиперболических и псевдогиперболических пространств это двойное отношение равно ch²(d/q), где q² =(a,a) = (b,b).

Движениями эрмитовых неевклидовых пространств называются проективные преобразования этих пространств, переводящие в себя их абсолюты.

Числа 1/r² и -1/q² называются кривизнами комплексных и кватернионных эрмитовых неевклидовых пространств.

Комплексные и кватернионные эрмитовы эллиптическое и гиперболическое пространства n измерений являются 2n-мерными и 4n- мерными римановыми пространствами, а n-мерные комплексные и кватернионные эрмитовы псевдоэллиптические и псевдогиперболические пространства индекса k изометричны 2n-мерным псевдоримановым пространствам индекса 2k и 4n-мерным псевдоримановым пространствам индекса 4k.

Прямые линии комплексного и кватернионного эрмитовых эллиптических пространств кривизны 1/r2 изометричны, соответственно, сфере радиуса r/2 в 3-мерном евклидовом пространстве и гиперсфере того же радиуса в 5-мерном евклидовом пространстве. Прямые линии остальных комплексных и кватернионных эрмитовых неевклидовых пространств также изометричны сферам 3-мерных пространств и гиперсферам 5-мерных пространств.

В комплексных и кватернионных эрмитовых эллиптических пространствах, так же, как в эрмитовых евклидовых пространствах, можно определить угол голоморфии j двумерной площадки и голоморфные и антиголоморфные двумерные площадки.

Секционная кривизна 2n-мерного и 4n-мерного римановых пространств изометричных n-мерным комплексному и кватернионному эрмитовым эллиптическим пространствам в 2-мерных направлениях равна K=(1+3cos j)/r², где j - угол голоморфности 2-мерной площадки в этом направлении, К=1/r² в антиголоморфных площадках и К=4/r² в голоморфных площадках. Поэтому римановы пространства изометричные комплексным и кватернионным эрмитовым эллиптическим пространствам называются пространствами постоянной голоморфной секционной кривизны. В этих пространствах можно определить также формулы тригонометрии, которые связывают длины сторон a, b, c геодезических треугольников, их углы А, В, С и углы голоморфии в их вершинах.

Угол голоморфии, голоморфные и антиголоморфные площадки, выражение секционной кривизны в 2-мерном направлении через угол голоморфии и формулы тригонометрии можно определить и в других комплексных и кватернионных эрмитовых неевклидовых пространствах. Римановы и псевдоримановы пространства изометричные этим комплексным и кватернионным пространствам также называются пространствами постоянной голоморфной секционной кривизны.

Комплексные и кватернионные эрмитовы эллиптические и гиперболические пространства допускают интерпретации в вещественных 2n-мерном и 4n-мерном евклидовых пространствах. Гиперболические эрмитовы пространства допускают интерпретацию в шарах евклидовых пространств, причем прямые линии эрмитовых пространств изображаются сечениями шаров, соответственно, 2-мерными и 4-мерными плоскостями, а геодезические линии римановых пространств, изометричных гиперболическим пространствам, изображаются диаметрами этих сечений и дугами окружностей ортогональных гиперсферам, ограничивающим шары. Эллиптические эрмитовы пространства допускают интерпретации в полных евклидовых пространствах, причем прямые линии эрмитовых пространств изображаются, соответственно, 2-мерными и 4-мерными плоскостями, пересекающимися с некоторой гиперсферой, а геодезические линии римановых пространств, изометричных эллиптическим пространствам, изображаются прямыми линиями и окружностями, пересекающими эту гиперсферу в парах диаметрально противоположных точек.

Аналогичные эрмитовы неевклидовы пространства определяются над алгеброй C' двойных чисел и алгеброй H' псевдокватернионов. В отличие от пространств над полем С и телом Н в случаях алгебр C' и H' имеется только один вид эрмитовых неевклидовых пространств - эллиптические пространства ; n-мерные пространства этого типа изометричны 2n-мерным псевдоримановым пространствам индекса n и 4n-мерным псевдоримановым пространствам индекса 2n.

Над алгеброй С' двойных чисел можно определить такие же квадратичные пространства, как и над полем R, причем каждое из этих пространств над алгеброй C' допускает интерпретацию в виде пары одноименных вещественных пространств.

Геометрии пространств над полем C, телом H и алгебрами C' и H' посвящены 6 глава в моей книге 1955 г. и несколько глав в моей книге 1997 г. В этих главах описаны многие мои результаты и результаты моих учеников.

Группы Ли.

Если группа явлается топологическим пространством и групповые операции являются гомеоморфными отображениями пространства на себя, такая группа называется топологической группой. Если топологическая группа является аналитическим многообразием, она называется группой Ли. В касательном пространстве в единице группы Ли определена операция коммутирования, ставящая в соответствие каждым двум векторам а и b их коммутатор [ab], причем выполняются условия [ab]=-[ba] и тождество Якоби [a[bc]]+[b[ca]]+[c[ab]]=0. Линейное пространство с такой операцией называется алгеброй Ли. Если из единицы е гроппы Ли выходит однопараметрическая подгруппа g(t), причем g(0)=e, g(t1+t2)=g(t1)g(t2), то за координаты вектора а алгебры Ли касательного к этой подгруппе можно принять производные координат элемента g(t) по t при t=0. Если подгруппам g(s) и h(t) соответствуют векторы а и b, то сумма a+b соответствует произведению g(s)h(t), a коммутатор [ab] соответствует произведению g(s)h(t)g(-s)h(-t).

Две группы Ли, алгебры Ли которых совпадают, называются локально изоморфными и алгебра Ли определяет группу Ли с точностью до локального изоморфизма.

Группа Ли называется простой, если она не содержит инвариантных подгрупп меньшей размерности. Группа Ли называется полупростой, если она не содержит разрешимых инвариантных подгрипп.

Алгебра Ли полупростой группы Ли изоморфна прямой сумме алгебр Ли нескольких простых групп Ли.

Всякая некоммутативная простая группа Ли полупроста.

Так как группа Ли является аналитическим многообразием, всякой вещественной группе Ли G соответствует комплексная группа Ли CG, являющаяся ее комплексной формой.

Топологическое пространство называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выделить конечное покрытие. Среди вещественных групп Ли с общей комплексной формой имеется одна (определенная с точностью до локального изоморфизма) компактная и несколько некомпактных групп. Комплексные группы Ли всегда некомпактны.

В алгебре Ли любой группы Ли можно определить квадратичную форму Ф Киллинга-Картана. Условием полупростоты группы Ли является невырожденность формы Ф. В случае компактных полупростых групп Ли форма Ф является отрицательно определенной, в случае некомпактных полупростых групп Ли форма Ф - знаконеопределенная. Если в последнем случае форма Ф приводится к алгебраической сумме N отрицательных и Р положительных квадратов, разность Р-N называется характером некомпактной полупростой группы. Форма -Ф определяет инвариантную метрику Картана в полупростой группе Ли, риманову в случае компактных групп и псевдориманову индекса Р в случае некомпактных групп. В любых группах Ли однопараметрические подгруппы этих групп и их классы смежности определяют инвариантную аффинную связность.

Элемент а алгебры Ли полупростой группы Ли называется регулярным, если множество элементов b этой алгебры, для которых [ab]=0, имеют наименьшую размерность. Эта наименьшая размерность называется рангом полупростой группы Ли. Указанное подмножество элементов алгебры Ли полупростой группы Ли, называется подалгеброй Картана этой алгебры, а коммутативная подгруппа группы Ли, соответствующая этой подалгебре, называется подгруппой Картана.

Если h - элемент подалгебры Картана Н алгебры Ли полупростой группы Ли G, а g - произвольный элемент этой алебры Ли, то коммутатор [hg] является векторной линейной функцией элемента g и может быть записан в виде Аg, где А - линейный оператор. Для всех элементов h соответственные операторы А имеют одни и те же собственные векторы, а собственные числа операторов А, соответствующих одному и тому же собственному вектору, являются линейными формами j =uh на линейном пространстве Н, где - u ковектор, определяющий линейную форму. Формы j называются корневыми формами группы G. Так как ковекторы u в случае евклидовой или псевдоевклидовой метрики в подалгебре Н, порождаемой метрикой Картана в группе G, можно рассматривать как векторы, то ковекторы u называют корневыми векторами группы G.

В случае, когда группа G компактна, ее корневые формы и корневые векторы чисто мнимы, и корневые векторы могут быть записаны в виде u = iv.

В случае, когда группа G некомпактна, ее корневые формы и корневые векторы могут быть вещественными, чисто мнимыми и комплексно сопряженными.

В случае, когда группа G некомпактна и все ее корневые векторы вещественны, группа называется расщепленной. Характеры расщепленных простых групп всегда равны рангам этих групп. Характеры компактных полупросных групп Ли равны произведениям размерностей этих групп на - 1.

Корневые векторы комплексных и компактных простых групп Ли образуют корневые системы, определяемые диаграммами Е.Б.Дынкина.

Корневые системы комплексных простых групп Ли всегда расположены в вещественном подпространстве подалгебры Картана. В этом подпространстве можно ввести систему координат и говорить, что вектор а больше вектора b, если из первых неравных координат этих векторов координата вектора а больше координаты вектора b. Вектор называется положительным или отрицательным, если он, соответственно, больше или меньше нулевого вектора. Согласно Дынкину корневой вектор называется простым, если он положителен и его нельзя представить в виде суммы двух положительных корневых векторов. Число положительных простых корневых векторов простой группы Ли всегда равно рангу группы.

В диаграммах Дынкина комплексных простых групп Ли каждый простой корневой вектор изображается точкой. Эти точки не соединяются линиями, если векторы ортогональны, соединяются 1, 2 и 3 линиями, если угол между векторами равен, соответственно, 2п/3, 3п/4 и 5п/6. В двух последних случаях векторы, изображаемые точками, имеют различную длину, и между точками, изображающими эти векторы ставится знак >. В случае компактных простых групп Ли такие же диаграммы строятся для вещественных векторов v.

Корневые системы некомпактных простых групп Ли изображаются диаграммами И.Сатаке - видоизмененными диаграммами Дынкина, в которых точки, изображающие вещественные и чисто мнимые корневые векторы, соответственно, белые и черные, а точки, изображающие комплексно сопряженные векторы, - белые, соединенные дугой с двумя стрелками в ее концах.

Как показали В.Киллинг и Э.Картан имеются 4 бесконечные серии алгебр Ли простых комплексных групп Ли, называемых группами классов An, Bn, Cn и Dn и 5 отдельных алгебр Ли простых комплексных групп Ли классов G2, F4, E6, E7, E8, где нижние индексы равны рангам групп. Группы классов An, Bn, Cn и Dn называются классическими простыми группами Ли, а группы пяти последних классов называются особыми простыми группами Ли.

Каждая из этих комплексных групп является комплексной формой нескольких локально изоморфных компактных групп и нескольких локально неизоморфных некомпактных групп.

Классические простые группы Ли.

Группы классов A1, B1, C1 локально изоморфны; локально изоморфны также группы классов B2 и C2, и группы классов A3 и D3. Группа класса D2 полупроста и изоморфна прямому произведению двух групп класса A1. Группа класса D1 проста, но не полупроста, эта группа коммутативна и состоит из комплектных чисел cost + isint. Поэтому при перечислении простых полупростых групп Ли группы класса Ап можно начинать с группы A1, группы класса Bn можно начинать с группы B2 группы класса Cn можно начинать с группы C3 и группы класса Dn можно начинать с группы D4.

Комплексная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе унимодулярных (т.е. с единичным определителем) матриц алгебры CM(n + 1).

Расщепленная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе унимодулярных матриц алгебры M(n+1) и группе унимодулярных унитарных матриц алгебры C'M(n + 1).

Компактная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе унимодулярных унитарных матриц алгебры CM(n + 1).

Остальные вещественные некомпактные простые группы Ли класса An локально изоморфны группам унимодулярных псевдоунитарных матриц алгебры CM(n + 1) и группе унимодулярных матриц алгебры HM((n + 1)/2); в алгебре кватернионных матриц не существует определителей, но имеются вещественные функции матриц, называемые полуопределителями, и унимодулярными кватернионными матрицами называются матрицы с единичными полуопределителями.

Комплексная простая группа Ли класса Bn локально изоморфна группе унимодулярных ортогональных матриц алгебры CM(2n + 1).

Компактная простая группа Ли класса Bn локально изоморфна группе унимодулярных ортогональных матриц алгебры M(2n + 1).

Некомпактные вещественные простые группа Ли класса Bn локально изоморфны группам унимодулярных псевдоортогональных матриц алгебры M(2n + 1).

Комплексная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе симплектических матриц алгебры CM(2n).

Расщепленная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе симплектических матриц алгебры M(2n) и группе унитарных матриц алгебры HM(n).

Компактная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе унитарных матриц алгебры HM(n).

Остальные некомпактные вещественные простые группы Ли класса Cn локально изоморфны группам псевдоунитарных матриц алгебры HM(n).

Компактная и расщепленная простые группы Ли класса C1 локально изоморфны, соответственно, группам автоморфизмов алгебр H и H'.

Комплексная простая группа Ли класса Dn локально изоморфна группе унимодулярных ортогональных матриц алгебры CM(2n).

Компактная простая группа Ли класса Dn локально изоморфна группе унимодулярных ортогональных матриц алгебры M(2n).

Некомпактные вещественные простые группы Ли класса Dn локально изоморфны группам унимодулярных псевдоортогональных матриц алгебры M(2n) и группе симплектических матриц алгебры HM(n).

Группы унимодулярных ортогональных и псевдоортогональных матриц алгебры M(n) являются фактор-группами подгрупп алгебр А(п) и А(n-k, k) по их инвариантным подгруппам, состоящим из элементов 1 и -1 ; эти подгруппы называются спинорными группами.

Рассщепленная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе проективных преобразований n-мерного вещественного проективного пространства.

Компактная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе движений n-мерного комплексного эрмитова эллиптического пространства.

Некомпактные вещественные простые группы Ли класса An локально изоморфны группам движений n-мерных комплексных эрмитовых гиперболического псевдоэллиптических и псевдогиперболических пространств и группе проективных преобразований (n-1)/2-мерного кватернионного проективного пространства.

Компактная простая группа Ли класса Bn локально изоморфна группе движений 2n-мерного вещественного эллиптического пространства.

Некомпактные простые группы Ли класса Bn локально изоморфны группам движений 2n-мерных вещественных гиперболического, псевдоэллиптических и псевдогиперболических пространств.

Рассщепленная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе симплектических преобразований (2n-1)-мерного симплектического пространства.

Компактная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе движений (n-1)-мерного кватернионного эрмитова эллиптического пространства.

Остальные некомпактные вещественные простые группы Ли класса Cn локально изоморфны группам движений (n-1)-мерных кватернионных гиперболического, псевдоэллиптических и псевдогиперболических пространств.

Компактная простая группа Ли класса Dn локально изоморфна группе движений (n-1)-мерного вещественного эллиптического пространства.

Некомпактные простые группы Ли класса Dn локально изоморфны группам движений (2n-1)-мерных вещественных гиперболического, псевдоэллиптических и псевдогиперболических пространств и группе симплектических преобразований (2n-1)-мерного кватернионного симпектического пространства.

Классические простые группы Ли допускают также интерпретации в виде групп движений пространств над тензорными произведениями алгебр C, C', H и H'. В частности из того, что тензорное произведение двух полей C изоморфно прямой сумме этих полей, вытекает, что эрмитово эллиптическое пространство над тензорным произведением двух полей C допускает модель в виде пары комплексных эрмитовых эллиптических полей той же размерности. Из того, что тензорное произведение алгебр C и H изоморфно алгебре CM(2), вытекает, что n-мерное эрмитово эллиптическое пространство допускает модель в виде многообразия прямых линий (2n + 1)-мерного комплексного эрмитова эллиптического пространства. Из того, что тензорное произведение двух алгебр H изоморфно алгебре M(4), вытекает, что n-мерное эрмитово эллиптическое пространство над тензорным произведением двух алгебр H допускает модель в виде многообразия 3-мерных плоскостей (4n+3)-мерного вещественного эллиптического пространства. Эти модели были построены моими учениками Н.Т.Аббасовым и Л.В.Румянцевой.

Образы симметрии.

Все вещественные и эрмитовы неевклидовы пространства, группы движений которых простые группы Ли, изометричны симметрическим римановым или псевдоримановым пространствам, поэтому точки этих пространств являются образами симметрии. Образами симметрии являются также 0-пары ( т.е. пары точка + гиперплоскость) проективных пространств и m-пары (т.е.пары n-m-1)-мерная плоскости n-мерного проективного пространства. Отражение точки Х от 0-пары, состоящей из точки А и гиперплоскости U, переводит точку Х в точку X' прямой АХ, являющуюся четвертой гармонической для точек А, Х и точки пересечения прямой АХ с гиперплоскостью U. Отражение точки Х от m-пары, состоящей из плоскостей А и U, переводит точку Х в точку X' единственной прямой, проходящей через точку Х и пересекающей плоскости А и U, которая является четвертой гармонической для точки Х и точки пересечения упомянутой прямой А с плоскостями А и U.

В неевклидовых пространствах, являющихся метризованными проективными, образами симметрии являются также m-мерные плоскости, при m = 1 прямые линии образующие вместе с плоскостями полярными относительно абсолютов m-пары.

При рассмотрении вещественных и эрмитовых неевклидовых пространств с простыми группами движений я всегда находил образы симметрии этих пространств. Особенно просто это в случае пространст с компактными группами движений, так как инволютивные движения, определяющие образы симметрии этих пространств, определяют также некомпактные группы с той же комплексной формой, что и компактная простая группа Ли. Замечу, что диаграммы Сатаке для некомпактных простых групп Ли первоначально применялись для изучения симметрических римановых пространств с некомпактными простыми группами движений. Эти симметрические пространства допускают интерпретации в виде многообразий образов симметрии неевклидовых пространств с компактными группами движений.

Образами симметрии неевклидовых пространств кроме точек и m- мерых плоскостей являются паратактические конгруенции и n-цепи. Паратактические конгруенции имеют место в (2n + 1)-мерных вещественных эллиптических и комплексных эрмитовых эллиптических пространствах, они состоят из заполняющих все пространство паратактичных прямых, т.е. прямых с равными стационарными расстояниями. Симметриями относительно этих конгруенций в случае вественных пространств являются сдвиги на полупрямую вдоль прямых конгруенции, а в случае комплексных пространст - переходы от точек прямых линий конгруенции к диаметрально противоположным точкам сфер изометричным этим линиям.

Нормаьные n-цепи имеют место в n-мерных комплексных и кватернионных эрмитовых эллиптических пространствах. Эти образы состоят из точек с соответственно вещественными или комплексными координатами или являются фигурами, получяемыми из этих образов движениями пространства. Симметрии относительно нормальных n-цепей определяются переходами от комплексных координат к комплексно сопряженным и от кватернионных координат вида a+bi+cj+dk к координатам вида a+bi-cj-dk. Нормальные n-цепи изометричны, соответственно, n-мерным вещественному эллиптическому и комплексному эрмитову эллиптическому пространствам.

В проективных просранствах имеются также образы косимметрии - гиперквадрики и линейные комплексы прямых, симметриями относительно которых являются полярные преобразования относительно этих образов.

Две m-пары проективного пространства в основном случае обладают m + 1 директрисами - прямыми пересекающими все четыре плоскости m- пар. Директрисы являются геометрическими ковариантами двух m-пар, а двойные отношения точек их пересечения с плоскостями m-пар - числовыми инвариантами n-пар.

Общие перпендикуляры двух m-мерных плоскостей являются директрисами этих плоскостей и их полярных плоскостей, а стационарные расстояния двух m-мерных плоскостей определяются числовыми инвариантами соответственны m-пар.

Параболические образы.

В пространствах, группы движений которых - простые группы Ли, я находил параболические образы, определяемые параболическими подгруппами группы движений пространтва, т.е. подгруппами, содержащими максимальную разрешимую подгруппу группы движений, называемую подгруппой А.Бореля. Всякая параболическая подгруппа определяется одним или несколькими простыми корневыми векторами группы Ли. В случае, когда параболическая подгруппа определяется одним простым корневым вектором, пораболический образ называется фундаментальным. Все параболические образы вещественны в случае расщепленных групп, все эти образы мнимы в случае компактных групп. Эти образы могут быть вещественными, мнимыми и комплексно сопряженными в случае некомпактных нерасщепленных групп.

Параболические образы изучались И.М.Гельфандом и его сотрудниками и Хариш-Чандрой в связи с теорией унитарных представлений некомпактных простых групп Ли.

Фундаментальные параболические образы связаны с фундаментальными линейными представлениями простых групп Ли, определенными Э.Картаном в 1913 г. Эти образы изучались Жаком Титсом, который называл их фундаментальными элементами.

Фундаментальными параболическими образами в случае n-мерного вещественного проективного пространства являются m-мерные плоскости (при m=0 точки, при m = 1 прямые линии, при m= n-1 - гиперплоскости).

Фундаментальными параболическими образами в случае 2n-мерных и (2n-1) -мерных вещественных неевклидовых пространств являются m-мерные плоские образующие абсолюта (при m=0 точки, при m = 1 прямолинейные образующие). Плоские образующие максимальной размерности абсолютов этих пространств (n-1) -мерны, эти плоские образующие составляют одно связное семейство в 2n-мерном пространстве и два связных семейства в (2n-1) -мерном пространстве. В последнем случае (n-2) -мерные плоские образующие - параболические образы не являющиеся фундаментальными. Плоские образующие максимальной размерности абсолютов вещественных неевклидовых пространств связаны со спинорными представлениями групп движений этих пространств.

Фундаментальными параболическими образами в случае (2n-1)- мерного вещественного симплектического пространства являются точки и m-мерные нуль-плоскости (при m = 1 нуль-прямые). Нуль-прямые вещественного симплектического пространства образуют абсолютный линейный комплекс этого пространства.

Фундаментальные параболические образы комплексных и кватернионных проективных и эрмитовых неевклидовых и симплектических пространств аналогичны параболическим образам вещественных пространств. Параболическими образами конформных и псевдоконформных пространств являются их точки и m-мерные изотропные плоскости, при m = 1 - изотропные прямые.

Фундаментальные параболические образы пространств, фундаментальными грппами которых являются простые группы Ли, изображаются точками диаграмм Дынкина и Сатаке. В последнем случяе черные точки диаграмм Сатаке изображают вещественные образы, белые точки - мнимые образы, а белые точки, соединенные дугами с двумя стрелками, - комплексно сопряженные образы.

Со всяким параболическим образом связано представление фундаментальной группы пространства в виде прямой суммы 2k+1 линейных подпространств J + K+... + L. Подпространства J и L этой прямой суммы являются элластичными алгебрами, определенными И.Л.Кантором. В случае k =1 алгебры J и L являются йордановыми алгебрами М.А.Джавадов и И.И.Колокольцева доказали, что спонорные предстаавлениягрупп движений неевклидобых пространств изображаются дробно-линейными преобра­зованиями этих йордановых алгебр.

Геометрические интерпретации, связанные с изоморфизмами простых и полупростых групп Ли.

Упомянутые выше изоморфизмы простых и полупростых групп Ли ранга 1, 2 и3 определяют изоморфизмы вещественных простых и полупростых групп Ли с теми же рангами. С этими изоморфизмами вещественных групп Ли связаны геометрические интерпретации однородных пространств, фундаментальными группами которых являются эти группы Ли.

1) С локальным изоморфизмом компактных групп классов A1 и B1 связана изометричность комплексной эрмитовой эллиптической прямой линии кривизны 1/r2 и сферы радиуса r/2 3-мерного евклидова пространства.

С локальным изоморфизмом расщепленных групп классов A1 и B1 связана интерпретация О.Гессе плоскости Лобачевского на вещественной проективной прямой, при которой точки проективной прямой изображаются точками абсолюта плоскости Лобачевского, а пара точек проективной прямой - прямыми линиями плоскости Лобачевского.

С локальным изоморфизмом компактной группы класса D2 и прямого произведения двух компактнх групп класса А связана интерпретация А.П.Котельникова многообразия прямых линий 3-мерного вещественного эллиптического пространства на сфере двойного 3-мерного евклидова пространства, при которой пара полярно сопряженных прямых линий эллиптического пространства изображаются 4 точками пересечения сферы двойного пространства с диаметральными прямыми этой сферы.

С локальным изоморфизмом некомпактной группы класса D2 и комплексной группы класса A1 связана интерпретация А.П.Котельникова многообразия прямых линий 3-мерного пространства Лобачевского на сфере 3-мерного комплексного евклидова пространства, при которой прямые линии пространства Лобачевского изображаются парами диаметрально противоположных точек сферы комплексного пространства.

С локальным изоморфизмом некомпактной вещественной группы класса D2 и прямого произведения некомпактной и расщепленной групп класса A1 связана интерпретация Л.В.Румянцевой кватернионной симплектической прямой линии на паре комплексных эрмитовых прямых линий, эллиптической и гиперболической, при которой точки кватернионной прямой линии изображаются парами точек комплексных прямых линий, по одной точке на каждой линии.

С локальным изоморфизмом компактных групп классов B2 и C2 связана изометричность кватернионной эрмитовой эллиптической прямой линии кривизны 1/r2 и сферы радиуса r/2 5-мерного евклидова пространства.

С локальным изоморфизмом расщепленных групп классов B2 и C2 связана интерпретация 4-мерного вещественного псевдоэллиптического пространства индекса 2 в 3-мерном вещественном симплектическом пространстве, при которой 2-мерные плоские образующие абсолюта псевдоэллиптического пространства изображаются нуль-прямыми симплектического пространства.

С локальным изоморфизмом компактных групп классов A3 и D3 связана интерпретация Н.Д.Пецко 3-мерного комплексного эрмитова эллиптического пространства в 5-мерном вещественном эллиптическом пространстве при которой точки каждого из этих пространств изображаются паратактическими конгруэнциями прямых линий другого пространства.

С локальным изоморфизмом расщепленных групп классов A3 и D3 связана интерпретация Ю.Плюккера 3-мерного вещественного проективного пространства в 5-мерном вещественном псевдо­эллиптическом пространстве индекса 3, при которой прямые линии 3- мерного пространства изображаются точками абсолюта 5-мерного пространства.

10) С локальным изоморфизмом некомпактных вещественных групп классов A3 и D3 связана интерпретация Р. Пенроуза 4-мерного псевдоконформного пространства индекса 1, в 3-мерном комплексном эрмитовом псевдоэллиптическом пространстве индекса 2, при которой точки псевдоконформного пространства изображаются прямолинейными образующими абсолюта комплексного пространства.

При этих интерпретациях образы симметри и параболические образы одного пространства изображаются такими же образами другого пространства.

Особые простые группы Ли.

Алгебра альтернионов не является единственным обобщением тела кватернионов, другим обобщением является алгебра О октонионов или октав. Базис этой алгебры состоит из 8 элементов 1, i, j, k, l, p, q, r, причем элементы 1, i, j, k, элементы 1, k, p, q, элементы 1, q, r, i, элементы 1,i, l,p, элементы 1, k,, l, r, элементы 1, q, l, j и элементы 1, j, p, r образуют базисы алгебр кватернионов. Алгебра октонионов является телом, но не ассоциативным, так как (ij)l= -i(jl). Это тело является альтернативным, т.е. любые два элемента этого тела порождают ассоциативное подтело (тело H или поле C).

Аналогично определяется алгебра O' псевдооктонионов - алгера с базисом 1, i, j, k, e, f, q, h, последние 4 из которых можно рассматривать как произведение базисных элементов l, p, q, r алгебры О на мнимую единицу, коммутурующую с элементами алгебры О. Алгебра O' является альтернативной алгеброй с делителями нуля.

Группы автоморфизмов тела О и алгебры O' являются, соответственно, компактной и расщепленной простыми гуппами Ли класса G2. Если ввести в алгебры О и O' метрики 8-мерных вещественных евклидова пространства и псевдоевклидова пространства индекса 4, в которых расстояние между элементами a и b равно модулю элемента b-a, то группы Ли автоморфизмов алгебр О и О' будут транзитивными на пересечениях гиперсфер, центрами которых являются нулевые элементы алгебр, с диаметральными гиперплоскостями этих гиперсфер ортогональными элементу 1.

Если отождествить диаметральнопротивоположные точки, полученных 6-мерных сфер, мы получим 6-мерные G-эллиптическое, G- псевдоэллиптическое и G-псевдогиперболическе пространства, группами преобразований являются компактная и расщепленная простые группы Ли класса G2. Эти пространства обладают почти комплексной или почти двойной структурой, т.е. касательные гиперплоскости этих гиперсфер обладают комплексной или двойной структурой, но в самих 6-мерных пространствах нельзя ввести комплексные или двойные координаты.

Геометрия этих пространств изучалась моими ученицами Н.Н.Адамушко и Р.Г.Тлуповой.

Компактная и расщепленная простые группы Ли класса F4 имеют характеры, соответственно, -52 и 4. Имеется еще одна некомпактная вещественная простая группа Ли этого класса с характером -2.

Компактная и расщепленная простые группы Ли класса Е6 имеют характеры, соответственно, -78 и 6. Имеются еще три некомпактные вещественные простаыегруппы Ли этого класса с характерами -26, -14, и 2.

Компактная и расщепленная простые группы Ли класса Е7 имеют характеры, соответственно, -133 и 7. Имеются еще две некомпактные вещественные простаые группы Ли этого класса с характерами - 25 и - 5.

Компактная и расщепленная простые группы Ли класса Е8 имеют характеры, соответственно, -248 и 8. Имеется еще одна некомпактная вещественная простая группя Ли этого класса с характером - 24.

Геометрия особых простых групп Ли.

Фрейденталь в 1951 г. в статье "Октонионы, особые группы и октонионная геометрия" доказал, что компактная простая группа Ли класса F4 локально изоморфна группе движений 2-мерной октонионной эрмитовой эллиптической плоскости, а некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е6 с характером -26 локально изоморфна группе проективных преобразований 2-мерной октонионной проективной плоскости.Так как тело.

О неассоциативно и следовательно произведение (ха)Ь не равно х(аЬ), точки октонионной проективной плоскости нельзя определить тремя октонионными координатами с точностью до прабого октонионного множителя. Поэтому Фрейденталь определял точки рассматриваемых им плоскостей октонионными эрмитово симметричными матрицами 3-го порядка, удовлетворяющими некоторым условиям, при которых эти матрицы определяются с точностью до вещественного множителя. Условия, наложенные Фрейденталем на эти октонионные матрицы 3-го порядка равносильны тому, что все элементы этих матриц принадлежат к одному ассоциативному подтелу тела О.

Ознакомившись с этой работой Фрейденталя, я определил на октонионной проективной плоскости О-пары, состоящие из точек и прямых, ввел в многообразие этих О-пар метрику аналогичную метрике вмногообразии О-пар вещественного проективного пространства, и доказал, что полученное метрическое пространство изометрично эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C' и О, группа движений которой изоморфна некомпактной группе класса Е6 с характером -26. Отсюда я сделал вывод, что компактная группа класса Е6 изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О.

Из того, что все элементы матриц Фрейденталя принадлежат к одному ассоциативному подтелу тела О следует, что каждая точка октонионной проективной плоскости, а значит. и каждая точка проективной плоскости надтензорным произведением алгебр C и О, может быть определена тремя координатами из алгебры О или тензорного произведения алгебр C и О, принадлежащими к одной ассоциативной подалгебре этих алгебр и определенными с точностью до правого сомножителя из той же ассоциативной подалгебры.

Представление компактной группы класса Е6 в виде эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О обобщается на компактные группы классов Е7 и Е8, которые можно представить, соответственно, в виде групп движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорным произведением алгебр H и О и над тензорным произведением двух алгебр О. Я высказал предположение об этом факте в 1956 г., на основании того, что, как указал Э.Картан, компактные группы классов Е7 и Е8 являются группами движений симметрических римановых пространств размерности 64 и 128. Мое предположение было доказано Э.Б.Винбергом в 1964 г.

Продолжая исследования Фрейденталя, Ж.Титс доказал, что некомпактная вещественная простая группа Ли с характером -20 является группой движений октонионной эрмитовой гиперболической плоскости. Впоследствии я доказал, что расщепленная простая группа Ли этого класса является группой движений псевдооктонионной эрмитовой эллиптической плоскости и построил аналогичные геометрические интерпретации для всех некомпактных вещественных групп Ли классов Е6, Е7 и Е8. Геометрические интерпретации всех вещественных особых простых групп Ли рангов 4, 6, 7 и 8 имеют следующий вид.

Компактная простая группа Ли класса F4 локально изоморфна группе движений октонионной эрмитовой эллиптической плоскости.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса F4 с характером -20 локально изоморфна группе движений октонионной эрмитовой гиперболической плоскости.

Расщепленная простая группа Ли класса F4 локально изоморфна группе движений псевдооктонионной эрмитовой эллиптической плоскости.

Компактная простая группа Ли класса Е6 локально изоморфна группе двиэжений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е6 с характером -14 локально изоморфна группе движений эрмитовой гиперболической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е6 с характером -26 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C' и О и группе проективных преобразований октонионной проективной плоскости.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е6 с характером 2 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О'.

Расщепленная простая группа Ли класса Е6 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C' и О' и группе проективных преобразований псевдооктонионной проективной плоскости.

Компактная простая группа Ли класса Е7 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е7, с характером -5 локально изоморфна группам движений эрмитовой гиперболической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О и эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H' и О.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е7 с характером -25 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О'.

Расщепленная простая группа Ли класса Е7 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H' и О'.

Компактная простая группа Ли класса Е8 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е8 с характером -24 локально изоморфна группам движений эрмитовой гиперболической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О и эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр О и О'.

Расщепленная простая группа Ли класса Е8 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О'.

Проективные и неевклидовы пространства над неассоциативными алгебрами не могут иметь размерность больше 2, так как в этом случае теорема Дезарга равносильная ассоциативности алгебры, над которой построено пространство, является следствием аксиом сочетания проективной геометрии.

Вскоре после того как я прочел цикл лекций о геометриях групп Ли в Утрехте Фрейденталь написал мне, что, обсуждая мои лекции с Титсом они пришли к выводу, что мои геометрические интерпретации особых простых групп Ли невозможны, так как размерностей линейных представлений простых групп Ли классов F4, Е6, Е7 и Е8, определяемых моими интерпретациями, нет в списке линейных представлений этих групп, утановленном Картаном в 1913 г.

Я ответил Фрейденталю, что представления этих групп, определяемые моими интерпретациями, не являются линейными.

Выше я писал, что точки октонионной проективной плоскости можно.

Определять тремя октонионными координатами, принадлежащими к одному ассоциативному подтелу тела О, и поэтому точки октонионной проективной плоскости можно определять тремя октонионными координатами, находящимися в одном ассоциативном подтеле тела О и заданными с точностью до правого множителя, являющегося элементом того же подтела. Поэтому при проективных преобразованиях октонионной плоскости три координаты xi точек этой плоскости подвергаются некоторому автоморфизму тела О, который переводит их в три октониона f(X|), также принадлежащие к одному ассоциативному подтелу тела О, эти три октониона подвергаются линейному преобразованию с помощью октонионной матрицы 3-го порядка, полученной "проектированием" матрицы группы, представляющей группу проективных преобразований октонионной плоскости, на то подтело, к которому принадлежат октонионы f(Xi).

Движения октонионной эрмитовой эллиптической определяются таким же образом, но матрица третьего преобразующая октонионы f(xi), получается "проектированием" октонионной матрицы 3-го порядка.

Координаты точек 2-мерных эрмитовых эллиптических и гиперболических плоскостей, группы движений которых являются особыми простыми группами Ли рангов 4, 6, 7 и 8, а также сами движения этих групп, определяются аналогично.

Образы симметрии компактных особых простых групп Ли имеют следующий вид.

В 6-мерном G-эллиптическом пространстве имется только один вид образов симметрии - точки.

В октонионной эрмитовой эллиптической плскости имеются два вида образов симметрии - точки и нормальные кватернионные 2-цепи, определяемые аналогично комплексным нормальным n-цепям кватернионного пространства.

В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О имеются четыре вида образов симметрии - точки, октонионные нормальные 2-цепи, комплексно -кватернионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходами от поля C к полю R и от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи определяются такими же переходами в обоих сомножителях тензорного произведения.

Плоскости порядка, унитарной.

В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О имеются также четыре вида образов симметрии - точки, комплексно-октонионные нормальные 2-цепи, кватернионно- кватернионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходами от тела H к полю C и от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи.

Определяются такими же переходами в обоих сомножителях тензорного произведения.

В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О имеются три вида образов симметрии - точки, кватернионно-октонионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходом от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи определяются таким же переход в обоих сомножителях тензорного произведения.

Принципы двойственности и тройственности.

Принцип двойственности n-мерной вещественной проективной геометрии связан с двусторонней симметрией диаграммы Дынкина простой группы класса An. Соглацно этому принципу гиперплоскости и m-мерные плоскости n-мерного пространства изображаются точки и (п-т-1)-мерные плоскости некоторого другого проективного прпстранства той же размерности.

Эта внутренняя симметрия в группе была ясна Э.Картану задолго до появления диаграммы Дынкина. Еще в 1925 г. Картан опубликовал статью "Принцип двойственности и теория простых и полупростых групп", в которой он обобщил принцип двойственности для простых групп Ли класса А на простые группы класса Dn и на простую группу Ли класса Е6. Диаграммы Дынкина этих групп также обладают двусторонней симметрией. В случае групп класса Dn двойственными образами являются плоские образующие максимальной размерности абсолюта, принадлежащие к двум разным семействам.

Простая группа класса Е6, локально изоморфна группе проективных преобразований 2-мерной октонионной проективной плоскости, на этой плоскости точки двойственны прямым линиям.

В случае простой группы класса D4 диаграмма Дынкина обладает трехсторонней симметрией. Для этой группы Картан в той же статье 1925 г. сформулировал принцип тройственности. Для 7-мерных вещественных эллиптического пространства и псевдоэллиптического пространства индекса 4, группы движений которых являются компактной и расщепленной группами этого класса, тройственными образами являются 3-мерные плоские образующие абсолюта двух семейств и точки абсолюта, Эти образы мнимы в эллиптическом пространстве и вещественнын в псевдоэллиптическом пространстве. В обоих случаях вещественными тройственными образами являются прямые и паратактические конгруенции двух семейств. Из последнего факта вытекает изоморфизм группы движений 7-мерного вещественного псевдоэллиптического пространства индекса 2 и группы симплектических преобразований 3-мерного кватернионного симплектического пространства, а также интерпретация Л.В.Румянцевой одного из этих пространств в другом.

Симплектическая и метасимплектическая геометрии Фрейденталя.

В серии работ под общим названием "Отношения групп Е7 и Е8 к октонионной плоскости", опубликованной в 1954 -1963 гг., Фрейденталь нашел геометрические интерпретации некоторых некомпактных простых групп Ли классов F4, Е6, Е7 и Е8 Фрейденталь ввел понятие 5-мерного октонионного симплектического пространства. Это пространство нельзя определить как проективное пространство с более узкой группой преобразований. так как над алгеброй О не существует проективных пространств размерности больше 2. Фрейденталь называл 5-мерным октонионным симплектическим пространством только аналог многообразия 2-мерных нуль-плоскостей 5-мерного кватернионного симплектического пространства. Фрейденталь доказал, что группа симплектических преобразований этого пространства является некомпактной простой группой Ли класса Е7 с характером -25.

В той же серии работ Фрейденталь определил четыре метасимплектические геометрии - вещественную, комплексную, кватернионную и октонионную, и доказал, что группами преобразований этих геометрий являются, соответственно, расщепленная простая группа Ли класса F4 и некомпактные вещественные простые группы Ли класса Е6 с характером -26, класса Е7 с характером -25 и класса Е8 с характером - 24.

В моих дальнейших работах я доказал, что расщепленная простая группа Ли класса Е7 локально изоморфна группе симплектических преобразований псевдооктонионного аналога 5-мерного симплектического пространства Фрейденталя, а расщепленные простые группы Ли классов F4, Е6, Е7 и Е8 локально изоморфны группам преобразований псевдооктонионных аналогов метосимплектических геометрий Фрейденталя.

Изоморфизмы групп преобразований этих геометрий и групп движений эрмитовых эллиптических плоскостей над различными алгебрами определяют интерпретации этих геометрий на указанных плоскостях.

В той же серии работ Фрейденталь определил "магический квадрат", состоящий из 16 простых и полупростых групп Ли, расположенных в виде квадрата. В 1-й строке этого квадрата находятся группы движений 2- мерных вещественной эллиптической плоскости и комплексной кватервионной и октонионной эрмитовых эллиптических плоскостей, во 2-й строке - группы проективных преобразований 2-мерных вещественной, комплексной, кватернионной и октонионной проективных плоскостей, в 3- ей строке - группы симплектических преобразований 5-мерных вещественного, комплексного, кватернионного и октонионного симплектических пространств, в 4-ой строке - группы преобразований вещественной, комплексной, кватернионной и октонионной метасимплектических геометрий. Название метасимплектических геометрий определяется их положением в этом квадрате после симплектических пространств.

Этот квадрат обладает замечательным свойством симметрии: группы симметричные относительно главной диагонали квадрата являются группами одного и того же класса и ранга. Эта симметрия следует из того, что группы 2-й строки этого квадрата изоморфны группам движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр R, C, H и О на алгебру C', группы 3-ей строки этого квадрата изоморфны группам движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр R, C, H и О на алгебру H', группы 4-й строки этого квадрата изоморфны группам движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр R, C, H и О на алгебру О'.

Заменяя в этом квадрате алгебры C', H' и О' полем С и телами Н и О, мы получим "магический квадрат" для компактных групп. Заменяя в квадрате Фрейденталя поле С и тела Ни О алгебрами C', H' и О', мы получим "магический квадрат" для расщепленных групп.

Если мы заменим в "магическом квадрате" Фрейденталя для компактных групп каждую группу движений эллиптической плоскости прямой линией этой плоскости, мы получим аналог квадрата Фрейденталя эрмитовы эллиптические прямые над тензорными произведениями алгебр R, C, H, О на алгебру H, третьей строке - эрмитовы эллиптические прямые над тензорными произведениями алгебр R, C, H, О на алгебру H, в четвертой строке - эрмитовы эллиптические прямые над тензорными произведениями алгебр R, C, H, О на алгебру О.

Прямые линии первой строки изометричны, соответственно, вещественной окружности и вещественным сферам 2, 4 и 8 измерений и поэтому допускают интерпретации в виде многообразий точек вещественной эллиптической прямой, прямых вещественной эллиптической плоскости, 3-мерных плоскостей 4-мерного вещественного эллиптического пространства и 7-мерных плоскостей 8-мерного вещественного эллиптического пространства. Прямые второй строки допускают интерпретации в виде многообразий точек вещественной эллиптической плоскости, прямых 3-мерного вещественного эллиптического пространства, 3-мерных плоскостей 5-мерного вещественного эллиптического пространства и 7-мерных плоскостей 9-мерного вещественного эллиптического пространства. Прямые третьей строки допускают интерпретации в виде мнгообразий точек 4-мерного вещественного эллиптического пространства, прямых 5-мерного вещественного эллиптического пространства, 3-мерных плоскостей 7-мерного вещественного эллиптического пространства и 7-мерных плоскостей 11-мерного вещественного эллиптического пространства. Прямые четвертой строки допускают интерпретации в виде мнгообразий точек 8- мерного вещественного эллиптического пространства, прямых 9-мерного вещественного эллиптического пространства, 3-мерных плоскостей 11- мерного вещественного эллиптического пространства, 7-мерных плоскостей 15-мерного вещественного эллиптического пространства.

Фрейденталь рассматривал в метасимплектических геометриях симплекты, т.е. многообразия 2-мерных нуль-плоскостей 5-мерных симплектических пространств, a также 2-мерные плоскости симплектов, прямые и точки этих плоскостей. Все эти образы являются фундаментальными параболическими образами метасимплектических геометрий, рассматриваемых Фрейденталем, причем в указанных геометриях все эти образы вещественны, а остальные фундаментальные образы мнимы. Точки плоскостей симплектов совпадают с точками абсолютов соответственных 2-мерных эрмитовых плоскостей.

Пересечение прямых линий эрмитовых эллиптических плоскостей, группы движений которых максимальные особые группы Ли.

В 2003г. Э.Б.Винберг обнаружил, что две прямые линии эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О пересекаются не в одной, а в трех точках, и что две прямые линии эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О пересекаются в 135 точках. Из уравнения прямой линии SjUjXj= 0 на этих плоскостях вытекает, что ассоциативные подалгебры тензорных произведений алгебр H и О и двух алгебр О, связанные с общими точками двух прямых эрмитовых эллиптических плоскостей, - одни и те же. Так как максимальная ассоциативная подалгебра алгебры О - алгебра H, а эрмитова эллиптическая прямая над тензорным произведением двух алгебр H 16- мерна, все 135 общих точек двух прямых на эрмитовой и эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О находятся в 16- мерном подмножестве каждой из этих эрмитовых эллиптических прямых. Эти 135 точек изображаются 7-мерными плоскостями, находящимися в одной 9-мерной плоскости 15-мерного эллиптического пространства, изображающего прямую над тензорным произведением двух алгебр О. Так как полярами 7-мерных плоскостей в 9-мерном эллиптическом пространстве являются прямые линии, 135 общих точек двух прямых линий на эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О изображаются 135 прямыми линиями 9-мерного вещественного эллиптического пространства. Эти прямые линии лежат в 4-мерной плоскости 9-мерного эллиптического пространства.

Группы Вейля простых групп Ли.

С каждой компактной простой группой Ли связаны две конечные группы - группа Галуа уравнения Киллинга компактной простой группы Ли и группа Вейля, порожденная отражениями от гиперплоскостей эвклидова пространства, размерность которой равна рангу компактной группы, проходящих через общее начало корневых векторов компактной простой группы Ли ортогонально этим векторам. Эти группы обозначаются, соответственно, Г и W. Эти две группы изоморфны для всех компактных простых групп Ли, кроме групп классов An, Dn и Е6, в случае же групп этих классов группа W является инвариантной подгруппой гриппы Г, причем фактор-группы Г/W во всех случаях кроме случая группы класса D4состоят из двух элементов, а для группы D4 фактор гуппа Г/W состоит из 3!=6 элементов. Этот факт тесно связан с принципами двойственности и тройственности в пространствах, фундаментальные группы которых являются простые группы Ли классов An, Dn и Е6.

Группа Вейля компактной простой группы Ли класса An изоморфна группе симметрий n-мерного правильного симплекса, Группа Вейля компактной простой группы Ли класса An изоморфна группе симметрий n- мерного правильного симплекса, Группы Вейля компактных простых группы Ли классов Bn и Cn изоморфны группе симметрий n-мерного куба. Группа Вейля компактной простой группы Ли класса Dn изоморфна группе симметрий n-мерного "полукуба", т.е. фигуры, получаемой из n-мерного куба удалением одной из каждых двух вершин, соединяемых ребрами куба.

Группа Вейля компактной простой группы Ли класса G2 изоморфна группе симметрий правильного 6-угольника. Группа Вейля компактной простой группы Ли класса F4 изоморфна группе симметрий 4-мерного "бикуба", т.е. фигуры, вершины которой получаются из вершин 4-мерного куба добавлением 16 отражений центра симметрии куба от его граней.

Группа Вейля компактной простой группы Ли класса Е6 изоморфна группе симметрий кубической поверхностив 3-мерном проективном пространстве с 27 прямолинейными образующими, уравнение которой можно привести к виду ace = bdf, где a, b, c, d, e, f - линейные полиномы, а группа Вейля компактной простой группы Ли класса Е7 изоморфна группе симметрий линии 4-го порядка на проективной плоскости, с 28 двойными касательными.

В работе опубликованной в Белграде в 2005 г. я доказал, что последняя группа Вейля изоморфна группе симметрий поверхностив 4-го порядка в 3-мерном проективном пространстве, уравнение которой можно привести к виду aceg = bdfh, где a, b, c, d, e, f, g, h - линейные полиномы, а группа Вейля компактной простой группы Ли класса Е8 изоморфна группе симметрий 2-мерной поверхности в 4-мерном проективном пространстве, уравнение которой можно привести к виду adg = beh = cfi, где a, b, c, d, e, f, g, h, i -линейные полиномы. Эта 2-мерная поверхность обладает 27 прямолинейными образуощими и 108 трисекантами, т.е. прямыми линиями пересекающими эту поверхность в тройках точек. Так как число 27 + 108 = 135 прямых, связанных с этой 2-мерной поверхностью, совпадает с числом прямых линий в 4-мерной плоскости 9-мерного эллиптического пространства, определенном выше, а группы симметрий этих двух конфигураций прямых линий изоморфны между собой, эти конфигурации также совпадают между собой.

Геометрия квазипростых и r-квазипростых групп Ли.

Выше я упоминал о связи междо некомпактными простыми группами Ли и симметрическими пространствами с компактной простой группой движений. Эта связь, установленная Картаном в 1929 г., состоит в следующем: если s - инволютивный элемент компактной группы G движений, определяющий симметрическое пространство, то переход от элемента g группы G к элементу sgs является инволютивным автоморфизмом группы G. Этот автоморфизм порождает инволютивный автоморфизм в алгебре Ли А группы G. Этот автоморфизм алгебры Ли А определяет ее представление в виде прямой суммы двух подпространств A=B+C, где пространства B и C таковы, что при этом автоморфизме все векторы подпространства В инвариантны, а все векторы подпространства C умножаются на -1.

Если мы умножим все векторы подпространства C на мнимую единицу j, мы получим алгебру Ли А' некомпактной группы G', имеющей ту же комплексную форму, что и группа G. Алгорит перехода от группы G к группе G' я называю "Картановым алгоритмом". И.М.Гельфанд называет группы G и G' "двойственными по Картану".

Если мы умножим все векторы подпространства С не на мнимую единицу j, а на дуальную единицу e алгебры C0 дуальных чисел, мы получим алгебру Ли A0 новой группы Go, которую И.М.Гельфанд называет "тройственной по Картану" по отношению к группам G и G'.

Когда я читал в Утрехте лекцию об этих группах, Фрейденталь предложил называть эти группы "квазипростыми группами Ли." Поэтому я называю переход от группы G к группе G0 "квазикартановым алгоритмом".

Квазикартанов алгоритм может быть применен не только к компактным, но и к любым простым группам Ли. Его можно применять и несколько раз, и я называю группу Ли, полученную из простой группы Ли r-кратным применением квазикартанова алгоритма, "r-квазипростой группой Ли".

Понятие простоты, квазипростоты и r-квазипростоты имеют место и для алгебр. Ассоциативная алгебра называется простой, если она не содержит двусторонних идеалов. Как доказал Э.Картан, простыми ассоциативными алгебрами над полем R являются алгебры M(n), CM(n) и HM(n) вещественных, комплексных и кватернионных матриц n -го порядка. В частности, простыми алгебрами являются и сами алгебры C и H. Применяя Картанов алгоритм к алгебрам C и H мы получаем алгебры C' двойных чисел и H' псевдокватернионов. Применяя к этим алгебрам квазикартанов алгоритм, мы получим квазипростые алгебры C0 дуальных чисел и H0 полукватернионов.

Проста и альтернативная алгебра О октонионов. Применяя к ней Картанов алгоритм, мы получим простую альтернативную алгебру O' псевдооктонионов, а применяя к алгебре О квазикартанов алгоритм, мы получим квазипростую альтернативную алгебру O0 полуоктонионов.

Мое внимание к квазипростым алгебрам привлек И.М.Яглом еще в то время, когда я готовил докторскую диссертацию. Позднее он заинтересовал меня вырожденными неевклидовыми геометриями, группами движений которых являются квазипростые и r-квазипростые группы Ли.

Наиболее известными квазипростыми группами Ли являются группы движений евклидова и псевдоевклидовых пространств. Группа движений n- мерного вещественного евклидова пространства является тройственной по Картану по отношению к группам движений n-мерных вещественных эллиптического и гиперболического пространств. Группа движений n- мерного вещественного псевдоевклидова пространства индекса k является тройственной по Картану по отношению к группам движений n-мерных вещественных псевдоэллиптических пространств индексов k и k+1.

Если дополнить n-мерные евклидово и псевдоевклидовы пространства их бесконечно удаленными гиперплоскостями до проективного пространства, гиперсферы евклидова и псевдоевклидовых пространств высекают из этих гиперплоскостей мнимую и вещественную квадрики. Эти квадрики можно рассматривать как абсолюты (n-1)-мерных эллиптического и псевдоэллиптических пространств. Бесконечно удаленные гиперплоскости евклидова и псевдоевклидовых пространств вместе с квадриками, высекаемыми из них гиперсферами этих пространств, называются абсолютами евклидова и псевдоевклидовых пространств.

По принципу двойственности проективного пространства евклидову пространству и псевдоевклидовым пространствам вместе с их абсолютами соответствуют коевклидово пространство и копсевдоевклидовы пространства, т.е. пространства с проективными метриками, абсолютами которых являются мнимый и вещественные гиперконусы второго порядка с точечными вершинами. Расстояния между точками этих пространств, расположенными на прямых, не проходящих через вершину гиперконуса, измеряются как на эллиптических и гиперболических прямых. Расстояния между точками прямых, проходящих через вершину гиперконуса, измерятся как на евклидовых прямых. За расстояния между точками коевклидова и копсевдоевклидовых пространств можно принять в первом случае углы между пересекающимися гиперплоскостями евклидова и псевдоевклидовых пространств, а во втором случае - расстояния между параллельными гиперплоскостями этих пространств.

Евклидово и коевклидово пространства являются частными случаями квазиэллиптического пространства дефекта m. Это пространство также является пространством с проективной метрикой, абсолют которого состоит из мнимого гиперконуса с плоской вершиной размерности n-m-1 и мнимой квадрики в этой плоскости. Расстояния между точками, расположенными на прямых, не пересекающих вершинную плоскость гиперконуса, и на прямых, лежащих в этой вершинной плоскости, измеряются как на эллиптических прямых. Расстояния между точками прямых, пересекающих вершинную плоскость, измеряются как на евклидовых прямых. При m =0 это пространство евклидово, при m =n-1 это пространство коевклидово.

Заменяя в определении квазиэллиптического пространства мнимый гиперконус и мнимую квадрику, или одну из этих поверхностей, вещественными, мы получим квазипсевдоэллиптические пространства, частными случаями которых являтся псевдоевклидовы и копсевдоевклидовы пространства.

Группы движений квазиэллиптических и квазипсевдоэллиптических пространств являются квазипростыми группами тройственными по Картану по отношению к группам движений эллиптического и псевдоэллиптического пространств или по отношению к группам движений двух псевдоэллиптических пространств разных индексов.

Вершинные (n-m-1)-мерные плоскости гиперконусов абсолютов n-мерных квазиэллиптических и квазипсевдоэллиптических пространств являются (n-m-1)-мерными эллиптическими пространствами или содержат (n-m-1)-мерное псевдоэллиптическое пространство.

Заменяя эти пространства (n-m-1)-мерными квазиэллиптическими или квазипсевдоэллиптическими пространствами, мы получим n-мерные биквазиэллиптические и биквазипсевдоэллиптические пространства. Группы движений этих пространств являются биквазипростыми группами Ли.

Повторяя эту операцию r-1 раз, мы получим r-квазиэллиптические и r-квазипсевдоэллиптические пространства. Группы движений этих пространств являются r-квазипростыми группами Ли.

Эти пространства были впервые определены Д.М.Ю.Соммервилем в статье "Классификация проективных метрик". В.Бляшке ввел термин "квазиэллиптическое пространство", рассматривая 3-мерное пространство этого типа дефекта 1.

И.И.Железина в своей диссертации, которой я руководил, рассматривала это же пространство и 3-мерные квазипсевдоэллиптические пространства того же дефекта.

Мои ученицы Т.Г.Чахленкова и Е.У.Ясинская изучали n-мерные квазиэллиптические, квазипсевдоэллиптические, r-квазиэллиптические и r-квазипсевдоэллиптические пространства.

Важными частными случаями биквазиэллиптических пространств являются изотропные и галилеевы пространства. Мы получим n-мерное изотропное пространство, если заменим в бесконечно удаленной гиперплоскости n-мерного евклидова пространства метрику (n-1)-мерного эллиптического пространства метрикой (n-1)-мерного коевклидова пространства. Заменяя в той же гиперплоскости метрику эллиптического пространства метрикой (n-1)-мерного евклидова пространства мы получим n-мерное галилеево пространство.

Название изотропного пространства объясняется тем, что такими пространствами являются изотропные гиперплоскости псевдоевклидовых пространств индекса 1.

Пространство-время специальной теории относительности является 4-мерным псевдоевклидовым пространством индекса 1. Пространство- время классической механики Галилея - Ньютона является 4-мерным изотропным пространством.

Э.Картан рассматривал 4-мерное изотропное пространство в связи с классической механикой в своей работе "О многообразиях аффинной связности и обобщенной теории относительности". В заметке "Об одном вырождении евклидовой геометрии" Картан изучал дифференциальную геометрию 2-мерной изотропной плоскости.

Геометрии вещественных квазипростых и r-квазипростых групп Ли посвящена 5-я глава моей книги 1969 г.

В работах многих моих учеников рассматривалась дифференциальная геометрия этих пространств. В частности, Н.Е.Марюкова в своей диссертации рассматривала дифференциальную геометрию галилеева пространства, а позже нашла геометрическое истолкование уравнения Клейна-Гордона в 3-мерном галилеевом пространсве, это истолкование было изложено в нашей совместной статье 1997 г.

Квазипростые и r-квазипростые группы Ли могут быть группами движений и в пространствах над алгебрами: квазиэллиптических и квазипсевдоэллиптических, r-квазиэллиптических и r-квазипсевдо- эллиптических пространств над простыми алгебрами, эллиптических и псевдоэллиптических пространств над квазипростыми алгебрами и т.д. Группы движений дуальных пространств тройственны по Картану по отношению к группам движений одноименных комплексных и двойных пространств.

Изоморфизмы между простыми группами Ли определяют изоморфизмы межды квазипростыми и биквазипростыми группами, которые также связаны с геометрическими интерпретациями соответственных пространств. Такими интерпретациями являются интерпретация А.П.Котельникова многообразия ориентированных прямых 3-мерного евклидова пространства в виде сферы 3-мерного дуального евклидова пространства и интерпретации Железиной многообразий прямых 3-мерных квазиэллиптического квазипсевдоэллиптического пространств дефекта 1 и галиллеева пространства, соответственно, в виде 2-мерных двойной, комплексной индуальной квадратичных евклидовых плоскостей.

Многие мои ученики изучали геометрии пространств над алгебрами, группами преобразований которых являются квазипростые и r- квазипростые группы Ли.

Глава 2. ВРЕМЕНА И ПИСЬМЕНА Времена и эпохи.

В Советском Союзе история человечества обычно подразделялась на такие эпохи: 1) Первобытное общество, 2) Рабовладельческий строй, 3) Феодализм, 4) Капитализм, 5) Социализм, 6) Коммунизм.

В этой периодизации не вызывали сомнения только первобытное общество, феодализм и капитализм. Рабовладельческий строй явно относился не к тем народам, которые переживали феодализм и капитализм, да и сами рабовладельческие общества были совершенно разных типов: общества типа древнего Египта и Вавилона и общество типа древней Греции. В цивилизациях древнего Востока мелкие царства наиболее древнего периода были очень похожи на мелкие княжества феодальной Европы, а позднейшие крупные империи Древнего Востока напоминали королевства и империи Европы. С другой стороны греческие демократические государства, в которых начинали развиваться товарные отношения, во многом напоминали Европу эпохи начала развития капитализма. Именно близость эпохи Возрождения в Европе и классического периода древней Греции привела Н.А.Морозова к его идее о том, что вся цивилизация древней Греции была создана в эпоху Возрождения.

Что такое социализм, я убедился на собственном опыте жизни в Советском Союзе, наглядно показавшем, что действительность этого строя не имеет ничего общего с тем, что предполагались построить. Хотели построить бесклассовое общество, а получился государственный капитализм с новым правящим классом - "номенклатурой". Суть "номенклатуры" особенно наглядно проявилась, когда после ликвидации советского социализма номенклатурные чиновники превратили государственною собственность, бывшую в их распоряжении, в свою частную собственность, и стали капиталистами.

Что же касается коммунизма, то, по всей вероятности, попытки реализовать идеи коммунизма могут привести только к "казарменному коммунизму" или к коммунизму, описанному Войновичем в его романе "Москва 2042".

Поэтому я считаю, что реальных периодов в истории человечества всего три: первобытное общество, феодализм и капитализм.

По этой схеме шло развитие античного общества, прерванное нашествием варваров, по этой схеме шло развитие Европы.

Как происходил переход от одного из этих обществ к другому? Для ответа на этот вопрос мне кажется целесообразным вспомнить о типах человеческой натуры, о которых я писал в главе "Тверская". По-видимому, различный уровень развития общества давал возможность выдвинуться людям определенного типа. На каком-то этапе стали выдвигаться "храбрецы" - люди со способностью доводить начатое дело до конца. Эти люди становились племенными вождями, а впоследствии их потомки - феодалами. Когда же созрели условия для торговли, стали выдвигаться "дельцы" - люди со способностью обобщать, так как для обмена необходимо представить себя на месте другого и подсчитать, сколько часов потребовалось бы для изготовления обмениваемого товара. Появление таких людей наглядно показывает фольклор: в русском фольклоре имеются сказки об Иванушке-дурачке, аналогичные сказки имеются и у других народов. Более ранними из сказок этого типа является "Сказка о дураке набитом". В сказке явно высмеивается способность к обобщениям: "дурак" покупает в городе стол и ставит его на дороге.

"У стола четыре ноги, и у коня четыре ноги, стол сам дойдет до дома" - говорит герой сказки. Позднее появляются сказки другого типа - Иванушка, которого считают дурачком, одерживает ряд побед и в конце концов женится на царевне. Автором такой сказки, несомненно, был торжествующий "делец".

Роль хеттов в истории Европы.

Мой родной русский язык, язык идиш, родной язык моего отца и деда, возникший на основе немецкого языка, и английски язык, на котором говорят мои дети и внуки, являются индоевропейскими языками. К индоевропейским языкам относятся языки большинства народов Европы, а также персидский язык, и языки кинди и урду, на которых говорят народы Индии и Пакистана. Историки считают, что прародина индоевропейских народов находилась между Каспийским морем и Гималаями.

Когда я изучал творчество Аполлония, одного из величайших математиков древности, который родился в Малой Азии, я заинтересовался хеттами, населявшими Малую Азию во II - I тысячелетиях до н.э. Выше мы видели, что Аполлоний был потомком жрецов Аполлона. Так как культ Аполлона греки заимствовали у хеттов, то весьма вероятно, что более далекие предки Аполлония были жрецами хеттского прототипа Аполлона.

Хетты неоднократно упоминаются в библии. Хеттом был полководец царя Давида Урия, вдова которого Вирсавия стала женой царя Давида и матерью царя Соломона. В египетских папирусах упоминались войны хеттов с древними египтянами и женитьбы фараонов на хеттских принцессах.

От хеттов осталось много глиняных табличек с клинописными надписями аналогичными вавилонским. В 1915 г. чешский археолог Бедржих Грозный (1879-1952) расшифровал хеттскую клинопись и обнаружил, что хеттский язык - индоевропейский, похожий на многие языки народов Европы. Например, хетты называли воду словом "вадар", похожим на русское название воды, на греческое hydor и на английское wa­ter, огонь словом "паххур" похожим на греческое pyr и немецкое Feuer, город словом "гордион" похожим на русское "город" и английское garden, 1-е лицо настоящего времени от глагола "быть" словом "эшми" похожим на словянское "есмь"и латинское "сум".

Грозный установил, что прототипом Аполлона был хеттский бог Апулунаш, прототипом сестры Аполлона Артемиды была хеттская богиня Уртиму, а прототипом их отца Зевса был хеттский бог - громовержец Завайя.

Во II тысячелетии до н.э. в Малой Азии существовала единая хеттская держава, столица которой находилась восточнее нынешней Анкары. В I тысячелетии до н.э. эта держава распалась на большое число хеттских государств, наиболее известные из которых находились в западной части Малой Азии. Наиболее известны хеттские города Илион в Трое, Пергам в Мезии, Сарды в Лидии, Миры Ликийские в Ликии, Гордион во Фригии и Перга в Памфилии. Война греков с троянцами была описана Гомером в "Илиаде", царь Лидии Крез славился своим богатством, царь Фригии Гордий завязал знаменитый "Гордиев узел", который разрубил Александр Македонский.

Во время греко-персидских воин Малая Азия была завоевана персами, которые перенесли свою столицу в Сарды. После победы греков в этой войне хеттские государства превращаются в греческие. Впоследствии эти государства стали провинциями империи Александра Македонского, а затем Римской, Византийской и Оттоманской империй.

В трудах Б.Грозного и других историков и лингвистов, было расшифровано много хеттских слов и установлено их сходство со словами многих живых индоевропейских языков. Однако во всех этих трудах не учитывалось, что хеттский язык существовал задолго до возникновения живых индоевропейских языков Европы. Поэтому следует считать, что индоевропейские языки народов Европы произошли от языков различных хеттских племен, которые попали в Европу на рубеже II и I тысячелетий до н.э. во время массового переселения хеттов с востока на запад. Весьма возможно, что предки литовцев пришли из Лидии, предки римлян, живших в Лациуме, пришли из Ликии, предки фризов пришли из Фригии, а предками готов были геты.

Хеттские слова мужского рода оканчивались на -аш, -уш, -иш, что связано с тем, что слова мужского рода на древнейших языках Европы оканчивались на -as, -os, -us, -es, -is. Я упоминал. что окончания -ос, - ус, -ис имелись и в старославянском языке.

Название родного города Аполлония Перга первоначально означало скалу или гору, слово "перга" в этом смысле было родственно немецкому слову Berg. Со словом "перга" было связано название "пергунаш" бога - громовержца "разрушителя скал", от которого, несомненно, произошли имена словянского Перуна и литовского Пяркунаса. Название государства Pamphylia, в котором находилась Перга, - греческое, означающее "принадлежащая всем племенам". Поэтому ясно, что в Перге находились святилища хеттских богов Завайи, Апулунаша и Уртиму. После того, как Памфилия стала греческим государством, святилища Зевса и Аполлона были перенесены в Олимпию и Дельфы, а святилища Артемиды осталось в Перге. Геродот в своей "Истории" сообщал, что хеттские цари посылали богатые дары в святилище Аполлона. Так как в IV в. до н.э., когда жил Геродот, это святилище находилось в Дельфах, Геродот полагал, что дары посылались в Дельфы, но на самом деле дары посылались в Пергу. В это время слово "перга"стало обозначать башню или замок. Это название родственное греческому слову pyrgos и немецкому Burg, вошло в состав названия города "Пергама"; "пергамом" назывался также кремль в Илионе, взятие которого греками описано Гомером в "Илиаде".

От названия хеттского племени лувиев или румиев произошли названия Византийской империи "Ромея" и "Восточно-Римская империя", арабское название "ар-Рум" Византии и Турции, названия города Рима, Римской империи, итальянской Романьи и балканской Румынии, и слова "ром" и "ромэн", которыми называют себя цыгане, проходившие из Индии в Европу через Малую Азию.

Роль скифов в истории Европы.

Предки индоевропейских народов могли попасть из своей прародины в Европу не только через Малую Азию, но и по северному берегу Черного моря. В древности здесь жили скифы, принадлежавшие к иранской группе индоевропейских народов. От скифского слова "дон" - "река" происходят названия рек Дон, Донец, Днепр, Днестр и Дунай. Столица Скифии, упоминаемая в "Географии" Птолемея, находилась на берегу Днепра, по- видимому в районе города Чигирин, одно время считавшегося главным городом Малоросии.

Когда в Северное Причерноморье пришли славяне, они смешались с потомками скифов. По-видимому, этим объясняется сходство слова "Бог" в русском и других славянских языках с древнеперсидским словом "баг", которое вошло в название города Багдада, основанного персами, и означавшее "Богом данный", и в слово "багпур" - "сын Бога", которым персы переводили титул императора Китая.

Потомками скифов являются осетины, которые называют свои реки Ардон, Гизельдон и т.д. Одно из названий осетин "аланы" близко к названию родственных скифам алванов, о которых я писал в главе "Баку". Несомненно, что потомками скифов являются и албанцы, которые называют себя shqip. Слово "Албания" близко к названиям алванов и алан, а название shqip - к слову "скиф". Несомненно, что в птолемеевском названии "Столица Скифии" первое слово является переводом скифского слова, означающего столицу и похожее на названия столиц Тегеран и Тирана, откуда видно, что название Чигирин происходит от названия скифов.

Слово "дон" входит в название Македонии. Поэтому возможно, что македонцы были потомками скифов, аназвание этой реки Вардар первоначально звучало Македон и означало "Мать - река".

Роль шумеров и дравидов в истории Азии.

В моей книге об Ибн ал-Хайсаме я обратил внимание на то, что все скульптурные изображения людей у шумеров, которые жили в той части Ирака, где родился Ибн ал-Хаисам, были черного цвета, из чего я сделал вывод, что шумеры были чернокожими.

Государство шумеров с главным городом Ур возникло на юге Ирака в IV тысячелетии до нашей эры Цивилизация шумеров оказала исключительное влияние на многие народы Азии. Шумеры изобрели клинопись, которой впоследствии пользовались вавилоняне, хетты, древние персы и предки армян урарты. Среди шумеерских клинописных табличек имелись математические, изучавшиеся в книге А.А.Ваймана "Шумеро- вавилонская математика". Шумеры занимались также астрономическими наблюдениями.

В III тысячелетии до нашей эры государство шумеров было завоевано аккадянами родственными арабам и евреям. Аккадяне и шумеры образовали единое государство со столицей в Вавилоне, которое стало одним из центров мировой культуры.

Чернокожими были также дравиды, которые жили в Индии до прихода туда ариев. В III тысячелетии до нашей эры дравиды основали в долине реки Инд государство с высоким уровнем цивилизации. Это государство было завоевано спустившимися с Гималаев ариями родственными персам. Арии усвоили культуру дравидов и основали государство, которое также стало одним из центров мировой культуры.

Родственные дравидам племена жили в южной части Индокитая. Одно из этих племен - кхмеры имело много общего с шумерами, в частности нумерация обоих народов была пятеричной. Несомненно, что шумеры и дравиды также были родственны между собой. Нумерация современных дравидских племен десятеричная, несомненно под влиянием нумерации ариев. По-видимому цивилизация родственных дравидам племен Индокитая оказала влияние и на Китай, где также возник центр мировой культуры.

Возникновение классической цивилизации древнего Египта также можно объяснить влиянием негретянских народов верховьев Нила.

Тайна Атлантиды и басков.

Кроме потомков хеттов и скифов в Европу могли попасть потомки и неиндоевропейских народов, например, народа хаска, который населял Малую Азию до прихода хеттов. Хаска были родственны черкесам, которых славяне называли косогами. Возможно, что потомками хаска был народ Атлантиды. Сообщение Платона об Атлантиде были основаны на рассказах его деда Солона, который получил их от древнеегипетских жрецов и сам видел папирусы, содержащие эти сообщения. Согласно Платону Атлантида существовала за 9000 лет до того, как были написаны папирусы о ней, и имела такие большие размеры, что не могла находиться в Средиземном море, вследствие чего считалось, что она находилась в Атлантическом океане. Греческий геолог Герос доказал, что все числа, приведенные Платоном, увеличены в 10 раз, так как Солон принимал египетский иероглиф, обозначающий 100, за знак 1000. Поэтому на самом деле Атлантида существовала в Средиземном море за 900 лет до составления папирусов о ней и погибла при стихийном бедствии, описанном в вавилонских легендах и в Библии как "всемирный потоп". От Атлантиды остался существующий ныне остров Санторин.

Греческое название Атлантиды Atlantis содержит сочетание "тл", которое в черкесском и родственных ему языках означает специфический щелкающий звук (этим звуком начинается фамилия упомянутого Тлупова). Поэтому возможно, что народ Атлантиды был потомком народа хаска.

Геолог А.М.Городницкий тщательно обследовавший дно Атлантического океана убедился, что все выступы на этом дне имеют вулканическое происхождение.

Нумерация черкесов, как грузин и других народов Кавказа двадцатеричная, такова же нумерация народа басков, которые живут на северо-западе Испании и юго-западе Франции. Н.Я.Марр на основании сходства античного названия басков "иберы" и птолемеевского названия грузин "иверы" решил, что баски родственны грузинам. На самом деле баские числительные не похожи на грузинские. Басское название 1 ika похоже на санскритское "эка", название 2 bi похоже на латинское bis. Название 3 iru похоже на армянское "эрек" название 4 lau похоже на черкесское "пле", т.е. числительные басков похожи на числительные идоевропейских народов и народа хаска, которые пришли из Малой Азии.

Название североафриканской страны Ливии близко к названию хеттского племени лувиев, а название Атласских гор на северо-западе Африки содержит тот же звук "тл" что и Атлантида. Возможно, что предки басков переправились на Пиринейский полуостров из Африки.

Связь грузин с различными народами Азии.

Действие классической грузинской поэмы Шота Руставели "Витязь в тигровой шкуре"начинается в "Аравии счастливой"и происходит во многих странах Южной Азии. В основе этой поэмы - персидские легенды, имя одной из героинь поэмы Нестан Дареджан - искажение персидского выражения "Нист ан дар джахан" - "нет такой в мире".

Я сравнивал название планет в русском переводе и в грузинском тексте этой поэмы. Название всех планет в этой поэме, кроме Венеры, - арабские, название Венеры Аспирози искажение греческого названия Hesperos название Венеры видимой вечером. В Тбилиси мне показали грузинский перевод астрономических таблиц Улугбека с персидского, выполненный царем Вахтангом.

Грузинские числительные от 1 до 10 эрти, ори, сами, отхи, хути, эквси, швиди, рва, цхра, ати похожи на китайские названия этих чисел и, эр, сань, сы, у, лю, ци, ба, цзю, ши. Из этого и из того, что в грузинском языке имеются звуки похожие на китайские "цз" и "чж" можно заключить, что предки грузин жили гораздо восточнее современной Грузии и находились в контакте с китайцами, а впоследствии переселились в Закавказье.

Сходство различных языков.

В приведенных мной примерах родственных слов индоевропейских языков рассматривались только слова родственные хеттским и скифским. Еще больше примеров такого сходства можно найти для тех слов хеттские и скифские аналоги которых неизвестны. Особенно наглядно это сходство видно на числительных. Приведем название чисел от 1 до 10 на греческом, латинском, персидском и санскритском, языках:

Один - eis, unus, як, эка,

Два - dyo, duo, ду, дви,

Три - tres, tres, се, трай,

Четыре - tessara, quattuor, чахар, чатур,

Пять - pente, quinque, пандж, панча,

Шесть - hexa, sex, шаш, шаша,

Семь - hepta, septem, hафт, сапта.

Восемь - okto, octo, hашт, ашта,

Девять - ennea, novem, ну, нава,

Десять - deka, decem, даh, даша.

Английское слово bad и персидское слово бад, означающее "плохой", родственны русским словам "беда" и "бедный".

Русское слово "стерва", первоначально означавшее дохлую лошадь, роственно немецкому слову sterben - "умирать".

Руское слово "смерть" родственно немецкому Schmerz - "боль" и английскому smart - "сильная боль, шок".

Русское слово "око" родственно латинскому oculus и немецкому Auge, имеющим то же значение.

Латинское слово aqua - "вода" родственно румынскому apa и персидскому аб, имеющим то же значение.

Русское слово "огонь" родственно латинскому ignis и литовскому ugnis, имеющим то же значение.

Латинское augustus - "высочайший" родственно литовскому auktakas- "верхний".

Русские глаголы "быть" и "бить" родственны английским словам be и bit, имеющим те же значения.

Латышские названия белого, коричневого, черного и красного цветов balts, bruns, melnais, sarkans родственны, соответственно, русскому слову "белый", немецкому braun, греческому melanis и персидскому сарх.

Сравнение числительных семитических языков - иврита, арабского, арамейского, эфиопского и аккадского указывает на близость этих языков.

Аналогичным мордовского, венгерского узбекского и языков.

Языковые заимствования.

Я упоминал, что язык моих предков идиш возник на основе немецкого языка. По той же причине язык "ладино" евреев Северной Африки возник на основе испанского языка, а языки бухарских евреев и татов возникли на основе персидского языка. Были и другие случаи, когда некоторые народы усваивали языки других народов. Заметим, что числительные в монгольском языке, который родственен тюрским языкам, были заимствованы у тибетцев вместе с религией буддизма.

Когда я работал в Баку, я как-то спросил у Хасана Зарине-зада, иранского азербайджанца, который учил меня арабскому языку, как в Иране отличают туркмен от азербайджанцев, которые понимают друг друга. "Очень просто, - ответил он, - мы белые, а они желтые, у нас глаза прямые, а у них косые". Тем самым он подтвердил, что, несмотря на то, что оба народа говорят на тюркских языках, этнически азербайджанцы - не тюрки, а индоевропейцы, потомки мидян и алванов.

Еще сложнее происхождение турок: на территории современной Турции жили хетты, греки и армяне, но после завоевания Малой Азии турками - османами ее жители стали говорить на турецком языке, но этнически большинство современных турок остались индоевропейцами.

Такие же смешения народов происходили и в Европе. В Восточной Германии названия большинства городов, начиная с Берлина, Дрездена и Лейпцига - слегка видоизмененные славянские слова. Первоначально на месте этих городов были славянские селениями Барлино, Дрезно и Липско. Название Померании (Pommern) происходит от славянского племени поморов. Бранденбург первоначально назывался Брани Бор (защитный лес). Название Пруссии происходит от литовского племени пруссов.

Французский язык происходит от латинского языка римских солдат, название французов - от германского племени франков, а сами французы - потомки кельтского племени галлов.

Английский язык происходит от языка германских племен англов и саксов. Этот язык подвергся сильному влиянию французского языка норманов, завоевателей которые пришли из Нормандии. Сами англичане - потомки кельтского племени бриттов.

Образом устанавливается близость финского, эстонского, удмурдского, марийского и коми-зырянского языков, и ханты-мансийского языков, турецкого, татарского, других тюрских языков, а также манчжурского и тунгузского.

Весьма интересен язык эстонцев, заимствовавших многие слова у своих соседей - русских и немцев: rist -"крест", nuut -"кнут", kurb -"скорбь", tusk - "тоска", kool -"школа", raamat - " книга от слова "грамота"), jaam - "станция"( от старинного слова "ям", сохранившегося в слове" ямщик"); pilt —"картина" (Bild), arst -"врач" (Arzt), loss - "замок" (Schloss), tool -"стул" (Stuhl), rant - "пляж" (Strand), kirk - "церковь" (Kirche). При заимствовании иноязычных слов, начинающихся на несколько согласных звуков, эстонцы оставляли только последние из них. Предки эстонцев жили на территории нынешней Центральной России, их русское название "чудь" сохранилось в названии Чудского озера. Большая их часть обрусела, а часть дошла до Балтийского моря, где в то время жили родственные литовцам айсты и, смешавшись с ними, стали называться Eesti. Слово "айсты" сохранилось в литовском названии Кенигсбергской косы Аisсiu Neringa (ее немецкое название Frische Nehrung). Об этом свидетельствует и то, что многие эстонские слова, относящиеся к мореплаванию и рыболовству, заимствованы у литовцев: laev -"корабль" от литовского laivas, puri -"парус" от литовского bure.

Многие научные термины различных языков заимствованы из греческого и латинского. Некоторые названия музыкальных инструментов и фруктов народы Европы взяли из восточных языков.

Французское и английское слово assasin - "убийца" произошло от персидского слова hашишин - так крестоносцы называли мусульманских террористов, которые действовали в состоянии опьянения гашишом.

Немецкое слово Kamerad, французское camarade и английское com­rade, означающее "товарищ", происходят от итальянского camerato - "живущий в той же комнате". Грузинское слово амханаги, также означающее "товарищ", происходит от персидского слова hамханаки - "живущий в том же доме".

Особенности русского языка.

Русский язык - один из славянских языков. Пушкин писал:

Славянские ручьи сольются ль в русском море,

Оно ль иссякнет - вот вопрос.

В отличие от всех других славянских языков русский язык обладает сингармонизмом, о котором я писал в главе "Ташкент и Ашхабад". Несомненно, что этот сингармонизм является влянием тюрков и угрофиннов, языки которых обладают сингармонизмом.

В течение многих веков русские общались с различными тюркскими народами от половцев до казанских и крымских татар, а также с угрофинскими племенами, языки которых обладают сингармонизмом. Многие русские дворянские роды происходят от татарских князей, например, Тимирязевы от Темир-гази, Бибиковы от Биби-хана, Хебышевы от Чабыша, Чаликовы от Чалыша, или от турок, как Тургеневы, многие русские являются потомками представителей финских и угорских племен.

Выше я писал, что названия многих рек северного Причерноморья имеют скифское происхожвение. Название многих рек центральной России имеют финское происхождение: Волга - от слова valge - "белая", Мста - от слова musta - "черная", Ока - от слова joki - "река", Москва река - mustvee - "черная вода".

Ал-Бируни (973-1048) указывал, что севернее седьмого "климата " между Уралом и Балтийским морем живут народы "ису" и "юра". Ясно, что "ису" - финское племя "весь", а "юра" - угры, которые шли с Урала к территории нынешней Венгрии. На языке живущих в настоящее время за Уралом народов ханты и нанси ухо называется "пель" а по-венгерски - fil; слово "пель" вошло в состав русского слова "пельмени", которое на языке народов ханты и нанси означает "ухо-хлеб".

Русское слово "чемодан" произошло от персидского слова джамидан - "ящик для платьев". Слово "киоск"- от персидского слова кушк - "башня", пришедшего к нам через турецкое kosk и французское kyosque. Слово "фарфор" произошло от персидского слова багпур, которым персы называли китайского императора, обладавшего монополией на продажу фарфора. Русское слово "халат" произошло от арабского слова хилат - "рубаха", слово "сундук"- от арабского слова, означающего ящик. Слово "танк"произошло от индийского слова, означающего пруд, которым англичане называли металлические баки, а также изобретенные ими танки.Русское слово "миска" произошло от татарского слова мис - "медь", "лошадь"- от татарских слов лош и ат, означающих одну из конских пород, "очаг"- от татарских слов от и джаг, означающих "место огня", "кулак" - от татарского слова кул - "рука".

Письмена и алфавиты.

В детстве я коллекционировал алфавиты. С тех пор помню греческий и еврейский алфавиты.

Когда Зарине-зад учил меня арабскому языку и объяснил мне числовые значения арабских букв, он удивился, что я моментально их запомнил. На самом деле в этом не было ничего удивительного: арабский алфавит произошел из финикийского в котором порядок букв и их числовые значения были такими же, как в еврейском. Арабы изменили порядок букв и сократили их названия, но сохранили их числовые значения. Значение 1 имеют еврейский алеф и арабский алиф, 2 - бет и ба, 3 - гимел и джим, 4 - далед и даль, 5 - hей и hа, 6 - вов и вав, 7 - заин и за, 8 - хет и hа, 9 - тет и та, 10 - йуд и йа, 20 - каф и кяф, 30 - ламед и лям, 40 - мем и мим, 50 - нун и нун, 60 - самех и син, 70 - 'айн и 'айн, 80 - пей и фа, 90 - цаде и сад, 100 - коф и каф, 200 - реш и ра, 300 - син и шин, 400 - тов и та. На этом еврейский алфавит заканчивается и дальнейшие сотни евреи обозначают комбинациями букв, сумма значений которых равна этим сотням. Арабы обозначают сотни от 500 до 900 и 1000 буквами, которые они добавили к финикийскому алфавиту. О числовых значениях арабских букв я упоминал, когда писал о труде халифа Али.

Замечу, что слово шана -"год" на иврите обозначается тремя буквами с числовыми значениями 300, 50 и 5, сумма которых 355 равна числу дней лунного года, который лежит в основе еврейского календаря.

Название каждой буквы в финикийском алфавите было словом начинающимся с этой буквы, а сама буква была изображением предмета, называемого этим словом. Например, буква алеф имела вид перевернутой буквы А, а ее название обозначало голову быка, слово бет обозначало дом и буква бет имела вид прямоугольника с отверстием в середине нижней горизонтальной стороны.

Греки заимствовали свой алфавит у финикиян. Названия греческих букв -видоизмененные финикийские. К 22 финикийским буквам греки добавили 5 букв U, F, C, Y, W и получили 27 букв, необходимых для обозначения всех единиц, десятков и сотен. В первоначальном греческом алфавите были буквы "вау", "коппа" и "саби", соответствующие финикийским "ваву", "кофу" и "цаде". Так как у греков не было звука "ц" буква саби не применялась в письме, ее перенесли в конец алфавита и использовали только для обозначения числа 900. Коппа получила числовое значение 90, а буквы R, S, T, U, F, C, Y, W получили числовые значения от 100 до 800.

В византийскую эпоху буква b называлась не "бета", a "вита" и произносилась как "в", а звук "б" обозначался буквами mp, поэтому букву саби часто называют "сампи".

Буквы "вау" и "коппа" применялись еще в то время, когда на основе греческого алфавита был создан латинский алфавит и от этих двух букв произошли латинские буквы F и Q. Впоследствии вау и коппа перестали применяться в письме, но продолжали использоваться для обозначения чисел 6 и 90, причем в этом случае вау обычно записывалась в виде V.

Числовые значения греческх букв применялись Птолемей в "Алмагесте". В частности, он обозначал этими буквами цифры от 1 до 59 в шестидесятеричных дробях. Для нуля в этих дробях использовалась буква о (числовое значение которой было 70) с черточкой над буквой, возможно, что эта буква была выбрана как первая буква слова ouden - "ничто".

Римляне заимствовали латинский алфавит у греков, большое количество которых жило в Италии, но букву Г превратили в С, которую первоначально произносили как к, превратили Z в G, Y - V, которую произносили и как v и как u, букву I произносили и как i и как j, букву Н произносили как h.

Кирилл и Мефодий за основу славянского алфавита "кириллицы" взяли греческий алфавит, оставив числовые значения греческих букв.

Для обозначения звуков, которых не было в греческом языке в ту эпоху, Кирилл и Мефодий добавили новые буквы Б, Ж и многие другие, которые не имели числовых значений. Добавленные буквы Ш и Ц были взяты из еврейского алфавита. Числовыми значениями 6, 90 и 900 обладали буквы S, Ч и Ц. Для обозначения звука Ж, отсутствующего в греческом и в еврейском языках, Кирилл и Мефодий, следуя финикиянам, изобразили жука.

Возможно, что Ъ произошел от буквы, обозначавшей ноль.

Названиями букв кириллицы были славянские слова "аз", "буки", "веди", "глаголь", "добро" и т. д.

На основе греческого алфавита армянский просветитель Месроп Маштоц создал армянский, грузинский и алванский алфавиты, но в них было добавлено много новых букв, и числовые значения букв в этих алфавитах были не от 1 до 900, а от 1 до 9000.

Русская орфография.

Я много размышлял о русской орфографии и хочу сделать некоторые замечания по этому вопросу.

Современная русская орфография далеко не так консервативна, как английская, но и в ней имеются формы, соотвествующие произношению давно минувших времен, например, окончания -ого и -его и слово "сегодня", в котором буква г произносится как "в".

Буква Ы состоит из мягкого знака и буквы I, которая произносилась как "и". Однако слово "сыграть" показывает, что на самом деле буква Ы состоит из твердого знака и буквы, обозначающей "и". Поэтому по аналогии с другими гласными буквами следовало заменить букву Ы буквой I, которая в начале слогов читалась бы как "и", а после твердой согласной - как "ы", а буква И в начале слогов читалась как "йи", а после мягкой согласной как "и".

В русском языке имеются два вида буквы "е": один из них под ударением произносится как "е"только перед мягкой согласной, а перед твердой согласной произнисится как "йо" например ель - елка, сельский - села; другой вид буквы "е" произносится как "е" в обоих случаях.

В дореволюционной орфографии звук "е" во втором случае обозначался буквой "ять". Следуя примеру литовцев, которые буквой е обозначают звук "я", а звук "е" обозначают буквой е с точкой под ней, следовало бы и нам к букве е во втором случае добавить точку под ней.

В русском языке окончания прилагательных -ый, -ий никогда не бывают под ударением, под ударением бывают только окончания -ой, -ей (окончание -ей имеется только в словах "сей" и "чей").Поэтому следовало бы писать во всех случаях -ой, -ей и, в частности, вместо -кий писать -кой. Однако вследствие традиции, оканчание -кой произносят только некоторые артисты, а большинство русских говорят -кий.

История науки.

Я начал заниматься историей науки в Баку, когда мне поручили читать курс истории математики.

Мои первые работы по истории науки относились к ат-Туси и к другим математикам мусульманского средневековья. После возвращения в Москву я стал изучать творчество математиков и других ученых древности, эпохи Возрождения и XVI - XX веков.

Начну с изложения моих мыслей о древнегреческих ученых.

Фалес.

Первым ученым Древней Греции считается Фалес (VI в. до н.э.) один из "семи греческих мудрецов". Фалес, как и многие греческие философы того времени, был гилозоистом, т.е. считал все материальное живым. Слово "гилозоисты" происходит от греческих слов hyle - материя и zoe - жизнь. Потомок финикийских мореходов, Фалес считал началом всего воду.

Когда я редактировал книгу Э.Я.Кольмана "История математики в древности", я увидел, что Кольман написал: "Фалесу приписывают доказательство первых геометрических теорем, но во времена Фалеса еще не было геометрических аксиом, и поэтому никаких теорем Фалес доказывать не мог". Я убедил Кольмана, что аксиомы могли появиться только после попыток доказательства теорем, а о том, что представляли собой доказательства Фалеса, видно из формулировок его теорем: "Диаметр делит круг пополам", "В равнобедренном треугольнике углы при основамии равны", "Вертикальные углы равны", "Два треугольника равны, если сторона и примыкающие к ней углы одного треугольника равны стороне и примыкающим к ней углам другого треугольника","Треугольник, вписанный в полукруг, - прямоугольный".

Ясно, что первые три теоремы Фалес доказывал перегибанием чертежа, а 4-ю - наложением одного треугольника на другой, 5-ю теорему также можно доказать, дополняя прямоугольный треугольник до прямоугольника и перегибая полученный чертеж по осям симметрии прямоугольника.

Фалес был и астрономом, ему приписывают первое предсказание затмения.

Другие гилозоисты считали началом всего, не воду, а другие греческие элементы. Анаксимен и Диоген считали началом всего воздух, Гераклит, учившийся у персидских огнепоклонников, - огонь. Анаксимандр, ученик Фалеса и учитель Анаксимена, считал началом всего "неопределенное".

Пифагор и Демокрит.

Крупными древнегреческими математиками V в. до н.э. были Пифагор и Демокрит.

В предыдущей главе я цитировал строки стихотворения В.Я.Брюсова С Пифагором слушай сфер сонаты, Атомам дли счет, как Демокрит.

Но Пифагор был не только автором астрономической теории, согласно которой небесные сферы, несущие планеты, издают при своем вращении гармоничные звуки. Пифагор был великим математиком, имя которого носит знаменитая теорема, основателем одного вида математического атомизма и геометрической алгебры.

Демокрит был не только основоположником учения о физических атомах, но и основателем другого вида математического атомизма, оказавшего значительное влияние на дальнейшее развитие античной математики и, в частности, на Евклида. Демокритовскому математическому атомизму была посвящена книга С.Я.Лурье "Теория бесконечно малых у древних атомистов".

Проблемы математического атомизма у его основателей и их средневековых последователей неоднократно были предметом моих статей и докладов. Математические атомисты считали, что пространство в целом и геометрические фигуры являются не геометрическими местами, как считал Аристотель, а множествами точек, причем конечные образы пространства и геометрические фигуры состоят из конечного числа точек. Пифагорейцы считали, что точки не имеют размеров, а геометрические величины создаются расстояниями между точками. Демокрит же считал, что атомы пространства, принципиально неделимы и имеют конечные, хотя и очень малые размеры.

Пифагор отождествлял точки с единицами и представлял числа в виде геометрических фигур, числа точек в этих фигурах получили название "фигурных чисел". Частными случаями таких чисел являются квадратные и кубические числа, названия которых сохранились до настоящего времени. Изображая квадратные числа в виде квадратов, пифагорейцы называли корни из этих чисел сторонами или основаниями.

В V веке н.э. индийские астрономы перевели слово basis "основание" словом "пада", означающим основание стены и корень дерева. В VIII веке арабские математики перевели слово "пада" словом "джизр" - корень. В XII веке европейские математики перевели слово "джизр" латинским словом radix, которое впоследствии было переведено на живые европейские языки словами, означающими корень. Так появились термины современной математики "корень" и "радикал.".

Пифагорейцы называли произведения двух и трех чисел, соответственно, плоскими и телесными числами и изображали их прямоугольниками и параллелепипедами, что и привело к геометрической алгебре.

Так как Пифагор был одним из творцов геометрической алгебры, я считаю, что его доказательство "теоремы Пифагора" было таким. Рассматривая прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, Пифагор строил квадрат на гипотенузе и с внешней стороны этого квадрата пристраивал к нему треугольники равные данному. Получался большой квадрат со сторонами а+b. Так как площадь данного треугольника равна аb/2, то площадь большого квадрата равна c²+2ab. С другой стороны, так как большой квадрат можно разделить на два квадрата со сторонами а и b, и два прямоугольника, его площадь в силу известной теоремы геометрической алгебры равна а² + 2аb + b². Из равенства с²+2аb=a²+2ab + b² вытекает равенство c²= а²+b².

Пифагорейцы определили простые числа, которые нельзя представить в виде произведений, совершенные числа, равные суммам своих делителей, и дружественные числа - пара чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого числа.

В отличие от гилозоистов, которые считали началом всего те или иные материальные элементы, пифагорейцы считали началом всего абстрактное понятие - число, и объясняли все закономерности мира отношениями натуральных чисел.

Платон.

После открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков, отношения которых не являются отношениями натуральных чисел, их школа потерпела крах. Ей на смену пришла школа Платона (427-347 до н.э.), который заменил арифметику в объяснении закономерностей мира геометрией. Платон написал на дверях своей Академии "Да не войдет сюда необученный геометрии". Платон значительно способствовал развитию математики, его ученики Евдокс и Теэтет были крупными математиками.

Платон не любил Демокрита, скупал рукописи его сочинений и сжигал их.

Аристотель.

Занимался математикой и Аристотель (384-322 до н.э.) В своей "Физике" Аристотель дал определения непрерывности и бесконечности и сформулировал принцип: "Непрерывная величина не может состоять из неделимых частей, например, линия из точек". Аристотель считал, что непрерывная величина может быть только "геометрическим местом" в котором находятся точки. В "Первой Аналитике" Аристотель разработал теорию силлогизмов, а "Во второй Аналитике"- теорию доказательств.

По мнению Аристотеля мир состоит из трех областей :

Подлунного мира - от центра Земли до орбиты Луны, в котором действуют законы обычной физики,

Надлунного мира - от орбиты Луны до сферы неподвижных звезд, в котором возможно движение только с постоянной скоростью и по идеальным линиям - прямым и окружнастям,

Области за сферой неподвижных звезд, в которой живут боги.

Аристотель называл эти области областью физики, областью математики и областью божественной науки.

В обнаруженном мной в Баку математическом трактате Омара Хайяма приведены пять "принципов, заимствованных у Философа", 4 из которых являются известными утверждениями Аристотеля, откуда видно, что Философом Хайям называл Аристотеля. Тот из этих принципов, который отсутствует в известных нам сочинениях Аристотеля, гласит: "Две сходящиеся прямые линии пересекаются и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения". Этот принцип, равносильный V постулату Евклида, по-видимому, был сформулирован Аристотелем в одном из его сочинений, которое не сохранилось.

" Во "Второй Аналитике" Аристотель указывал, что те, кто писал о параллельных линиях, совершали логическую ошибку "постулирование основания", т.е. неявно предполагали выполненным утверждение равносильное доказываемому. Отсюда ясно, что "принцип Философа" равносильный V постулату Евклида, был сформулирован Аристотелем в результате анализа того, что писали его предшественники о параллельных линиях. Утверждениям о параллельных линиях в других сочинениях Аристотеля посвящена статья Имре Тота "Теория параллельных у Аристотеля".

Во многих трудах Аристотеля цитируются недошедшие до нас сочинения Пифагора и Демокрита.

Евклид.

Евклид (ок. 365 - ок.300 до н.э.) в своих "Началах" подвел итог античной элементарной геометрии и теории чисел. Когда Евклид закончил работу над этой книгой, он преподнес один экземпляр египетскому царю Птолемею I, в столице которого Александрии он работал. Царь перелистал книгу с непонятными для него чертежами и спросил Евклида: "Нет ли более короткого пути в науку, хотя бы для царя?". "Нет, - ответил Евклид, - нет царского пути в науку".

В Советском Союзе были очень популярны слова Маркса из его предисловия к французскому изданию "Капитала". Эти слова печатались на обложках тетрадей и были написаны на многих плакатах, висевших во всех школах и вузах : "К науке не ведет широкая столбовая дорога, и только тот может расчитывать достичь ее сияющих вершин, кто, не страшась трудов, карабкается по ее каменистым тропам". Перевод этот был сделан В.И.Лениным в одной из его статей. Во французском оригинале предисловия Маркса первые слова этого отрывка звучат так: "Il n'y a pas le roite royal pour la science", - "Нет царского пути в науку", т.е. Маркс процитировал слова Евклида. Ленин не знал этих слов Евклида и он перевел слова "царский путь" как "королевскую дорогу", которую он считал "широкой столбовой дорогой ".

Б.Л..Ван дер Варден доказал, что 13 книг "Начал" Евклида являются обработками сочинений греческих математиков IV века до н.э. На основе сочинений Гиппократа Хиосского составлены I книга об основах планиметрии, II книга о геометрической алгебре, III книга о кругах, IV книга о правильных многоугольниках и XI книга об основах стереометрии. На основе сочинений Евдокса составлены V книга о теории отношений геометрических величин, VI книга о подобии плоских фигур и XII книга о площадях и объемах.На основе сочинений пифагорейцев составлены VII-IX книги о теории чисел На основе сочинений Теэтета составлены X книга о квадратичных иррациональностях и XIII книга о правильних многогранниках.

Сочинение Гиппократа восходит к недошедшему до нас математическому сочинению Демокрита. Явно демокритовский характер носит I определение "Начал" - "Точка - то, что не имеет частей".

Однако в целом книга Евклида основана на математических принципах Аристотеля и содержит теорему о том, что любой отрезок может быть разделен пополам. По-видимому, восходит к принципу Аристотеля и V постулат Евклида.

"Оптика" Евклида была основана на представлении о зрительных лучах, выходящих из глаза и "ощупывающих" видимые предметы. Само слово "оптика" происходит от греческого слова opsis - "зрительный луч". Сравнивая "Оптику" и "Начала" Евклида я убедился, что "Оптика" основана не на учении Аристотеля, а на учении Демокрита.

Архимед.

Величайшим ученым древности являлся Архимед (ок. 290-212 до н.э.) он был и математиком и механиком и физиком и инженером. Я рассматривал многие сочинения Архимеда. Если Евклид для круглых фигур и тел определял только отношения их площадей и объемов, Архимед нашел площадь круга, объем шара и объемы других круглых тел. Архимед также определил площадь сегмента параболы и решил ряд других задач, которые в настоящее время решаются с помощью интегрального и дифференциального исчислений. Я рассмотрел в книге Архимеда "Леммы" задачу об арбелоне, т.е. фигуре, полученной из полукруга с диаметром a+b удалением из него двух полукругов с диаметрами a и b, которые являются отрезками диаметра большего полукруга. Архимед нашел, что площадь арбелона равна площади круга, диаметром которого является перпендикуляр восставленный к диаметру большего полукруга в точке касания малых полукругов. Я доказал, что эта задача равносильна теореме геометрической алгебры о разбиении квадрата со стороной a+b на два квадрата с площадями a2 и b2 и два прямоугольника с площадями ab, так как площади полукругов равны, соответственно, n(a+b)2/8, na2/8 и nb2/8, a площадь круга равного арбелону равна nab/4. Во время осады римлянами Сиракуз, где жил Архимед, он был душей обороны города и его технические ухищрения наводили ужас на римлян. В частности, Архимед сжигал корабли римлян, выстраивая солдат с медными щитами таким образом, что их щиты образовывали часть поверхностьи параболоида вращения, ось которого была направлена на Солнце, а фокус был в том месте, где находился римский корабль. Недавно греческий инженер Иоаннис Сакас воспроизвел сожжение корабля по методу Архимеда. Сожжение римских кораблей показывает, что Архимеду были известны фокальные свойства параболы и параболоида вращения. На могиле Архимеда в Сиракузах был поставлен камень, на котором выгравировано изображение цилиндра с вписанными в него конусом и шаром. Этот чертеж относится к одному из самых замечательных математических достижений Архимеда - выводу формулы объема шара. В своем послании к Эратосфену Архимед рассматривал прямой круговой цилиндр, высота которого равна радиусу его основания. Обозначим диаметр шара буквой D. В цилиндр вписаны прямой круговой конус, основание которого совпадает с нижним основанием цилиндра, а вершина - с центром А его верхнего основания, и шар, полюсы которого совпадают с центрами А и В верхнего и нижнего оснований цилиндра. Сечения этих трех тел плоскостью параллельной основаниям цилиндра на расстоянии х от точки А равны, соответственно, nD², nx² и nx(D-x). Архимед рассматривал эти сечения как материальные пластинки, веса которых равны их площадям. Он заметил, что если перенести сечения конуса и шара в точку С оси цилиндра, находящуюся на расстоянии D выше точки А, а сечение цилиндра оставить на месте и рассматривать линию САВ как рычаг с точкой опоры А, то моменты сечений цилиндра, конуса и шара будут равны, соответственно, nD²x, nDx² и nD²x-nDx². Поэтому перенесенные сечения конуса и шара будут уравновешивать сечение цилиндра. Архимед считал, что если равновесие имеет место для весов отдельных сечений, оно будет иметь место и для сумм этих весов. Суммой весов сечений тела Архимед считал вес всего этого тела, т.е. его объем. Если мы обозначим объемы цилиндра, конуса и шара, соответственно, V_ц, V_k, и V_ш, то сумма моментов перенесенных сечений равна V_кD+V_шD, a сумма моментов сечений цилиндра равна произведению его объема на расстояние от точки А до его центра тяжести, т.е. VuD/2. Так как V,<=V4/3, мы получаем, что v^vu/2-v4/3=vu/6 или, так как Vц=nD3, Vш=nD3/6. Если обозначить D =2R, мы можем переписать последнюю формулу в виде Vш = (4/3)nR3. Рассуждения Архимеда напоминают рассуждения Демокрита, но сечения тел у Архимеда не имеют конечной толщины, как у Демокрита, и между ними нет конечных расстояний, как у Пифагора. Поэтому у Архимеда сечения, из которых состоят тела больше похожи не на атомы античных атомистов, а на элементы множеств современной теоретико-множественной математики.

Аполлоний.

Самым блестящим математиком античности был Аполлоний Пергский (ок. 250 - ок.175 до н.э.). Я изучал его труды еще в Москве при подготовке "Хрестоматии по истории математики" и позже, когда я рассматривал происхождение стереографической проекции и инверсии относительно конических сечений. Более интенсивно я стал изучать труды Аполлония в Стейт Колледже всвязи с руководством мастерской и докторской диссертациями моей аспирантки Д.Родс.

Я упоминал, что предки Аполлония были жрецами бога Аполлона, и потомками жрецов хеттского бога Апулунаша, святилище которого находилось в Перге.

С культом Аполлона связано появление конических сечений: греки считали, что Аполлон родился на острове Делас. Однажды, согласно легенде на этом острове разразилась эпидемия чумы, и его жители, обратились к жрецам бога Аполлона, считавшегосяся покровителем медицины, с просьбой помочь им. Жрецы сказали, что надо удвоить кубический алтарь в святилище Аполлона. Делийцы изготовили второй кубический алтарв и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. Тогда жрецы сказали, что удвоенный алтарь также должен иметь форму куба, т.е. ребро х нового куба должно быть связано с ребром а первоначального куба соотношением х3=2а3. Эту задачу решил в IV в. до н.э. греческий математик Менехм с помощью пересечения двух парабол y2=2ах и x2=ау, где величена х равна абсциссе точки пересечения этих парабол.Менехм определял параболу как сечение поверхности прямого кругового конуса с прямым углом при вершине плоскостью перпендикулярной одной из прямолинейных образующих конуса и называл параболу "сечением прямоугольного конуса". Менехму приписывают также открытие других конических сечений гиперболы и эллипса - "сечение тупоугольного конуса" и "сечение остроугольного конуса".

Коническим сечениям были посвящены не дошедшие до нас сочинение Аристея "О телесных геометрических местах" и "Начала конических сечений" Евклида, а таже несколько сочинений Архимеда. Архимед определил также "сфероиды" - эллипсоиды вращения, "тупоугольный коноид"- одну полость двуполостного гиперболоида вращения и "прямоугольный коноид" - параболоид вращения.

Аполлоний в "Конических сечениях", в отличие от его предшественников, рассматривал не только прямые, но и наклонные круговые конусы, и сечение этих конусов произвольными плоскостями, а также плоские сечения конических поверхностей, расположенных по обе стороны от вершины конуса. Так как при этом старые названия конических сечений теряют свой смысл, Аполлоний дал коническим сечениям новые названия "парабола", "эллипс" и "гипербола" вместо применявшихся Менехмом, Евклидом и Архимедом названий "сечение прямоугольного конуса", "сечение остроугольного конуса" и "сечение тупоугольного конуса". Аполлоний определил эти кривые как сечения поверхности одного и того же прямого или наклонного кругового конуса, расположенной по обе стороны от вершины конуса. Словом "гипербола" Аполлоний называл только одну ветвь гиперболы, а обе ветви гиперболы он называл "противоположными гиперболами".

Аполлоний нашел уравнения параболы, эллипса и гиперболы в виде y2=2px, y2=2px-(p/a)x2 и y2=2px+(p/a)x2 в системе координат, одной из осей которых является произвольный диаметр сечения, а другой - касательная к сечению в конце этого диаметра. Эта система координат в общем случае является косоугольной.

Названия Аполлония параболы, эллипса и гиперболы означают, соответственно, "приложение", "недостаток" и "избыток". Эти названия связаны с тем, что при построении точек параболы применяется приложение к отрезку 2р прямоугольника с высотой х равновеликого квадрату со стороной у, а при построении точек эллипса и гиперболы применяется "приложение с недостатком" и "приложение с избытком". Аполлоний называл отрезок 2р "прямой стороной" сечения, а отрезок 2а - "поперечной стороной" эллипса или гиперболы.

Аполлоний понимал, что аналогом эллипса является пара противоположных гипербол. Поперечная сторона эллипса или гиперболы равна отрезку оси абсцисс между ее точками пересечения с эллипсом или с двумя ветвями гиперболы. Если перенести ось ординат параллельно так, чтобы она проходила через центр эллипса или гиперболы, уравнения этих кривых примут вид x2/a2 + y2/b2 =1 и x2/a2 - y2/b2 =1, где b2 =ap.

Аполлоний рассматривал метрические свойства конических сечений - оси симметрии, фокусы и инверсии относительно окружности, эллипса, гиперболы и параболы; аффинные свойства - диаметры, центр, сопряженные диаметры, асимптоты и касательные; проективные свойства - полюсы и поляры, двойные отношения, гармонические четверки точек.

Термины "абсцисса" и "ордината" происходят от латинских переводов тех выражений, которыми Аполлоний называл эти отрезки.

Аполлоний называл осью наклонного кругового конуса прямую, соединяющую вершину А конуса с центром круга основания. Если конус пересечен плоскостью конического сечения и эта плоскость высекает из плоскости основания конуса прямую DE, Аполлоний опускал на эту прямую из центра основания перпендикуляр, пересекающий поверхность конуса в точках B и C. Треугольник ABC, проходящий через ось конуса и его вершину А, Аполлоний называл осевым треугольником. Плоскость конического сечения, высекает из поверхности конуса эллипс, параболу или две ветви гиперболы. Осью Ох служит линия пересечения секущей плоскости с плоскостью треугольника ABC, ось Oy параллельна прямой DE. В случае эллипса и гиперболы Аполлоний выражал отношение 2а/2p через углы треугольника ABC и угол между прямыми BC и Ох. В случае пораболы Аполлоний выражал отношение 2р/АО через углы треугольника ABC.

Пары точек гармонических четверок Аполлоний называл "имеющими то же самое отношение". В современной математике отношения отрезков, составляющих двойное отношение гармонической четверки точек отличаются знаком, но античные математики, не применявших отрицательных величин, считали эти отношеня равными.

Используя двойные отошения, Аполлоний по существу рассматривал проективные ряды точек прямых и проективные пучки прямых и пользовался тем фактом, что коническое сечение можно получить как геометрическое место точек пересечения соответственных прямых двух проективных пучков. Этот факт в явном виде сформулировал только Якоб Штейнер (1796-1863). Аполлоний пользовался также тем, что касательные к коническому сечению соединяют точки двух проективных прямых, связанные проективным соответствием между этими прямыми.

Аполлоний доказал, что два конических сечения могут иметь не более 4 общих точек, а через 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой проходит единственное коническое сечение.

Аполлоний определял фокусы эллипса и гиперболы, как такие точки большой оси эллипса и вещественной оси гиперболы, которые лежат на поперечной стороне сечения, соответствующей этой оси, и обладают тем свойством, что произведение расстояний от этих точек до вершин сечения равно b2=ap и называл фокусы "точками начал приложений". Под приложениями он понимал прямоугольники, стороны которых равны расстояниям от фокуса до вершин сечения. Поэтому абсциссы х фокусов эллипса удовлетворяют условию x(2a-x)=ap и абсциссы х фокусов гиперболы удовлетворяют условию х(2а+х)=ар. Умножая обе части этих равенств на p/a мы получим в обоих случаях соотношение y2= p2, которое показывает, что в силу определения Аполлония, абсолютные величины ординат точек эллипсов и парабол, ординаты которых совпадают с ординатами фокусов, равны p.

Аполлоний доказал, что если вершины эллипса или гиперболы - точки А и B, касательные к сечениям в этих точках - прямые AC и BD, E - произвольная точка сечения, прямая CD - касательная к сечению в точке Е, а F и G - фокусы, то углы CFD и CGD - прямые для всех точек Е, а угол CEF равен углу GED.

В силу последнего равенства, если из одного фокуса эллипса выходят лучи света, то, отразившись от эллипса, они соберутся в другом его фокусе, и если в этом фокусе будет находится горючий материал, он загорится. Этим объясняется введенный Иоганнесом Кеплером (1571-1630) термин "фокус", происходящий от латинского слова focus - "очаг". В силу того же равенства, лучи, выходящие из фокуса гиперболы, отражаются от нее таким образом, что продолжения отраженных лучей пройдут через второй фокус гиперболы. Сам Аполлоний о свойствах световых лучей, выходящих из фокусов эллипса и гиперболы, не упоминал. Аполлоний доказал утверждения равносильные тому, что фокальные радиусы-векторы FE и GE точек Е сечения с абсциссами х в случае эллипса равны a+ex и a- ex, а в случае гиперболы равны ex+a и ex-a, где е - эксцентриситет эллипса, равный 1-p/a и эксцентриситет гиперболы, равный 1+p/a. Отсюда следует, что фокальные радиусы-векторы FE и GE точек Е эллипса и гиперболы равны произведениям е на расстояния от точек Е до прямых х = a/e и х =-a/e. Эти прямые в настоящее время называются директрисами эллипса и гиперболы.

Аполлоний не упоминал директрис, но указывал, что сумма фокальных радиусов-векторов точек эллипса и разность фокальных радиусов- векторов точек гиперболы постоянны и равны 2а.

Аполлоний не упоминал фокуса параболы и его свойств, в частности того свойства, которое использовал Архимед при обороне Сиракуз. По- видимому, Архимед, погибший при взятии Сиракуз римлянями, открыл это свойство фокуса параболы незадолго до своей гибели, и оно не было известно Аполлонию.

В V книги "Конических сечений"Аполлоний рассматривал проведение из любой точки плоскости нормалей к коническим сечениям, т.е. прямых перпендикулярных касательным в их точках касания. Аполлоний доказал, что отрезки этих нормалей являются минимальными или максимальными прямыми, проведенными из данных точек к коническим сечениям. Задача о проведении таких линий является частным случаем задачи об условном экстремуме, т.е. об определении максимума или минимума функции f(x,y) при условии, что переменные х, y связаны условием F(x, y) = 0.

Решение этой задачи в общем виде разработал Жозеф Луи Лагранж (1736 -1813), который свел ее к нахождению экстремума функции U(x, y) = f(x,y) + lF(x,y).

Вычисляя частные производные Ux и Uy для функции f(x,y) =(х -х0)2 + (y -y0)2.

И для уравнения F(x,y) = 0 конического сечения, приравнивая Ux Uy' нулю и исключая из полученных равенств l, мы найдем уравнение той самой вспомогательной гиперболы, которую определил Аполлоний при проведении нормалей к коническому сечению из точки М с координатами хо и уо. Если это сечение пересекается с вспомогательной гиперболой в точках N и P, то искомыми нормалями являются прямые MN и MP.

Несомненно, что Лагранж разработал свой метод, изучая решение Аполлония, изложенное в V книге "Конических сечений", которая появилась в латинском переводе Галлея в 1710 г.

В том случае, когда точки N и P сливаются, т.е. вспомогательная гипербола касается конического сечения, отрезок MN называется радиусом кривизны конического сечения в точке N, а точка М называется центром кривизны сечения в точке N. В настоящее время геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой этой кривой.

Аполлоний сначала находит центр кривизны конических сечений в их вершинах и доказывает, что радиусы кривизны сечений в их вершинах равны половинам прямых сторон сечений, соответствующих осям, проходящим через эти вершины. Далее Аполлоний приводит пропорции равносильные уравнениям эволют параболы, эллипса и гиперболы. Эволюта параболы -полукубическая парабола, состоящая из двух вогнутых кривых, соединенных в точке возврата. Эволюта эллипса - астроида -замкнутая кривая, состоящая из четырех вогнутых кривых, соединенных попарно в точках возврата. Эволюта гиперболы - псевдоастроида, состоящая из двух ветвей, каждая из которых образована двумя вогнутыми кривыми, соединенными в точке возврата. Все эти кривые - алгебраические, первая - 3-го порядка, вторая и третья -6-го порядка. Точки возврата этих кривых - центры кривизны параболы, эллипса и гиперболы в их вершинах. Аполлоний не рассматривал строения этих кривых.

Равносильность пропорций Аполлония и уравнений эволют конических сечений была доказана Т.Л.Хизсом в 1896 г., однако его доказательства были изложены столь кратко, что остались почти не замеченными в ХХ веке, Аполлоний не указывает каким образом он пришел к этим пропорциям. Профессор Киевского университета М.Е.Ващенко - Захарченко (1825 -1912) в своей "Истории геометрии", опубликованной в 1883 г., высказал предположение, что Аполлоний владел элементами дифференциального исчисления, но в своих работах формулировал результаты, полученные с помощью этого исчисления, в терминах античной математики. Ващенко - Захарченко не рассматривал пропорций Аполлония, которые изучал Хизс, но так как эволюты конических сечений являются огибающими нормалей этих кривых, получить их уравнения без помощи дифференциального исчисления не представляется возможным.

В VI книге Аполлоний доказал, что все параболы подобны между собой, и нашел условия подобия эллипсов и гипербол. Из этих условий следует, что всякие два эллипса и всякие две гиперболы можно перевести друг в друга аффинным преобразованием. Из определения Аполлония конических сечений следует, что всякие два конические сечения можно перевести одно в другое проективным преобразованием.

Аполлоний определял диаметры конических сечений как геометрические места середин параллельных хорд этих сечений, поэтому эти сечения переходят в себя при косом отражении от их диаметров в направлении параллельных хорд. Аполлоний не рассматривал преобразований конических сечений, являющихся произведениями косых отражений от двух диаметров, эти произведения являются аффинными преобразованиями, сохраняющими площади фигур и называемыми в настоящее время параболическими, эллиптическими и гиперболическими поворотами. Многие теоремы Аполлония могут быть легко доказаны при помощи этих поворотов, например, известная теорема из VII книги о том, что параллелограммы, построенные на сопряженных диаметрах эллипса или гиперболы равновелики прямоугольнику, построенному на осях этих сечений.

Выше я упоминал о других математических сочинениях Аполлония, в частности, о "Плоских геометрических местах", где рассматриваются инверсии относительно окружностей и другие преобразования, переводящие "плоские геометрические места ", т.е. прямые линии и окружности, в такие же геометрические места, и о трактате "Касания", где инверсии относительно окружностей применялись для решение геометрических задач.

Я упоминал о работах Аполлония по астрономии, в частности, о его теории двичения планет с помощью деферентов и эпициклов. Отмечу, что мнение Аристотеля о том, что в "надлунном мире" тела могут двигаться с постоянной скоростью по прямым линиям и окружностям, лежащее в основе небесной механики Аполлония, было опровергнуто трудами Кеплера, Галилея и Ньютона, которые доказали, что на самом деле небесная механика основана на тех же принципах, что и земная, и что благодаря этому планеты и кометы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которых находится Солнце. Созданная Аполлонием теория конических сечений нашла широкое применение в небесной механике.

Важное значение для астрономии имела стереографическая проекция сферы на плоскость, основанная на одном из первых предложений "Конических сечений" Аполлония, в котором доказано, что в наклонном круговом конусе кроме круговых сечений параллельных основанию имеется второе семейство круговых сечений. При стереографической проекции прямые, проектирующие точки окружности на сфере, образуют поверхность кругового конуса, в общем случае наклонного, и пересечение этой поверхности с плоскостью проекции является круговым сечением второго семейства. Поэтому при стереографической проекции окружности на сфере, не проходящие через центр проекции, изображаются окружностями на плоскости. Другим важным свойством этой проекции является ее конформность, т.е. сохранение углов между линиями. Стереографическая проекция применялась в изобретенном Аполлонием астрономическом инструменте "арахне"и в средневековых астролябиях, основанных на тех же принципах, что и инструмент Аполлония.

Менелай.

Моя книга "История неевклидовой геометрии" начинается с рассмотрения сферической геометрии в "Сфериках" математиков I I - I вв. до н.э. Феодосия и Менелая. Особенно важна книга Менелая, в которой доказано, что сумма углов сферического треугольника больше двух прямых углов, а также найдена первая теорема сферической тригонометрии - теорема Менелая о полном сферическом четырехстороннике. В этой теореме роль синусов дуг играют хорды, стягивающие эти дуги.

Птолемей.

Астрономический труд Клавдия Птолемея (ок.100-ок.200 н.э) обычно называемый "Алмагест", в греческом оригинале назывался "Syntaxis mathe- matike", т.е."Математическое сочинение", что отражало мнение Аристотеля о "надлунном мире" как области математики. Сочинение Птолемея в разных рукописях называлось по-разному, одно из этих названий "Megiste Syn­taxis " - "Величайшее сочинение" было переделано арабами в "ал- Маджисти", откуда и произошло общепринятое название "Алмагест". В I книге "Алмагеста" доказываются теорема Менелая, теорема Птолемея, равносильная формуле синуса суммы двух дуг, и приводится таблица хорд, равносильная таблице синусов. Птолемей применял теорему Менелая для решения задач сферической астрономии. В "Алмагесте" изложена теория движения Солнца, Луны и 5 планет по деферентам и эпициклам в пустом пространстве.

В другом астрономическом труде Птолемея "Планетные гипотезы" изложена теория движения тех же светил по трубам в массивных сферах. Идея массивных сфер, по-видимому, восходит к хрустальным сферам Пифагора".

Я изучал также другие сочинения Птолемея - "Оптику", "Гармонику" и "Географию". "Оптика" Птолемея, как и "Оптика" Евклида, основана на теории зрительных лучей. "Гармоника" посвящена теории музыки. "География" содержит интереснейшую информацию о морях, реках, народах и городах Европы, Азии и Африки. Птолемей называл Волгу Ра. В его времена на Волге не было ни русских, ни татар, но, как видно из его сочинения, была мордва, на одном из диалектов которой Волга и сегодня называется Рав. Реку Урал Птолемей называл Даикс, эта река и сегодня называется по-казахски Жаик, откуда ее старое русское название Яик. Из сочинения Птолемея видно, что предки казахов жили около этой реки и в его времена. Названия многих городов Восточной Азии у Птолемея оканчиваются на "-тра". Так как на персидском языке того времени "город" обозначался словом "шатра", ясно, что информация Птолемея о Восточной Азии была получена им от персов, которые до арабского завоевания обладали мощным морским флотом. Замечу, что китайское название компаса, буквально означающее "указатель юга", - перевод персидского названия. Скандинавию Птолемей считал островом и называл Скандией, Балтийское море он называл Венедским заливом. Венеды - название нескольких славянских племен. От одного из них происходит название Венеции. Немцы называют славян Восточной Германии Wenden. Вентичи или вятичи - одно из русских племен, от этого названия происходит эстонское название русских vene, подобно тому, как латышское название русских krievs происходит от названия другого русского племени - кривичей.

Среди германских племен Европы Птолемей называл неметов. Распространено мнение, что название "немец" появилось потому, что немецкие купцы не умели говорить по-русски и были "как немые". Меня всегда удивляло, почему название "немец" применялось только к одному народу, хотя остальные иностранцы находились в таком же положении. Из "Географии" Птолемея видно, что название "немец" произошло не от слова "немой", а от названия племени неметов, которые, по-видимому, какое-то время жили по соседству со славянами и с венграми, которые называют немцев nemet.

Диофант.

Просматривая каталог рукописей в библиотеке святилища Ризы в Мешхеде, я обнаружил, что в этой библиотеке имеется рукопись арабского перевода нескольких книг "Арифметики" Диофанта (III в. н.э.).Как я ни старался, мне не удалось получить фотокопию или микрофильм этой рукописи. Это удалось Рушди Рашеду из Парижа и Жаку Сезиано из Лозанны, которые издали эту рукопись с французским и английским переводами. Получив от них издания мешхедской рукописи, я перевел ее на русский язык и написал совместно с И.Г.Башмаковой и Е.И.Славутиным статью об этой рукописи. До появления этой рукописи из 13 книг "Арифметики" Дофанта было известно только 6. В этой рукописи оказался перевод еще 4 книг этого труда. "Арифметика" Диофанта это по существу алгебра (арабский переводчик озаглавил свой перевод "Алгебра"). В известных ранее 6 книгах встречались 6 степеней неизвестной величены - число, квадрат, куб, квадрато-квадрат, квадрато-куб и кубо-куб. В новых книгах появились еще две степени - 8-я - квадрато-квадрато-квадрато- квадрат и 9-я - кубо-кубо-куб.

Большая часть труда Диофанта посвящена неопределенным уравнениям, в которых находятся решения, выражаемые рациональными числами a/b, где а и b - натуральные числа. Уравнения Диофанта допускают геометрическую интерпретацию, предложенную И.Г.Башмаковой: неопределенные уравнения с двумя и тремя переменными можно рассматривать как уравнения линии на плоскости и поверхности в пространстве. Пару уравнений с тремя неизвестными можно рассматривать как уравнения линии в пространстве. Более сложные неопределенные уравнения и системы таких уравнений допускают интерпретации в многомерных пространствах.

Для получения решений Диофант обычно дополнял свои уравнения линейными уравнения до n уравнений с n неизвестными и находил решения этих систем.

Я изучал значение "гипергеометрических" названий степеней у Диофанта и других математиков для создания многомерной геометрии.

Папп и Теон.

Выше я упоминал александрийского математика Паппа (III в. н.э) Книга Паппа "Математическое собрание" содержит изложение многих результатов математиков предыдущих веков, труды которых не дошли до нас. В моей книге "История неевклидовой геометрии" я подробно рассматривал ряд теорем проективной геометрии, изложенных в труде Паппа, в том числе знаменитую теорему Паппа о шестиугольнике, вписанном в пару прямых.

Я изучал также дополнения Теона Александрийского (IV в.н.э.) к "Началам" Евклида и комментарии Теона к "Алмагесту" Птолемея, в которых он предлагал новое определение "составного отношения" геометрических величин с помощью умножения "знаменований отношений". Развитие этого определения математиками средневекового Востока привело к расширению понятия чосла до того, что мы называем вещественным числом. Теон был также изобретателем той разновидности астролябии, которая была особенно популярна в средние века.

Ал-Хорезми.

Многие мои работы и работы моих учеников по истории науки посвящены трудам математиков и астрономов средневекового Востока.

Первым крупным из этих ученых был Мухаммад ал-Хорезми (ок.780- ок.850), уроженец Хорезма в Средней Азии, работавший в Багдаде. Одно из его имен ал-Маджуси показывает, что он происходил из семьи "магов" - зороастрийских жрецов. Ал-Хорезми хорошо знал доисламскую персидскую и индийскую математическую и астрономическоую литературу и знакомил с ней арабов. Он был один из тех среднеазиатских ученых, которых собрал сын халифа Гаруна ар-Рашида ал-Ма'мун, когда был наместником Хорасана в Мерве, а затем, когда ал-Ма'мун стал багдадским халифом, перевез с собой в Багдад. В Багдаде ал-Хорезми стал руководителем, "Дома мудрости" - академии наук ал-Ма'муна.

В 1964 г. мы с Ю.Е.Копелевич издали в Ташкенте русские переводы арифметического и алгебраического трактатов ал-Хорезми. В арифметическом трактате, сохранившемся только в средневековом латинском переводе, ал-Хорезми познакомил арабов с "индийским счетом" - тем, что мы называем арабскими цифрами и с арифметикой с помощью этих цифр.

По имени ал-Хорезми руководства по арифметике с помощью арабских цифр назывались в средневековой Европе Algorismus и Algorithmus, от последнего из которых произошел термин "алгоритм". В алгебраическом трактате ал-Хорезми впервые появился термин "алгебра". В этом трактате ал-Хорезми рассмотрел три канонических вида квадратных уравнения с положительными коэффициентами x2+ax=b, x2+b=ax и x2=ax+b. Ал- Хорезми приводил алгебраические уравнения к каноническому виду с помощью операций "ал-джабра" - "восполнения" и "ал-мукабалы" - "противопоставления", которые состояли в переносе вычитаемых членов в другую сторону уравнения в виде прибавляемых и сокращения равных членов в обеих частях уравнения. Поэтому ал-Хорезми назвал свою книгу "Краткой книгой об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы". В латинских переводах наука, основанная ал-Хорезми, называлась algebra et al- mucabala. Впоследствии вторая половина этого названия была отброшена.

Для каждого канонического вида квадратных уравнений ал-Хорезми формулировал правило решения, которое доказывал с помощью геометрической алгебры. Например, в случае уравнения х2 + 10х =39 он изображал х2 в виде квадрата, пририсовывал к двум его смежным сторонам два прямоугольника со сторонами х и 5 и дополнял полученную Г-образную фигуру до полного квадрата квадратом со стороной 5. Так как площадь Г- образной фигуры по условию равна 39, площадь большого квадрата равна 39+25=64. Поэтому сторона большого квадрата равна 8, Но по построению эта сторона равна х + 5, откуда получаем х =3.

В алгебраическом трактате имеется "Глава об измерении", содержащая геометрические задачи, а также главы о разделе наследств и о других экономических вопросах. В одной из этих глав впервые встречается термин "капитал" (рас'ал-мал, буквально ''главное имущество"), под которым ал- Хорезми понимал ссудный капитал.

В 1983 г., когда отмечалось 1200-летие со дня рождения ал-Хорезми, эти два трактата были переизданы с рядом дополнений А.Р.Юшкевича и Г.П.Матвиевской, а также были опубликованы русские, узбекские и таджикские переводы многих сочинений ал-Хорезми и несколько сборников работ, посвященных ал-Хорезми. В сборнике, изданном в Москве, я опубликовал русские переводы двух небольших астрономических трактатов ал-Хорезми об астролябии и о солнечных часах, рукописи которых хранятся в Стамбуле, а также переводы сохранившихся фрагментов второго арифметического трактата ал-Хорезми и его "Книги истории", продолжением которой был знаменитый исторический трактат ат-Табари.

В этом и в других сборниках и журналах я опубликовал также статьи о различных трудах ал-Хорезми. К тому же юбилею была выпущена научная биография ал-Хорезми, написанная мной совместно с П.Г.Булгаковым и А.Ахмедовым. В этой книге и в ряде статей был дан анализ астрономических таблиц ал-Хорезми, его "Квадривиума", имеющихся только в средневековых латинских переводах, и его географического трактата.

В турецком журнале "Эрдем" я, Ахмедов и ад-Даббах опубликовали обзор всех астрономических трактатов ал-Хорезми, хранящихся в Стамбуле и Ташкенте. В астрономических трактатах ал-Хорезми приводятся заимствованные у индийских астрономов правила, равносильные теоремам сферической тригонометрии, а также геометрические построения, позволяющие графически получить результаты, выражаемые этими формулами. Такие построения, которые я называю геометрической тригонометрией, впоследствии часто применялись астрономами средневекового Востока.

Географический трактат ал-Хорезми представляет собой описание "карты ал-Ма'муна", составленной в "Доме мудрости". В книге ал-Хорезми указаны географические координаты более 2000 пунктов - городов, "середин стран", концов горных хребтов, узловых точек рек и береговых линий океанов, морей, озер и островов. Характер этих линий между узловыми точками ал-Хорезми описывал специальными терминами своей классификации кривых линий. Сведения о Западной Европе и Восточной Азии ал-Хорезми заимствовал из "Географии" Птолемея, сведения о странах Арабского халифата - у арабских и персидских путешественников.

"Квадривиум" ал-Хорезми содержит краткое изложение теории чисел, геометрии, астрономии и теории музыки.

В астрономических трактатах ал-Хорезми систематически пользовался линиями синусов, тангенсов и котангенсов, введенными индийскими астрономами. Эти астрономы, познакомившиеся с трудами александрийских ученых в V в., называли дугу окружности "луком", стягивающую ее хорду - тетивой, а перпендикуляр, опущенный из середины дуги на хорду, "стрелой". Позже они ввели линию синуса, равную половине хорды и назвали ее "полутетивой", но впоследствии для краткости стали называть ее тем же словом, что и тетиву. В VIII веке, когда арабы начали переводить труды индийских астрономов, они перевели слово "джива" - "тетива" в смысле хорды арабским словом ватар, обозначающим тетиву, а в смысле линии синуса оставили без перевода и транскрибировали как "джиб". Когда в XII веке европейцы начали переводить трактаты арабских астрономов на латынь, они приняли слово "джиб" за "джайб" - "пазуха, карман" и перевели его словом sinus. Тангенсы и котангенсы индийцы и арабы рассматрували как тени горизонтального и вертикального гномонов и называли "обращенными и плоскими тенями".

Ал-Фергани и Бану Муса.

В "Доме мудрости" работали Ахмад ал-Фергани ( ок. 800 - 861) и братья Бану Муса ибн Шакир.

Совместно с И.Г.Добровольским и Н.Д.Сергеевой я подготовил русские переводы астрономических трактатов ал-Фергани, которые в 1998 г. были опубликованы в Ташкенте во время празднования юбилея ал- Фергани. В том же году в Москве вышла написанная мной и Н.Д.Сергеевой научная биография ал-Фергани.

Ал-Фергани, родом из Ферганы в Средней Азии, работал в Багдаде, был послан в Каир халифом ал-Мутаваккилем для ремонта нилометра. После окончания ремонта он был казнен и похоронен на христианском кладбище Каира. По-видимому, ал-Фергани, ранее скрывавший то, что он продолжал тайно исповедовать христианскую веру, в Каире выдал себя контактом с египетскими христианами - коптами, из-за чего и погиб.

По моему совету ад-Даббах перевел геометрический трактат братьев Бану Муса "Книга познания измерений плоских и шаровых фигур".

М.М.Рожанская изучала "Книгу механики" братьев Бану Муса, в которой описаны 100 машин и механических приборов.

Сабит ибн Корра и Ибрагим ибн Синан.

Я много занимался изучением трудов ученика братьев Бану Муса Сабита ибн Корры (836 -901) сабия из Харрана, который смог при дворе багдадских халифов сохранить веру своих предков. Харран - город в Северной Сирии, в древности бывший одним из главных городов государства Митанни, жители которого были звездопоклонниками. После завоевания Александром Македонским жители Митанни и их религия подверглись эллинизации. Впоследствии жители Харрана усвоили сирийский язык - особую форму арамейского языка, на котором говорили многие народы Ближнего Востока. После арабского завоевания жители Харрана стали называть себя сабиями, так как эта религия была разрешена Кораном.

Большинство трудов Сабита ибн Корры были написаны по-арабски, но он писал и по-сирийски и знал греческий язык. Многие сочинения Архимеда и V-VII книги "Конических сечений" Аполлония, не сохранившиеся в греческом оригинале, дошли до нас только в арабских переводах Сабита ибн Корры.

В 1984 г. я издал сборник русских переводов трактатов Сабита ибн Корры, а в 1994 г. вышла его научная биография, написанная мной совместно с Н.Г.Хайретдиновой.

Сабит ибн Корра был автором двух доказательств V постулата Евклида, написанных сначала по-сирийски, а потом переведенных им на арабский язык. В обоих трактатах была допущена логическая ошибка "постулирование основания", в одном трактате это - предположение о существовании параллелограмма, в другом - предположение о возможности "простого движения", т.е. параллельного переноса, из чего вытекает существование прямоугольника. Параллелограммы и прямоугольники невозможны в неевклидовых геометриях Лобачевского и Римана и возможны только в евклидовой геометрии, поэтому из их существования Сабит ибн Корра легко выводил V постулат.

Сабит ибн Корра был автором многих арабских математических, астрономических, механических, физических, географических, философских и медицинских трактатов, а также исторических трактатов, написанных на сирийском языке.

В его математических трактатах рассматривались теория составных отношений, сферическая тригонометрия, теория чисел, геометрические измерения, задачи интегрального исчисления, теорема Пифагора и ее обобщения. В астрономических трактатах изучались движение Солнца и Луны, видимость Луны, солнечные часы, в механических трактатах - рычажные весы и теория рычага.

В "Книге о сечениях цилиндра и его поверхности" Сабит ибн Корра рассматривал аффинное преобразование, сохраняющее площади фигур и переводящее круг в эллипс той же площади. В этом трактате рассматривалась также площадь поверхности части наклонного кругового цилиндра между двумя непараллельными плоскостями, выражаемая эллиптической функцией.

В астрономических трактатах Сабита ибн Корры, как и в трактатах ал- Хорезми, изложен ряд правил сферической астрономии равносильных формулам сферической тригонометрии. В астрономических таблицах сабия ал-Баттани, известного в Западной Европе под именем Albategnius, изложено много астрономических правил Ибн Корры, а также приведена таблица географических координат городов из его географического трактата.

Я и мои ученики изучали также труды внука Сабита ибн Корры Ибрагима ибн Синана (908-946). Как показали мы с М.М.Рожанской, в трактате об измерении параболы Ибн Синан применял аффинные преобразования общего вида, а также рассматривал переменные величины.

Очень интересен трактат этого ученого о построении конических сечений, изучавшийся С.А.Красновой. И.О.Лютер показала, что при построении гиперболы Ибн Синан применял проективное преобразование, переводящее окружность х²+у²=а² в равностороннюю гиперболу х²-у²=а². Преобразование состоит в том, что в точке М окружности проводится касательная MN до продолжения горизонтального диаметра и в точке N восставляется перпендикуляр NP к этому продолжению равный МN. Точки Р образуют указанную гиперболу. Это преобразование может быть выражено формулами х'=a²/x, y'=ay/x.

Мутазилиты и ар-Рази.

Халиф ал-Ма'мун, покровительствовавший багдадским математикам и астрономам, по своим философским убеждениям был мутазилитом. Мутазилиты пытались дать рациональное обоснование догмам ислама и для этого использовали учение об атомистическом строении пространства и времени. Это учение позволяло им считать, что Аллах каждое мгновение заново творит мир и "ни один волос не может упасть с головы человека без воли Аллаха".

По вопросам математического атомизма у мутазилитов были два основные направления - школа ал-Джуббаи, которая развивала математический атомизм демокритовского типа, и школа ал-Ка'би, развивавшая атомизм пифагорейского типа. Имя ал-Ка'би, происходящее от слова ка'б - "куб", указывает на то, что он представлял тела в виде кубических решеток точек.

Просматривая 11-й том каталога рукописей ташкентского Института Востоковедения, я обнаружил сообщение о персидской рукописи, названной в каталоге "Трактат об исследовании частей тел". В описании рукописи она была названа "трактатом об измерении частей тел". Прочитав приведенное в каталоге начало рукописи, я понял, что название рукописи "Рисала-йи тахкик-и аджза'-и джисм "следует переводить "Трактат об исследовании частиц тела". В рукописи упоминался ал-Джуббаи и рассматривался вопрос о том, из скольких частиц, т.е. атомов пространства, состоит наименьшее тело. Трактат был написан в Средней Азии в XVIII веке, это указывает на то, что идеи математического атомизма были живы и в XVIII веке.Я опубликовал текст, русский и английский перевод этой и аналогичной арабской ташкентской рукописи в 1993 г. в Москве и Нью Дели.

Математический атомизм развивался не только религиозными философами, но и некоторыми учеными, работавшими в области естественных наук. К ним относился Абу Бакр ар-Рази (865- 925) автор знаменитых медицинских трактатов "Мансурова книга" и "Всеобъемлющая книга" и алхимических трактатов "Книга тайн" и "Книга тайны тайн".

Ар-Рази был известен в Западной Европе под именем Rhases.

Ал-Бируни, который считал себя продолжателем идей ал-Рази, составил список его трудов. В этом списке ал-Бируни упоминает сочинения ал-Рази "Книга о времени и пространстве", "Трактат о том, что [тот факт, что] диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, не относится к геометрии" и "Что имело место между ним и Абу'л-Касимом ал-Ка'би [по вопросу] о времени". В последнем трактате, по-видимому, ар-Рази защищал демокритовский математический атомизм. Совместно с Н.К.Маруповым мы анализировали сохранившиеся сведения о физических трактатах ар-Рази.

Ал-Фараби и ал-Бузджани.

Крупнейший арабский философ, уроженец Фараба на Сырдарье, ал- Фараби (ок.870 - 950) был автором нескольких математических и астрономических трудов. Так как Фараб находился на территории нынешнего Казахстана, а сам ал-Фараби происходил из тюркской военной аристократии, казахи относят его к предкам своего народа. Особенно активно изучал творчестно ал-Фараби мой ученик казах Ауданбек Кубесов.

Ал-Фараби был автором огромного энциклопедического труда "Второе учение" ("Первым учением" считалась "Первая философия" Аристотеля), самого ал-Фараби называли "Вторым учителем".

"Второе учение" состояло из изложения логики, физики, математики, астрономии, музыки и метафизики ("божественной науки"). Сохранились только логическая, астрономическая и музыкальная части этого труда.

Мы с Кубесовым издали русские переводы математических трактатов ал-Фараби, важнейшие из которых - его комментарии к Евклиду и трактат о геометрических построениях, а также астрономическую часть его энциклопедии - комментарии к "Алмагесту" Птолемея. В Алма-Ате и Ташкенте изданы также русские и казахские переводы многих трактатов ал-Фараби.

Трактат ал-Фараби о геометрических построениях был дополнен багдадским математиком и астрономом Абу'л-Вафой ал-Бузджани (940­998) учеником ученика Сабита ибн Корры.Трактат ал-Бузджани о геометрических построениях был издан в русском переводе моей ученицы С.А.Красновой. Ее перевод впоследствии был использован мной и Кубесовым при подготовке перевода трактата ал-Фараби.

В трактатах ал-Фараби и ал-Бузджани парабола называлась +"зажигательным зеркалом", а фокус параболы -"точкой зажигания". Из задач, решенных в этих трактатах, отметим задачу о построении квадрата равновеликого сумме n равных данных квадратов, равносильную задачи построения диагонали n-мерного куба, ребро которого равно стороне каждого из данных квадратов.

Ал-Бузджани был также автором арифметического трактата, в котором единственный раз в известной нам средневековой арабской литературе встречаются отрицательные числа. Следуя индийцам, он называет -20 "долг 20", этот термин был известен и математикам средневековой Европы, называвшим "долг" debitum.

Важную роль в истории астрономии сыграла обработка ал-Бузджани "Алмагеста" Птолемея.

Ал-Хазин.

В VI томе "Научного наследства" я издал свой перевод трактата о пифагоровых тройках чисел Абу Джафара ал-Хазина (ум. ок.965), сабия, работавшего в Хорасане. Пифагоровыми тройками называются такие тройках чисел a, b, c, для которых a2+b2=c2. В этом трактате указан закон композиции квадратичных форм.

( х2+у2) ( u2+v2) = (xu-yv)2 + (xv+yu)2, равносильный закону умножения комплексных чисел x+iy и u + iv.

Ал-Хазин был также автором комментариев к "Началам" Евклида и астрономического трактата, в котором он рассматривал движение Солнца, Луны и планет в массивных сферах.

Братья чистоты.

В Х веке в Басре и Багдаде работала группа ученых, писавшая трактаты под общим псевдонимом "Братья чистоты и друзья верности". Всего эти "Бурбаки Х века" написали 51 трактат. Эти трактаты охватывали все науки того времени - математические науки, логику, физику, геологию, биологию, медицину, философию, психологию и "божественную науку". В математические науки входили, кроме обычного квадривиума т.е. теории чисел, геометрии, астрономии и теории музыки, также теория отношений и география. В логических трактатах излагались "Органон" Аристотеля и "Введение" Порфирия к "Категориям" Аристотеля.

Я и мои ученики особенно внимательно изучали геометрический трактат Братьев чистоты. В этом трактате рассматривались два вида геометрии: чувственная - то, что постигается зрением и осязанием - и умственная - то, что постигается разумом. Чувственной геометрией Братья чистоты называли атомистическую геометрию, умственной геометрией они называли геометрию "Начал" Евклида. Чувственную геометрию Братьев чистоты можно было бы назвать геометрией "Оптики" Евклида.

Ал-Кухи и ал-Сиджзи.

Во многих работах моих учеников изучались трактаты иранских математиков X -XI вв. Абу Сахла ал-Кухи и Абу Саида ас-Сиджзи.

В диссертации С.А.Красновой подробно описан "совершенный циркуль" ал-Кухи для вычерчивания конических сечений.

Р.Сафаров перевел на русский язык и опубликовал в ИМИ трактат ал- Сиджзи "Книга об измерении шаров шарами", посвященный трехмерной геометрической алгебре. В этом трактате рассматривается разбиение куба с ребром a+b на кубы a3 и b3 и три параллелепипеда объемом (a+b)ab и аналогичное разбиение шара, обобщающее задачу Архимеда об арбелоне.

Ибн Сина.

Энциклопедический трактат ал-Фараби получил дальнейшее развитие в "Книге исцеления" одного из крупнейших ученых средневековья Абу Али Ибн Сины (980-1037), известного в Европе под именем Авиценны. В названии этого трактата имелось в виду "исцеление души от невежества".

Я с Н.А.Садовским перевели на русский язык и издали в Душанбе математические главы "Книги знания" персидского сокращения "Книги исцеления". Строение "Книги исцеления " и ее сокращений - "Книги спасения" и "Книги знания" было таким же, как строение "Второго учения" ал-Фараби: логика, физика, квадривиум, "божественная наука".

В средние века была очень популярна "триада Авиценны" - его учение о том, что общие понятия могут быть трех видов - в разуме Бога, в вещах и в человеческом разуме. В Западной Европе эта триада развивалась Фомой Аквинским, который называл три вида общих понятий Ибн Сины "до вещей", "в вещах" и "после вещей".

Ибн Сина был крупнейшим врачом средневековья, по его "Канону медицины" учились врачи и Востока и Западной Европы. В "Каноне медицины", рассматривая строение глаза, Ибн Сина объяснял зрение не с помощью зрительных лучей, как Евклид и Птолемей, а с помощью лучей, выходящих из источника света.

Ибн Сина был также автором философских, астрономических и математических трактатов и стихов.

В 1980 г. в родном городе Ибн Сины Бухаре, а также в Душанбе и Ташкенте праздновались 1000-летие со дня рождения Ибн Сины.

К этой дате было выпущено много сборников статей, посвященных этому ученому, я участвовал во многих из этих сборников.

Ибн ал-Хайсам.

Во многих моих работах и работах моих учеников изучалось творчество одного из крупнейших ученых средневекового Востока ал-Хасана ибн ал- Хайсама (965 - ок.1040), известного в Европе под именем Альхазен, его часто называют "Отцом оптики", так как его "Книга оптики" была основным руководством по этой науке и на Востоке и в Западной Европе.

Ибн ал-Хайсам был также автором большего числа трактатов по оптике, математике и астрономии.

Выше я упоминал о найденной в Самаре рукописи, содержащей несколько трактатов Ибн ал-Хайсама и список его сочинений, составленный им самим за несколько лет до известного ранее списка, помещенного в книге Ибн Аби Усайби'и.

Я перевел на русский язык и опубликовал два доказательства V постулата Ибн ал-Хайсама в его комментариях к "Началам" Евклида. В одном из этих доказательств он сделал ту же логическую ошибку постулирования основания, что и Сабит ибн Корра - допустил существование "простого движения", но во втором же доказательстве явно заменил V постулат Евклида эквивалентным ему утверждением, что одна прямая не может быть параллельна двум пересекающимся прямым. Это утверждение впоследствии получило название "аксиомы Плейфера". В первом доказательстве Ибн ал-Хайсам рассмотрел четырехугольники с тремя прямыми углами и три гипотезы о 4-м угле этих четырехугольников - гипотезы острого, тупого и прямого углов. Эти четырехугольники и гипотезы рассматривались в XVIII веке И.Г.Ламбертом. Гипотеза острого угла выполняется в неевклидовой геометрии Лобачевского, гипотеза тупого угла - в неевклидовой геометрии Римана, а гипотеза прямого угла - в евклидовой геометрии.

Ибн ал-Хайсам был также одним из основателей психологии, вопросы психологии были изложены в его "Книге оптики". Поэтому психологический термин "рефлекс" происходит от слова reflexio - "отражение".

Другие вопросы в комментариях Ибн ал-Хайсама к Евклиду рассмотрела моя ученица Г.З.Кулиева.

Трактаты Ибн ал-Хайсама о вычислении объемов изопериметрической задачи изучал Дж. ад-Даббах.

Трактаты Ибн ал-Хайсама о зажигательных зеркалах изучала моя ученица Н.В.Орлова.

Вопросы механики в сочинениях Ибн ал-Хайсама рассматривали М.М.Рожанская и Т.Д.Столярова.

Ал-Бируни.

Крупнейшим ученым средневекового Востока был Абу'р-Райхан ал- Бируни (973 -1048). Ал-Бируни родился в древней столице Хорезма Кясе, ныне это город Бируни в Каракалпатии, входящей в состав Узбекистана. Учителем ал-Бируни был хорезмский астроном и математик Ибн Ирак, родственник шаха Хорезма, учившийся в Багдаде у ал-Бузджани. Позже ал- Бируни работал в иранских городах Рее, ныне входящем в состав Тегерана, и Горгане на берегу Каспийского моря, в новой столице Хорезма Гургандже (ныне Ургенч - главный город Хорезмской области Узбекистана). После завоевания Хорезма Махмудом Газневи ал-Бируни работал в его столице Газне (ныне в Афганистане) при дворе Махмуда, его сына Мас'уда, (которому посвящен "Канон Мас'уда) и внука Маудуда. Во время похода Махмуда в Индию ал-Бируни некоторое время жил в Индии.

Труды ал-Бируни были предметом многих моих работ и работ моих учеников. Я уже упоминал о русских переводах сочинений ал-Бируни и таджикской транскрипции "Книги вразумления", подготовленных при моем участии.

В 1973 г. к празднованию 1000-летия со дня рождения ал-Бируни были опубликованы научная биография ал-Бируни, написанная мной, М.М.Рожанской и З.К.Соколовской, книга об ал-Бируни, написанная мной и Б.М.Кедровым, и несколько сборников, в которых я участвовал. Юбилей ал- Бируни отмечался в Москве и Ташкенте.

При подготовке переводов сочинений ал-Бируни я консультировался с замечательным арабистом Михаилом Александровичем Салье, переводчиком "Тысячи и одной ночи" и I тома "Избранных произведений" ал-Бируни. М.А.Салье поначалу относился ко мне свысока, как мэтр к начинающему. Его отношение ко мне изменилось при следующих обстоятельствах. В переводе I тома ал-Бируни Салье привел таблицу звезд "стоянок Луны" - групп звезд, в которых Луна находится в каждый день лунного месяца. Эта таблица состояла из 7 столбцов - название стоянки, положение звезды в созвездии, "количество звезд в созвездии", долгота звезды, широта звезды, сторона (северная или южная),"величина" звезды. В 3-м столбце стоят цифры, часто подряд, например 22, 23, 24. Я сказал Салье, что в 3-м столбце указано не количества, а номера звезд в созвездии по звездному каталогу Птолемея. В арабском языке, как и в многих других языках, "число" и "номер" выражаются одним и тем же словом. Салье понял свою ошибку и изменил свое отношение ко мне.

III книга "Канона Мас'уда" посвящена вопросам математики, необходимым для астрономии. Здесь вычислены хорды, стягивающие дуги равные 1/n окружности, т.е. стороны правильных многоугольников, вписанных в круг, даны определения тригонометрических линий, доказаны теоремы синусов плоской и сферической тригонометрии и приведены таблицы синусов и тангенсов.

В начале 5-й главы этой книги ал-Бируни писал: "Хотя единичное и относится к объектам счета, но если рассматривать единицу в [совокупности сущностей] обладающих веществом, то она не является истинной по своей сущности, а [принята] условно и по общему соглашению, как в части деления окружностей кругов....У окружности круга к его диаметру имеется некое отношение, поэтому у числа окружности к числу диаметра также есть отношение, хотя оно и иррационально". Под "сущностями, обладающими веществом" ал-Бируни имел в виду непрерывные величины, для которых, в отличие от натуральных чисел, единица выбирается условно, как градус для дуг окружности. Под "числом диаметра" он имел в виду натуральное число 2, а под "числом окружности" - обобщение понятия числа, то, что мы называем вещественным числом (как подходит этот термин к термину ал- Бируни "сущности, обладающие веществом"!). Иррациональное отношение, о котором здесь говорится - число п.

Определив синусы и тангенсы и приведя их таблицы, ал-Бируни формулирует правило квадратичного интерполирования этих таблиц, а затем приводит такое же правило "для всех таблиц", т.е. для всех рассматриваемых им функций. В следующих книгах "Канона Мас'уда" встречается большое число функций, являющихся комбинациями алгебраических и тригонометрических функций. Ал-Бируни называл функции "таблицами", так как задавал их с помощью таблиц. Изучению функциональных зависимостей, рассматриваемых в "Каноне Мас'уда", была посвящена кандидатская диссертация М.М.Рожанской.

В книгах "Канона Мас'уда" о движении Солнца, Луны и планет имеются главы, названия которых мы перевели как главы о наглядном представлении движения этих небесных тел. На самом деле в этих главах ал-Бируни изложил восходящую к "Планетным гипотезам" Птолемея теорию движения этих тел по трубам в массивных небесных сферах.

В "Книге вразумления" ал-Бируни подробно изложил технику астрологических предсказаний, а в конце этой части книги написал, что для удачного предсказания прежде всего следует выяснить, что хочет услышать клиент, но искусство астролога состоит в том, чтобы, умело воспользовавшись имеющимися в его распоряжении элементами произвола, получить нужный результат с помощью канонического алгоритма астрологических предсказаний.

Я и мои ученики много занимались трактатами ал-Бируни об астролябиях. Сам ал-Бируни считал свою "Книгу исчерпания всех возможных способов построения астролябии" настолько важной, что, находясь в Индии, перевел ее на санскрит для индийских ученых вместе с "Началами" Евклида и "Алмагестом" Птолемея. Эта книга и три другие сочинения ал-Бируни об астролябиях - "Книга о том, что превращает потенцию астролябии в действительность", "Книга о способе применения видов астролябии" и " Книга жемчужин о проектировании сферы на плоскость" были переведены на русский язык учеником М.А.Сабирова Садыкджаном Вахабовым, защитившим на основе изучения этих сочинений кандидатскую диссертацию.

В "Книге исчерпания" в разделе о построении "совершенной" астролябии ас-Сагани, в которой стереографическая проекция небесной сферы на плоскость из одного полюса сферы, применяемая в обычных астролябиях, заменена проектированием небесной сферы на плоскость из произвольной точки оси небесной сферы, ал-Бируни применяет проективное преобразование.

Омар Хайям.

В главе "Баку" я упоминал, что первыми сочинениями, которые я перевел с арабского на руссий язык были три сочинения Омара Хайяма (1048- 1131). В 1962 г. я опубликовал в Москве сборник трактатов Хайяма, содержащий факсимиле рукописей и переводы двух математических трактатов, механического трактата, пяти философских трактатов, отрывка из астрономических таблиц, а также "Книги о новом годе".

В "Трактате о доказательстве задач алгебры и алмукабалы", Хайам дал классификацию кубических уравнений, имеющих положительные корни, и для каждого типа уравнений предложил решение с помощью пересечения двух конических сечений, являющихся окружностью, равносторонними гиперболами с горизонтальными и вертикальными осями или асимптотами и параболами с горизонтальными или вертикальными осями. При этом Хайям подчеркивал аналогию между окружностями и равносторонними гиперболами.

Геометрический трактат Хайяма "Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида" состоит из трех частей: 1) о теории параллельных линий, 2) о теории отношений, 3) о теории составных отношений.

В 1-й части Хайям предложил доказательство V постулата Евклида на основе более наглядного постулата Аристотеля. В этом доказательстве Хайям впервые рассматривал четырехугольник с двумя прямыми углами при основании и двумя равными боковыми сторонами и три гипотезы о его равных верхних углах. Этот четырехугольник и три гипотезы рассматривал в XVIII веке Дж.Саккери. Как и в случае четырехугольника Ибн ал-Хайсама гипотеза острого угла выполняется в неевклидовой геометрии Лобачевского, гипотеза тупого угла - в неевклидовой геометрии Римана, а гипотеза прямого угла - в евклидовой геометрии.

Во 2-й части Хайям переоткрыл определение Теэтета равенства отношений, основанное на представлении отношений в виде непрерывных дробей и доказал эквивалентность этого определения и определения Евдокса, изложенного в V книге "Начал" Евклида. Обрывая непрерывные дроби можно получить рациональные приближения отношений с любой степенью точности.

В 3-ей части Хайям, развивая идею Теона о "знаменованиях" отношений, связывал с каждым отношением геометрических величин А/В обобщение понятия числа равносильное положительному вещественному числу. Подобно ал-Бируни Хайям писал: "Выберем единицу и сделаем ее отношение к величине G, как А к B. Будем смотреть на величину G не как на линию, поверхность, тело или время, но будем смотреть на нее, как на величину отвлеченную разумом от всего этого и принадлежащую к числам, но не к числам абсолютным и настоящим". Под абсолютными и настоящими числами Хайям имел в виду натуральные числа. Далее Хайям доказывает, что "число" G составного отношения равно произведению аналогичных "чисел" отношений, из которых состоит это составное отношение.

В механическом трактате решается задача определения количеств золота и серебра в сплаве с помощью его взвешивания в воздухе и в воде.

В философском трактате "Ответ на три вопроса" Хайям подверг ревизии "триаду Авиценны", считая, что общие понятия бывают только в вещах и в человеческом разуме. Эта утверждение Хайяма совпадает с точкой зрения европейских номиналистов, согласно которым общие понятия это только названия (nomina).

Сохранившийся отрывок из "Маликшахских астрономических таблиц" содержит список 100 неподвижных звезд с указанием их эклиптических долгот и широт и приписываемых им "темпераментов".

В персидской "Книге о новом годе" ("Науруз- наме") описывается празднование зороастрийского Нового года (Науруза) в доисламском Иране и реформы персидского солнечного календаря. Лунный год, введенный в Иране после его завоевания арабами, был короче солнечного на 10 дней и был неудобен для сельскохозяйственных работ. Поэтому иранские крестьяне пользовались доисламским солнечным календарем. Так как солнечный год немного больше 365 дней, его начало приводили к одному и тому же времени с помощью високосных годов, которые определялись различными календарными реформами. Хайям описал эти реформы и упомянув ту реформу, для разработки которой он был приглашен султаном Маликшахом в его столицу Исфахан, указал, что он не смог довести эту реформу до конца. Доисламский новый год начинался в день весеннего равноденствия и в организованной Хайямом обсерватории в течение ряда лет проводились наблюдения наступление этого момента. Хотя Хайям не пришел к окончательному выводу, предложенная им система високосов, состояла в том, что в течение 33-летнего периода было 8 високосных лет. В этом календаре ошибка в 1 день образуется за 5000 лет, в то время как в грегорианском календаре такая ошибка образуется за 3333 года. Календарь Хайяма, называемый по имени султана Джалал ад -Дина Маликшаха "джалали" или "малики", был хорошо известен в странах Востока. Хайяму не удалось довести разработку реформы до конца, из-за убийства Маликшаха ассасинами и разрушения обсерватории Хайяма. Хайям надеялся своей книгой побудить преемников Маликшаха дать ему возможность продолжить свои наблюдения.

Позднее я и мои ученики перевели на русский язык и издали в ИМИ другой алгебраический трактат Хайяма, еще один его трактат о весах и трактат о музыке.

В 1957 г, мы с С.Б.Морочником опубликовали книгу "Омар Хайям - поэт, мыслитель и ученый". В 1965 г. мы с А.П.Юшкевичем опубликовали научную биографию Хайяма. В 1999 г. я и Ш.А. де Фушекур опубликовали статью "Омар Хайям" во 2-м издании Энциклопедии Ислама.

В 2000 г. в родном городе Хайяма Нишапуре состаялся Международный конгресс посвященный 900-летию Хайяма. На этом конгрессе был прочитан мой доклад об исследованиях творчества Хайяма в России.

Ал-Идриси.

Когда я был в Таллинне, я увидел в городском музее увеличенную страницу с арабским текстом. Оказалось, что это первое упоминание о Таллинне в книге арабского географа Мухаммада ал-Идриси (1100- ок.1165).

Ал-Идриси работал на острове Сицилия при дворе норманского короля Роджера. Сицилия была отвоевана норманами у арабов и арабский язык был там широко распространен. Книга ал-Идриси была посвящена королю и называлась "Книга Роджера". Эта книга содержала подробное описание Европы, Азии и Африки и имела большое количество карт. Кроме круглой карты мира книга ал-Идриси содержала прямоугольные карты 70 участков Земли, являющихся пересечениями семи "климатов" и десяти полос, идущих с севера на юг. В описаниях стран указывались сухопутные и водные дороги и количества дней пути по этим дорогам между различными городами.

Ал-Идриси называл Эстонию Астланда, а город Таллинн, который русские называли Колывань он называл Калубан. Волгу ал-Идриси именовал арабским названием Итиль, откуда ее современное татарское название Идель. Днепр у него назывался Днабр, а Дон - ан-нахр ар-Русия - "река России", слово "ан-нахр" является переводом скифского названия реки Дон. Среди русских городов ал-Идриси упоминает Мунишк - Минск и Сунубули - Смоленск.

Особенно хорошо ал-Идриси был знаком с Западной Европой того времени. Англию ал-Идриси называл Ингилтара - от итальянского названия этой страны Inghilterra, Данию - Данамарха, Исландию - Исланда, Норвегию - Нурваджа. Ал-Идриси указывал многие города Западной Европы, столицу Норвегии Осло называл Услу, это старинное название своей столицы норвежцы вернули только в 1905 г.

Насир ад-Дин ат-Туси.

Математическим трудам Насир ад-Дина ат-Туси (1201- 1274) была посвящена моя первая работа 1951 г. по истории науки. Его "Трактат о полном четырехстороннике" был первым средневековым сочинением, в переводе которого я участвовал. Позже я перевел и опубликовал в ИМИ трактат ат-Туси о параллельных линиях и неоднократно рассматривал его "Изложение Евклида". Изложение ат-Туси трактатов Архимеда было темой кандидатской диссертации моего ученика А.Кубесова.

Насир ад-Дин ат-Туси сначала работал в государстве иранских террористов - ассасинов, наводивших ужас на весь Ближний Восток, где ат- Туси написал несколько трактатов, в том числе "Трактат о полном четырехстороннике" на персидском языке.

В начале монгольского завоевания Средней Азии и Ирана ассасины убили нескольких монгольских военачальников, что привело к истреблению ассасинов монголами и к осаде столицы ассасинов Аламута. Ат-Туси, живший в то время в этом городе, уговорил главу ассасинов сдаться монголам и сам перешел на сторону монголов, у которых он вскоре сделался советником Хулагу-хана. Другим советникон хана был астроном и математик Хусам ад-Дин Салар, ранее служивший в Хорезме и перешедший на сторону монголов после того, как шах Хорезма решил напасть на Багдад, где тогда еще находился халиф.

Ат-Туси в своих трактатах, написанных у ассасинов, упоминал Салара с большим уважением, но оказавшись вместе у монголов, они стали враждовать. Когда монголы решили идти на Багдад, Салар, как и в Хорезме, стал предостерегать против нападения на священную особу халифа, но ат- Туси убедил монголов, что взятие Багдада никаких бед не принесет. Монголы взяли Багдад и уничтожили Багдадский халифат, ат-Туси лично вел с халифом переговоры о сдаче, после чего стал главным советником Хулагу-хана.

После взятия Багдада ат-Туси уговорил Хулагу-хана построить в его столице Мараге в Иранском Азербайджане астрономическую обсерваторию и научный центр. Обсерватория была построена и Хулагу-хан приказал своим солдатам не убивать ученых, как они делали раньше, а привозить их в Марагу, и свозить туда все научные книги и инструменты.

Вскоре Марагинская обсерватория стала крупнейшим в мире научным центром. Работал в ней и Салар, но после появления арабской версии "Трактата о полном четырехстороннике", где ат-Туси сурово критиковал его, научный авторитет Салара заметно уменьшился, что позволило монголам казнить его за "багдадское пророчество".

"Трактат о полном четырехстороннике" был одним из первых сочинений, специально посвященных сферической тригонометрии. Теоремой о полном четырехстороннике называли теорему Менелая - первую теорему сферической тригонометрии. Ат-Туси решил все 6 случаев задач определения сторон и углов сферического треугольника по трем элементам. В частности, ат-Туси впервые вычислил все стороны сферического треугольника по его трем углам. Для этого он определил для каждого сферического треугольника полярный треугольник, стороны которого лежат на больших окружностях, полюсами которых являются вершины данного треугольника, и показал, что стороны одного из двух взаимно полярных сферических треугольников выражаются через углы другого. Тем самым ат -Туси свел задачу об определении сторон сферического треугольника по его углам к уже известной задаче определения углов сферического треугольмика по трем сторонам.

"Изложение Евклида" ат-Туси стало одним из важнейших математических сочинений того времени. В нем было воспроизведено доказательство V постулата Евклида из трактата ат-Туси о параллельных линиях, но, в отличие от этого трактата, ат-Туси добавил наглядный постулат, равносильный V постулату Евклида.

К системе аксиом Евклида ат-Туси добавил "аксиомы выбора".

Ат-Туси приписывался еще один вариант "Изложения Евклида", известный в Западной Европе, однако было установлено, что он был написан после смерти ат-Туси. В статье, написанной об этом сочинении мной, Кубесовым и Собировым, доказывается, что автором этого трактата был сын ат-Туси, который стал руководителем Марагинской обсерватории после смерти отца.

Кроме изложения "Начал" Евклида и трактатов Архимеда ат-Туси написал также "Изложене Алмагеста" и изложения всех "промежуточных книг", которые следовало изучать между "Началами" Евклида и "Алмагестом". К этим книгам относились "Данные" и "Оптика" Евклида, труды античных "малых астрономов", в том числе Феодосия и Менелая, а также трактаты Бану Муса и Сабита ибн Корры..

В арифметическом трактате ат-Туси "Сборник по арифметике с помощью доски и пыли" изложен способ извлечения корня любой степени из любого натурального числа и формула бинома Ньютона для любого натурального показателя степени n.

Ат-Туси был автором астрономических таблиц и многих астрономических трактатов, а также трактатов по физике, геологии, философии, логике и морали. В астрономических таблицах были указаны координаты многих городов и стран, в том числе страны Русь и города Киева.

Ученик ат-Туси Кутб ад-Дин аш-Ширази (1236 - 1311) был автором энциклопедического и астрономических трактатов, а также комментариев к недошедшему до нас сочинению ат-Туси "Трактат о движении качения и об отношении между плоским и кривым". Текст и русский перевод этого трактата мы с ад-Даббахом опубликовали в "Научном наследстве". В XIV веке столицей монгольских ханов стал Табриз, ныне главный город Иранского Азербайджана, туда была переведена и обсерватория из Мараги. Руководителем Табризской обсерваторией был приглашен аш Ширази.

Улугбек и ал-Каши.

Работая в Баку я подготовил русский перевод "Ключа арифметики" и "Трактата об окружности" Джемшида ал-Каши (ум. ок. 1430), руководителя астрономической обсерватории в Самарканде, основанной правителем Самарканда Улугбеком (1394-1449), внуком Тимура.

В 1956 г. я издал в Москве сборник русских переводов этих трактатов ал-Каши с факсимиле рукописей. Этот сборник содержал также изложение Мирима Челеби (ум.1525) трактата ал-Каши об определении синуса 1о.

В Самарканде учился турецкий астроном и математик Кази-заде ар- Руми (1360-1437). Тимур поручил ему воспитание своего внука Улугбека. Ар-Руми привил своему ученику любовь к астрономии и математике.

Когда Улугбек стал правителем Самарканда, он организовал там обсерваторию по образцу Марагинской, и пригласил туда из Ирана ал­Каши.

В этой обсерватории были подготовлены "Астрономические таблицы Улугбека", в работе над которыми участвовали, кроме самого Улугбека, ал-Каши, ар-Руми и ученик Улугбека Али Кушчи (ум.1474).

Слово "кушчи" означает "сокольничий", это имя указывает на то, что первоначально ал-Кушчи был сокольничим Улугбека, любившего соколиную охоту, а затем стал под руководством Улугбека изучать астрономию и математику.

Ал-Каши и ар-Руми умерли до окончания работы над "Астрономическими таблицами Улугбека", и эти таблицы были закончены ал-Кушчи.

В 1449 г. Улугбек был убит, а его обсерватория разгромлена. В настоящее время сохранились только остатки главного инструмента обсерватории - секстанта, я видел их, когда был в Самарканде.

Ал-Кушчи, взяв с собой наиболее ценные книги из библиотеки обсерватории, уехал из Самарканда и после взятия турками Константинополя приехал в этот город, который турки назвали Стамбулом. Ал-Кушчи стал директором медресе при мечети Айя София, в которую был превращен константинопольский храм Святой Софии. Упоминавшийся выше Мирим Челеби, сын дочери ал-Кушчи и сына ар-Руми, был известным турецким астрономом.

"Ключ арифметики" - главный труд ал-Каши, состоит из 5 книг: 1) об арифметике целых чисел, 2) об арифметике дробей, 3) об "арифметике астрономов", т.е.об арифметике шестидесятеричных дробей, 4) о геометрии и 5) об алгебре.

В I книге ал-Каши, следуя ат-Туси, изложил извлечение корней любой натуральной степени из любого натурального числа и формулу бинома Ньютона для любого натурального показателя степени. В отличие от ат- Туси, который производил арифметические действия на доске, покрытой пылью, ал-Каши излагал выполнение арифметических действий на бумаге.

В III книге ал-Каши распространил шестидесятеричную позиционную систему с дробей на натуральные числа. Шестидесятеричными дробями, следуя Птолемею, пользовались астрономы средневекового Востока. Ал-Каши также распространил десятичную позиционную систему с натуральных чисел на дроби, т.е. ввел десятичные дроби.

В IV книге ал-Каши привел таблицу удельных весов различных веществ, а также поместил архитектурную главу.

В V книге ал-Каши привел цифры сияка, которыми пользовались купцы.

"Трактат об окружности" ал-Каши был посвящен вычислению приближенного значения числа п с максимальной практически необходимой точностью. Ал-Каши рассмотрел окружность с радиусом равным радиусу сферы неподвижных звезд и за приближенную величину ее длины принял среднее арифметическое между периметрами вписанного и описанного правильных N-угольников, где число N должно быть таким, чтобы разность между этими периметрами была бы меньше толщины конского волоса. Ал-Каши подсчитал, что N = 3.228. Вычисления ал-Каши производил в шестидесятеричных дробях, но результат выразил также и в десятичных дробях. Полученное им приближенное значение п имало 17 верных десятичных знаков.

В трактате об определении синуса 1о ал-Каши решал задачу необходимую для составления таблицы синусов в "Астрономических таблицах Улугбека". Для этого он решал кубическое уравнение 4x3+q =3x, где q = sin 3о и х = sin 1о. Так как sin 1о - небольшая величина, ее куб еще меньше, за 1-е приближение ал-Каши принимает x1=q/3, 2-е приближение - x2=(q+4x13)/3, 3-е приближение - x 3=(q+4x23)/3 и т.д.

Этой же проблеме был посвящен трактат самого Улугбека, который я перевел и опубликовал в ИМИ в1960 г. Мы получили ксерокопию списка каирской арабской рукописи этого трактата из Берлина. Рукопись была анонимная. Другая анонимная арабская рукопись того же трактата имеется в Стамбуле и турецкий историк науки Салех Зеки опубликовал ее краткое изложение в своей книге "Оставшиеся следы". Он считал, автором этого трактата ар-Руми на основании сообщения Мирима Челеби о том, что его дед ар-Руми написал трактат об этой проблеме. Поэтому мы также считали автором этого трактата ар-Руми.

В выяснении авторства этого трактата важную роль сыграл узбекский академик Ташмухаммед Ниязович Кары-Ниязов, автор книги "Астрономическая школа Улугбека". Я часто спорил с ним на тему, был ли сам Улугбек ученым, или только покровителем наук. Однажды мы встретились с ним в Институте востоковедения Академии наук Узбекистана. "Сейчас я вам докажу, что Улугбек сам был автором научных трактатов" - сказал Кары-Ниязов мне и попросил рукопись комментариев ал-Бирджанди к "Астрономическим таблицам Улугбека". Получив рукопись, он показал мне слова ал-Бирджанди о том, что об определении синуса одного градуса были написаны два трактата, один - "султаном геометром" ал-Каши, а другой - "султаном-мучеником" Улугбеком. Далее ал-Бирджанди подробно описал содержание анонимного трактата. Что же касается трактата ал-Руми, описанного его внуком, то он был написан на персидском языке. Сопоставив все это, мы с А.Ахмедовым опубликовали в 1975 г. в Ташкенте статью о том, что автором анонимного трактата был не ар-Руми, а Улугбек. В 1976 г. я поместил в "Хрестоматии по истории математики" важнейшую часть этого трактата, указав, что его автором был Улугбек Об этом я и Ахмедов сделали доклад на симпозиуме в Стамбуле в 1994 г., этот доклад был опубликованный в 2000 г.

В главе "Пенсильвания"я подробно описал историю публикации английского перевода математического трактата Улугбека с его арабским текстом в статье, написанной мной вмесе с Я.П.Хогендайком.

В 2000 г. в родном городе ал-Каши Кашане состоялся международный конгресс, повященный 600-летию ал-Каши. На этом конгрессе М.М.Рожанская прочла мой доклад о трактатах ал-Каши и Улугбека об определении синуса 1о.

Гипергеометрические названия степеней в Европе.

Выше я упоминал, что названия степеней в "Арифметике" Диофанта были аддитивные, т.е.квадрато-кубом он называл 5-ю степень (5=2+3).

Такие же названия степеней применяли ат-Туси, ал-Каши и другие математики, писавшие на арабском языке.

Однако индийские математики применяли более сложную систему названий степеней: для тех степеней, которые можно представить как произведения чисел 2 и 3, они пользовались мультипликативными названиями, т.е. называли квадрато-кубом не 5-ю, а 6-ю степень (2.3=6), но для тех степеней, которые нельзя представить в виде произведений чисел 2 и 3, они пользовались аддитивными названиями с добавлением специального термина, указывающего, что это название аддитивное.

Французский историк науки Поль Таннери обнаружил один случай применения мультипликативных названий у греков - он нашел текст современника Диофанта александрийского христианского епископа Анатолия, который называл 5-ю степень первым невыразимым (protos alo- gos), 6-ю степень квадрато-кубом, а 7-ю степень - вторым невыразимым (deuteros alogos).

Текст, обнаруженный Таннери, позволил мне проанализировать названия степеней у итальянских и немецких алгебраистов эпохи Возрождения. Итальянский математик Лука Пачоли (1454-1514) в своей книге "Сумма [знаний] по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" называл квадрат сеnsо, куб - cubo, 4-ю степень - censo de censo, 5-ю степень - primo relato, 6-ю степень -censo de cubo, 7-ю степень - secondo relato и т.д.

Джироламо Кардано (1501-1576) в своем "Великом искусстве алгебраических правил" пользовался аналогичными латинскими названиями, вместо слова relato он писал relatum. Я в статьях и в книге "История математики с древнейших времен" объяснял эти термины как искаженные переводы термина alogos. Это слово можно перевести не только как "невыразимое", но и как "не-отношение". По-видимому, первоначально это слово было переведено в его втором значении словами irrelato и irrelatum, которые впоследствии потеряли приставку ir-.

От итальянских алгебраистов, которые, следуя арабам, называли неизвестную величину "вещью" (cosa), алгебра попала в Германию, где ее стали называть Coss - от итальянского слова cosa, поэтому немецких алгебраистов той эпохи называют коссистами. Как и итальянские алгебраисты, коссисты пользовались мультипликативной системой названий степеней. Они называли неизвестную величину Res ("вещь" на латыни), квадрат - Zensus, куб - Cubus, 4-ю степень - Zеnsus Zensi, 5-ю - Sursolidum, 6-ю Zensus Cubi, 7-ю - Bissursolidum и далее все "невыразимые" степни - словом sursolidum с добавлением сокращений латинских числительных ter-, quadr-, quint- и т. д. Слово sursolidum первоначально имело вид surdesolidum, от латинских слов surdus - "глухой", которым часто переводили греческое слово alogos (в частности, для обозначения иррациональных величин и чисел), слово solidum - "тело" появилось, по-видимому, по аналогии со словом "куб". Впоследствии слово sursolidum стали понимать как "сверхтело" и в латинских текстах заменять его словом supersolidum.

Эта "гипергеометрическая" терминология привела самого крупного коссиста Михаэля Штифеля (1487-1567) к идее многомерного пространства. В своей обработке книги "Coss" Христофа Рудольфа Штифель предложил "выйти за пределы куба" и, называя куб "телесной точкой", рассматривать далее "телесную линию", "телесный квадрат", "телесный куб" и т. д.

Сферическая геометрия и тригонометрия в Европе.

В моей книге "История неевклидовой геометрии" я подробно рассмотрел историю сферической геометрии и тригонометрии в Европе.

Теорему косинусов сферической тригонометрии, которая в трудах индийских и арабских астрономов встречалась только в астрономических правилах, впервые сформулировал как математическую теорему Региомонтан (1436 -1476) в "Пяти книгах о треугольниках всякого рода". Чертеж Региомонтана к этой теореме совпадает с чертежом ал-Баттани в его астрономических таблицах. Поэтому европейцы приписывали эту теорему ал-Баттани и называли ее "теоремой Альбатегния". Эта теорема для сферического треугольника АВС со сторонами а, b, с выражается формулой cosa = cosb cosc + sinb sine cos A.

Двойственную терему косинусов, выражаемую для того же сферического треугольника формулой.

CosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa,

Впервые доказал Франсуа Виет (1548-1603 ) в его "VIII книге ответов на различные математические вопросы".

Площадь сферического треугольника АВС, выражаемая формулой.

S =r2(A+B+C-n),

Где углы А, В и С выражены в радианной мере, нашел Альбер Жирар (1595­1632) в работе "О мере поверхности сферических треугольников и многоугольников".

Далее в "Истории неевклидовой геометрии" я рассматривал работы по сферической тригонометрии Леонарда Эйлера (1707-1783) и математиков его школы.

Поверхности второго порядка.

Выше мы упоминали, что Архимед сжигал римские корабли используя свойства параболоида вращения. Он определил параболоиды и эллипсоиды вращения и полости двуполостных гиперболоидов вращения в трактате "О сфероидах и коноидах", где называл эллипсоиды вращения сфероидами, параболоиды вращения - прямоугольными коноидами, а полости гиперболоидов вращения - тупоугольными коноидами. Однополостные гиперболоиды вращения впервые рассматривал Дж. Валлис (1616 -1703), который называл их цилиндроидами.

В статье о геометрических работах Эйлера я изучал вопрос об открытии Эйлером поверхностей второго порядка общего вида. Эйлер рассматривал поверхности второго порядка, получаемые сжатием из поверхностей вращения, и гиперболический параболоид, который нельзя получить таким образом. Эти поверхности были впервые описаны Эйлером во 2-м томе "Введения в анализ бесконечных".

Современные названия этих поверхностей были предложены Гаспаром Монжем (1746-1818).

Теория параллельных линий в Европе и неевклидова геометрия.

В "Истории неевклидовой геометрии" я подробно рассматривал попытки доказательств V постулата Евклида европейскими математиками, из которых отмечу доказательства математиков XIV в. Леви бен Гершона из Монпелье и Альфонсо из Вальядолида, написанные на иврите под несомненным влиянием арабских трактатов Ибн ал-Хайсама, и доказательство Джона Валлиса на основе явно сформулированного им постулата о том, что для всякой фигуры можно построить подобную фигуру любых размеров.

В той же книге я изложил историю открытия гиперболической геометрии Карлом Фридрихпм Гауссом (1777 -1855), Николаем Ивановичем Лобачевским (1792 -1856) и Яношем Бойяи (1802-1869), историю интерпретаций этой геометрии Эудженио Бельтрами (1835-1900), Феликсом Клейном (1849-1925) и Анри Пуанкаре (1854 - 1912) и историю развития эллиптической геометрии в работах Бернгарда Римана (1826-1866), Вильяма Кингдона Клиффорда (1845-1879) и Ф.Клейна, а также историю обобщений этих геометрий.

Лобачевский обнаружил связь между тригонометрией в открытом им пространстве и сферической тригонометрией. Он придавал этой связи очень важное значение, так как видел в ней доказательство непротиворечивости открытой им геометрии. Я специально исследовал этот вопрос и установил, что причина связи состоит в том, что гиперболическая геометрия имеет место на сфере мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве.

Геометрические преобразования в Европе.

В "Истории неевклидовой геометрии" я подробно рассматривал историю геометрических преобразований в Европе - развитие проективной геометрии в трудах Жирара Дезарга (1591 -1661), Блеза Паскаля (1623 - 1662), Исаака Ньютона (1643 -1727), Жана Виктора Понселе(1788 -1867),

Августа Фердинанта Мебиуса (1790 -1868), развитие аффинной геометрии в трудах Алексиса Клода Клеро (1713-1765), Л.Эйлера и А.Ф.Мебиуса, развитие конформной геометрии в трудах Л.Эйлера, Жана Лерона Даламбера(1717 -1783), Мебиуса, Жозефа Лиувилля (1809 - 1882).

Я рассмотрел также "Эрлангенскую программу" Ф.Клейна, согласно которой всякая геометрия определяется своей группой преобразований, и "Теорию групп преобразований" Софуса Ли (1842 - 1899), в которой было основано учение о группах Ли.

В научной биографии Эли Картана (1869 - 1951) я подробно изучал развитие теории групп Ли и связанных с ней теории симметрических Римановых пространств и пространств аффинной связности, а также других обобщенных пространств.

Геометрическая алгебра в Европе и многомерная геометрия.

В "Истории неевклидовой геометрии" я рассмотрел различные виды геометрической алгебры европейских математиков. Это, прежде всего, исчисление треугольников в "Первых замечаниях к видовой логистике" Ф.Виета, оказавшее сильное влияние на возникновение аналитической геометрии Пьера Ферма (1601-1665).

К геометрической алгебре относится исчисление отрезков Рене Декарта (1596-1650), связанное с его аналитической геометрией.

Дальнейшим развитием принципов геометрической алгебры была идея Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716) о "геометрии положения", оказавшая исключительное влияние на появление и развитие топологии в работах Эйлера, Римана и Пуанкаре, на развитие проективной геометрии в работах Лазара Карно (1753-1823) и Христиана фон Штаудта (1798-1867) на возникновение векторной алгебры и многомерной геометрии в "Учении о протяжении" Германа Грассмана (1809-1877).

Другими направлениями развития геометрической алгебры были теория Симона Стевина (1548-1620) сложения сил в механике и алгебра векторов и кватернионов у Вильяма Роуана Гамильтона (1805-1865).

В той же книге я проследил возникновение и развитие многомерной геометрии. В неявном виде эта геометрия появилась еще в работах Михаэля Васильевича Остроградского (1801-1862) и Карла Густава Якоба Якоби (1804-1851) о кратных интегралах. Таким образом, Остроградский, который не понял открытия Лобачевского и написал отрицательный отзыв на его первую публикацию, сам оказался причастным к расширению понятия о пространстве. Я рассмотрел работы Грассмана, Людвига Шлефли (1814-1895) и Германа Вейля (1885-1955) по многомерной евклидовой геометрии, работу Римана, в которой была основана многомерная геометрия искривленного пространства, его заметку о многомерной топологии, идеи которой развили его друг Энрико Бетти (1823-1892) и Пуанкаре, который основал геометрию многомерных многообразий и комбинаторную топологию. Риман и Пуанкаре называли топологию Analysis situs, слово "топология" - перевод этого термина с латинского на греческий язык.

Я изучал также историю бесконечномерной геометрии, основанную Сальваторе Пинкерле (1853-1936) и Давидом Гильбертом (1862-1943), которые рассматривали в качестве точек и векторов бесконечномерных пространств функции. Замечу, что русский математик Владимир Андреевич Стеклов, который бурно протестовал против многомерной геометрии Римана, в своих работах об "ортогональных функциях" фактически пользовался бесконечномерным пространством Гильберта. Геометрия гильбертова пространства широко применяется в квантовой механике.

Группы вращений гиперсфер в гильбертовых пространствах некомпактны, как и сами эти гиперсферы. Я несколько раз упоминал унитарные представления некомпактных простых групп Ли, опреденные Израилем Моисеевича Гельфандом (р. 1913) и его сотрудниками и Хариш - Чандрой (1923-1983). Эти представления являются гомоморфными отображениями некомпактных простых групп Ли в группы вращений гиперсфер комплексных гильбертовых пространств.

Глава 3. СИММЕТРИИ И УСТОЙЧИВОСТЬ Симметрии, двойственность и тройственность.

В главе "Пространства и группы" я упоминал принцип двойственности проективной геометрии и обобщения этого принципа, предложенные Э.Картаном, в том числе принцип тройственности, а также группы, которые И.М.Гельфанд предложил называть двойственными и тройственными по Картану. Обобщения принципа двойственности, предложенные Картаном, связаны с двусторонней и трехсторонней симметриями диаграмм Дынкина соответственных групп Ли.

Многие мои работы, начиная с докторской диссертации и работы 1949 г., помещенной в сборнике моих переводов работ Картана, посвящены образам симметрии различных пространств, образующим модели симметрических пространств Картана, определяемых двусторонними симметриями. Образы симметрии различных пространств изучались и многими моими учениками. В моей книге 2003г. совместной с М.П. Замаховским рассматриваются обобщения симметрических пространств, называемые периодическими пространствами. Эти пространства определяются k-сторонними симметриями при k >2.

Симметрии привлекали внимание математиков и философов еще в древности. Правильные многогранники, обладающие максимальной симметрией, были открыты пифагорейцами и играли особую роль в философии Платона, вследствие чего их часто называют "платоновыми телами". Платон считал, что атомы четырех греческих элементов имеют форму четырех правильных многогранников: атомы огня имеют форму правильного тетраэдра, атомы воздуха - форму октаэдра, атомы воды - форму икосаэдра, а атомы земли - форму куба. Форму пятого правильного многогранника - додекаэдра по мнению Платона имеет мир в целом, а на 12 гранях этого додекаэдра по его мнению изображены 12 знаков зодиака. Группа симметрии тетраэдра состоит из 24 элементов, группы симметрии октаэдра и куба - из 48 элементов, группы симметрии икосаэдра и додекаэдра - из 120 элементов.

Великий математик первой половины ХХ века Герман Вейль в своей книге "Симметрия" отметил, что изображения божеств, святых и священных животных в ассиро-вавилонском, древнегреческом, римском и средневековом искусстве всегда симметричны. Симметрия этих изображений указывает на то, что их авторы ощущали глубокую связь между божественным и симметричным.

Двойственность у пифагорейцев.

Пары противоположных свойств играли важную роль в философии пифагорейцев. Аристотель писал о них в своей "Метафизике": "Пифагорейцы утверждают, что имеется десять начал, расположенных попарно: предел и беспредельное, нечетное и четное, единое и множество, правое и левое, мужское и женское, покоящееся и движущееся, прямое и кривое, свет и тьма, хорошее и дурное, квадратное и продолговатое".

Из этих пар противополижностей 1-я, 4-я,7-я и 10-я пары относятся к геометрии, 2-я и 3-я - к арифметике, 5-я - к биологии, 6-я - к механике, 8-я - к физике, 9-я - к этике. Пифагорейцы рассматривали все эти пары противоположностей вместе потому, что они не выделяли отдельных наук из единой универсальной науки.

В каждой паре противоположностей первую пифагорейцы считали совершенной, а вторую - несовершенной.

Пифагорейцы отождествляли единицы не только с точками, но и с душами неродившихся или умерших людей, а вещи, в том числе тела людей, отождествлялись с числами, поэтому пифагорейская пара противоположностей "единое и множество" по существу совпадает с парой "душа и тело".

Пара противоположностей "единое и множество" - такая же древняя, как пара "душа и тело". Первоначально это были два первых числа, впоследствии второе из этих двух "чисел" превратилось в число 2, и "чисел" стало три - 1, 2 и "много". Затем это новое "много" превратилось в число 3 и появился числовой ряд 1, 2, 3, 4, 5, 6, "много". Впоследствии и этот ряд расширился и последнее слово "много" превратилось в число 7. О том, что слово "семь" первоначально обозначало неопределенно большое количество, свидетельствуют русские пословицы "семь бед - один ответ", "у семи нянек дитя без глаза", "один с сошкой - семеро с ложкой", "семь раз отмерь, один раз отрежь". Позже такими числами, названия которых прежде обозначали неопределенно большое количество, стали 12 и 40. Числа 2, 3, 7, 12 и 40 и позже сохранили мистический характер, этим объясняется особая роль этих чисел во многих религиях и культурах.

Среди 7 "планет" древности - Солнца, Луны и пяти планет - имеются две пары, соответствующие пифагорейским противоположностям: Солнце и Луна, соответствующие "свету и тьме" и Марс и Венера, соответствующие "мужскому и женскому", которые часто обозначаются знаками этих планет. Если из 7 "планет" удалить эти две пары, мы получим "античную троицу" - отца - Кроноса-Сатурна, сына- Зевса-Юпитера и вестника богов - Гермеса- Меркурия. Античная троица значительно ближе к христианской, чем индийская троица Брахма - Вишну - Шива.

Симметричная и асимметричная двойственность.

Из десяти пар противоположностей пифагорейцев шесть пар - 1-я, 2-я 4-я, 5-я, 8-я и 9-я симметричны, а другие четыре пары - 3-я, 6-я, 7-я и 10-я асимметричны.

Симметричными и асимметричными бывают и другие двойственности. Например, принцип двойственности проективной геометрии и все принципы двойственности Картана совершенно симметричны, а "двойственность по Картану", определенная Гельфандом, асимметрична. Асимметрична и двойственность между эллиптическим пространством с мнимым абсолютом и гиперболическим, псевдоэллиптическими и псевдогиперболическими пространствами с вещественными абсолютами: группа движений эллиптического пространства компактна, а группы движений остальных пространств некомпактны. Асимметрична и двойственность между эллипсом и "парой противоположных гипербол", которую подчеркивал Аполлоний, и между окружностью и равносторонней гиперболой, на которую мы обращали внимание, говоря об алгебраическом трактате Хайяма.

Симметричной является двойственность между замкнутыми и открытыми множествами в топологии, между операциями пересечения и объединения множеств в теории множеств, между конъюнкцией и дизъюнкцией в математической логике, и между аналогичными операциями во многих областях математики.

Примером двойственности в математике является сопоставление коммутативной группы и ее группы характеров. Характером коммутативной группы называется гомоморфное отображение этой группы в группу комплексных чисел единичного модуля. Характеры коммутативной группы сами образуют коммутативную группу. В случае конечных коммутативных групп группа характеров коммутативной группы G, как показал Г.Ф.Фробениус, изоморфна самой группе G и двойственнисть между группой и ее группой характеров симметрична. В случае бесконечных коммутативных групп группа G и ее группа характеров G* уже не изоморфны, но, как показал Л.С.Понтрягин, в случае, когда группа G компактна, группа G* дискретна, а в случае, когда группа G дискретна, группа G* компактна, и двойственность между компактными группами и их группами характеров асимметрична.

Двойственность в зороастризме и в учении "Инь-ян".

Пары противоположностей, аналогичные пифагорейским, имелись у персидских зороастрийцев и в китайском учении "Инь-ян".

Религия зороастрийцев была основана на борьбе доброго бога Ахура- Мазды (Ормузда) и злого бога Ахгра-Майню (Ахримана). С этими богами были связаны противоположности "свет и тьма", "Солнце и Луна", "тепло и холод", "добро и зло".

Учение "Инь-ян", на котором были основаны наука и образование в древнем и средневековом Китае, связано с противоположностями "солнечная погода и дождь", "весна-лето и осень-зима", "Солнце и Луна", "свет и тьма", "мужское и женское", "положительное и отрицательное", "небо и земля".

Возможно, что между пифагорейцами и древними персами имелись связи; o связях между древними персами и китайцами мы упоминали в предыдущей главе. Двойственность зороастризма, несомненно, определила двойственность "отца диалектики" Гераклита, который учился у зороастрийских жрецов.

Двойственность в Библии.

Первая книга Библии "Бытие" начинается такими словами: "В начале сотворил Бог небо и землю. Земля же была безвидна и пуста, и тьма над бездною; и Дух Божий носился над водою. И сказал Бог: да будет свет. И стал свет. И увидел Бог свет, что он хорош ; и отделил Бог свет от тьмы. И назвал Бог свет днем, а тьму ночью". Мы видим, что согласно Библии сотворение мира было результатом воздействия Духа Божьего на материю, не имеющую формы - на воду. В результате появились противоположности - небо и земля, свет и тьма.

Далее, согласно Библии, Бог создал элементы, минералы, растения, животных.

В шестой день "сотворил Бог человека по образу Своему, по образу Божию сотворил его; мужчину и женщину сотворил их... И создал Господь Бог человека из праха земного, и вдул в лице его дыхание жизни, и стал человек душею живою".

Сотворяя человека Бог создал еще две противоположности - душу и тело, мужчину и женщину - Адама и Еву.

Двойственность у Платона.

Вселенная Платона состояла из трех миров: 1) мира "идей", 2)"пространства", 3) мира "рожденных". Платон писал в "Тимее" : "Приходится признать во-первых, что есть тождественная идея, не рожденная и не гибнущая, ничего не воспринимающая в себя откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя - ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее в некоем месте и внонь из него исчезающее, и оно воспринимается посредством мнения, соединенного с ощущением. В- третьих, есть еще один род, а именно пространство: оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но самовоспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного умозаключения, и поверить в него почти невозможно. Мы видим его как бы в грезах и утверждаем, будто этому бытию непременно должно быть где-то, в каком- то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует".

Эти слова показывают. что Платон считал "идеи" вечными сущностями, "рожденные" - сущностями, которые возникают и исчезают, a "пространство" - пассивная масса, которая под действием "идей" порождает "рожденные". Платон называл "пространство" также "матерью рожденных ", отождествляя противоположность между "идеями" и "пространством" с парой противоположностей "мужское и женское" и подчеркивая тем самым активный, мужской характер "идей".

Двойственность у Аристотеля.

Учение Платона об активных "идеях" и пассивном "пространстве" было развито Аристотелем, который писал в "Метафизике":"Существует ли что нибудь помимо составного, целого или нет (я имею в виду материю и то, что с ней соединено)? Если не существует, то ведь все имеющееся в материи поистине преходяще. А если существует, то это будет, надо полагать, форма, или образ. Так вот, в каких случаях она существует отдельно и в каких нет, это трудно определить, ибо в некоторых случаях ясно, что форма не существует отдельно, например у дома." В другом месте "Метафизики" Аристотель писал: "материя есть носитель энтелехии ".

Аристотель называл пассивное "пространство" Платона "материей" (hyle), a его активную "идею" - "формой" (morphe). Под словом "энтелехия" (entelecheia) он понимал устойчивость (английский переводчик "Метафизики"перевел это слово actuality). Аристотель применял термин en- telecheia в весьма широком смысле, относя его к любому виду материи, как и слова kinesis - "движение" и energeia - "энергия". Иногда Аристотель применял термин entelecheia и в смысле того, что обеспечивает устойчивость, например, в сочинении "О душе" он называет этим термином человеческую душу.

Идеи Платона и Аристотеля получили дальнейшее развитие в трудах Зенона Китийского и других стоиков. Стоики объединяли античные элементы воду и землю в понятие hyle - "материя", a огонь и воздух - в понятие pneuma - "дыхание, дух". Pneuma стоиков очень близка к "форме" Аристотеля.

Двойственнисть и тройственность в христианстве.

Новый Завет унаследовал от Ветхого Завета идею единого Бога, но дополнил его до Троицы, к Богу-отцу были добавлены Бог-сын и Святой дух. Двойственными элементами в христианстве являются Бог и дьявол, рай и ада, добро и зло; к раю и аду был добавлен третий элемент - чистилище. Добро и зло находятся в человеческой душе и тем самым древняя асимметрическая двойственность души и тела дополняется симметричной двойственностью добра и зла.

Двойственность в исламе.

Мусульмане рассматривают свою священную книгу Каран как продолжение Библии и Евангелия. Это подчеркивается тем, что мусульмане считают основателя своей религии Мухаммада (Магомета) шестым пророком после Адама, Нуха (Ноя), Ибрагима (Абраама), Мусы (Моисея) и Исы (Иисуса Христа).

Ислам унаследовал у христианства учение о едином Боге (Аллахе) и дьяволе (Шайтане), учение о рае и аде и понятия добра и зла.

Омар Хайям писал о рае и аде: Нам с гуриями рай сулят на свете том И чаши полные пурпуровым вином. Красавиц и вина бежать на свете этом Разумно ль, если к ним мы все равно придем. Нам говорят муллы, что существует ад. Поверьте мне: они неправду говорят. Будь предназначен он для пьяниц и влюбленных, Давно бы опустел цветущий райский сад.

В "Трактате о бытии и долженствовании" Хайям рассматривает вопрос о необходимости зла в мире.

Двойственность в буддизме.

Буддизм, который в настоящее время является самой распространенной религией в мире, первоначально был не религией, а философским учением. По этой причине буддизм - единственная религия, в которой отсутствуют понятия Бога, идеи загробного мира и бессмертия души. Буддизм был основан в Индии, но затем вытеснен индуизмом и получил распространение сначала в Персии и Средней Азии, откуда по "Великому шелковому пути" попал в Китай. В Персии и Средней Азии буддизм сосуществовал вместе с зороастризмом, после арабского завоевания обе религии были вытеснены исламом. Из Китая буддизм попал в Корею, Японию, Индокитай, где буддизм также сосуществовал с другими религиями, а также в Тибет, Монголию, Туву, Бурятию и Калмыкию, где буддизм стал основной религией.

Буддистские монастыри - "вихары" послужили образцом для мусульманских медресе, по образцу которых были созданы средневековые европейские университеты.

Буддисты заимствовали из древней индийской науки понятие "дхармы" - атома пространства, аналогичное понятиям античных атомистов и средневековых мутазилитов и превратили его в понятие элементов чувственного восприятия мира. Буддистская "дхарма" представляет собой единство физического и психического, вследствие чего буддисты отождествляют реальные предметы с ощущениями этих предметов. Крупнейший знаток индийской философии Федор Ипполитович Щербатской в книге "Центральная концепция буддизма и смысл слова дхарма" отмечал совпадение этой концепции буддистов с "новейшим позитивизмом" Э.Маха. Двойственность понятия дхармы является важнейшей особенностью буддизма.

Двойственность у Декарта.

Учение Платона о том, что "рожденные", т.е. вещи, являются результатом воздействия "идей" на "пространство" получило развитие в "Принципах философии" Рене Декарта. Декарт также считал, что пространство совпадает с пассивной материей и пустого пространства не может быть. Роль платоновских "идей" у Декарта играют "души". Взаимодействие "душ" на пространство, по мнению Декарта, порождает вихри, определяющие движение устойчивых явлений.

Двойственность у Ньютона.

Хотя название главного труда Исаака Ньютона "Математические принципы натуральной философии" очень близко к названию упомянутой книги Декарта, понятие пространства у Ньютона было совершенно противоположно понятию Декарта. Ньютон считал пространство "абсолютным"и совершенно независимым от материи. В "Математических принципах" Ньютон, основываясь на работах Кеплера и Галилея, разработал основы классической механики, общие для земных и небесных явлений. Поэтому Ньютон заменил три мира Аристотеля - физический, математический и божественный - двумя - физическим и божественным.

В своем 1-м законе механики Ньютон показал, что пифагорейская пара противоположностей "покоящееся и движущееся" должна быть заменена парой "движущееся по инерции и движущееся с ускорением". 2-й закон Ньютона связан с парой противоположностей "сила и ускорение". 3-й закон Ньютона связан с парой противоположностей "действие и противодействие". Одновременно с Г.В.Лейбницем Ньютон создал дифференциальное и интегральное исчисления, являющиеся математическим аппаратом классической механики.

Ньютон интересовался не только физическим миром, божественный мир интересовал его не меньше физического. Кроме сочинений по математике, механике и физике, Ньютон был автором многих сочинений по теологии, истории и алхимии. Труды Ньютона по алхимии изучала Бетти Джо Доббс, с которой я беседовал во время конгресса историков науки в Эдинбурге. Она писала, что в этих трудах Ньютон рассматривал "активный животворный алхимический агент", способный оживлять мертвую материю, который он, следуя алхимикам, называл "магнезией". Воздействие "магнезии" на материю аналогично действию на нее "формы" Аристотеля и "пневмы" стоиков.

Двойственность у Лейбница.

Хотя математические работы Готфрида Вильгельма Лейбница были близки к работам Ньютона, философские труды Лейбница были ближе к работам Декарта. В своих книгах "Монадология" и "Новые опыты о человеческом разуме" Лейбниц писал, что пространство подобно жидкой материи, и что оно подвергается воздействию "монад", подобных душам. Слово "монада" (monas) Лейбниц заимствовал у пифагорейцев, это слово по-гречески означает "edinica", а пифагорейцы отождествляли единицы с душами. По мнению Лейбница монады порождают "предустановленную гармонию".

В книге "Теодицея" Лейбниц рассматривал тот же вопрос о необходимости зла в мире, о котором писал Хайям в "Трактате о бытии и долженствовании".

Двойственность у Гегеля.

Двойственность играла важную роль в философии Георга Вильгельма Фридриха Гегеля (1770-1831), который называл двойственность "диалектикой", от греческого названия искусства спора.Ту роль, которую в монотеистических религиях играет Бог, в философии Гегеля играла "Абсолютная идея", отождествляемая Гегелем с мировым разумом.

Устойчивое существование Гегель называл "действительностью" (Wirk- lichkeit). В предисловии к "Философии права" Гегель писал: "То, что действительно, разумно, а то, что разумно, действительно". Эти слова Гегеля означают, что устойчиво только то, в чем проявляется Абсолютная идея, и все, в чем она проявляется, устойчиво.

По мнению Гегеля, вся история природы и человеческого общества является историей преобразования Абсолютной идеи. Этот процесс, который Гегель назвал "диалектическим процессом", имеет вид "гегелевской триады", состоящей из тезиса, антитезиса и синтеза. Явления природы, развивающиеся по этому закону, всегда относятся к устойчивым явлениям и определяют естественные циклы. Классический пример: если зерно "отрицается" будучи посеянным, оно возродится в виде растения, которое принесет много зерен, если же его "отрицание" состоит в его раздавливании или в сожжении, никакого "синтеза" не произойдет.

Двойственность у позитивистов.

Основатель "позитивной философии" Огюст Конт (1798-1857) называл теории, которые нельзя экспериментально проверить, "метафизикой", считал подобно Лейбницу, пространство пассивной жидкой массой, и объяснял возникновение устойчивых материальных структур действием на них активных сил.

Эрнст Мах (1838-1916) рассматривал свою филисофскую систему как продолжение учения Конта и называл ее "новейшим позитивизмом". Мах критиковал учение Ньютона об "абсолютном пространстве и инерции". Эта критика сыграла важную роль в создании теории относительности Эйнштейна.

В учении Маха о "физико-психических элементах", т.е. о том, что предметы реального мира - не что иное, как наши ощущения, также имеется двойственность. Как я упоминал, Ф И.Щербатской установил, что учение о "физико-психических элементах" задолго до Маха развивалось буддистами, называвшими эти элементы "дхарма".

Более поздний позитивист Анри Бергсон называл свою философскую систему "философией жизни". В своей книге "Творческая эволюция" он писал: "Теория познания и теория жизни кажутся неразделимыми". Эти слова показывают, что Бергсон понимал слово "жизнь" в весьма широком смысле - как результат действия творческих сил природы, которые он называл "духом", на пассивную материю. Бергсон считал, что "жизнь" - не материя и не дух, каждое из которых является только "продуктом распада", так что только соединение этих двух противоположностей может привести к "длительному существованию", т.е. к устойчивости явлений.

Устойчивость.

Я неоднократно упоминал слово "устойчивость", обозначающее продолжительное существование, обеспечиваемое способностью сопротивляться изменениям. Сопротивление изменениям бывает двух видов: таким, которое можно назвать статической устойчивостью или "устийчивостью дуба" и таким, которое можно назвать динамической устойчивостью или "устойчивость тростника". В первом случае явление просто не поддается изменениям, во втором случае, напротив, легко поддается, но после прекращения внешнего воздействия возвращается в свое прежнее состояние.

В механике этим двум видам устойчивости соответствуют два вида устойчивости движения - устойчивость по Ляпунову, при которой малым изменениям начальных условий соответствуют малые изменения системы в любой момент, и устойчивость по Пуассону, при которой система возвращается к своему прежнему состоянию после прекращения внешнего воздействия. В первом случае говорят, что система обладает инерцией, во втором случае - система обладает упругостью.

В главе "Армия" я писал, что в 1944 г., когда я был военным радистом, я размышлял о гармонических колебаниях, и пришел к выводу, что особенно устойчивы такие динамические системы, которые: обладают и инерцией и упругостью. Так как к таким явлениям относятся системы, движение которых называется гармоническим колебанием, будем называть устойчивость таких систем гармонической устойчивостью.

К гармонически устойчивым явлениям относятся, упоминавшиеся мной, механические осцилляторы, электромагнитные колебательные контуры и атомы водорода, являющиеся соединениями "коллекторов" и "рефлекторов".

Устойчивость и двойственность.

Все религии и философские системы, которые мы рассмотрели, ставят вопрос об устойчивости явлений и объясняют причины этой устойчивости. Во всех случаях устойчивость оказывается связанной с различными видами двойственности Наиболее наглядна эта связь в представлении о живом существе как о соединении души с телом. Таковы же платоновские "рожденные", являющиеся результатом воздействия "идей" на "пространство" и аристотелевская "энтелехия", являющаяся результатом воздействия "формы" на пассивную материю. Таковы же устойчивые явления, являющиеся результатом воздействия на материю "пневмы" стоиков, "душ" Декарта, "магнезии" Ньютона и "монад" Лейбница. Такова же "действительность" Гегеля, являющаяся результатом воздействия "Абсолютной идеи" на материю.

Аналогична и гармоническая устойчивость, возникающая в результате соединения "коллектора" и "рефлектора". Будем, следуя Аристотелю, понимать слова "движение" и "энергия" в широком смысле, относя их не только к механике, физике или химии, но к любому виду материи. В таком же широком смысле будем понимать слова "коллектор" и "рефлектор". Поэтому будем называть гармонически устойчивым явлением такую материальную систему, которая является соединением "коллектора" и "рефлектора"в этом широком смысле. "Коллектор" обладает свойством накапливать энергию, а "рефлектор"- возвращать ее обратно в "коллектор" Благодаря инерциии системы "рефлектор" при превращении накопленной энергии в энергию движения, не даст ей рассеяться в пространстве и таким образом движение системы воспроизведется снова.

Двойственность без устойчивости.

Имеется только одна философская система, которая не ставит вопроса об устойчивости материальных структур и причинах этой устойчивости. Этой филосовской системой является марксизм.

Основатели марксизма Карл Маркс и Фридрих Энгельс не считали свои взгляды философской системой и, напротив, противопоставляли их философским системам. Маркс в "Тезисах о Фейербахе" писал, что философы пытаются объяснить мир, но дело состоит в том, чтобы изменить его.

Первоначально Маркс и Энгельс были гегельянцами. Став материалистами они отказались от гегелевской Абсоютной идеи, но сохранили некоторые остатки учения Гегеля о диалектическом процессе, вследствие чего их материализм стали называть "диалектическим материализмом". Из учения Гегеля Маркс и Энгельс заимствовали три "закона диалектики" - закон единства и борьбы противоположностей, закон перехода количества в качество и закон отрицания отрицания, который совпадалетс "гегелевской триадой".

В XX веке появилось выражение "философия марксизма". П.С.Юшкевич назвал сборник статей, вышедший под его редакцией, "Очерками по философии марксизма".

В СССР марксизм стал официальной философией, которую должны были изучать студенты и аспиранты всех специальностей. Основатель Советского государства В.И.Ленин и "вождь народов" И.В.Сталин были объявлены "классиками марксизма". Учение Маркса стало теоретической основой пролетарских революций, диктатуры пролетариата и экспансии коммунизма на весь мир.

И.В. Сталин в 1938 г. в "Кратком курсе истории ВКП(б)" заменил "три закона диалектики" "четырьмя характерными чертами" диалектического метода", две из которых совпадают с первыми двумя "законами", а две другие- "всеобщая связь" и "постоянное движение" были заимствованы из книги Н.И.Бухарина "Исторический материализм".

А.И.Солженицын в романе "В круге первом" описывает спор между марксистом Львом Рубиным и националистом Дмитрием Сологдиным, o том всегда ли имеет место закон отрицания отрицания. Рубин не смог ответить на этот вопрос, но я упоминал, что гегелевская триада имеет место не всегда, а только в случае устойчивых явлений. Видимо, именно из за того, что этот закон не является универсальным, он не был включен в число "характарных черт" диалектического метода. Так Сталин расправися с "остатком" гегелевской теории устойчивости явлений.

Отсутствие теории устойчивости в марксизме было одной из причин распада СССР и краха "всесильного учения".

Хотя в самом марксизме теория устойчивости отсутствовала, попытки ее создания имелись у марксистских "еретиков": в "Тектологии - всеобщей организационной науке" А.А.Богданова, в "теории равновесия" Н.И.Бухарина в трудах "меньшевиствующего идеалиста" А.М.Деборина и в "Судьбах марксизма в России" А.Н.Яковлева.

Устойчивость и двойственность в механике.

Если механическая система характеризуется n обобщенными координатами qI (I = 1, 2,...n) и обобщенными импульсами pI, то движение системы определяется каноническими уравнениями В.Р.Гамильтона.

DqI /dt = ЭН/Эр;, dpI/dt = - ЭИ/dqI, (1) где H - функция Гамильтона равная сумме Т+U кинетической и потенциальной энергии системы.

В общем случае кинетическая энергия системы Т является квадратичной формой Т=- импульсов, а потенциальная энергия системы U является произвольной функцией координат qI. Особенно важен частный случай, когда U также является квадратичной формой координат U=2cIJqIqJ. В этом случае, если р и q - векторы n-мерного пространства с координатами рI и qI, а А и С - линейные операторы того же пространства с матрицами (Аи) и (CIJ), уравнения (1) принимают вид dq/dt = -Ap, dp/dt = - Cq. (2).

Уравнения (2) эквивалентны векторному уравнению.

D2q/dt2 + W2q =0, где W2 = AC. (3) Решение уравнения (3) можно записать в вид.

Q = (cos Wt)q0 + W-1(sIn Wt)(dq/dt)0, (4) где синус и косинус операторного переменного определяются такими же рядами, как и синус и косинус вещественного переменного. Формула (4) показывает, что механическая система, удовлетворяющая указанному условию, эквивалентна n гармоническим осцилляторам.

В случае одного гармонического осциллятора, состоящего из упругой пружины и инертной массы, n = 1 и роль векторов q и р и линейных операторов А, С и W играют вещественные числа, и движение системы является периодическим. В общем случае движение системы является почти периодическим. Таким образом случаю полной двойственности функций Т и U соответствует устойчивое движение системы.

В реальных условиях часть энергии механической системы рассеивается в пространстве и через некоторое время ее движение прекратится, но если в такт колебаниям системы восполнять рассеивающуюся энергию, движение может быть сколь угодно долгим. В общем случае гармонической механической системы ее "коллектор" определяется линейным оператором C, а "рефлектор" - линейным оператором А. Двойственность между "коллектором" и "рефлектором", на которой основано гармоническое движение в механике, тесно связана с двойственностью между обобщенными координатами qI и обобщенными импульсами р! и между кинетической энергиейТ и потенциальной энергией U Левые части уравнений Гамильтона (1) являются скоростями и силами. Поэтому указанная двойственность связана также с двойственностью между скоростями и силами и между кинематическими и динамическими винтами, к которым приводятся системы скоростей и сил.

В специальной теории относительности Эйнштейна пространство и время являются частями единого пространства-времени, и при переходе от одной инерциальной систены координат к другой пространственные и временные координаты выражаются друг через друга. В специальной теории относительности время рассматривается как 4-я координата, а энергия - как 4-я координата вектора импульса. Поэтому двойственность пространственных координат и координат импульсов и обобщенных координат и импульсов qi и рi следует дополнить двойственностью между временем и энергией. При этом, по-видимому, кинетической энергии соответствует настоящее время, а потенциальной энергии - прошедшее и будущее время. Прошедшее и будущее время сливаются, если перейти от обычного времени к циклическому.

Устойчиность и двойственность в электродинамике.

Устойчивое движение электромагнитной системы определяется теми же уравнениями (2) и (3), что и устойчивое движение механической системы, где координаты qi вектора q равны количествам электричества в элементах системы, координаты pi вектора р равны электромагнитным импульсам в элементах системы, оператор А характеризует индуктивность системы, а оператор С - электрическую емкость системы.

При n = 1 мы получаем электромагнитный осциллятор - замкнутый электромагнитный контур, в котором роль "коллектора" играет конденсатор, а роль "рефлектора" - катушка самоиндукции. Пара противоположностей, определяющих устойчивость этой системы, - конденсатор и катушка самоидукции, - асимметрична, но конденсатор содержит симметричную пару противоположностей - пару обкладок, заряженных положительным и отрицательным электричеством.

Так как часть энергии электромагнитного осциллятора идет на согревание проводов цепи и рассеивается в пространстве, электрический ток в цепи осциллятора через некоторое время прекратится. Для продолжения колебаний осциллятора необходима подпитка его энергией в такт колебаниям. "Коллектор" и "рефлектор" гармонической электромагнитной системы общего вида имеют аналогичный характер и определяются, соответственно, линейными операторами C и А.

Устойчивость и двойственность а атомной физике.

Выше я упоминал, что в простейшем атоме - атоме водорода роль "коллектора" играет позитроний, состоящий из электрона и позитрона, а роль "рефлектора" - нейтрон, соединенный с позитроном и образующий вместе с ним протон.Так как движение электрона можно рассматривать как электрический ток, атом водорода можно рассматривать как электромагнитный замкнутый контур, в котором позитроний играет роль конденсатора, а нейтрон - роль катушки самоиндукции. При этом электрон и позитрон могут попадаать внутрь нейтрона, и если одна из частиц, образующих позитроний, находится вне нейтрона, то другая из этих частиц находится внутри нейтрона.

В 1960-х годах М.Гелл-Манн установил, что внутри нейтрона находятся три "кварка", один из которых имеет отрицательный электрический заряд равный 2/3 заряда электрона, а каждый из двух остальных кварков имеет положительный электрический заряд равный 1/3 заряда позитрона. Так как нейтрон играет роль катушки самоиндукции электромагнитного осциллятора, кварки играют роль сердечников катушек самоиндукции.

Движение электрона и позитрона в атоме водорода происходит следующим образом. Электрон притягивается к нейтрону, в центре которого находится позитрон, падает на нейтрон, входит внутрь его и движется по винтовой линии на поверхности первого кварка к центру нейтрона, а позитрон движется по винтовым линиям на поверхностям двух других кварков, выходит из нейтрона и доходит до положения симметричного первоначальному положению электрона относительно центра нейтрона. Далее позитрон падает на нейтрон, входит внутрь его и движется к его центру по винтовым линиям на поверхностях двух кварков, а электрон движется по винтовой линии на поверхности первого кварка, выходит из нейтрона и движется к своему первоначальному положению, после чего движения электрона и позитрона продолжается таким же образом снова. Дробные электрические заряды кварков объясняются тем, что эти значения являются средними арифметическими для многих циклов.

В атомной физике положения частиц и значения физических величин определяются иначе, чем в классической физике: с каждой частицей в атомной физике связана комплексная волновая функция Y(x,y,z,t) пространственных координат и времени, которую можно рассматривать как вектор комплексного гильбертова пространства, а с каждой физической величиной - самосопряженный линейный оператор А этого пространства, причем вероятность нахождения частицы в некоторой области пространства - времени и вероятность того, что значение физической величины находится в некоторой области этих значений равны интегралам от квадрата модуля вектора |Y| или от эрмитовой формы равной скалярному произведению векторов Y и AY по указанным областям. С количеством электричества электрона или позитрона связано произведение волновой функции этой частицы на величину q заряда этой частицы, а сила тока, определяемого движением этой частицы, выражается вещественной частью частной производной соответственной волновой функции qy по времени.

Волновая функция, определяющая электрон атома водорода в случае, когда энергия позитрония, входящего в состав этого атома, равна Е, удовлетворяет уравнению Шредингера.

(h/2n)I9^/9t = E^, (5) где h - константа Планка, имеющая размерность действия, т.е. произведения энергии на время. Линейный оператор, стоящий в левой части этого уравнения, определяет энергию системы, а Е - собственное значение этого оператора. Если представить функцию Y в виде Y₁+iY₂ где Y₁ и Y₂- вещественные функции, то комплексное уравнение (5) можно переписать в виде системы двух вещественных уравнений (h/2n)a^1/at = e^2, (h/2p)a^2/at = -E^1 (6).

Того же вида, что система (2). Уравнения (6) равносильны уравнению.

(h/2n)2a2^1/3t2 + E2^1 = 0, (7) решение которого имеет вид = (cos (2nEt/h)) (^1)0 + (sin (2nEt/h)) O^/dt)0. (8).

Функция (8) является периодической с периодом T=h/E, т.е. частота n = 1/T переменного тока в атоме водорода связана с энергией Е соотношением E = hn. последнее соотношение совпадает с формулой Планка, связывающей энергию Е кванта света с частотой n этого света.

Линейные операторы, отличающиеся от оператора, стоящего в левой части уравнения (5) заменой временной координаты t на пространственные координаты х, у, и, определяют соответственные координаты вектора импульса. Позитроний и нейтрон образуют асимметричную пару противоположностей, а позитрон и электрон в позитронии - симметричную пару. Греческое слово atomos - "неделимый" является аналогом латинского слова individuum. Человеческий индивидуум в религиозных представлениях, как и атом водорода, состоит из двух ассимметричных противоположностей - тела и души, а в человеческой душе имеются симметричные противоположности, называемые добром и злом.

При движении электрона и позитрона в атоме водорода не происходит рассеивания энергии в пространстве, этим объясняется исключительная устойчивость атома водорода.

Атомы тяжелых элементов и молекулы являются соединениями атомов водорода, причем в атомах тяжелых элементов объединены нейтроны атомов водорода, а в молекулах - позитронии.

Если тяжелый атом является соединением N атомов водорода, то ядро этого атома содержит N нейтронов, а в состав этого атома входят n < N позитрониев. В частности, в случае атома гелия N=4, n=2 и при образовании атома гелия из 4 атомов водорода два позитрония аннигилируются и превращаются в кванты света. Такое образование атомов гелия, сопровождаемое выделением энергии происходит внутри Солнца и звезд и является причиной свечения этих небесных тел. На этом факте основана водородная атомная бомба.

Устоичивость и симметрии кристаллов и солитонов.

Устойчивость кристаллов и солитонов (уединенных волн) также связана с их симметрией. В случае солитонов эта симметрия определяет интегрируемость дифференциальных уравнений, которые описывают их внутреннее движение.

Симметрия кристаллов связана с тем, что они заполняют некоторую область пространства. Разбиение пространства на одинаковые фигуры возможно только в том случае, когда эти фигуры обладают 3-сторонней, 4- сторонней или 6-сторонней симметрией, поэтому n-сторонняя симметрия кристаллов возможна только при n = 3, 4 или 6.

Устойчивость и двойственность в механике и физике более подробно описаны в конце 6 главы моей книги "Геометрия групп Ли". Там же указана связь уравнений Гамильтона (1) с симплектической геометрией.

Устойчивость и двойственность в астрономии.

Устойчивость Солнечной системы и других звездных систем, а также галактик и супергалактик объясняется аналогично устойчивости явлений механики и физики. О том, что Солнце является одной из звезд было известно еще со времен Джордано Бруно, но планеты, обращающиеся вокруг некототых звезд, были обнаружены только недавно.

С.П.Новиков в одной из своих работ о солитонах писал, что звездные системы и галактики следует рассматривать как гиганские солитоны.

Внутри звезд совершаются циклические процессы, о чем свидетельствует периодичность изменения солнечной активности: расстояния между максимумами этой активности равны 11-12 годам. Солнечная активность влияет на события на Земле, некоторые ученые считают, что вспышки этой активности вызывают эпидемии, а математик и экономист В.С.Джевонс связывал с ними экономические кризисы.

1917 год, в котором я родился, - год Февральской и Октябрьской революций в России - по "звериному циклу", календарей многих народов Востока, был "годом змеи". Так как "звериный цикл" состоит из 12 лет, другие "годы змеи" были: 1905 - год первой русской революции, 1929 - "год великого перелома", 1941 - год нападения Германии на СССР, 1953 - год смерти Сталина и государственного переворота в СССР. Следующий государственный переворот в СССР произошел через 11 лет в 1964 г. Трагические события этих лет также связаны с вспышками солнечной активности.

Роль "рефлектора"и "коллектора" в звездной системе играют звезда и ее гравитационное поле, в котором обращаются планеты и кометы.

Объединение звездных систем может быть двух видов: при объединении самих звезд получаются звезды большего размера, при объединении гравитационных полей звезд образуются галактики. Термин "галактика" происходит от греческого названия Млечного пути GalaxIa, так как Млечный путь - та галактика в которую входит Солнечная система. Галактики также обладают внутренним движением и симметрией. Супергалактики являются объединениями галактик.

Устойчивость и двойственность в биологии.

Замечательными устойчивыми явлениями природы являются живые существа. Все живые существа состоят из клеток. Каждая живая клетка состоит из ядра и цитоплазмы, клеточное ядро состоит из кариоплазмы и хроматина. Цитоплазма и кариоплазма образуют протоплазму. В живой клетке имеются частицы, называемые митохондриями, обладающие способностью накапливать энергию. Благодаря содержащейся в митохондриях аденозинной трифосфорной кислоте (АТК) энергия накапливается в образующихся в анаболических реакциях больших молекулах белков, жиров и углеводов. Эта энергия освобождается, когда большие молекулы в катаболических реакциях распадаются на молекулы воды, углекислоты и аммиака. Освободившаяся энергия используется для внутреннего движения клетки, и в результате этого движения снова накапливается в митохондриях. Хроматин, благодаря содержащейся в нем дезоксирибонуклеиновой кислоте (ДНК), обладает способностью сохранять генетическую информацию и регулировать внутреннее движение клетки.

В случае гармонической материальной структуры, являющейся живым существом или сообществом живых существ, будем называть "коллектор" этого явления его душой, "рефлектор" этого явления - его телом. "Душа" клетки состоит из митохондрий и хроматина, а "телом клетки" является ее протоплазма.

Появление жизни на Земле могло произойти при соединении двух органические веществ, одно из которых могло накапливать энергию, а другое - приводиться в движение этой энергией и возвращать ее в первое веществ.

Эрвин Шредингер в книге "Что такое жизнь с точки зрения физики" пытался объяснить, чем живая материя отличается от неживой материи. Как известно, неживая материя благодаря энтропии стремится перейти в состояние равновесия. Так как живая материя не переходит в состояние равновесия, Шредингер считал, что она обладает "отрицательной энтропией". На самом деле никакой отрицательной энтропии не существует, и устойчивость живой клетки объясняется тем, что она является соединением "души" с "телом".

Другой элементарной формой жизни являются вирусы. Вирус можно рассматривать как "душу" клетки без ее протоплазмы, или как часть такой "души". Если вирус проникает в клетку, то он заменяет в хроматине клетки ее гены своими и превращает ее в клетку с другой "душой".

Все вирусные заболевания человека являются результатом внедрения вирусов в клетки здорового человека.

Многоклеточные организмы являются объединениями клеток. При этом в организмах животных объединены "души" клеток, а в организмах растений объеденены их "тела". "Душой" организма животного является нервная система, а "телом" - пищеварительная система и мускулатура. "Душой" организма растения являются корни, а "телом" - ствол и ветви.

Колебательный характер жизненных процессов животных и растений выражается в их различных биоритмах.

Многие животные и растения обладают двусторонней и многосторонней симметрией. Так как симметрия живых существ, в отличие от симметрии кристаллов, не связана с разбиением пространства на одинаковые фигуры, в случае n-сторонней симметрии живых существ число n не обязательно должно быть равным 3, 4 и 6, а может быть равно 5, 7, 8 и другим числам.

Следует отметить, что в случае животных и человека двусторонняя симметрия не является полной. В частности, правая и левая половины человеческого мозга обладают различными свойствами: левая половина мозга связяна с формальным, логическим мышлением, а правая - с воображением, интуицией и эмоциями. Поэтому в данном случае пара противоположностей "правое и левое" заменяется парой "воображение и логика", которая в области математики приводит к паре "геометрия и алгебра".

Сообществами живых организмов являются виды и популяции. В популяциях имеют место колебательные процессы типа зерно - растение - много зерен или яйцо - курица - много яиц.

Некоторые популяции типа пчелиных роев или муравейников, подобны живым организмам.

Устойчивость и двойственность в человеческом обществе.

Элемент человеческого общества - семья - состоит из мужчины и женщины, роль которых аналогична роли позитрона и электрона в атоме водорода, и семейного хозяйства, роль которого аналогична роли нейтрона. Поэтому мужчина и женщина образуют "душу" семьи, а семейное хозяйство - "тело" семьи.

Связь между семьей и ее хозяйством (собственностью) очевидна из того, что во всех религиозных сектах от маздакитов в доисламском Иране до европейских сект, описанных И.Р.Шафаревичем в его книге о различных видах социализма, отмена собственности всегда сопровождалась ликвидацией семьи и введением общности жен. Такие же отмены частной собственности и семьи описаны Платоном в его книге "Государство" и Марксом и Энгельсом в "Коммунистическом манифесте". На иврите слово "баал" означает и "хозяин" и "супруг".

Человеческое общество является объединением семей. Имеется два типа объединения семей - образование "сверхсемей" и образование "сверххозяйств". Первый способ объединения ближе к организации стаи животных, при этом способе объединения появлялись сначала племена, затем феодальные княжества, дальнейшее объединение которых приводило к абсолютным монархиям и империям. В этих сообществах вождь племени, феодал и монах рассматривались как отец племени, княжества или государства. Феодальное "право первой ночи", несомненно, было пережитком тех времен, когда племенной вождь или феодал и в самом деле был отцом племени или княжества.

В феодальном обществе, как и во всяком человеческом обществе, имелись циклические процессы аналогичные процессам популяциях животных. Роль энергии в феодальном обществе играла родовитость, измеряемая древностью рода и, следовательно, количеством действительных или формальных потомков. "Душой"феодального общества была знать, дворянство и духовенство. "Тело" общества составляли крестьяне и ремесленники и орудия их производства.

Второй способ объединения семей - объединение их хозяйств в рыночной и капиталистической экономике. В капиталистическом обществе имеют место периодические кризисы и другие циклические процессы. Роль энергии в товарном и капиталистическом обществе играет труд, как в процессе производства так и в овеществленной форме - в виде товаров или денег. В первом случае труд играет роль кинетической энергии, а во втором - потенциальной энергии. "Душой" этого общества являются купцы, капиталисты, организаторы производства, инженеры, а "телом"- рабочие и машины. По мере развития этого общества удельный вес машин возрастает. Машины, механизмы и компьютеры выполняют все более сложные производственные операции и постепенно вытесняют людей из сферы производства. Возможно, что в будущем "тело" общества будет состоять только из машин и компьютеров со сложными программами.

Религия и духовенство особенно важную роль играли в феодальном обществе. Наиболее древние религии были тесно связаны с отношениями между полами. Религиозные обряды в этих религиях часто сопровождались распитием спиртных напитков, танцами храмовых танцовщиц.В Индии эти танцовщицы назывались баядерками и девадаши. В индийсих храмах жрецы производили дефлорацию девушек на статуях индуистских богов. В Библии упоминается разнузданность религиозных обрядов моавитян, и их попытки развратить некоторых сынов Израиля. С религиозными обрядами древних, несомненно, связаны представления мусульман о "рае с гуриями", о котором писал Омар Хайям. Церковные обряды бракосочетания сохранились до сих пор.

В человеческом обществе иногда встречаются явления "социального вируса", аналогичные вирусам в биологии. Эти явления состоят в том, что группа людей, достаточно большая, вторгается в некоторую страну, или действуя в своей стране, истребляет или подчиняет себе "душу" общества и занимает ее место. Так было при порабощении свободных народов европейскими колонизаторами. Так было в 1917 г. в России при захвате власти большевиками и в 1933 г. в Германии при приходе к власти нацистов.

Классическим примером "социального вируса" было завоевание Англии норманами из Нормандии во главе с Вильгельмом Завоевателем. Пришельцы говорили на французском языке. Вальтер Скотт в романе "Айвенго" красочно описал ситуацию в Англии после завоевания, когда новое дворянство говорило по-французски, а крестьяне были англосаксами. Поэтому до сих пор в английском языке живых свиней и быков, которых выращивали крестьяне, называют староанглийскими словами swIne и ох, а свинину и говядину, которые ели дворянине,- французскими словами pork и beef.

И.Р.Шафаревич в своей "Руссофобии" отмечает, что процент евреев среди ученых, инженеров и вречей в СССР был значительно выше процента евреев по отношению к населению страны. Шафаревич не дал правильного объяснения этому факту. Он даже договорился до необходимости установления "процентной нормы " для евреев при приеме в вузы, подобной той, которая существовала в царской России.

Я считаю. что высокий процент ученых среди евреев объясняется тем, что евреи за время двухтысячелетних странствий из Палестины в Испанию, из Испании в Германию и из Германии в Польшу и Россию потеряли значительную часть своего народа, которая была истреблена или приняла ислам или христианство. На этом пути евреи превратились из "народа Книги" т.е. из народа Библии, в народ книги - уникальный народ, с чрезвычайно большим процентом интеллигенции.

Применение математики в биологии и экономике.

До ХХ века применение математики в биологии и экономике было очень ограниченным. В настоящее время математические методы применяются в биологии и экономике все чаще. Попытка применить математику к биологическим наукам была еще у Л.Эйлера. В 1727 г. Эйлер двадцатилетним юношей приехал в С.Петербург, и не получив место в Математическом отделении Академии наук, стал адъюнктом Медицинского отделения Академии, где изучал кровообращение, применяя методы гидродинамики.

В первой половине XX века итальянский математик Вито Вольтерра выпустил "Лекции о математической теории борьбы за существование", а американские ученые Альфред Лотка и Николас Рашевский опубликовали книги "Элементы физической биологии" и "Математическая биофизика. Физико-математические основания биологии". Упомяну также работы И.М.Гельфанда по применению математики к медицине и С.В.Фомина по применению математики к биологии, а также книгу С.В.Петухова "Биомеханика, бионика и симметрия".

Применению математики к экономике посвящены книга Питирима Сорокина "Социальная и культурная динамика", работа Н.Рашевского "Математическая теория человеческих отношений" и книга Филиппа Мировского "Больше тепла чем света. Экономика как социальная физика, физика как экономика природы".

В настоящее время математические методы применяются во всех науках и во всех областях человеческой деятельности.

Устойчивые явления биологии и экономики, имеющие много общего с устойчивыми явлениями механики и физики, по-видимому, могут быть определены дифференциальными уравнениями типа наших уравнений (2) и(3).

Мое 90-летие.

30 августа 2007 года мне исполнилось 90 лет. К этому дню я получил много поздравлений от моих учеников, живущих в России. В вып. 11 журнала "Математическое просвещение" была опубликована статья М.П. Замаховского к моему 90-летию.

ПРИЛОЖЕНИЯ.

ОСНОВНЫЕ ДАТЫ ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

1917, 30 августа - родился в Петрограде.

1917, октябрь - семья переехала в Москву.

-1940 - студент Московского Энергетического Института.

-1939 - студент-экстерн Мехмата Московского Государственного Университета.

1939 -1942 - аспирант МГУ.

1941 июнь-октябрь - инженер Трансформаторного завода объединения "Электрозавод".

1942, 23 июля - защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на Мехмате МГУ в Ашхабаде. Диссертация утверждена ВАКом в декабре 1942.

1942-1943 - и.о. доцента кафедры математики Харьковского Гидрометеорологического Института в Ашхабаде.

-1944 и 1945 -1947 - ассистент кафедры математики Московского Высшего Технического Училища.

Март - 1945 октябрь - солдат, сержант Советской армии.

1946 7апреля - женился на Люси Львовне Давыдовой.

1947-1959 - научный сотрудник военного института.

1947, 10 декабря - защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук на Мехмате МГУ. Диссертация утверждена ВАКом в марте 1948.

1947-1948- читал на Мехмате МГИ спецкурс по неевклидовой геометрии.

- совместно с И.М.Ягломом опубликовал русский перевод. книги Я.А.Схооутена и Д.Я.Стройка "Введение в новые методы дифференциальной геометрии", т. 2.

- опубликовал сборник русских переводов статей Э.Картана "Геометрия групп Ли и симметрические пространства".

-1955 - профессор кафедры геометрии Азербайджанского Государственного Университета в Баку.

- совместно с соавторами опубликовал русский перевод "Трактата о полном четырехстороннике" Насир ад- Дина ат-Туси.

- опубликовал русские переводы трех математических трактатов Омара Хайяма.

- опубликовал русский перевод трактата Джемшида ал-Каши "Ключ арифметики".

- заведующий кафедрой математики Загорского Педагогического Института.

1955 - опубликовал монографию "Неевкликовы геометрии".

1955 -1964 - профессор, заведующий кафедрой математики Коломенского Педагогического Института.

- опубликовал сборник русских переводов математических трактатов Джемшида ал-Каши с фотокопиями рукописей.

- совместно с С.Б.Морочником опубликовал книгу "Омар Хайям - поэт, мыслитель, ученый" с приложением русских переводов философских трактатов Хайяма.

1962 - опубликовал сборник русских переводов математических, астрономических и философских трактатов Омара Хайяма с фотокопиями рукописей.

1964 -1990 - старший и ведущий научный сотрудник Института Истории Естествознания и Техники Академии наук СССР.

- совместно с Ю.Х.Копелевич опубликовал сборник русских переводов математических трактатов ал-Хорезми.

- совместно с А.П.Юшкевичем опубликовал книгу "Омар Хайям,1048-1131".

- опубликовал монографию "Многомерные проатранства".

- совместно с С.У.Умаровым и Н.А.Садовским опубликовал русский перевод математических глав "Книги знания" Ибн Сины.

- совместно с Т.В.Путятой, Б.Л.Лаптевым и Б.Н.Фрадлиным опубликовал книгу "Александр Петрович Котельников, 1865-1944".

- опубликовал монографию "Неевклидовы пространства".

1971 - избран членом-корреспондентом Международной Академии.

Истории науки.

1973 - совместно с М.М.Рожанской и З.К.Соколовской опубликовал книгу "Абу-р-Райхан ал-Бируни, 973-1048"; совместно с П.Г.Булгаковым и М.М.Рожанской опубликовал русский перевод "Канона Мас'уда", кн.!-У ал-Бируни.

- совместно с А.Ахмедовым и М.М.Рожанской опубликовал русский перевод "Книги вразумления начаткам науки о звездах" ал-Бируни.

- совместно с А.Ахмедовым и М.М.Рожанской опубликовал русский перевод "Канона Мас'уда", кн. VI-XI, ал-Бируни.

1976 - опубликовал монографию "История неевклидовой геометрии".

1978 - избран действительным членом Международной Академии истории науки.

1981 - совместно с Б.Л.Лаптевым опубликовал главу "Геометрия" в книге "Математика XIX века".

1983 - совместно с Г.П.Матвиевской опубликовал книгу "Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII-XVII вв.)" в 3-х томах.

1983 - совместно с П.Г.Булгаковым и А.А.Ахмедовым опубликовал книгу "Мухаммад ал-Хорезми, ок.783 - ок.850".

1983 - совместно с А.П.Юшкевичем опубликовал книгу "Теория параллельных линий на средневековом Востоке в IX-XIV веках".

1884 - совместно с соавторами опубликовал сборник русских переводов математических, астрономических, механических, физических и философских трактатов Сабита ибн Корры.

1987 - совместно с П.Г.Булгаковым опубликовал сборник русских переводов математических и астрономический трактатов ал-Бируни.

1888 - опубликовал монографию "A History of Non-Euclidean Geometry".

1989 - совместно с А.П.Юшкевичем опубликовал книгу "Теория параллельных линий на средневековом Востоке".

1990-1995 - профессор Математического департмента Университета штата Пенсильвания. США.

1991 - избран членом-корреспондентом Барселонской Академии наук.

- совместно с М.А.Акивисом опубликовал книгу "Elie Cartan, 1869-1951".

- совместно с Н.Г.Хайретдиновой опубликовал книгу "Сабит ибн Корра, 836-901".

- опубликовал монографию "Geometry of Lie Groups".

- совместно с Н.Д.Сергеевой опубликовал книгу "Ахмад ал-Фергани (IX век)".

2003 - совместно с Э.Ихсаноглу опубликовал книгу " Mathematicians, astronomers & other scholars of Islamic civilisation and their works (7th-19th c.)".

2003 - совместно с М.П.Замаховским опубликовал монографию "Геометрия групп Ли.Симметрические, пораболические и периодические пространства".

2003 - опубликовал книгу "Аполлоний Пергский".

СПИСОК НАУЧНЫХ РАБОТ.

Сокращения.

ВГК - Всесоюзная Геометрическая Конференция, города СССР ВИЕТ - Вопросы истории естествознания и техники, М. ГПМ - Геометрия погруженных многообразий, М., МГПИ ГСб - Геометрический сборник, Томск, ТомГУ ДАН - Доклады Академии Наук, М., столицы республик СССР ИАИ - Историко-Астрономические Исследования, М. ИАН - Известия Академии Наук, М., столицы республик СССР ИВУЗ - Известия ВУЗов, Математика, Казань ИМВД - История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, М., Наука.

ИМЕН - История и методология естественных наук, М., МГУ.

ИМИ - Историко-Математические Исследования, М.

ИНТСВ - История науки и техники в странах Востока, М., Наука.

МвШ - Математика в школе, М.

МСб - Математический сборник, М.

НН - Научное Наследство, М.

ОНУ - Общественные науки в Узбекистане, Ташкент ТГС - Труды Геометрического семинара, Казань.

ТСВТ - Труды семинара по векторному и тензорному анализу, М., МГУ УЗ - Ученые записки, университеты и институты, города СССР УМН - Успехи матемаиических наук, М.

ФМНСВ - Физико-математические науки в странах Востока, М. ЭЭМ - Энциклопедия элементарной математики, М., Учпедгиз ACIHS - Actes du Congres international d'histoire des sciences, cities of Congresses.

AGG - Algebras, Groups and Geometries, Palm Harbor, Florida AIHS - Archives internationales d'histoire des sciences, Paris-Rome DSB - Dictionary of Scientific Biography, New York.

EHNWC - Encyclopedia of the History of Science, Тесhnоlоgу and Medicine in Non-Western Cultures, Dordrecht-Boston-London, Kluwer HM - Historia Mathematica, Toronto-New York JHAS - Journal for the History of Arabic Science, Aleppo PIM - Publications de l'Institut Mathematique, Belgrade RMS - Russian Mathematical Survey, London SovMD - Soviet Mathematical Doklady, Providence, RI SovMIV - Soviet Mathematics (IzVUZ) New York ZGAIW -Zeitschrift fur Geschichte der Arabisch-Islamischen.

II. Список трудов.

Математическая теория шкалы круговой диаграммы. - Электричество, N4, 62-64.

Теория конгруэнций и комплексов прямых в эллиптическом пространстве. - ИАН СССР, матем. сер., 5, N2, 105-126.

Внутренняя геометрия множества m-мерных плоскостей n-мерного эллиптического пространства. - ИАН СССР, матем. сер., 5, N4-5, 356-363.

Внутренняя геометрия множества прямых эллиптического пространства. - УЗ МГУ, матем., 73, N5, 49-58.

Метрические геометрии пространства шаров. - УЗ МГУ, матем., 73, N5, 59-82.

Теория поверхностей в симметрических пространствах. - ИАН СССР, матем. сер., 9, N5, 371-386.

Многомерное обобщение поверхности Клиффорда(многомерный случай безграничного евклидова пространства с конечным объемом). - УЗ МГУ, матем., 100, N1, 150-154.

Дифференциальная геометрия семейств многомерных плоскостей. - ИАН СССР, матем. сер., 11, N3, 283-308.

Метрика и аффинная связность в пространствах плоскостей, сфер и квадрик. - ДАН СССР, 54, N6, 545-546.

Теория конгруэнций и комплексов многомерных плоскостей. - УМН,2, N1 (17), 225.

Метрический метод в проективно-дифференциальной геометрии. - УМН, 2, N4(20), 159-160.

Геометрия образов симметрии. - УМН, 2, N6(22), 221-222.

1948.

Дифференциальная геометрия образов симметрии. -ДАН СССР, 59, N6, 1057-1060.

Спинорные представления действительных вращений. - ТСВТ, 6, 506-512.

Метрический метод в проективно-дифференциальной геометрии и ее конформных и контактных аналогах. - МСб, 22(64), N3, 457-459.

Конформно-дифференциальная геометрия семейств Cm в Cn.- МСб, 23(65), N2, 297-313.

Проективная геометрия как метрическая геометрия. - УМН, 35(27), 162-163.

Геометрия простейших алгебр. - ДАН СССР, 64, N5, 629-633.

Унитарно-дифференциальная геометрия семейств Км в Кн. - МСб, 24(66), N1, 53-74.

Проективно-дифференциальная геометрия семейств пар Pm+Pn_m_1 в Pn.- МСб, 24(66), N3, 405-428. Английский перевод: The Projective Differ­ential Geometry of the Family of Pairs Pm+Pn_m_1 in Pn.- AMS Translation, N77, Providence, RI, 1952, 32 pp.

Об унитарных и расслоенных пространствах. - ТСВТ, 7, 260-275.

Символический метод и векторные диаграммы для несинусоидальных токов. - ТСВТ, 7, 379-385.

Симметрические пространства и их геометрические приложения. - Э. Картан. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. М., 331­363.

Проективная геометрия как метрическая геометрия. - ТСВТ, 8, 328-354.

Пространства аффинной связности и симметрические пространства. -УМН, 5, N2(36), 72-147 (совм. с А.А.Абрамовым).

Проективная геометрия над кватернионами и псевдокватернионами.- ДАН СССР, 74, N3, 421-424.

О геометрии простейших алгебр. - МСб, 28(70), N1, 205-216 (совм. с И.М.Ягломом).

О математических работах Насирэддина Туси. - ИМИ, 4, 489-512. Китайский перевод: Кесюэши чжикан, 1958, 7, 88-100.

Мухаммед Насирэддин Туси о постулате параллельности. - Сессия, посвященная 750-й годовщине со дня рождения выдающегося азербайджан- ского ученого Мухаммеда Насирэддина. Баку, 16-19; азербайджансий перевод: 47-49.

Геометрическая теория спинорных представлений групп движений 2-мерных и 3-мерных неевклидовых геометрий. - Труды АзГУ, Баку1, 33­68.

Неевклидовы геометрии над комплексными и гиперкомплексными числами и их применение к вещественной геометрии. - 125 лет неевклидовой геометрии Лобачевского. М.-Л., 152-167.

По поводу классификации коллинеаций. - УМН, 7, 1(47), 195-198.

Квадратичные кремоновы преобразования на плоскости и комплексные числа. - ДАН СССР, N6, 801-804 (совм. с З.А.Скопецом).

Геометрия многообразия плоскостей проективного пространства как точечная проективная геометрия. - ТСТВ, 9, 213-222.

Геометрия плоскости дуального переменного. - ДАН АзССР, 8, N11, 579-582 (совм. с И.Г.Белкиным).

О математических работах Мухаммеда Насирэддина. - ИАН АзССР, N4, 35-50.

Геометрия шаровых многообразий. - Труды АзГУ, физ.- мат. сер., Баку, 98-160.

Примечания к математическим трактатам Омара Хайяма. - ИМИ, 6, 113-172 (совм. с А.П.Юшкевичем).

О математических работах Омара Хайяма.-УМН, 8, N3(55),170-171.

Некоторые геометрические свойства волновых полей. - ДАН АзССР,10, N8, 333-336.

Компактная простая группа Е6 как группа движений комплексной октавной неевклидовой плоскости. - ДАН АзССР, 10, N12, 829-833.

Примечания к математическим трактатам Джемшида Гияседдина Каши. - ИМИ, 7, 389-449 (совм. с А.П.Юшкевичем).

Неевклидовы геометрии. М., ГИТТЛ, 777 стр.

Геометрия простых групп Ли как неевклидова геометрия. - УЗ КГУ, Казань, 115, N10, 7-9.

1956.

Гиперболическая плоскость как сфера мнимого радиуса. -

Ф.Каган. Основания геометрии. 2, М., ГИТТЛ, 313-321.

Некоторые исследования по предыстории неевклидовой геометрии. - В.Ф.Каган. Основание геометрии. 2, М., ГИТТЛ, 322-330.

Применение неевклидовой геометрии к некоторым задачам проективной геометрии.. - ТСВТ, 10, 249-258 (совм. с А.М.Левиновым).

Геометрическая интерпретация компактных простых групп Ли класса Е. -ДАН СССР, 106, N4, 600-603.

Геометрическая интерпретация симметрических пространств с простыми фундаментальными группами. - ДАН СССР, 110, N1, 23-26.

Интерпретации геометрии Лобачевского. - ИМИ, 9, 177-216.

Александр Петрович Котельников. - ИМИ, 9, 329-412.

Архитектурная глава трактата "Ключ арифметики" Гияс ад-Дина Каши. - Искусство Азербайджана. 5, 87-130 (совм. с Л.С.Бретаницким).

Простые группы Ли и неевклидова геометрия. - УЗ КПИ, Коломна, 1,11-26.

Физические прообразы геометрического принципа двойственности. -УЗ КПИ, Коломна, 1, 27-34.

Неевклидова геометрия и простые группы Ли. - Труды III Всесоюзного математического съезда, М., 1, 165.

История интерпретаций геометрии Лобачевского, - Труды III Всесоюзного математического съезда, М., 1, 234.

Джемшид Гиясэддин ал-Каши. - Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Ключ арифметики. Трактат об окружности. М., ГИТТЛ, 320-324.

(совм. с А.П.Юшкевичем).

Комментарии к трактатам ал-Каши. - Джемшид Гиясэддин ал­Каши. Ключ арифметики. Трактат об окружности, М., ГИТТЛ, 324-380 (совм. с А.П.Юшкевичем).

1957.

К теории симметрических пространств ранга 1. - МСб, 41(83), N2, 373-380; Румынский перевод: Analele Romano-Sovietice, ser. fiz.-mat., 1958, N1(24), 10-27.

Геометрические преобразования в работах Леонарда Эйлера. - ИМИ, 10, 371-422.

О математических работах Джамшида Гиясэддина Каши. - Уз АзГУ, N5, 3-20.

О математических работах Омара Хайяма. - Уз АзГУ, N9, 3-22.

Омар Хайям - поэт, мыслитель, ученый. Сталинабад, 160 стр.(совм.с.

Б.Морочником).

Геометрия прямоугольных матриц и ее применение к вещественной проективной и неевклидовой геометрии. - ИВУЗ, N1, 233-247 ; Чжунго.

Кэсюэ (Scientia Sinica), 6, N6, 995-1011; китайская версия: Шусюэ сюэбао ( Acta Mathematica Sinica), 1958, 8, N1, 132-145 (совм. с Хуа-Логеном).

Образы симметрии на плоскостях комплексного, двойного и дуального переменного. - Уз ОЗПИ, Орехово-Зуево, 7, N2, 93-112 (совм. с И.Г.Белкиным).

New Researches in the Preistory of Lobachevsky's Geometry and in the History of Its Interpretations. - ACIHS VIII, Firenze, 138-141.

Прямоугольные матрицы и неевклидовы геометрии. - УМН, 13, N6(84), 23-43.

Доказательство V постулата Евклида средневековых математиков Хасана ибн ал-Хайсама и Льва Герсонида. - ИМИ, 11, 735-737.

Интерпретация симметрических пространств с простыми фундаментальными группами в виде многообразий образов симметрии. - Уз КПИ, Коломна, физ.-мат. сер., 2, N1, 19-37.

Проблема устойчивости явлений с точки зрения философии и математики. - УЗ КПИ, Коломна, физ.-мат. сер., 2, N1, 39-59.

К истории проблемы непрерывного и дискретного в математике. - УЗ КПИ, Коломна, физ.-мат. сер., 2, N1, 61-99.

Математика в странах Ближнего и Среднего Востока в средние века.

- Советское востоковедение, N3, 101-108 (совм. с А.П.Юшкевичем).

Математика в странах Ближнего и Среднего Востока в средние века.

- Советское востоковедение, N6, 68-76 (совм. с А.П.Юшкевичем).

Петр Константинович Рашевский (к пятидесятилетию со дня рождения). - УМН,13, N1(79), 225-231 (совм. с А.П.Норденом и.

И.М. Ягломом).

Метод прямоугольных матриц и его применение к квазиэллиптической геометрии. - УМН, 13, N4(82), 220-221.

Квазиэллиптические пространства. - Труды Московского математического общества. - 8, 49-70.

Попытка квадратичного интерполирования у Абу-р-Рейхана ал- Бируни. - ИМИ, 12, 421-430.

Некоторые философские вопросы теории вероятностей. -

УЗ ТаджГУ.Труды кафедры философии, 25, N3, 96-105 (совм. с С.Б.Морочником).

Введение и примечания к "Комментариям к трудностям во введениях к первой и пятой книгам Евлида" Абу Насра ал-Фараби. - Проблемы востоковедения, N4, 93-94, 100-104.

Geometrische Transformationen in der Werken Leonhard Eulers, - ACIHS IX, Barcelona - Madrid, 83-84.

Коллоквиум по алгебраическим и топологическим основаниям геометрии в Утрехте. -УМН,15, N3(92), 237-244 (совм. с Л.А.Скорняковым).

Доказатеиьство Аганиса пятого постулата Евклида. - ИАН АрмССР, физ.-мат. науки, 13, N1, 153-164 (совм. с Г.Б.Петросяном).

Предыстория неевклидовой геометрии на средневековом Востоке. Доклад на XXV Международном конгрессе востоковедов, М., 16 стр.; английская версия: Preistory of the Non-Euclidean Geometry on Medieval East., M., 16 pp.; Труды XXV Международного конгресса востоковедов 2, М., 1962,90-96; персидский перевод раздела об Омаре Хайяме: Рийазиййат дар Шарк Тегеран, 1974, 125-128 (совм. с А.П.Юшкевичем).

Математика в странах Востока в средние века.- ИНТСВ,2,340-421; немецкий перевод: Mathematik in der Landern des Ostens im Mittelalter.- Sowjetische Beitrage zur Geschichte der Naturwissen-schaften, Berlin, 62-160 (совм. с А.П.Юшкевичем).

Эквивалентные системы векторов в квазиэллиптических пространствах. - ДАН АзССР, 16, N6, 331-334 (совм. с Т.М.Климановой и Н.Д.Пецко).

О трактате Насир ад-Дина ат-Туси о параллельных линиях. Примечания к "Трактату, исцеляющему сомнение по поводу параллельных линий" Насир ад-Дина ат-Туси. - ИМИ, 13, 485-492, 535-542 (совм. с А.П.Юшкевичем).

О трактате Кази-заде ар-Руми об определении синуса одного градуса. Примечания к "Трактату об определении одного градуса'' Кази - заде ар-Руми. - ИМИ, 13, 543-548, 563-567 (совм. с А.П.Юшкевичем).

Геометрия Лобачевского. М., 48 стр.

Вопросы истории науки на XXV Международном конгрессе востокове-дов. - ВИЕТ, 11, 179-180 (совм. с А.П.Юшкевичем).

Доказательство пятого постулата Евклиида у Сабита ибн Корры и Шамс ад-Дина ас-Самарканди. - ИМИ,14,609-624 (совм. с А.П.Юшкевичем).

Einfache Lie-Gruppen und nichteuklidische Geometrien. - Algebraical and Topologocal Foundations of Geometry proceedings of a Colloquium held in Untrecht, August 1959. Oxford-London-New York-Paris: Pergamon Press, 135­155.

Теория относительности и геометрия. - Эйнштейн и развитие физико-математической мысли. М., 10-62.

Проективная теория векторов I. - ИВУЗ, N2(27), 130-141 (совм. с Т.М.Климановой и Н.Д.Пецко).

Проективная теория векторов. II. - ИВУЗ, N3(28), 122-130 (совм. с Т.М.Климановой и Н.Д.Пецко).

Неевклидовы геометрии и группы Ли. - ВГК 1, Киев, 9-12.

Матрицы отражений от плоскостей в квазиэллиптических пространствах. - УЗ МГЗПИ, 8, сер, мат., 1, 72-77 (совм. с Л.М.Еськиной и А.П.Скакальской).

Проектирование и отражение в проективном пространстве. - УЗ МГЗПИ, сер. мат., 1, 78-83 (совм. с И.Н.Семеновой).

Жизнь и творчество Омара Хаййама. - Омар Хаййам. Трактаты. М,. ИВЛ., 11-66 (совм. с А.П.Юшкевичем). Персидский перевод: Умар Хаййам.

Зиндагани у асар., Тихран, 1383 сх. [2005], 198 с.

Комментарии. - Омар Хаййам. Трактаты. М., ИВЛ, 230-338 (совм. с А.П.Юшкевичем). Примечания к "Новогодней книге" и к трем философским трактатам Хайяма: О.Хайям. Рубайат. Трактаты. М., 2004, 457- 465.

Комментарии к звездным каталогам ал-Бируни, Омара Хайяма и Насир ад-Дина ат-Туси. - ИАИ, 8, 177-192.

Морис Окань (к 100-летию со дня рождения). -ВИЕТ,14,130-132.

Образы простоты и полупростоты. - ТСВТ, 12, 260-285.

О математических работах ал-Бируни. - ИНТСВ, 3, 71-92 (совм. с С.А.Красновой и М.М.Рожанской).

Примечания к "Трактату об определении хорд в круге" ал-Бируни. -ИНТСВ, 3, 142-147 (совм. с С.А.Красновой).

Примечания к "Книге об индийских рашиках" ал-Бируни. - ИНТСВ, 3, 163-166.

Аксиомы и основные понятия геометрии. - ЭЭМ, 4, 9-48.

Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии. - ЭЭМ, 4, 518-557.

Об исследованиях по истории математики в средние века. - ИМИ, 15, 51-72 (совм. с А.П.Юшкевичем и В.П.Зубовым).

Примечания к "Книге о том, что две линии, проведенные под углами, меньшими двух прямых, встретятся" Сабита ибн Корры ал-Харрани.

ИМИ, 15, 375-380.

Примечания к первому алгебраическому трактату Омара Хайяма. - ИМИ, 15, 462-472 (совм. с С.А.Красновой).

Метрические инварианты плоскостей во флаговых пространствах. -Вопросы дифференциальной и неевклидовой геометрии. УЗ МГПИ, 278­286 (совм. с Л.М.Ежовой-Гусевой и Т.А.Назаровой).

Симметрические полуримановы пространства. - ИВУЗ, N1(36), 108-116 (совм. с Л.М.Карповой).

Метрические инварианты и коварианты пар плоскостей в квазиэллиптическом пространстве. -Литовский математический сборник. 4, N2, 93-105 (совм. с Л.П.Андреевой и Л.М.Карповой).

Метрические инварианты и коварианты пар плоскостей во флаговом пространстве. Литовский математический сборник. 4, N2, 107­111 (совм. с Л.М.Ежовой-Гусевой и Т.А.Семеновой).

Математика стран Ближнего и Среднего востока в средние века.

-МвШ, N3, 21-24 (совм. с С.А.Красновой и А.К.Кубесовым).

Математика стран Ближнего и Среднего Востока в средние века.

- МвШ, N4, 16-24 (совм. с С.А. Красновой и А.К.Кубесовым).

Проективные метрики. - Труды IV Всесоюзного математического съезда. II, Секционные доклады, Л., 172-177.

Комментарии. - Мухаммад аль Хорезми. Математические трактаты. Ташкент, Фан, 94-129.

Проективные метрики. - УМН, 19, N5(119),51-113; английский перевод: Projective Metrics. - RMS, 19 N5, 49-107 (совм. с И.М. Ягломом и Е.У.Ясинской).

Омар Хайям. М., ИВЛ, 191 стр. (совм. с А.П.Юшкевичем).

Аналитический принцип непрерывности в геометрии. - ИМИ, 16, 273-294; английский перевод: Analytic Principle of Continuity in Geometry. - AIHS, N70-71, 3-22.

Геометрия Лобачевского и теория относительности. I.- МвШ, N1, 7-16.

Геометрия Лобачевского и теория относительности. II. - МвШ, N2, 10-20.

О работе геометрического семинара Коломенского педагогическо- го института. - Проективные метрики. УЗ КПИ, 8, 2-7.

Предельные группы Ли. - Проективные метрики. УЗ КПИ, Коломна,8, 8-22.(совм. с Л.М.Карповой).

Многомерные пространства, М., Наука, 647 стр.

Трактат Сабита ибн Корры о составных отношениях. - ИМЕН, 5, Матем., 126-130; ФМНСВ, 1, 5-8 (совм. с Л.М.Карповой).

Примечания к трактату Сабита ибн Корры о составных отношениях.- ФМНСВ, 1, 40-41 (совм. с Л.М.Карповой).

Арабские и персидские физико-математические рукописи в библиотеках Советского Союза. - ФМНСВ, 1, 256-289.

Кто был автором римского издания "Изложения Евклида Насир ад- Дина ат-Туси"? - ВИЕТ, 20, 30-31 (совм. с А.К.Кубесовым и Г.С.Собировым).

Математика на XI Международном конгрессе по истории науки. - УМН, 21, N1(127), 193-199.

Многомерные пространства. - ЭЭМ, 5, 349-392 (совм. И.М.Ягломом).

Неевклидовы геометрии. - ЭЭМ, 5,393-475 (совм. с И.М.Ягломом).

Флаговые группы и сжатие групп Ли. - ТСВТ, 13, 166-200 (совм. с Л.М.Карповой).

Адольф Павлович Юшкевич (к шестидесятилетию со дня рождения). - УМН, 22, N1(133); английский перевод: RMS, 22, N1, 159-166 (совм. с И.Г.Башмаковой, А.О.Гельфондом. К.А.Рыбниковым и С.А.Яновской).

Марк Яковлевич Выгодский и его работы по истории математики. - М.Я.Выгодский. Арифметика и алгебра в древнем мире, изд. 2-е, М., Наука, 350-362.

Аlgеbtаiс Exponents and Their Geometric Interpretation. - Organon. N4, 109-112 (with M.L.Chernova).

О математических главах "Книги знания" Ибн Сины. - Абу Али ибн Сина. Математические главы "Книги знания" (Донишнома), Душанбе, 3-17 (совм. с С.У.Умаровым).

Комментарии. - Абу Али ибн Сина. Математические главы "Книги знания" (Донишнома), 142-178 (совм. с С.У.Умаровым).

Взаимное влияние алгебры и геометрии в истории математики. - Вопросы истории науки, Ереван,110-113.

Максимально подвижные пространства аффинной связности как пространства постоянной кривизны и их представления с помощью алгебр. - ИВУЗ, N3(58), 74-87 (совм. с И.И.Тюриной).

Конгруэнции плоскостей эллиптического и квазиэллиптического пространств. - ИВУЗ, N3(58), 60-71 (совм. с Л.В.Львовой и Т.А.Семеновой).

Александр Петрович Котельников (1865-1944), М., Наука, 122 стр. (совм. с И.В.Путятой, Б.Л.Лаптевым и Б.Н.Фрадлиным).

Raductions et publications sovietiques d'oeuvres mathematiques madievales. - ACIHS XII, Colloques, Textes de rapports. Paris, 95-100.

История математики. - ВИЕТ, 23, 10-17; немецкий перевод: Die Entwicklung der Mathematikhistorischen Forschungen in der UdSSR - НТМ, 5, N11, 44-64.

The Theory of Parallel Lines in the Medieval East. - ACIHS XI, Warszawa - Wroclaw - Krakow, 3, 175-178.

Изучение истории математики в Нидерландах.-ВИЕТ24,120-121.

1969.

Неевклидовы пространства. М., Наука, 547 стр.

Принцип тройственности в квазиэллиптическом и квазигиперболичес- ком пространствах. - ИВУЗ, N2(81), 81-87 (совм. с Н.Н.Адамушко).

Квазипростые алгебры, квазиматрицы и спинорные представления групп квазинеевклидовых движений. - ИВУЗ, N4(83), 80-100 (совм. с М.П.Замаховским, Т.Г.Орловской и И.Н.Семеновой).

Инварианая квазириманова метрика в группах движений квазинеев- клидовых пространств. - Труды МТИ. 18, 100-106 (совм. с Л.М.Карповой).

Эрнест Кольман (к 75-летию со дня рождения). - ВИЕТ, N2(27), 72­78 (совм с Б.М.Кедровым и А.П.Юшкевичем).

Астрономический труд ал-Бируни "Канон Мас'уда". - ИАИ, 10, 62­95 (совм. с М.М.Рожанской).

Образы симметрии и антисимметрии вещественных квазинеевклидо- вых пространств. - УЗ МОПИ, 253, Геометрия, N3, 3-22 (совм. с Н.Н.Адамушко, Л.М.Карповой и Л.В.Львовой).

On Mathematical Treatise of al-Farabi. - AIHS, N86-87, 50 (with A.K.Kubesov).

1970.

Геометрические преобразования и переменные величины у Ибрахима ибн Синана. - ИМЕН, 9 (Механика, Математика), 178-181 (совм. с М.М.Рожанской).

Антидвижения и образы антисимметрии в вещественных и комплексных пространствах. - ДАН ТаджССР, 13, N6, 9-12 (совм. с Д.Х.Джурабековой).

Памяти молодых московских геометров Б.В.Лесового, М.И.Песина и С.А.Фукса. - УМН, 25, N3(153), 254-256; английский перевод: RMS, 25, N3 (совм. с И.М.Ягломом)..

Доисторические времена. - ИМДВ, 1, 9-15; болгарский перевод: София, 1974, 13-20; польский перевод: Warszawa, 1975, 11-17 (совм. с Э.И.Березкиной).

Страны ислама. - ИМДВ, 1, 205-244; болгарский перевод: София, 1974, 244-293; польский перевод: Warszawa, 1975, 225-267 (совм. с А.П.Юшкевичем).

Средневековая Европа. - ИМДВ, 1, 245-283; болгарский перевод: София, 1974, 294-342, польский перевод: Warszawa, 1975, 268-309 (совм. с А.П.Юшкевичем).

Эпоха Возрождения. - ИМДВ, 1, 284-326; болгарский перевод: София, 1974, 343-392; польский перевод: Warszawa, 1975, 310-355 (совм. с А.П.Юшкевичем).

Комбинаторика и теория вероятностей. - ИМДВ, 2, 81-97; болгарский перевод: София, 1975, 91-109; польский перевод: Warszawa, 1976, 90-107 (совм. с Л.Е.Майстровым и О.Б.Шейниным).

Геометрия. - ИМДВ, 2, 98-129; болгарский перевод: София, 1975,

147; польский перевод:Warszawa, 1976, 108-141 (совм. с А.П. Юшкевичем).

О связях модели Билинского плоскости Лобачевского на "торовой плоскости" с двойными числами. - Glasnik Matematizki, 5(36), N2, Zagreb, 307-308.

История математики. - История отечественной математики. 4:2, Киев, Наукова Думка, 455-490 (совм. с А.Н.Боголюбовым и А.П.Юшкевичем).

Откуда произошли названия геометрических фигур? - Квант, N1, 50-51; Квант, 1984, N4, 30.

Почему мы так говорим: 1. Откуда произошло слово "синус"? 2.Откуда произошел математический термин "корень"? - Квант, N3, 42-44.

Откуда произошли названия звезд и созвездий? - Квант, N10,32-

36.

1971.

Риманова кривизна эрмитовых эллиптических и квазиэллиптических пространств. - ИВУЗ, N4(107), 68-77 (совм. с Т.М.Богуславской, Л.М.Маркиной и И.Н.Семеновой).

Риманова кривизна квадратичных комплексных, двойных и дуальных пространств. - ИВУЗ, N5(108), 83-91 (совм. с Т.М.Бахолдиной, Л.В.Любишевой и С.Н.Могальковой).

Geometric Transfofmations in the Medieval East. - AICHS XII, IIIa, Paris, 129-131.

Neeuklidesowa mechanika. - Kwartalnik historii nauki i techniki, N2, 273-280 (z A.T.Grigorianom).

Базисные симметрические пространства дуальных расширений вещественных простых групп Ли. - ИВУЗ, N6(109), 70-77 (совм. с И.М.Бриком, Н.И.Ореховой и А.С.Панфиловой).

Простые и квазипростые йордановы алгебры. - ИВУЗ, N8(111),

121 (совм. с М.П.Замаховским).

Базисные симметрические пространства дуальных расширений вещественных квазипростых групп Ли. - ИВУЗ, N9(112), 70-78 (совм с И.М.Бриком, Н.И.Ореховой и А.С.Панфиловой).

О влиянии математики стран ислама на науку Европы. - АС XIII, Коллоквиум "Средневековая наука, взаимоотношение Востока и Запада", M., Наука, 21 стр.

Образы симметрии двойных унитарных эллиптического и квазиэллиптического пространств. - УЗ МордГУ, Саранск,70, сер. мат. наук, 165-188 (совм. с И.Н.Семеновой).

Геометрическая интерпретация спинорных представлений групп движений квазиэллиптических пространств. - Гравитация и теория относитель- ности, 8, 116-125 (совм. с И.И.Колокольцевой).

О математических трудах аль-Фараби. - Аль-Фараби. Математические трактаты. Алма-Ата, Наука, 7-14 (совм. с А.Кубесовым).

Примечания к математическому разделу "Перечисления наук". - Ал-Фараби. Математические трактаты. Алма-Ата, Наука, 36-49 (совм. с А.Кубесовым).

Примечания к "Комментариям к трудностям во введениях к первой и пятой книгам Евклида". - Аль-Фараби. Математические трактаты. Алма- Ата, Наука, 251-270 (совм. с А.Кубесовым).

Биредуктивные пространства, простые и квазипростые йордановы алгебры. - ТСВТ, 16, 251-286 (совм. с М.П.Замаховским).

Теория винтов и неевклидова механика. - История механики с конца XVIII века до середины ХХ века. М., Наука, 338-346 (совм.сА.Т.Григорьяном).

Об астрономических трактатах ал-Фаргани. - ИАИ, 11, 191-210 (совм. с М.М.Рожанской).

Общая характеристика математики XVIII века. Заключение. - ИМДВ, 3, 7-31, 472-476; болгарский перевод: София, 1976, 7-33, 547-551; польский перевод: Warszawa, 1977, 9-33, 547-551(совм. с А.П.Юшкевичем).

Арифметика и алгебра. - ИМДВ, 3, 32-100; болгарский перевод: София, 1976, 34-112; польский перевод: Warszawa, 1977, 36-110 (совм. с И.Г.Башмаковой и А.П.Юшкевичем).

Геометрия. - ИМДВ, 4, 153-221; болгарский перевод: София, 1976, 159-245; польский перевод: Warszawa, 1977, 167-240.

Творец новой геометрии. - Квант, N12, 6-15; немецкий перевод: Uber den Schopfer der neuer Geometrie.-Alpha, 1973, N5, 121-134 (совм. с А.Я.Халамайзером).

Новые данные об авторе римского издания "Изложения Евклида" Насир ад-Дина ат-Туси. - ВИЕТ, N1(42), 36.

Геометрическая интерпретация квазипростых особых групп Ли классов Е7 и Е8 - ДАН СССР, 211, N2, 289-292; английский перевод: Geo­metric Interpretation of Quasisimple Exceptional Li Groups of the Classes E7 and E8. - SоvМD, 1, N4, 1016-1020.

Абу-р-Райхан ал-Бируни (973-1048). М., Наука, 271 стр. (совм. с М.М.Рожанской и З.К.Соколовской).

Биквазипростые алгебры. - ГСб, 13, 20-31 (совм. с А.Б.Руденко И.И.Колокольцевой).

Стереографическая проекция. М., Наука, 37 стр.; испанский перевод: Proieccion estereografica. M., Мир, 1977, 48 рр.; английский перевод: Stеrеоgrарhiсал Projection. M., Мир, 1977, 54 pp. (совм. с Н.Д.Сергеевой).

Абу Райхан Бируни (к 1000-летию со дня рождения). М., Наука, 59 стр. (совм. с Б.М.Кедровым).

Трактаты Беруни об астролябиях. - Беруни. К 1000-летию со дня рождения. Ташкент, Фан, 85-90 (совм. с М.А.Абдурахмановым).

Естественнонаучное наследие Беруни. - Природа, N3, 2-10 (совм. с М.М.Рожанской).

Издание произведений Беруни в СССР. - Природа, N3, 18-19.

Абу Райхан Беруни. - МвШ, N4, 87-89 (совм. с А.К.Таги-заде).

Астролябии Беруни. - Земля и Вселенная, N5, 69-72 (совм. с.

К.Таги-заде).

Роль Беруни в расширении понятия числа. - ОНУ, N7-8, 83-91.

Беруни и его "Канон Мас'уда". - Абу Райхан Беруни Канон Мас'уда (кн. I-V). Избранные произведения, 5:1, Ташкент, Фан, 7-49 (совм. с П.Г.Булгаковым).

Комментарии. - Абу Райхан Беруни. Канон Мас'уда (кн. I-V). Избранные произведения, 5:1, Ташкент. Фан, 495-513 (совм. с П.Г.Булгаковым, М.М.Рожанской и А.А.Ахмедовым).

Тавзехот ва лугат. - Абурайхони Беруни. Китоб-ут-тафхим ли авоили саноат ат-танчим. Душанба, Ирфон, 251-274 (совм. Г.С.Собировым).

(or al-Kashani). Ghiyath al-Din Jamshid - DSB, 7, 255-262 (with A.P.Yushkevich).

Аl-Khayyami (or Khayyam) Ghiyath al-Din Umar ibn Ibrahim al- Nisaburi. - DSB, 7, 323-334 (with A.P.Yushkevich).

Lobachevsky Nikolai Ivanovich. - DSB, 8, 428-435.

1974.

Важная находка по истории математики, астрономии и оптики. - ВИЕТ, N2-3(47-48), 123-124.

Геометрическая интерпретация дробно-линейных преобразований йордановых алгебр. - ДАН СССР, 217, N1, 35-38; английский перевод: Geometric Interpretations of Jordan Algebras. SovMD, 15, N5, 1252-1256 (совм. с И.И.Колокольцевой и В.В.Малютиным).

Дробно-линейные преобразования йордановых алгебр. - ИВУЗ, N5, 169-184; английский перевод: Linear-fractional Transformations of Jor­dan Algebras. - SovMIV, 18, N5, 142-153 (совм. с И.И.Колокольцевой,

В.Малюти- ным и Р.П.Выплавиной).

А.П.Норден и геометрия квазипростых и k-квазипростых групп и алгебр. - ТГС, 7, 98-106.

Геометрическая интерпретация полукватернионной симплектической и 1/4-кватернионной антиэллиптической плоскостей. - ТГС, 7, 107-117 (совм. с А.Б.Руденко и Л.П.Зиминой).

Применение спинорных представлений 3-пространств к линейчатой геометрии. - ТГС, 7, 118-127 (совм. с С.Н.Могальковой).

Maltsev (Malcev) Anatoly Ivanovich. - DSB, 9, 71-72.

The Treatise of Thabit ibn Qurra on Sections of a Cylinder and on Its Surface. - AIHS, 24, N94, 66-72 (with L.M.Karpova).

Примечания к трактату Омара Хайяма "Речь о родах, которые образуются квартой". - ИМИ, 19, 282-284 (совм. с Н.Г.Хайретдиновой).

Примечания к "Предпосылкам для доказательства постулата о параллельных линиях" Хусам ад-Дина ас-Салара. - ИМИ, 19, 291-293 (совм. с Н.Г.Хайретдиновой).

Alexandrov Pavel Sergeevich. - Scienziati e tecnologi contemporanei, 1, Milano, 20-21 (con S.S.Demidov).

1975.

A Medieval Physico-Mathematical Manuscript Newly Discovered in the Kuibyshev Regional Library. - HM, 2, 67-69.

Алгебраический трактат ас-Самав'ала. - ИМИ, 20, 125-149.

Формула Ньютона в работах XI в. - МвШ, N4, 86-87 (совм. с А.К.Таги-заде).

Mathematical Methods Used for Construction of Astronomic Instru­ments in Arabic Countries. - ACIHS XIV, Tokyo, 3, 349-352 (with A.K.Tagi- zade).

Periodization of History of Mathematics. -ACIHS XIV, Тоm 4, 203-204.

Геометрическая алгебра и решение кубических уравнений в радикалах. - ГСб, 12, 96-101 (совм. с М.Л.Черновой).

Примечания к переводу "Комментариев к"Алмагесту" аль-Фараби". - Аль-Фараби. Комментарии к "Алмагесту" Птолемея, Алма-Ата, Наука, 351­452; болгарский перевод: София, 1983, 173-217 (совм. с А.К.Кубесовым).

О математических работах ал-Фараби. - Ал-Фараби. Научное творчество. М., 31-37 (совм. с А.К.Кубесовым).

"Книга вразумления начаткам науки о звездах". - Абу Райхан Беруни. Избранные произведения, 6, Ташкент, Фан, 7-18 (совм. с А.Ахмедовым).

Комментарии. - Абу Райхан Беруни. Книга вразумления начаткам науки о звездах. Избранные произведения, 6. Ташкент, Фан, 259-319 (совм. с А.Ахмедовым).

Кто был автором "Трактата об определении синуса одного градуса"? - ОНУ, N10, 51-53 (совм. с А.Ахмедовым).

Эллиптические прямые и евклидовы плоскости над тензорными произведениями тел. - ИВУЗ, N12, 41-52; английский перевод: Elliptic.

Straight Lines and Elliptic Planes ovver Tensor Products of Fields. - SovMIV, 19, N12, 35-42 (совм. с Р.П.Выплавиной и Т.А.Зерновой).

Математический фрагмент из Боббио. - Проблемы истории математики и механики, 2, 125-130 (совм. с Н.В.Орловой).

Арабские рукописи в Государственной библиотеке СССР им. В.И.Ленина. - ВИЕТ, N2(51), 100.

1976.

The List of Physico-mathematical Works of Ibn al-Haytham Written by Himself. - HM, 3, 75-76.

Векторы и псевдовекторы Виета и их роль в создании аналитичес­кой геометрии. - ИМИ, 21, 102-109.

Международная научная конференция, посвященная 1100-летию Абу Насра аль-Фараби. - ВИЕТ, N1(54), 86-88 (совм.А.К.Кубесовым).

Адольф Павлович Юшкевич (к 70-летию со дня рождения). - ВИЕТ, N2(55), 70-72 (совм. с И.Г.Башмаковой. А.Т.Григорьяном, С.С.Демидовым, А.И.Маркушевичем и Ф.А.Медведевым).

Adolph Pavlovich Yushkevich (on the occasion of his seventieth an­niversary). - HM, 3, 259-278 (with I.G.Bashmakova, A.T.Grigorian, A.I.Markushevich and F.A.Medvedev).

Адольф Павлович Юшкевич (к 70-летию со дня рождения). - МвШ, N3, 86-87 (совм. с И.Г.Башмаковой и Ф.А.Медведевым).

Thabit ibn Qurra. - DSB, 13, 288-295 (with A.T.Grigorian).

Abu'l-Rayhan al-Biruni (973-1048), - Alpha, N2, 28-29 (mit A.Ja.Chalamaiser).

Гиперболические пространства дробного индекса и квазиэллиптиче- ские пространства дробного дефекта. - ТГС, 9, 88-104 (совм. И.В.Кунаковой).

Примечания. - Хрестоматия по истории математики (Арифметика и алгебра, Теория чисел, Геометрия). М., Просвещение,51-59, 81-85, 180-213.

Комментарии. - Абу Райхан Беруни. Канон Мас'уда (кн. VI-XI), Избранные произведения. 5:2, Ташкент, Фан, 525-612 (совм. с А.А.Ахмедовым и М.М.Рожанской).

Геометрия некоторых квазипростых и биквазипростых групп Ли класса А. - ГСб, 17, 8-19 (совм. с Н.С.Денисовой, Н.П.Климентовой и Д.И.Мирзо-заде).

Структура алгебр в многообразиях вещественных прямых и плоскостей. - ГСб, 17, 90-98 (совм. с Р.П.Выплавиной).

Геометрический смысл инвариантов гиперповерхностей в многомер- ных евклидовых и эллиптических пространствах. - ГСб, 17, 99­103 (совм. с В.А.Барановой и А.С.Мартаковой).

История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометриче- ском пространстве. М., Наука, 414 стр.

1977.

Неевклидова геометрия и ее роль в современном мире. - ВИЕТ, N3-4(56-57), 3-10 (совм. с В.П.Визгиным).

150-летие геометрии Лобачевского. Всесоюзная конференция в Казани. - ВИЕТ, N3-4(56-57), 143-144.

Математика. - История естествознания в России с начала XVIII до начала ХХ века. М., Наука, 47-66,150-170,260-295 (совм.с А.П Юшкевичем).

Гиперболические плоскости над тензорными произведениями тел. - ГСб, 18, 93-97 (совм. с В.В.Малютиным).

Мutuаl Connections and Mutual Influence of Science and Technology in the Countries of Medieval Еаст. - Symposium of ICOHTEC "Technology and Society" Kaluga, 1976. - Acta historiae rerum naturalium necnon technicarum., 8, 113-119.

Об астрономических трактатах ал-Хорезми. - ИАИ, 13, 201-218 (совм. с Н.Д.Сергеевой).

Адольф Павлович Юшкевич (к 70-летию со дня рождения). - УМН, 32, N2(195), 197-202; английский перевод: RMS, 32, N3, 145-153 (совм. с И.Г.Башмаковой, А.Т.Григорьяном, А.Н.Колмогоровым, А.И.Маркушевичем и Ф.А.Медведевым).

Неевклидова геометрия во второй половине XIX века и в ХХ веке. - 150 лет геометрии Лобачевского. М., Наука, 95-106.

Геометрическая конструкция операций алгебры m-плоскостей проективного (2m + 1)-пространства. - Вопросы теории групп и гомологической алгебры. 1, Ярославль, 211-219 (совм. с В.А.Кузнецовой и С.А.Хантуриной).

Маthеmаtiсаl Atomism and Infinitesimal Methods on Medieval Near and Middle East. - ACIHS XV. Edinburgh. Papers by Soviet Scientists. 2, 1-11.

Recent Publications of the Institute for the History of the Natural Sciece and Technology, Moscow. - JHAS, 1, N1, 109-110.

1978.

Арабская версия "Арифметики" Диофанта. - IMI, 23, 191-249; Английсий перевод: Arabic Version of Diophantus' "Arithmetic". - Science and Technology, Humanism and Progress, M., 1981, 151-161. (совм. с И.Г.Башмаковой и Е.И.Славутиным).

Некоторые вопросы математики переменных величин в трактате ал-Бируни о тенях. - ИМИ,23, 226-230.

По страницам зарубежных журналов. - ВИЕТ, N1(58), 121-122.

Список физико-математических трудов Ибн ал-Хайсама. - ВИЕТ, N1(58), 115.

Из истории групп преобразований. - Принцип симметрии. М., Наука, 235-255.

Астрономический трактат ал-Бируни "Выделение сказанного по вопросу о тенях". - ИАИ, 14, 310-321 (совм. с Л.Г.Уцехой).

Образы простоты в пространствах с квазипростыми и r-квазипростыми фундаментальными группами. - ГСб. 19, 79-86 (совм. с Т.А.Степашко).

"Картография", одно из первых дошедших до нас сочинений ал-Бируни. - Математика на средневековом Востоке, Ташкент, Фан, 127-153 (совм. с А.Ахмедовым).

Геометрическая интерпретация унитарных представлений квази - простых групп Ли. - Функциональный анализ, 11, Ульяновск, 144-152 (совм. с Е.Г.Шрайнер).

Влияние Самаркандской школы Улугбека на развитие математики и астрономии за пределами Средней Азии. - Из истории науки эпохи Улугбека. Ташкент, Фан, 130-142.

О геометрических работах Дункана Соммервилля (к столетию со дня рождения). - ИМИ, 24, 247-257.

Метод подвижного репера в пространствах над некоммутативными алгебрами. - ВГК VII, Минск, 158.

Абу Али Ибн аль-Хайсам. -О физиках.3, Тбилиси, Мецниереба,9-13.

Абу-р-Райхан аль-Бируни. - О физиках. 3, Тбилиси, Мецниереба, 14-17.

О математических работах Кутб ад-Дина аш-Ширази. - ИМИ, 25, 328-334.

О зодиакальном свете у арабов. - ИАИ, 15, 290-292.

Предисловие к трактатам Ибн ал-Хайсама о зажигательных зеркалах. - ИАИ, 15, 305-306.

Примечания к трактатам Ибн ал-Хайсама о зажигательных зеркалах. - ИАИ, 15, 335-338 (совм. с Н.В.Орловой).

О работах иранских ученых IX-X вв. ал-Ираншахри и ар-Рази по физике. - ВИЕТ, N2, 106-111 (совм. с Н.К.Маруповым).

О работах Ибн Сины по математике и астрономии. -Абу Али Ибн Сина. К 1000-летию со дня рождения. Ташкент, Фан, 157-163; английский перевод: The Works of Ibn Sina in Mathematics and Astronomy. -ACIHS XVI, Papers of Soviet Scientists. The 1000th Anniversary of Ibn Sina (Avicenna) Birth. M., Nauka, 1981, 2-12.

История развития современного школьного курса геометрии. - Преподавание геометрии в 9-10 классах. М., Просвещение, 111-131.

Кривые в G-эллиптическом 6-пространстве. - Труды ТМИ, Тбилиси, 64, 94-104 (совм. с Р.Г.Тлуповой).

Теория нитей в бикомплексных бикватернионных и кватеркватернионных эрмитовых евклиидовых плоскостях. - ГПМ, 84-89 (совм. с Т.А.Бурцевой).

Специальные линии и 2-поверхности в G-эллиптическом 6-пространстве. - ГПМ, 90-96 (совм. с Р.Г.Тлуповой).

Применение метода подвижного репера к пространствам.

Над некоммутативными алгебрами. - ГСб, 21, 3-6 (совм. с Н.А.Пахаевой).

Some Mathematical Discoveries in al-Biruni's "Shadows". - JHAS, 4, 332-336 (with L.G.Utseha).

Banu Musa. - Lexikon des Mittelalters, Мunсhеn,1, 1422 (mit A.P.Juschkewitsch).

Геометрия. - Математика XIX века.2, М., Наука, 9-114. Английский перевод Р.Кука: Geometry.- Mathmatics of 19th Centry.

Basel - Boston: Birkhauser, 1996, 1-117( совм. с Б.Л.Лаптевым).

Конечные геометрии с простыми, полупростыми и квазипростыми фундаментальными группами. - ТГС, 13, 63-70. Английский перевод: Finite Geometries with Simple, Semisimple and Quasisimple Fundamental Groups. - Geometric Vein. The Coxeter Festschrift. New York - Heidelsberg - Berlin, Springer, 1982, 477-484 (совм. с Н.И.Харитоновой и И.Н.Кашириной).

Математические и астрономические рукописи на восточных языках в библиотеках Советского Союза. - Памятники истории науки и техники,.М., Наука, 178-183.

The Equivalent of Complex Numbers on the Medieval East. - ACIHS XVI, Bucharest, 1, 65.

Кто изобрел астролябию "заркала"? - ОНУ, N8, 47-48 (совм. с А.Ахмедовым).

Математика в трудах Н.А.Морозова. - Николай Александрович Морозов - ученый-энциклопедист. М., Наука, 129-138.

Комплексы прямых в квазисимплектическом, квазиэллиптическом и квазигиперболическом 3-пространствах. - ТГС, 14, 55-61 (совм. с Л.В.Антоновой и А.Т.Вольховской).

Топологическое строение многообразий образов простоты. - ТГС, 14, 61-69 (совм. с Т.А.Степашко).

Уравнения структуры в пространствах над некоммутативными алгебрами. - ГСб, 22, 11-15 (совм. с Т.И.Юхтиной).

Расслоения многообразий образов простоты и их стационарных подгрупп, определяемые градуировками алгебр Ли. - ГСб, 22, 16-27 (совм. с Т.А.Степашко).

- Геометрический смысл кривизн кривых N-мерного евклидова пространства. - ГСб, 22, 132-134 (совм. с А.Л.Журавлевым).

1983.

Примечания к трактату ал-Бируни "Об отношениях между металлами и драгоценными камнями по объему". - НН, 6, 309-316 (совм. с М.М. Рожанской).

Примечания к трактату Мухаммада ибн ал-Хусайна "Послание о доказательстве того, что невозможно, чтобы стороны двух квадратных чисел, сумма которых является квадратом, были бы нечетными". - НН, 6, 316-321.

Примечания к комментариям аш-Ширази к "Трактату о движении качения и отношении между плоским и кривым". - НН, 6, 321-325.

Клеточные полиномы многообразий образов простоты. - ДАН СССР, 268, N1, 42-44; английский перевод: Cellular Decompositions of Manifolds of Simplisity Figures. - SovMD, 27, N1, 37-39 (совм. с Г.С.Магасумовым).

Метасимплектические геометрии как геометрии на абсолютах эрмитовых плоскостей. - ДАН СССР, 268, N3, 556-559. Английский перевод: Metasymplectic Geometries as Absolutes of Hermitian Planes. - SovMD, 27, N1, 133-135 (совм. с Т.А.Степашко).

Примечания к отрывкам из сочинений Мухаммада ал-Хорезми. - ВИЕТ, N1, 103-107.

Теория параллельных линий на средневековом Востоке в 9-14вв. М., Наука, 124 стр. Арабский перевод: Назариййа ал-хутут ал-мутавазиййа фи-л масадир ал-рабиййа ма байна ал-курун ал-салис ва-с-самин ли-л хиджра ат-таси' va-раби' 'ашар ли-л-билад. Халаб, 1989, 202 a"p.

(совм, с А.П.Юшкевичем).

Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII-XVII вв.) 1-3. М., 479+650+372 с.(совм. с Г.П.Матвиевской).

Труды математиков и астрономов мусульманского средневековья (VIII-XVII вв.). - [304], 1, 11-99, 3, 333-335 (совм. с Г.П.Матвиевской и А.П.Юшкевичем).

Мухаммад ал-Хорезми (ок.783-ок.850). М., Наука, 239 стр. (совм. с П.Г.Булгаковым и А.А.Ахмедовым).

Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми. К 1200-летию со дня рождения. МвШ, N3, 46-49.

Неэлементарная математика в трудах ал-Хорезми.- Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми. К 1200-летию со дня рождения. М., Наука, 135-140.

Астрономические и географические труды ал-Хорезми. - Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми. К 1200-летию со дня рождения. М. Наука, 141-191 (совм. с А.А.Ахмедовым и Н.Д.Сергеевой).

Примечания к трактатам ал-Хорезми. - Мухаммад ибн Муса ал- Хорезми. К 1200-летию со дня рождения. М., Наука, 215-216, 219-221, 232-234, 250-260 (совм. с Дж. ад-Даббахом).

О "Книге сложения и вычитания" ал-Хорезми. - ОНУ, N6, 40-41.

"Книга истории" ал-Хорезми. - ОНУ, N7, 18-22; узбекский перевод: Фан ва турмуш, N8, 20-24 (совм. с П.Г.Булгаковым).

Об одной системе линейных уравнений у Диофанта и ал-Караджи. - ИМИ, 27, 142-146.

Сферическая астролябия ар-Рудани. - ИАИ, 16, 235-255 (совм. с К.Г.Большаковой и Н.И.Невской).

Астрономические рукописи Сабита ибн Корры в Библиотеке Академии наук СССР. - ВИЕТ, N4, 79-80 (совм. с Г.Е.Куртиком).

Значение математического труда Альфонсо для истории математики. - Альфонсо. Мейашшер 'акоб ("Выпрямляющий кривое"). М. Наука, 34-36.

Комментарии. - Альфонсо. Мейашшер 'акоб ("Выпрямляющий кривое"), М., Наука, 90-108 (совм. с Г.М.Глускиной и С.Я.Лурье).

1984.

Сабит ибн Корра - математик, механик и астроном. - Сабит ибн Корра. Математические трактаты. НН, 8, М., Наука, 8-25.

Примечания. - Сабит ибн Корра. Математические трактаты. НН, 8, М. Наука, 329-381 (совм. с Дж. ад-Даббахом, Л.М.Карповой, Г.Е.Куртиком, Г.П.Матвиевской, М.М.Рожанской, А.Ю.Сансуром, Т.Д.Столяровой и Н.Г.Хайретдиновой).

Пространство над алгеброй. - Математическая энциклопедия, 4, М., Советская Энциклопедия, 713-715. Английский перевод: |ncyclopedia of Маthеmаtiсs, 8, Dordrecht-Boston-London: Wuwer, 1992, 396-397 (совм. с А.П.Широковым).

Эквивалент комплексных чисел на средневековом Востоке. - История науки, Тбилиси, Мецниереба, 31-36.

Астрономия в странах ислама. - ИАИ, 17, 67-122.

Празднование 1200-летия со дня рождения Мухаммада ал- Хорезми в СССР. - ИАИ, 17, 251-254.

О развитии геометрии пространств над алгебрами. - ИВУЗ, N7, 38­44. Английский перевод: On the Development of the Geometry of Spaces over Algebras. - SovMIV, 28, N7,46-54 (совм. с В.В.Вишневским и А.П.Широковым).

Применение угла наклона 2-площадок в эрмитовых пространствах к дифференциальной геометрии этих постранств. - ИВУЗ, N7, 64-70. Английский перевод: Application of Angle of the Inclination of 2-areas in Hermitian Spaces to the Differential Geometry of These Spaces. - SovMIV, 28, N7, 81-91 (совм. с Л.А.Власовой и Т.И.Юхтиной).

Углы и орты наклона вещественных 2-площадок эрмитовых пространств над тензорными произведениями тел. - ИВУЗ, N7, 70-74. Английский перевод: Angles and Unit Vectors of the Inclination of Real 2-areas in Hermitian Spaces over Tensor Products of Fields. - SovMIV, 28, N7, 92-95 (совм. с Р.П.Выплавиной).

Метод теории векторных полей в неголономной геометрии. - ИВУЗ, N8, 77-79. Английский перевод: Method of Vector Fields Theory in Non-holonomic Geometry.- SovMIV, 28, N8,105-108 (совм.с Г.В.Криворучко).

Линии кривизны и геодезические линии m-распределений. - ВГК VIII Одесса, 133.

Линии кривизны m-поверхностей евклидова, эллиптического и квазиэллиптического n-пространств в смысле Жордана. - ТГС, 16, 82-91 (совм. с Л.В.Любишевой и Т.А.Семеновой).

Неизвестные трактаты ал-Хорезми. - ОНУ, N2, 45-47 (совм. с А.Ахмедовым).

"Денсиметрия" ал-Бируни. - ВИЕТ, N1, 91-95.

Теория чисел, геометрия и астрономия в "Книге об индийской арифметике" ал-Хорезми. - Великий ученый средневековья ал-Хорезми. Ташкент, Фан, 66-72.

Примечания к статье Д.Кинга "Пять малых трудов ал-Хорезми: новые тенденции в математической астрономии в IX в." - Великий ученый средневековья ал-Хорезми. Ташкент, Фан, 94-95.

Выдающийся среднеазиатский ученый ал-Фергани. - ОНУ, N6, 29­37.

Программа педагогических вузов по истории математики. - МвШ, N3, 57-60 (совм. с Б.В.Гнеденко, А.П.Юшкевичем, И.Г.Башмаковой и С.С. Демидовым).

Геометрическая алгебра ас-Сиджизи. - ИМИ, 29, 321-325 (совм. с Р.С.Сафаровым и Е.И.Славутиным).

Вещественные 2-поверхности в двойных эрмитовых пространствах. -ТГС, 17, 72-79 (совм. с Н.В.Душиной и И.Н.Семеновой).

Философия и наука на средневековом Востоке. -Методологические и мировоззренческие проблемы истории философии стран Востока. 1, М., 64-69.

Одномерные и двумерные подмногообразия симплектических и антикватернионных эрмитовых пространств. - ИВУЗ, N8, 53-63. Английский перевод: One-dimensional and Two-dimensional Submanifolds of Symplectic and Antiiquaternion Hermitian Spaces. - SovMIV, 29, N8, 71-84.

(совм. с И.Н.Бочаровой, Л.А.Рязановой и Т.И.Юхтиной).

Сегреаны и их применение к геометрии семейств прямых и плоскостей. - ГПМ, 83-88 (совм. с М.А.Половцевой).

Инверсия относительно окружности и инверсии относительно эллипса, гиперболы и параболы в "Конических сечениях" Аполлония. - ИМИ 30, 195-199.

Примечания к "Трактату выдающегося шейха Абу Сахла Биджана ибн Рустама ал-Кухи о построении равностороннего пятиугольника, вписанного в известный квадрат".- ИМИ, 30, 349-351(совм.Р.С.Сафаровым).

Эволюция понятия математического пространства в евклидовой геометрии. - Закономерности развития современной математики. М., Наука, 323-334.

Адольф Павлович Юшкевич (к восьмидесятилетию со дня рождения). - УМН, 42, N4(256), 211-212. Английский перевод: RMS, 42, N4, 179-181 (совм. с А.Д.Александровым, И.Г.Башмаковой, С.С.Демидовым, А.Н.Колмогоровым и Ю.В.Прохоровым).

Предисловие. - Абу Райхан Беруни. Математические и астрономические трактаты. Избранные произведения. 7, Ташкент, Фан,7-25 (совм. с П.Г.Булгаковым).

Комментарии. - Абу Райхан Беруни. Математические и астрономические трактаты. Избранные произведения. 7, Ташкент, Фан, 259­325 (совм. с П.Г.Булгаковым).

Геометрия расслоений Хопфа. - ИВУЗ, N6, 52-57. Английский перевод: Geometry of the Hopf Fibrations. - SovMIV, 31, N6, 65-72.

(совм. с С.Л.Атанасяном и Т.А.Степашко).

Istanbul Manuscripts of al-Khwarizmi's Tretises. - Erdem, 3, N7, 163-186. Турецкий перевод: Erdem, 3, N7, 187-210. Арабский перевод: Абхас джадида ли-л-муста'рибин ас-суфйатиййа, 3, М., 1989, 48-74.

(with A.Ahmedov and J.al-Dabbagh).

On "Densimetry" of al-Biruni. - From Deferent to Equant, volume in honor of E.S.Kennedy. Annals of the New York Academy of Sciences, 500, 403­417 ( with M.M.Rozhanskaya).

Метрические и симплектические сегреаны и квазисегреаны. - ИВУЗ, N4, 52-60. Английский перевод: Metric and Symplectic Segreans and Quasisegreans. - СовМИВ, 32, N4, 74-87 (совм. с Г.В.Криворучкой, Н.В.Шульгой и Т.И.Юхтиной).

Сегреаны и квазисегреаны и их применение к геометрии семейств прямых и плоскостей. - ИВУЗ, N5, 50-56. Английский перевод: Segreans and Quasisegreans and Their Application to Geometry of Families of Lines and.

Planes. - SovMIV, 32, N5, 60-69 (совм. с М.А.Половцевой, Л.А.Рязановой и Т.И.Юхтиной).

История неевклидовой механики. - Исследования по истории физики и механики. М., 161-178 (совм. с А.Т.Григорьяном).

Параболические пространства. - Итоги науки и техники. Алгебра, топология, геометрия, 26, 125-160. Английский перевод: Parabolis Spaces. - Journ. Sov. Math., 1990, 49, N3, 1014 -1034 (совм. с М.П.Замаховским Т.А.Тимошенко).

А History of Non-Euclidean Geometry. Evolution of the Concept of a Geometric Space. - Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. 12, New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo: Springer, 471 p.

Дифференциальная геометрия эрмитовых евклидовых пространств над некоммутативными алгебрами. - ВГК IX, Кишенев, 270 (совм. с Г.В.Степановой).

Происхождение планетарной недели. - Интердисциплинарни изследования, 15, София, 75-76.

Применение сегреан к дифференциальной геометрии семейств плоскостей. - ГСб, 28, 14-16 (совм. с Р.Н.Щербаковым).

Параболические пространства с классическими группами Ли. - Деп. ВИНИТИ, N7234 88, 79 стр. (совм. с М.П.Замаховским и Т.А.Тимошенко).

Параболические и квазипараболические пространства. -Деп. ВИНИТИ N7285 88, 43 стр. (совм. с М.П.Замаховским и Т.А.Тимошенко).

1989.

Исаак Моисеевич Яглом. - УМН,44, N1(265), 179-182. Английский перевод: RMS, 44, N1, 190-193 (совм. с В.Г.Болтянским, Л.И.Головиной, О.А.Ладыженской, Ю.И.Маниным, С.П.Новиковым и А.М.Ягломом).

Применение статики пространства Лобачевского к теории электромагнитного поля. - ИВУЗ, N5(330), 17-22. АнглийсЫй перевод: Аррliсаtiоn of the Static of Lobachevskian Space to the Theory of Electromag­netic Field. - SovMIV, 33, N5, 48-53 (совм. с О.М.Узденовым).

Baghdad Mathematical School in 9th Century. - AICHS XVIII, Ab­stracts, Hamburg - Munchen, P2, 10; Материалы по истории науки и техники. Тезисы докладов на XVIII Международном конгрессе по истории науки. М., Наука, 117-118.

363 Тензор кривизны эрмитовых эллиптических пространств - Zbornik radova filozofskogfakulteta u isu, 3, 83-98 (совм. с Т.А.Бурцевой, Н.В.Душиной, Л.П.Кострикиной, В.В.Малютиным и Т.И.Юхтиной).

Новые издания по истории науки средневекового Востока. - ВИЕТ, N1, 113-122.

Дифференциальная геометрия вещественных 2-поверхностей в двойных эрмитовых евклидовом и неевклидовом пространствах. - ТГС, 19, 107-120 (совм. с Н.В.Душиной и И.Н.Семеновой).

Геометрическая интерпретация уравнения Клейна-Гордона. - Деп. ВИНИТИ, N801 Б 89, 11 стр. (совм. с Н.Е.Марюковой).

Гиперкомплексы прямых в евклидовом и неевклидовых пространствах. - ИВУЗ, N3(334), 57-66. Английский перевод: Hypercomp- lexes of lines in Euclidean and Non-Euclidean Spaces. - SovMIV, 34, N3, 66-76 (совм. с О.В.Зацепиной и П.Г.Стеганцевой).

Фокально-аффинные пространства. - ИВУЗ, N5(336), 60-68. Английский перевод: Focally Affine Spaces. - SovMIV, 34, N5, 70-78.

(совм. с Л.П.Кострикиной, Г.В.Степановой и Т.И.Юхтиной).

Примечания к статье Г.Вейля "Геометрические идеи Римана, их влияние в связи с теорией групп". - ИМИ. 32-33, 288-290.

(совм. с А.С.Солодовниковым и М.И.Монастырским).

Сферическая тригонометрия ал-Хорезми. - ИМИ, 32-33, 325-339.

Планеты и дни недели. - ИАИ, 22, 367-380.

Липшицианы, октавная геометрия и липшиц-аффинные пространства.. - ИВУЗ, N6(337), 81-83. Английский перевод: Lipschitzians, Octave Geometry, and Lipschitz-affine Spaces. - SovMIV, 34, N6, 97-100 (совм. с Т.А.Бурцевой).

Аl-Khwarizmi and Indian Science. - Interaction between Indian and Central Asian Science and Technology in Medieval Times. 1. General Ideas and Methodology, Astronomy, Mathematics and Physical Concepts. New Delhi, In­dian Nat. Sci. Academy, 132-139.

Non-Euclidean Planes over Non-associative Algebras and Geometric Interpretations of Exseptional Simple Lie Groups. - Webs and Quasigroups. Tver: Univ. 104-110 (with Burtseva).

Тензоры кривизны эрмитовых эллиптических пространств. - ТГС, 20, 85-101 (совм. с Е.А.Бурцевой, Т.В.Душиной, Л.П.Кострикиной и Т.И.Юхтиной).

Конформные преобразования на плоскости в "Конических сечениях" Аполлония. - ИАН ТуркмССР, сер. физ.-тех., хим. и геол. наук, Ашхабад, N3, 97-99 (совм. с М.Атагаррыевым).

Фокально-евклидовы и фокально-римановы пространства. - ИВУЗ, N7, 78-81. Английский перевод: Focally Euclidean and Focally Riemannian Spaces. - SovMIV, 35, N7, 75-78 (совм. с А.Ф.Масагутовой).

Тензоры кривизны и формы Римана компактных симметрических римановых пространств внутреннего типа. - Деп. ВИНИТИ, N 3990-B 91, 16стр. (совм. с М.П.Замаховским).

Ahmad Salim Sa'idan (1914-1991). - НМ, 19, N4, 438-439.

Моносистемы и гиперкомплексы m-плоскостей неевклидовых и евклидова пространств. - Памяти Н.И.Лобачевского посвящается. 2, Казань, КГУ, 67-106 (совм. с А.Ф.Масагутовой, Г.В.Степановой и П.Г.Стеганценой).

Elie Cartan1869-1951.Providence, RI, AMS, 317pp (with M.A.Akivis).

Ташкентские рукописи о математическом атомизме. - ВИЕТ, N2, 114-116.

Tashkent Manuscripts on Mathematical Atomism. - Studies in History of Medicine and Science, New Delhi, 12, 1-2, 97-101. Science in.

Islamic Civilisation. Istanbul: IRCICA, 2000, 179-184.

First Proofs of Euclid's Fifth Postulate Based on the Logical Error peti- tio principii and Free from This Error. - ACIHS XIX, Abstracts of Symposia, Zaragoza, 9:1.

Interpretations of the Non-Euclidean Geometry and Its Development in the XIX Century and in the Beginning of the XXth Century. - ACIHS XIX, Ab­stracts of Symposia, Zaragoza, 9:5.

Duality in Geometry. - ACIHS XIX, Abstracts of Symposia, Zaragoza,

9:10.

"Geometric Trigonometry" in Treatises of al-Khwarizmi, al-Mahani and Ibn al-Haytham. - Vestigia Mathematica. Studies in Medieval and Early Modern Mathematics in Honour of H.L.L.Busard. Amsterdam, 305-308.

Reminescences of Soviet Mathematicians. - Golden Years of Moscow Mathematics. Providence, RI, АМS, 75-100.

In memory of Semyon Mikulinskii. - Physis, 30, N2-3, 505-509.

Spaces with Exceptional Fundamental Groups. - PIM,54(68),97-119.

Применение обобщения интерпретации Котельникова к теории симметрических пространств Картана. - ИВУЗ, N10, 46-49. Английский перевод: Application of a Generalization of Kotel'nikov Interpretation to the Cartan Symmetric Spaces Theory. - SovMIV, 37, N10, 47-50.

Сабит ибн Корра, 836-901. М., Наука, 179 стр. (совм. с Н.Г.Хайретдиновой).

Geometric Interpretation of the Exceptional Lie Groups. - GGA, 11, N1, 77-102.

Geometric Interpretations of the Symmetric Spaces with Exceptional Fundamental Groups. - GGA, 11, N3, 277-290.

Geometric Interpretations of the Fundamental Representations of the Exceptional Lie Groups. - GGA, 11, N4, 423-444; 1995, 12, N2, 197.

Religions and the Seven Day Week. - Llull. Revista de la Sociedad Espanola de la Historia de las Ciencias y de las Tecnicas, 17, N32, 141-156.

In memoriam Adolph-Andrey Pavlovich Yushkevich. - Physis, 31, N1, 297-301.

The Theory of Parallels up to the End of the 20th Century. Zaragoza Symposium Report. - Physis 31, N2, 558-562 (with A.Dou and J.C.Pont).

Комментарии к статье Эли Картана "Изотропные поверхности квадрики 7-мерного пространства". - In memoriam N.I.Lobatschevskii. 3:1, Казань, КГУ, 95-119 (совм. с М.А.Акивисом).

Какова геометрия пространства-времени классической механики? - In memoriam N.I.Lobatschevskii. 3:2, Казань, КГУ, 2, 62-66.

Применение липшициан к геометрии особых простых групп.

Ли класса Е. - In memoriam N.I.Lobatschevskii,.3:2, Казань, КГУ, 67-78 (совм. с Т.А.Бурцевой).

Sur la loi de sinus sur la variete de Grassmann. - Rendiconti del Seminario matematico. Universita e Politecnico Torino, 53, N1, 69-72.

Воспоминания о советских математиках. - ИМИ, 1(36), N1, 114-151.

Adolf-Andrei Pavlovitch Youchkevitch, 1906-1993. - AIHS, 45, N134, 130-134 (with I.G.Bashmakova, A.T.Grigorian, S.S.Demidov and E.Knobloch).

Эрмитова тригонометрия П.А.Широкова и ее обобщения, ИВУЗ, N5,3-10. Английски перевод: P.A.Shirokov's Hermitian trigonometry and its generalizations, Rus.MIV 39:5, 1-7.

Reminescences of S.A.Yanovskaya. - Modern Logic, 6 N1, 73-76.

Geometry. - Encyclopedia of the History of Arabic Science. London- New York: Routledge,2, 447-494. Французская версия: Geometrie. - Hitoire des Sciences Arabes, 2, Paris: Seuil, 1997, 2, 121-162. Арабская версия: ал-Хандаса.- Маусу а та'рих ал- улум ал- арабййа. 2, Байрут, Марказ дирасат ал-видада ал- арабййа, с. 575-626. (Совм. с А.П.Юшкевичем).

Homogeneous k-Symmetric Spaces of Interior Type with Simple Real Fundamental Groups and Their Connections with Parabolic Spaces. - PIM, 60(74), 121-136 (with M.P.Zamakhovsky).

Geometry of Lie Groups. Mathematics and its Applications, 393. Dordrecht-Boston-London, Kluwer, 392 pp.

Geometric Interpretation of Some Jordan Algebras. -PIM, 61(75), 114­118.

Surfaces of Constant Curvature and Geometric Interpretation of Klein- Gordon, Sine-Gordon, and Sinh-Gordon Equations. - PM, 61(75), 119-132 (with N.E.Maryukova).

Аl-Fazari. - EHNWC, 30-31.

Geometry in the Islamic World. - EHNWC, 375-378.

Al-Kashi. - EHNWC, 476-477.

Al-Kharaqi. - EHNWC, 478-479.

Khayyam. - EHNWC, 479-480.

Nasir-i Khusraw. - EHNWC, 759.

Al-Saghani. - EHNWC, 874-875.

Sundials in Islam. - EHNWC, 921-922.

Thabit ibn Qurra. - EHNWC, 969-970.

Trigonometry in Islamic Mathematics. - EHNWC, 980-981 (with S.Chalhoub).

Ulugh Beg. - EHNWC, 993.

Al-Urdi. - EHNWC, 994.

1998.

Geometry of Planes over Nonassociative Algebras. - Acta Applicandae Mathematicae, 50, 103-110.

Теоретико-групповой смысл пространства Нейфельда.- ИВУЗ, N6, 65-66. Английский перевод: Group -theoretic meaning of Neufeld spaces, - RusMIV, 42, N 6, 60-61.

Ахмад ал-Фергани (IX век). М., Наука,85с.(совм.с Н.Д.Сергеевой).

Жизнь и творчество ал-Фаргани.- Ахмад ал-Фаргани. Астрономические трактаты. Ташкент, Фан, 9-12.

Комментарии к "Книге об элементах астрономии".-

Ахмад ал-Фаргани. Астрономические трактаты. Ташкент, Фан, 191-209 (совм. с И.Г.Добровольским).

Комментарии к "Книге o построении астролябии".- Ахмад ал-Фаргани. Астрономические трактаты. Ташкент, Фан, 209-233 (совм. с Н.Д.Сергеевой).

1999.

Umar Khayyam. - Encyclopaedia of Islam, 2nd ed. Leiden: Brill, 826-834 (with C.H. de Fouchecour).

In memory Ashot Tigranovich Grigogian. - Physis, 36, No1, 233-235.

2000.

The mathematical treatise of Ulug Beg. - Science in Islamic Civilisa­tion. Istanbul: IRCICA, 143-150. (with A.Ahmedov).

Ball models in Hermitian spaces.- PIM, 67(81), 121-132.

Differentiable functions in associative and alternative algebras and smooth surfages in projective spaces over these algebras.- PIM, 68(82),61-71.

2001.

The transmission of mathematical discoveries of Apollonius of Perga to Islamic East and European West.- Scienza e Storia. Rivista del Centro Inter- nazionale di Storia dello Spazio e del Tempo. 14, 11-16.

2002.

Some remarks on new editions of Apollonius' Conics.- AIHS,52, N 149, 229-236.

Matematicians, Astronomers and Or Sholars of Islamic Civilisation and their woks (7th-19th c.). Istanbul: IRCIC 833 (with E.Ihsanoglu).

Об Исааке Моисеевиче Ягломе.-Математическое просвещение (3), вып.7, 25-28.

The mathematical treatise written in Samarqand astronomical observatory of Ulugh Beg.- ZGAIW,15, 25-65 (with J.P. Hogendijk).

Al-Kashi's treatise on determining sine of one degree.- Ayene -ye Miras, New Series. 1., no. 1, 51-56.

Аполлоний Пергский. М.: МЦНМО, 175 с.

Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства. М,: МЦНМО. 560 с. (совм. с М.П.Замаховским).

A Supplement to Mathematicians, Astronomers, and other Scholars of Islamic Civilisation and their Works (7th - 19th c,).- Suhayl. 4, 87 - 139.

Памяти З.А.Скопеца.- Математическое просвещение (3), вып. 8, 15 - 19 (совм. с Е.М.Элкиной).

О устойчивости материальных структур.- Философские исследования. N 1, 21-34.

A 2-dimensional algebraical variety with 27 rectilinear generators and 108 trisecants and its connection with the maximal exceptional simple Lie group.- PIM, 77 (891),61-65.

The analytic principle of continuity. Part of A.Shenitzer's translation of the 1965 Russian oricinal.- Amer. Math.Monthly 112 (2005), No 8, 743-748. 2006.

Добавления к книге Б.А. Розенфельда и М.П.Замаховского.

"Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства".- Труды НИИММ АН Татарстана. 0001.

Holomorphy angles and sectional curvature in hermitian elliptic planes over fields and tensor products of fields.PIM, 78 (92), 1-8.

Эли Картан (1869 -1951). М.: МЦНМО, 342 с.(совм. с М.А.Акивисом).

Аркадий Павлович Розенгольц,- Международный Шагаловский сборник. (Совм. с А.М.Подлипским), 2005, 91-95.

О семье, отце и о себе. Международный Шагаловский сборник, 2005, 39-46.

A Supplement 2 to Mathematicians, Astronomers, and other Scholars of Islamic Civilisation and their Works (7th - 19th c,).- Suhayl, 6 (2006), 9-79.

В печати.

Комментарии к "Коническим сечениям" Аполлония.- Аполлоний Пергский, т.И. в интернете.

Применение истории математики к решению задач общей истории.- ИМИ.

Альхазен - отец оптики. М.:МЦНМО.

II. Обзорные статьи.

H.Freudenthal. Bericht uber die Theorie der Rosenfeldschen elliptischen Ebenen.- Algebraical and Topological Foundations of Geometry, Proceedings of a Colloquium held in Utrecht, August 1959. Oxford - london - New York - Paris: Pergamon Press, 1962, 35-37; Raumtheorie. Darmstadt: Wissenschaftl. Buchgesellschaft, 1978, 283-286.

История отечественной математики III, Киев, Наукова Думка,1968, Геометрия, 402-404.

Розенфельд Борис Абрамович. - Математика в СССР 1957-1967. II, Москва: Наука, 1970, 1130-1132.

Б.Л.Лаптев, А.П.Норден, А.П.Юшкевич. Борис Абрамович Розенфельд (к 60-летию со дня рождения). - МвШ, 1977, N4, 84-85.

A.G.Grigorian, A.P.Yushkevich. Boris A. Rosenfeld. On the 60th Anniver­sary of His Birth. - HM, 1977, 4, 411-414.

6. Розенфельд Борис Абрамович. - А.И.Бородин, А.С.Бугай. Биографический словарь деятелей в области математики. Киев: Радянська школа, 1979, 432-433.

A.D.Aleksandrov, S.S.Demidov, A.T.Grigorian, G.P.Matvievskaya, S.H. Sirazhdinov, A.P.Yushkevich. - Boris A. Rosenfeld. On the 70th Anniversary of His Birth. - HM, 1988. 15, 1-8.

Российская Еврейская Энциклопедия II, М., Эпос, II, 1995, 485.

Розенфельд Борис Абрамович. - С.Д.Милибанд. Биобиблиографический словарь отечественных востоковедов с 1917 г. II, Москва: Наука, 1995, 327-328.

А.М.Подлипский, Розенфельды, Международный Шагаловский сборник, 2003, 116-129.

М.П.Замаховский, Борис Абрамович Розенфельд (к 90-летию со дня рождения), Математическое просвещение, сер. 3, вып. 11 (2007), 15-20.

СПИСОК УЧЕНИКОВ.

Кандидаты наук, защитившие диссртации, написанные под моим руководством.

Ираида Ивановна ЖЕЛЕЗИНА (МГПИ). Проективные метрики в пространстве и простейшие алгебры. - 21 сентября 1955 г.

Фатали Агарза оглы КАСУМХАНОВ (АзГУ). Теория непрерывных величин и учение о числе в трудах азербайджанского ученого XIII века Мухаммеда Насирэддина Туси. - 17 июня 1957 г.

Назим Танрыверди оглы АББАСОВ (АзГУ). Спинорные представления движений квазинеевклидовых пространств. - 18 июня 1959г.

Тамара Григорьевна ЧАХЛЕНКОВА (МГПИ). Геометрия m-евклидовых пространств. - 30 сентября 1959 г.

Ауданбек Кубесович КУБЕСОВ (ИИЕТ). Развитие идей Архимеда в трудах Насир ад-Дина ат-Туси. - 24 декабря 1963 г.

Евгения Устиновна ЯСИНСКАЯ (МГПИ). Полунеевклидовы пространства - 24 февраля 1964 г.

Наталья Дорофеевна ПЕЦКО (МГПИ). Комплексная линейчатая геометрия. - 25 ноября 1965 г.

Леда Ивановна ЧЕРКАЛОВА (ИИЕТ). Формирование понятия положительного вещественного числа в XVI веке. - 28 декабря 1965 г.

Светлана Александровна КРАСНОВА (Бокатуева) (ИИЕТ). Геометрические преобразования на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. - 28 декабря 1965 г.

Людмила Михайловна КАРПОВА (Еськина) (МГПИ). Образы симметрии предельных неевклидовых пространств. - 18 мая 1966 г.

Мухаббад Ахадовна АХАДОВА (ТашГУ). Физико-математические работы Ибн Сины на таджикском языке. - 14 декабря 1966 г.

Людмила Викторовна ШЕСТЫРЕВА (Румянцева) (МГПИ). Кватернионная симплектическая геометрия. - 20 февраля 1967 г.

Гюллю Зейнал Хизы КУЛИЕВА (АзГУ). Основные понятия математики в трудах предшественников Насирэддина Туси. - 29 июня 1967г.

Санубар Садых кизы КАСЫМОВА (АзГУ). Предельные неевклидовы и симплектические пространства над алгеброй вещественных матриц, - 29 июня 1967 г.

Муборак Саидовна ШАРИПОВА (ТаджПИ). Математические главы "Книги исцеления" Ибн Сины. - 11 апреля 1968 г.

Ирина Григорьевна ЛУЩИЦКАЯ (ТаджГУ). Полукватернионные пространства. - 6 июня 1968 г.

Мира Михайловна РОЖАНСКАЯ (ИИЕТ). Функциональные зависимости у ал-Бируни. - 19 июня 1968 г.

Нурия Галимовна ХАЙРЕТДИНОВА (ИИЕТ). Сферическая геометрия на средневековом Востоке и роль анонимного трактата "Собрание правил науки астрономии" в ее развитии. - 27 декабря 1968 г.

Илья Моисеевич ГОРЖАЛЦАН (КГУ). Кватернионная квазисимплекти- ческая геометрия. - 23 апреля 1970 г.

Тамара Михайловна БОГУСЛАВСКАЯ (Климанова) (МГПИ). Предельные комплексные и кватернионные эрмитовы пространства. - 19 октября 1970 г.

Абдуманнон Абдурахманович АБДУРАХМАНОВ (ТашГУ). Математика в астрономических трудах ал-Беруни. - 24 декабря 1970 г.

Тамара Андреевна СЕМЕНОВА (Назарова) (ТомГУ). Дифференциаль­ная геометрия образов симметрии пространств с проективной метрикой. - 6 января 1971 г.

Лариса Викторовна ЛЮБИШЕВА (ТомГУ). Дифференциальная геометрия линий и гиперповерхностей в полуевклидовых и полунеевклидовых пространствах. - 10 февраля 1971 г.

Ирина Николаевна СЕМЕНОВА (МОПИ). Предельные проективные пространства.- 8 апреля 1971 г.

Эдик Саркисович ГРИГОРЬЯН (АрмГПИ). Теория параллельных линий и инфинитезимальные методы в трудах математиков средневекового Азербай- джана (X-XIV вака). - 19 апреля 1971 г,

Диларом Халимовна ДЖУРАБЕКОВА (ТашГУ). Комплексные, двойные и бикомплексные квадратичные пространства. - 15 июня 1971 г.

Зарылбек КУТМАНОВ (ТашГУ). Полукватернионные гиперболическое и псевдоэллиптические пространства. - 23 июня 1971 г.

Лариса Михайловна МАРКИНА (КГУ). Дуальные эрмитовы пространства. - 28 октября 1971.

Люмила Сергеевна НИКИТИНА (КГУ). Полуантикватернионные пространства - 4 ноября 1971 г.

Антон ибн Юсуф САНСУР (ИИЕТ). Математические труды Сабита ибн Корры. - 23 декабря 1971 г.

Людмила Борисовна ЛОБАНОВА (МОПИ). Геометрия над коммутати­вными алгебрами. - 18 февраля 1972 г.

Людмила Павловна АНДРЕЕВА (ТартГУ). Предельные симплектиче- ские пространства. - 18 февраля 1972 г.

Надежда Николаевна АДАМУШКО (КГУ). Геометрия простых и квазипростых групп Ли класса G2 -2 марта 1972 г.

Михаил Петрович ЗАМАХОВСКИЙ (ТбилГУ). Квазипростые алгебры и их геометрические применения. - 24 апреля 1972 г.

Илья Адамович ЧАХТАУРИ (ТбилГУ). Проективные и неевклидовы пространства над алгебрами матриц и квазиматриц. - 24 апреля 1972 г.

Джаханаро Абдуллаевна МАМЕДОВА (МОПИ). Геометрия симплектических и квазисимплектических пространств над алгебрами комплексных, двойных и дуальных чисел и их тензорными произведениями. - 4 мая 1972 г.

Людмила Викторовна ЛЬВОВА (ТомГУ). Линейчатая геометрия квазинеевклидова пространства. - 8 сентября 1972 г.

Людмила Дмитриевна ЕГОРОВА (КГУ). Дуальные квадратичные пространства. - 4 января 1973.

Татьяна Глебовна ОРЛОВСКАЯ (КГУ). Спинорные представления движений квазинеевклидовых пространств и их геометрические приложения. -5 апреля 1973 г.

Татьяна Дмитриевна СТОЛЯРОВА (ИИЕТ). Статика в странах Ближнего и Среднего Востока в IX-XI веках. - 21 июня 1973 г.

Надежда Дмитриевна СЕРГЕЕВА (ИИЕТ). Астрономические труды ал-Хорезми и ал-Фергани. - 21 июня 1973 г.

Альбина Борисовна РУДЕНКО (ТомГУ). Пространство над алгеброй 1/4 -кватернионов. - 5 октября 1973 г.

Надежда Михайловна ЗАБЛОЦКИХ (МГПИ). Октавные геометрии с классическими фундаментальными группами. - 17 июня 1974 г.

Асиф Кадырович ТАГИ-ЗАДЕ (ИИЕТ). Математические методы, применявшиеся при конструировании астрономических инструментов на средневековом Востоке. - 20 июня 1974 г.

Тамара Георгиевна ОГАНЕЗОВА (МТИПП). Полярные и полуполярные методы изображения пространства на плоскости. - 10 октября 1974 г.

Наталья Владимировна ОРЛОВА (ИИЕТ). Учение об отражении света в древности и на средневековом Востоке. - 26 декабря 1974 г.

Татьяна Анатольевна КУЗНЕЦОВА (МОПИ). Биоктавные геометрии и их аналоги - 20 ноября 1975 г.

Виктор Викторович МАЛЮТИН (МГПИ). Структуры однородных пространств, определяемых простыми тернарами.- 15 декабря 1975 г.

Абдуллаазиз Артыкбаевич АРТЫКБАЕВ (БелГУ). Восстановление выпуклых поверхностей по их внешней кривизне в пространствах с проективными метриками. - 14 марта 1978 г.

Олег Александрович СДВИЖКОВ (ТомГУ). Основания теории многомерных поверхностей в полуевклидовых пространствах.- 4 июня 1979г.

Анна Сергеевна МАРТАКОВА (Панфилова) (КГУ). Геометрия дуальных расширений. - 31 октября 1979 г.

Наталья Серафимовна ДЕНИСОВА (МГПИ). Геометрия пространств с биквазипростыми фундаментальными группами. - 25 февеаля 1981 г.

Сергей Левонович АТАНАСЯН (БелГУ). Линейчатая геометрия квазинеевклидовых пространств и геометрия нитей. - 29 марта 1979 г.

Надежда Евгеньевна ПАНКИНА (Марюкова) (МГПИ). Дифференциаль ная геометрия галилеевых пространств. - 2 февраля 1983г.

Константин Яковлевич ГИБЕРТ (МГПИ). Геометрия n-цепей и их приложения в теории аналитических функций от элементов некоммутативных алгебр. - 5 октября 1983 г.

Тамара Андреевна СТЕПАШКО (Тимошенко). (МГПИ). Образы простоты пространств с простыми, квазипростыми и r-квазипростыми фудаментальными группами Ли. - 10 мая 1984 г.

Валинтина Александровна БАРАНОВА (МГПИ). Гауссово отображе­ние в теории поверхностей коразмерности два. - 5 ноября 1984 г.

Раиса Порфирьевна ВЫПЛАВИНА (МГПИ). Эрмитовы метрики в алгебрах и их применение к геометрии многообразий прямых и плоскостей вещественных пространств. - 18 марта 1985 г.

Мухамметназар АТАГАРРЫЕв (ТашГУ). Физико-математические науки в трудах среднеазиатских ученых ал-Чагмини и ат-Туркумани. - 24 октября 1985 г.

Наталья Васильевна ШУЛЬГА (МГПИ). Линейчатая геометрия многомерного пространства Лобачевского. - 4 марта 1987 г.

Хабиба Каххаровна АБДУРАХМАНОВА (ТбилГУ). Линейчатая геометрия трехмерного квазигиперболического пространства 11S31 - 3 июня 1987 г.

Ирина Ивановна САВОСЬКИНА (МГПИ). Теория конгруэнций и псевдоконгруэнций прямых квазиэллиптического пространства Sn1 - 1 ноября 1988 г.

НГУЕН Данг Фат (МГПИ). Пространства с переменным абсолютом.- 12 апреля 1989 г.

Лариса Васильевна АНТОНОВА (МГПИ). Вещественные кривые поверхности в двойных квадратичных евклидовом и эллиптическом пространствах. - 22 октября 1989 г.

Валентина Георгиевна АЛЯБЬЕВА (ИИЕТ). Развитие теории комбинаторно-геометрических конфигураций в XIX-XX веках.- 17 января 1990 г.

Татьяна Ивановна ЮХТИНА (МГПИ). Геометрия многообразий, погруженных в пространства над алгебрами кватернионов и антикватернионов. -20 мая 1990 г.

Ольга Валентиновна ЗАЦЕПИНА (МПГУ). Гиперкомплексы прямых пространства Лобачевского. - 8 апреля 1991 г.

Миланка ПОПОВИЧ (КГУ). Циклографические методы начертательной геометрии гиперболического пространства. - 23 января 1992 г.

Альфия Фаритовна ШАБАЕВА (Масагутова) (МПГУ). Дифференциальная геометрия семейств m-мерных плоскостей n-мерного эллиптического пространства. - 15 марта 1993 г.

Полина Георгиевна СТЕГАНЦЕВА (МПГУ). Геометрия семейств прямых и m-плоскостей евклидова n-пространства. - 16 мая 1994 г.

Diana L. RHODES (PSU). The First Thirteen Propositions of Apollonius of Perga's Conics, Book I and Its Application to Plane Geometry. An Original Translation with Historical and Mathematical Commentaries. - May 15, 1995.

Галина Васильевна СТЕПАНОВА (Криворучко) (КГУ). Дифференциаль- ная геометрия эрмитовых евклидова и эллиптического пространств над алгеброй матриц. - 26 марта 1998 г.